Wykład 13 – Metody rachunku wariacyjnego w sterowaniu

Metody rachunku wariacyjnego
w sterowaniu optymalnym
Zadanie optymalnego sterowania docelowego polega na minimalizacji wskaźnika
jakości
Z
t1
G(x, u) =
g(x(t), u(t), t)dt
t0
z uwzglȩdnieniem równania stanu procesu
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [t0 , t1 ],
warunków dwugranicznych
x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,
oraz ograniczeń chwilowych sterowania
u(t) ∈ U, t ∈ [t0 , t1 ],
gdzie x(t) ∈ Rn , x0 , x1 ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , U ⊂ Rm .
PrzykÃlad 1. Minimalnoenergetyczne nagrzewanie zbiornika z ciecza̧: zminimalizować straty energetyczne
Z
1
G(x, u) =
u2 (t)dt
0
procesu nagrzewania opisywanego równaniem stanu
ẋ(t) = −ax(t) + bu(t), t ∈ [0, 1]
z warunkami dwugranicznymi
x(0) = x0 , x(1) = x1 ,
gdzie x(t) jest temperatura̧ cieczy w zbiorniku w chwili t, x0 jest jego zadana̧
temperatura̧ pocza̧tkowa̧, x1 jest jego zadana̧ temperatura̧ końcowa̧, u(t) jest
natȩżeniem pra̧du obwodu grzejnego, a jest wspóÃlczynnikiem stygniȩcia cieczy,
zaś b jest wspóÃlczynnikiem nagrzewania cieczy.
1
PrzykÃlad 2. Minimalnoenergetyczne sterowanie tarcza̧ obrotowa̧: zminimalizować straty energetyczne
Z
t1
G(x, u) =
u2 (t)dt
t0
procesu przestawiania tarczy obrotowej opisywanej równaniami stanu
ẋ1 (t) = x2 (t), ẋ2 (t) = bu(t), t ∈ [t0 , t1 ],
z warunkami dwugranicznymi
xi (t0 ) = xi (0), xi (t1 ) = xi (1) (i = 1, 2),
gdzie x1 (t) oznacza poÃlożenie ka̧towe tarczy, x2 (t) oznacza prȩdkość ka̧towa̧
tarczy, zaś u(t) jest napiȩciem obwodu steruja̧cego silnika.
W zadaniach tych pominiȩto ograniczenia chwilowe sterowania zakÃladaja̧c,
że postać wskaźnika jakości automatycznie ograniczy chwilowa̧ wartość sterowania.
PrzykÃlad 3. Minimalnoczasowa stabilizacja oscylatora: sprowadzić oscylator do poÃlożenia równowagi w minimalnym czasie
Z
t1
G(x, u) =
dt = t1 − t0
t0
z uwzglȩdnieniem równań stanu oscylatora
ẋ1 (t) = x2 (t), ẋ2 (t) = −ax1 (t) + bu(t), t ∈ [t0 , t1 ],
warunków dwugranicznych
xi (t0 ) = xi0 , xi (t1 ) = xi1 , i = 1, 2,
oraz ograniczeń chwilowych sterowania
|u(t)| ≤ 1, t ∈ [t0 , t1 ],
gdzie x1 (t) jest poÃlożeniem oscylatora w chwili t, x2 (t) jest prȩdkościa̧ oscylatora, u(t) jest jego siÃla̧ stabilizuja̧ca̧, a jest wspóÃlczynnikiem amortyzatora
sprȩżynowego, zaś b jest wspóÃlczynnikiem oddziaÃlywania siÃly stabilizuja̧cej.
2
PrzykÃlad 4. Minimalnoczasowa stabilizacja oscylatora z tÃlumieniem wÃlasnym:
sprowadzić oscylator do poÃlożenia równowagi w minimalnym czasie
Z
t1
G(x, u) =
dt = t1 − t0
t0
z uwzglȩdnieniem równań stanu oscylatora
ẋ1 (t) = x2 (t), ẋ2 (t) = −a1 x1 (t) − a2 x2 (t) + bu(t), t ∈ [t0 , t1 ],
warunków dwugranicznych
xi (t0 ) = xi0 , xi (t1 ) = xi1 , i = 1, 2,
oraz ograniczeń chwilowych sterowania
|u(t)| ≤ 1, t ∈ [t0 , t1 ],
gdzie x1 (t) jest poÃlożeniem oscylatora w chwili t, x2 (t) jest prȩdkościa̧ oscylatora, u(t) jest jego siÃla̧ stabilizuja̧ca̧, a1 jest wspóÃlczynnikiem amortyzatora
sprȩżynowego, a2 jest wspóÃlczynnikiem tÃlumika, zaś b jest wspóÃlczynnikiem
oddziaÃlywania siÃly stabilizuja̧cej.
Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych
dla przypadku jednowymiarowego.
Rozważymy w pierwszej kolejności przypadek jednowymiarowy pojedynczej
krzywej (n = 1, m = 1). ZaÃlóżmy, że równanie stanu pozwala jednoznacznie
określić sterowanie u(t) w funkcji stanu x(t), pochodnej stanu ẋ(t) oraz czasu
t tj.
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) ⇒ u(t) = F (x(t), ẋ(t), t).
Podstawiaja̧c uzyskane wyrażenie do wskaźnika jakości sprowadzamy problem
optymalnego sterowania docelowego do zadania rachunku wariacyjnego: zminimalizować funkcjonaÃl zależny od krzywej x, jej pochodnej ẋ i czasu t
Z
t1
G̃(x) =
g̃(x(t), ẋ(t), t)dt
t0
z wiȩzami ustalaja̧cymi poÃlożenie pocza̧tkowe i końcowe krzywej
3
x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 .
Zadanie wariacyjne polega wiȩc na wyborze krzywej Ãla̧cza̧cej punkty (t0 , x0 )
oraz (t1 , x1 ) i minimalizuja̧cej funkcjonal G̃.
Aby określić warunki konieczne optymalności krzywej w zadaniu wariacyjnym zakÃladamy, że krzywa jest elementem przestrzeni funkcji różniczkowalnych
w sposób cia̧gÃly tj.
x ∈ C1 ([t0 , t1 ]; Rn ), ||x||C1 = maxt∈[t0 ,t1 ] |x(t)| + maxt∈[t0 ,t1 ] |ẋ(t)|.
Definicja: FunkcjonaÃl G̃ osia̧ga na krzywej xo lokalne sÃlabe ekstremum,
jeżeli istnieje takie ² > 0, że
(||x − xo ||C1 ≤ ²) ⇒ (G̃(x) ≥ G̃(xo )))
tj. dla wszystkich krzywych C1 -otoczenia krzywej xo wartości funkcjonaÃlu G̃
nie sa̧ mniejsze od G̃(xo ).
Mówimy w tym przypadku o sÃlabym ekstremum, gdyż rozwia̧zanie ekstremalne porównujemy z sa̧siednimi krzywymi różniczkowalnymi w sposób
cia̧gÃly (czyli z krzywymi z C1 -otoczenia) w odróżnieniu od porównania z sa̧siednimi
krzywymi cia̧gÃlymi (czyli z krzywymi z C-otoczenia).
Niech xo + αδx ∈ C1 ([t0 , t1 ]; Rn ) bȩdzie zaburzeniem krzywej ekstremalnej
xo speÃlniaja̧cym równania wiȩzów (czyli warunki graniczne) δx(t0 ) = 0, δx(t1 ) =
0, przy czym α ∈ R jest parametrem rzeczywistym. FunkcjonaÃl G̃ traktowany
jako funkcja parametru α przybierze postać
˜
G̃(α)
=
Z
t1
g̃(xo + αδx(t), ẋo + αδ ẋ(t), t)dt.
t0
˜ z zaÃlożenia osia̧ga dla α = 0 ekstremum, to
Ponieważ funkcja G̃
˜
dG̃
|α=0 = 0.
dα
ZakÃladaja̧c, że funkcja g̃ ma cia̧gÃle pochodne cza̧stkowe g̃x i g̃ẋ uzyskujemy
˜
dG̃(α)
=
dα
Z
t1
¡
g̃x (xo + αδx(t), ẋo (t) + αδ ẋ(t), t)δx(t)+
t0
4
¢
g̃ẋ (xo (t) + αδx(t), ẋo (t) + αδ ẋ, t)δ ẋ(t) dt
oraz
˜
dG̃(α)
|α=0 =
dα
gdzie
Z
t1
t0
¡
¢
g̃xo (t)δx(t) + g̃ẋo (t)δ ẋ(t) dt,
.
