Numeryczne metody obliczeń technicznych

Numeryczne metody obliczeń technicznych
Wykład II
Macierze w obliczeniach (elektro-)technicznych
• Od układu fizycznego do równania macierzowego
• Istotne obliczeniowo własności macierzy
• Uwarunkowanie obliczeń macierzowych
• „Szkolne” rozwiązania układów równań liniowych
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Macierzowy opis układów fizycznych
Obwody stałoprądowe - metoda prądów oczkowych i potencjałów węzłowych
Dla każdego węzła/oczka obwodu układamy bilans napięć/prądów wg. praw Kirchhoffa. Ponieważ
wszystkie węzły/oczka w obwodzie tworzą sieć „naczyń połączonych”, jesteśmy w stanie
wyznaczyć stan równowagi w obwodzie przez wyznaczenie nieznanych napięć/prądów na
podstawie wartości elementów rezystancyjnych i źródeł prądów/napięć.
Przykład - Metoda prądów oczkowych (II prawo Kirchhoffa o sumie napięć w oczku)
Obwód trzech akumulatorów połączonych równolegle i obciążonych rezystancją.
I1
R1
R2
E1
E2
I2
R3
E3
I3
Ro
⎧ E1 − I1 ( R1 + R2 ) + I 2 R2 − E2 = 0
⎪
⎨ E2 − I 2 ( R2 + R3 ) + I1 R2 + I 3 R3 − E3 = 0
⎪E − I ( R + R ) + I R = 0
0
2 3
⎩ 3 3 3
⎡ R1 + R2
⎢
⎢ − R2
⎢ 0
⎣
− R2
R2 + R3
− R3
0 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡ E1 − E2 ⎤
⎥
− R3 ⎥ ⎢ I 2 ⎥ = ⎢ E2 − E3 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
R3 + Ro ⎥⎦ ⎢⎣ I 3 ⎥⎦ ⎢⎣ E3 ⎥⎦
macierz rezystancyjna
Przykłady i reguły wypełniania macierzy w tych metodach np. w [Guziak, Kamińska].
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Obwody zmiennoprądowe w stanie ustalonym, napięcia harmoniczne
Metody jak dla prądu stałego, ale wszystkie parametry opisane liczbami zespolonymi
Przykład - Metoda potencjałów węzłowych (I prawo Kirchhoffa o sumie prądów w węźle)
Linia przesyłu energii elektrycznej zamodelowana elementami skupionymi, ze źródłem napięcia
sieciowego E o impedancji wyjściowej Ze, impedancją szeregową linii Zs1, Zs2, impedancją
doziemną Zd i impedancją odbiornika Zo.
U1
U2
Zs2
Zs1
Ze
E
U3
Zd
Zo
⎧(U1 − E ) Z e + (U1 − U 2 ) Z s1 = 0
⎪
⎨(U 2 − U1 ) Z s1 + (U 2 − U 3 ) Z s 2 +U 2 Z d = 0
⎪(U − U ) Z + U Z = 0
2
s2
3
o
⎩ 3
⎡1 + 1
⎢ Ze Z s1
⎢ − Z1s1
⎢
⎢⎣ 0
− Z1s1
1
Z s1
+ Z1s 2 + Z1d
− Z1s 2
E
⎤
⎡
⎤
U
Z
⎡
⎤
e
⎥ 1
⎢ ⎥
− Z1s 2 ⎥ ⎢U 2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢0⎥
1
1 ⎢U ⎥
Z s 2 + Zo ⎥ ⎣ 3 ⎦
⎣ ⎦
⎦
0
Macierz admitancyjna
Rozwiązanie w postaci zespolonych wartości napięć, dające informację o wartościach skutecznych
tych napięć i ich fazach względem źródła napięcia.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Obwody w stanach dynamicznych - Odpowiedź impulsowa i macierz splotowa.