.
g̃xo (t) = g̃x (xo (t), ẋo (t), t), g̃ẋo (t) = g̃ẋ (xo (t), ẋo (t), t).
Zastosowanie wzoru na caÃlkowanie przez czȩści i uwzglȩdnienie wiȩzów krzywej
prowadzi do zależności
Z t1
Z t1
d o
t1
o
o
g̃ẋ (t)δx(t)dt
g̃ẋ (t)δ ẋ(t)dt = g̃ẋ (t)δx(t)|t0 −
t0
t0 dt
Z t1
d o
o
o
= g̃ẋ (t1 )δx(t1 ) − g̃ẋ (t)δx(t0 ) −
g̃ẋ (t)δx(t)dt
t0 dt
Z t1
d o
=−
g̃ẋ (t)δx(t)dt.
t0 dt
Mamy wiȩc
˜
dG̃(α)
|α=0 =
dα
Z
t1
t0
¡
g̃xo (t) −
d o ¢
g̃ (t) δx(t) = 0.
dt ẋ
Aby ostatnie wyrażenie byÃlo równe zeru dla dowolnych wariacji δx(t) krzywej xo (t) wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru tj. speÃlnione musi być
równanie Eulera-Lagrange’a
g̃xo (t) −
d o
g̃ (t) = 0, t ∈ [t0 , t1 ].
dt ẋ
Twierdzenie: Warunkiem koniecznym sÃlabego lokalnego ekstremum funkcjonaÃlu
G̃(x) na zbiorze krzywych x ∈ C1 z wiȩzami x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 jest
speÃlnienie równania Eulera-Lagrange’a na krzywej ekstremalnej xo .
Krzywe speÃlniaja̧ce równanie Eulera-Lagrange’a nazywamy ekstremalami.
Aby stwierdzić czy dana ekstremala stanowi minimum funkcjonaÃlu (a nie
maksimum lub punkt przegiȩcia) stosujemy warunki optymalności wyższych
rzȩdów. W szczególności warunki optymalności drugiego rzȩdu uzyskujemy
obliczaja̧c druga̧ pochodna̧
˜
d2 G̃(α)
|α=0 =
dα2
Z
t1
t0
¡
¢
o
g̃xx
(t)δx2 (t) + 2g̃xoẋ (t)δx(t)δ ẋ(t) + g̃ẋoẋ (t)δ ẋ2 (t) dt.
5
Ponieważ zawsze można dobrać wariacjȩ δx(t) krzywej xo (t) maÃla̧ co do
moduÃlu lecz z dowolnie duża̧ pochodna̧. Tak wiȩc o znaku drugiej pochodnej
decyduje wyrażenie g̃ẋoẋ (t). Wynika sta̧d, że warunkiem koniecznym drugiego
rzȩdu osia̧gania minimum przez ekstremalȩ xo jest nierówność Legengre’a
g̃ẋoẋ (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , t1 ].
Warunkiem dostatecznym drugiego rzȩdu osia̧gania minimum przez ekstremalȩ
xo jest ostra nierówność Legengre’a
g̃ẋoẋ (t) > 0, t ∈ [t0 , t1 ],
pod warunkiem, że ekstremala nie posiada tzw punktów sprzȩżonych.
Dla zadania z przykÃladu 1 z parametrami a = 2, b = 1 i wiȩzami x(0) =
1, x(1) = 2 uzyskujemy
u(t) = ẋ(t) + 2x(t)
i sprowadzamy zadanie optymalnego sterowania docelowego do zadania wariacyjnego postaci: zminimalizować funkcjonaÃl
Z 1
G̃(x) =
(ẋ(t) + 2x(t))2 dt
0
uwzglȩdniaja̧c wiȩzy krzywej
x(0) = 1, x(1) = 2.
W tym przypadku g̃(x(t), ẋ(t), t) = (ẋ(t)+2x(t))2 i równanie Eulera-Lagrange’a
przybiera postać
d
g̃xo (t) − g̃ẋo (t)
dt
d
= 4(ẋ + 2x(t)) − 2(ẋ(t) + 2x(t))
dt
= 4ẋ(t) + 8x(t) − 2ẍ(t) − 4ẋ(t) = −2ẍ(t) + 8x(t) = 0
czyli
ẍ(t) − 4x(t) = 0.