Operacja splotu dyskretnego może być zapisana w postaci macierzowej, co jest jednak rzadko
wykorzystywane w praktyce z powodu dużej zajętości pamięci nadmiarową (redundantną)
informacją. Interesująca z punktu widzenia analizy jest budowa tych macierzy.
∞
Zależność splotowa dla sygnałów ciągłych:
y ( t ) = u ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ u ( t − τ ) h (τ )
0
L
Splot po ograniczonej czasowo dyskretyzacji:
y (n) = u (n) ∗ h (n) = ∑u (n − k ) h (k )
k =0
Splot macierzowy (dla u w zakresie <1,N>):
0
⎡ y1 ⎤ ⎡ h0
⎢
⎥ ⎢ h
h0
⎢
⎥ ⎢ 1
⎢
⎥ ⎢
h1
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ = ⎢ hL −1
⎢
⎥ ⎢ 0 hL −1
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ yL + N ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
0 ⎤
⎥
⎥ ⎡ u1 ⎤
0 ⎥⎢ ⎥
⎥
h0 ⎥ ⎢ ⎥ , y = Hu
⎢ ⎥
h1 ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎣u N ⎦
⎥
hL −1 ⎥⎦
Macierz H o strukturze Toeplitza. H nie jest macierzą kwadratową, układ równań jest
nadokreślony.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Przykład – odpowiedź impulsowa kanału telekomunikacyjnego (np. linii telefonicznej)
Krytyczną charakterystyką linii transmisyjnej jest, obok zakłóceń, jej odpowiedź impulsowa.
Decyduje ona o minimalnym możliwym odstępie transmitowanych impulsów, przy którym kolejne
impulsy rozmyte przez linię transmisyjną nie nakładają się na siebie.
Przeanalizujmy transmisję w prymitywnym modemie z binarną modulacją amplitudy (zmianą
polaryzacji) impulsu prostokątnego.
modem
nadający
u(t)
połączenie komutowane
h(t)
modem
odbierający
y(t)
Odtwarzanie sygnału nadanego przez filtrację FIR sygnału odebranego przy znanej odpowiedzi
impulsowej linii – zadanie korekcji (equalization, deconvolution).
W zapisie macierzowym y = Hu . Ale nie można odtworzyć wejścia u na podstawie wyjścia przez
proste u = H −1y , bo H nie jest macierzą kwadratową. Przy uwzględnieniu zakłóceń sygnału y
powstaje zadanie projektowania korektora, które ma wiele rozwiązań wg różnych kryteriów.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Obwody w stanach dynamicznych - Macierzowe równania stanu.
W poprzednim przykładzie dynamika elementu została opisana macierzą splotową. Było to
możliwe dzięki ograniczeniu czasu próbkowania odpowiedzi impulsowej. W automatyce i
dziedzinach pokrewnych popularny jest zwarty opis dynamiki w postaci równań stanu.
Wprowadzenie zmiennych stanu eliminuje konieczność operowania na historii sygnału
wejściowego. Pamięć przeszłych zdarzeń jest zawarta w zmiennych stanu, dzięki czemu przyszłe
zachowanie elementu możemy przewidzieć na podstawie bieżącego stanu i bieżącego wejścia.
Przykład – obwód R-L-C (a0=(LC)-1, a0=(RC)-1, b0=(LRC)-1) lub drgający układ mechaniczny
Równoważny zapis w postaci równań stanu:
Zapis w postaci równania różniczkowego:
y′′ + a1 y′ + a0 y = b0u
1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎡ x1′ ⎤ ⎡ 0
⎡ x1 ⎤
y = [1 0] ⎢ ⎥
⎢ x′ ⎥ = ⎢ − a − a ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢b ⎥ u
1⎦ ⎣ 2 ⎦
⎣ 0⎦
⎣ 2⎦ ⎣ 0
⎣ x2 ⎦
Ogólnie: x′ = Ax + Bu y = Cx + Du
Zadanie (zasadnicze): wyznaczenie przebiegu (trajektorii) stanu.