Tak wiȩc równanie Eulera-Lagrange’a ma dla badanego przykÃladu postać liniowego stacjonarnego równania różniczkowego, którego rozwia̧zanie określamy
wyznaczaja̧c pierwiastki równania charakterystycznego
r2 − 4 = 0 ⇒ r1,2 = ±2 ⇒ x(t) = c1 e2t + c2 e−2t
6
⇒ u(t) = 2c1 e2t − 2c2 e−2t + 2c1 e2t + 2c2 e−2t = 4c1 e2t .
Sterowanie optymalne jest wiȩc dla rozważanego procesu nagrzewania funkcja̧
eksponencjalna̧. StaÃle ci określamy z warunków granicznych uzyskuja̧c ostatecznie
e2 − 1 2t
uo (t) = 4
e .
e −1
Sprawdzamy warunek optymalności drugiego rzȩdu
g̃ẋoẋ (t) =
∂
2(ẋ(t) + 2x(t)) = 2 > 0.
∂ ẋ
Wyznaczone sterowanie jest wiȩc lokalnym minimum.
Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych
dla przypadku wielowymiarowego.
Uzyskane warunki optymalności uogólniamy bezpośrednio na przypadek
zadania wielowymiarowego n > 1, m > 1. ZakÃladamy, że wektorowe sterowanie
u(t) ∈ Rm można jednoznacznie określić z równań stanu w funkcji stanu x(t),
jego pochodnej ẋ(t) i czasu t. Przechodzimy nastȩpnie do wielowymiarowego
zadania wariacyjnego: zminimalizować funkcjonaÃl zależny od wielowymiarowej
krzywej x
Z
t1
G̃(x) =
g̃(x(t), ẋ(t), t)dt,
t0
z wiȩzami
x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,
gdzie x(t) ∈ Rn , x0 , x1 ∈ Rn .
W tym przypadku badamy wariacje wektorowej trajektorii stanu
xoi (t) + αi δxi (t), δxi (t0 ) = 0, δxi (t1 ) = 0, i = 1, ..., n,
gdzie αi ∈ R jest parametrem wariacji i-tej wspóÃlrzȩdnej stanu.
Wskaźnik jakości zadania wariacyjnego przybierze postać funkcji n skalarnych
argumentów α1 , ..., αn tj.
Z t1
.
˜
G̃(α1 , ..., αn ) =
g̃(xo1 (t) + α1 δx1 (t), ẋo1 (t) + α1 δ ẋ1 (t), ...,
t0
xon (t) + αn δxn (t), ẋon (t) + αn δ ẋn (t), t)dt.
7
˜ , ..., α ) osia̧ga z zaÃlożenia minimum, wiȩc musza̧
Ponieważ funkcja G̃(α
1
n
być speÃlnione warunki konieczne optymalności pierwszego rzȩdu funkcji wielu
zmiennych tj.
˜
∂ G̃
(0) = 0, i = 1, ..., n.
∂αi
Uzyskujemy wiȩc
Z
˜
∂ G̃
(0) =
∂αi
Z
t1
t1
t0
¡
t0
¡
¢
g̃xoi (t)δxi (t) + g̃ẋoi (t)δ ẋi (t) dt
g̃xoi (t) −
d o ¢
g̃ (t) δxi (t) = 0.
dt ẋi
Tak wiȩc warunek konieczny optymalności pierwszego rzȩdu krzywej wielowymiarowego zadania wariacyjnego można zapisać w postaci ukÃladu równań EuleraLagrange’a
d
g̃xoi (t) − g̃ẋoi (t) = 0, t ∈ [t0 , t1 ], i = 1, ..., n.
dt
Celem określenia czy krzywa ekstremalna wyznaczona na podstawie warunków
optymalności rzȩdu pierwszego stanowi minimum funkcjonaÃlu G̃ (a nie jego
maksimum lub punkt przegiȩcia) stosujemy warunki optymalności drugiego
rzȩdu tj. badamy macierz pochodnych cza̧stkowych drugiego rzȩdu funkcjonaÃlu
˜ Pochodne te przybieraja̧ postać
G̃.
˜
∂ 2 G̃(α)
|α=0 =
∂αi ∂αj
Z
t1
t0
¡
g̃xoi xj (t)δxi (t)δxj (t) + 2g̃xoi ẋj (t)δxi (t)δ ẋj (t)
¢
+g̃ẋoi ẋj (t)δ ẋi (t)δ ẋj (t) dt.
Warunki optymalności drugiego rzȩdu sprowadzaja̧ siȩ do badania dodatniej póÃlokreśloności lub dodatniej określoności macierzy pochodnych cza̧stkowych
drugiego rzȩdu
˜
¢
¡ ∂ 2 G̃(α)
|α=0 i,j=1,...,n .
∂αi ∂αj
Stosuja̧c analogiczne rozumowanie jak w przypadku warunków drugiego
rzȩdu dla krzywej jednowymiarowej wnioskujemy, że o dodatniej (póÃl)określoności
analizowanej macierzy decydować bȩdzie macierz drugich pochodnych cza̧stkowych
postaci
¡ o
¢
g̃ẋi ẋj (t) i,j=1,...,n ≥ 0 (> 0).
8
PrzykÃlad 1a. Minimalnoenergetyczne nagrzewanie ukÃladu dwóch zbiorników
z ciecza̧: zminimalizować sumaryczne straty energetyczne
Z 1
G(x, u) =
(u21 (t) + u22 (t))dt
0
procesu nagrzewania opisywanego za pomoca̧ równań stanu
ẋi (t) = −ai xi (t) + ui (t), t ∈ [0, 1], i = 1, 2
z warunkami granicznymi
xi (0) = 1, xi (1) = 2, i = 1, 2.
Sprowadzamy zadanie do postaci wariacyjnej
Z
1
ui (t) = xi (t) + ai xi (t), G̃(x) =
0
2
X
(ẋi (t) + ai xi (t))2 dt,
i=1
a wiȩc
g̃ =
2
X
(ẋi (t) + ai xi (t))2 , g̃xi = 2ai (ẋi (t) + ai xi (t))
i=1
oraz
g̃ẋi = 2(ẋi (t) + ai xi (t)).
Zestawiamy ukÃlad równań Eulera-Lagrange’a
2ai (ẋi (t) + ai xi (t)) −
d
2(ẋi (t) + ai xi (t)) = 0, i = 1, 2.
dt
Sta̧d
ai ẋi (t) + a2i (t)xi (t) − ẍi (t) − ai ẋi (t) = 0
i
ẍi (t) = a2i xi (t), ri2 = a2i , ri,1,2 = ±ai .
Optymalna trajektoria stanu ma wiȩc postać
xi (t) = ci1 eai t + ci2 e−ai t ,
zaś sterowanie optymalne jest określone jak nastȩpuje
ui (t) = 2ai (t)ci1 eai t , t ∈ [0, 1], i = 1, 2,
9
przy czym staÃle ci1 , ci2 określamy z warunków granicznych. Warunki optymalności drugiego rzȩdu sprowadzaja̧ siȩ do badania macierzy
Ã
! Ã
!
g̃ẋo1 ẋ1 g̃ẋo1 ẋ2
2 0
=
g̃ẋo2 ẋ1 g̃ẋo2 ẋ1
0 2
Ponieważ minory gÃlówne tej macierzy sa̧ dodatnie, wiȩc wyznaczone rozwia̧zanie
jest rozwia̧zaniem minimalizuja̧cym.
Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych
z pochodnymi wyższych rzȩdów.
W niektórych przypadkach z równań stanu
ẋi (t) = fi (x(t), u(t), t), i = 1, ..., n
można jednoznacznie wyznaczyć sterowanie w funkcji pewnego podwektora
x(t) ∈ Rk (k < n) wektora stanu x(t) ∈ Rn i jego pochodnych ẋ(t), ẍ(t), ..., x(n) (t)
oraz czasu t tj.
u(t) = F (x(t), ẋ(t), ẍ(t), ..., x(n) (t), t),
przy czym warunki graniczne wektora stanu x(t) implikuja̧ odpowiednie warunki
graniczne podwektora stanu x(t)
xi (tκ ) = xiκ (i = 1..., n; κ = 0, 1) ⇒ x(l) (tκ ) = x(l)
κ (l = 0, 1, ..., n − 1; κ = 0, 1).
Rozpatrzmy przypadek k = 1, n > 1 i funkcjonaÃl zadania wariacyjnego w
postaci
Z t1
G̃(x) =
g̃(x(t), ẋ(t), ..., x(n) (t), t)dt
t0
i wariacjȩ krzywej z parametrem α ∈ R
xo (t) + αδx(t), δx(l) (tκ ) = 0 (l = 0, 1, ..., n − 1; κ = 0, 1).