Rozwiązanie analityczne (zob. np.: Kaczorek T., „Macierze w automatyce i Elektrotechnice”):
x (t ) = e
A ( t − t0 )
t
x0 + ∫ e
A ( t −τ )
Bu ( t ) dτ , gdzie e At - macierz tranzycji zależna od wartości własnych A.
t0
Rozwiązanie numeryczne: metody symulacji systemów dynamicznych/całkowania równań stanu.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Obwody w stanach dynamicznych - Dyskretyzowane w czasie równanie różniczkowe/stanu.
Równanie stanu nie jest klasycznym układem równań liniowych z uwagi na występującą w nim
pochodną stanu względem czasu. Rozwiązaniem nie jest jedna wartość wektora stanu, a jego
wartości zmieniające się czasem. Klasyczny układ równań liniowych możemy uzyskać
dyskretyzując równanie różniczkowe i przyjmując za niewiadome kolejne wartości zmiennej stanu.
Przykład – obwód elektryczny R-C (a0=(RC)-1, b0=(RC)-1) lub nagrzewany czujnik temperatury
Równanie różniczkowe: y′ + a0 y = b0u
Po dyskretyzacji z przybliżeniem pochodnej ilorazem różnicowym (jedna z możliwości):
y ( ( i + 1) ⋅ dt ) − y ( i ⋅ dt ) [1 − a0 ⋅ dt ] = b0 ⋅ dt ⋅ u ( i ⋅ dt )
W zapisie macierzowym ( a0 = 1 − a0 ⋅ dt , b0 = b0 dt , yi = y ( i ⋅ dt ) ):
0 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡b0u0 + a0 y0 ⎤
⎡1 0
⎥
⎢a 1
⎥⎢ ⎥ ⎢
b
u
⎥
0 1
⎢ 0
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢0
⎥⎢ ⎥ = ⎢
⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
0⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 … 0 a0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ y N ⎥⎦ ⎢ b u
⎣ 0 N −1 ⎦
Ze względu na rzadką strukturę macierzy wygodniej jest korzystać bezpośrednio z zależności
iteracyjnej w postaci równania różnicowego.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Układy z parametrami rozłożonymi - Dyskretyzowane w przestrzeni równania różniczkowe
cząstkowe
Przykład: Nagrzewana z jednej i chłodzona z drugiej strony płyta (np. ściana domu w zimie)
Równanie Laplace’a:
∂ 2T ∂ 2T
∂T
∂T
+
=
0
,
warunki
brzegowe
np:
=
,
=
,
=
=0
T
x
T
T
x
T
(
)
(
)
p
p
k
k
∂y y p ∂y yk
∂x 2 ∂y 2
Dyskretyzacja przestrzeni metodą siatek i numeracja węzłów siatki:
Dla każdego węzła równanie Laplace’a ma postać dyskretną:
Tl + Tr + Tu + Td − 4Tc = 0
u
l
c r
d
Wynikowe równanie macierzowe:
0 ⎤ ⎡ T1 ⎤ ⎡Tp ⎤
⎡ −3 1 0 1 0
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 0 1 0 1 4 1 0 1 0 ⎥ ⎢T5 ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0
0 1 0 1 −3⎥⎦ ⎢⎣T9 ⎥⎦ ⎢⎣Tk ⎥⎦
Macierz o dużych rozmiarach ale stosunkowo niewielu elementach.
Katedra Metrologii AGH
yk
yp,xp
1 2 3
4 5 6
7 8 9
xk
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Własności macierzy
Przegląd podstawowych pojęć, których będziemy używali:
Macierze specjalne:
jednostkowa, zerowa, diagonalna, trójkątna
Operacje macierzowe i ich własności (łączność, przemienność):
dodawanie, mnożenie, transpozycja, sprzężenie
skalar x macierz, iloczyn skalarny wektorów
Wyznacznik i osobliwość macierzy, rząd macierzy
Formy kwadratowe i dodatnia określoność macierzy
Wektory ortogonalne i ortonormalne
Wartości i wektory własne
Pochodna funkcji wielu zmiennych - wektor gradientu
Macierz drugich pochodnych funkcji wielu zmiennych - macierz hesjanu
Gradient wektora funkcji wielu zmiennych - macierz jakobianu
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
Uwarunkowanie obliczeń macierzowych
Zgodnie z ogólną definicją uwarunkowania zadania obliczeniowego, wskaźnik uwarunkowania to
mnożnik z którym zaburzenia danych wejściowych przenoszą się na wynik obliczeń. Ponieważ
wprowadzanie pojęcia normy macierzy nie pasuje do profilu naszych zajęć, ograniczymy się do
podania końcowego rezultatu analizy uwarunkowania problemów macierzowych.
Jak można wykazać (zob. np. Jennings A., „Matrix computation”, lub Fortuna Z. „Metody
numeryczne”) w przypadku układu równań liniowych wskaźnik uwarunkowania dla zadania
rozwiązania układu równań liniowych Ax = b (wg normy Euklidesa) jest wyrażony stosunkiem
modułu największej do najmniejszej wartości własnej macierzy A, tzn. κ = λmax ( A ) λmin ( A ) .
Wyznaczanie wartości własnych macierzy jest kosztowne obliczeniowo, więc w praktyce stosuje
się mniej kosztowne oszacowanie wskaźnika uwarunkowania w postaci pierwiastka stosunku sumy
kwadratów wszystkich elementów macierzy i macierzy odwrotnej. Niestety ta definicja
(wg. normy Frobeniusza macierzy) przeszacowuje wskaźnik uwarunkowania.
Przykład: W wyniku np. analizy obwodu metodą prądów oczkowych przy dominującej rezystancji
między oczkami uzyskano układ równań:
⎡ 1001 −1000⎤
⎢ −1000 1001 ⎥ i = e , λ1 = 1, λ2 = 2001. Wskaźnik uwarunkowania jest rzędu 2000, czyli grozi
⎣
⎦
nam niebezpieczeństwo wzmocnienia błędu reprezentacji na poziomie eps/2 (∼10-16) o 3 miejsca
po przecinku (nie tragedia przy powszechnej dokładności pomiarów napięć rzędu 10-2 - 10-3).
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2005
Numeryczne metody obliczeń technicznych
„Szkolne” metody rozwiązywania układów równań liniowych
Metody tzw. „szkolne” rozwiązywania układów równań liniowych polegają bądź na obliczaniu
wyznaczników (metoda Cramera), bądź na metodzie eliminacji zmiennych i kolejnych
podstawieniach. W praktycznych obliczeniach numerycznych ta ostatnia metoda w postaci
algorytmicznej jest powszechnie wykorzystywana, co będzie omówione na następnym wykładzie.
Teraz przypomnimy pierwszą, nieefektywną i trudną w implementacji metodę.
Metoda Cramera:
⎡ a11 … a1N ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
⎡ a11 … b1 … a1N ⎤
⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥,
⎥
Ai = ⎢
Dla układu równań Ax = b : ⎢
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
a NN ⎥⎦ ⎢⎣ x N ⎥⎦ ⎢⎣ bN ⎥⎦
bN
a NN ⎥⎦
⎢⎣ a N 1
⎢⎣ a N 1
Rozwiązanie ma postać:
det ( A i )
xi =
, gdzie macierz Ai jest utworzona z A przez wymianę i-tej kolumny wektorem b.
det ( A )
Przykład:
⎡1 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 5 ⎤
⎢ 3 4 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢11⎥ ,
⎣
⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
Katedra Metrologii AGH
x1 =
5 ⋅ 4 − 11 ⋅ 2
1 ⋅ 11 − 3 ⋅ 5
= 1, x2 =
=2
1⋅ 4 − 3 ⋅ 2
1⋅ 4 − 3 ⋅ 2
Kraków 2005