Przechodzimy do α-parametryzacji funkcjonaÃlu G̃ tj. do funkcji
Z t1
¡ o
˜
g̃(x (t) + αδx(t), ẋo (t) + αδ ẋ(t), ..., xo(n) (t) + αδx(n) (t), t)dt.
G̃(α) =
t0
˜
Zapisujemy warunek konieczny optymalności rzȩdu pierwszego funkcji G̃(α)
˜
dG̃(α)
=0
dα
10
czyli
Z
t1
t0
¡
¢
g̃xo (t)δx(t) + g̃ẋo (t)δ ẋ(t) + ... + g̃x(n) (t)δx(n) (t) dt = 0.
Rt
Do wyrażeń typu t01 g̃xo(l) (t)δx(l) (t)dt stosujemy l-krotnie wzór na caÃlkowanie
przez czȩści z uwzglȩdnieniem zerowania siȩ wariacji krzywej w wiȩzach, co
prowadzi do wyrażenia
Z t1
¢
¡ o
d2
dn
d
(g̃x (t) − g̃ẋo (t) + 2 g̃ẍo (t) + ... + (−1)n n g̃xo(n) (t))δx(t) dt
dt
dt
dt
t0
Uzyskujemy w ten sposób warunek konieczny optymalności pierwszego rzȩdu
dla sÃlabego ekstremum zadania wariacyjnego z pochodnymi wyższych rzȩdów
w postaci równania Eulera-Poissona
g̃xo (t) −
d2
dn
d o
g̃ẋ (t) + 2 g̃ẍo (t) + ... + (−1)n n g̃x(n) o (t) = 0, t ∈ [t0 , t1 ].
dt
dt
dt
Warunki optymalności drugiego rzȩdu przybieraja̧ w tym przypadku postać
g̃xo(n) x(n) (t) ≥ 0 (> 0).
PrzykÃlad 2. Minimalnoenergetyczne sterowanie tarcza̧ obrotowa̧: zminimalizować straty energetyczne
Z
1
G(x, u) =
u2 (t)dt
0
procesu przestawiania tarczy obrotowej opisywanej równaniami stanu
ẋ1 (t) = x2 (t), ẋ2 (t) = bu(t), t ∈ [0, 1],
z warunkami dwugranicznymi
xi (1) = 1, xi (1) = 0 (i = 1, 2),
gdzie x1 (t) oznacza poÃlożenie ka̧towe tarczy, x2 (t) oznacza prȩdkość ka̧towa̧
tarczy, zaś u(t) jest napiȩciem obwodu steruja̧cego silnika.
Przeprowadzamy redukcjȩ problemu zadania wariacyjnego z pochodna̧ drugiego
.
rzȩdu. Wyróżniamy podwektor wektora stanu w postaci x(t) = x1 (t) i z
równań stanu uzyskujemy ẍ = ẋ2 (t) = u(t). Zadanie wariacyjne przyjmuje
postać: zminimalizować funkcjonaÃl określony na krzywej x o postaci
Z 1
G̃(x) =
ẍ2 (t)dt
0
11
z uwzglȩdnieniem wiȩzów krzywej
x(0) = 1, ẋ(0) = 1, x(1) = 0, ẋ(1) = 0.
W tym przypadku g̃ = ẍ2 , g̃x = 0, g̃ẋ = 0, g̃ẍ = 2ẍ i równanie EuleraLagrange’a przybiera postać
d4
d2
g̃
=
0
⇒
2
x(t) = 0.
ẍ
dt2
dt4
Równanie ch-ne różniczkowego równanie E.-L. zapisujemy jako r4 = 0. Posiada
ono czterokrotny pierwiastek zerowy. Rozwia̧zanie równania E.-L. jest postaci
x(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + c3 t3
i
u(t) = 6c3 t + 2c2 .
StaÃle wyznaczamy z wiȩzów krzywej uzyskuja̧c c2 = −5, c3 = 3 i uo (t) =
18t − 10, t ∈ [0, 1]. Warunek optymalności drugiego rzȩdu daje w wyniku
g̃ẍẍ = 2 > 0, a wiȩc wyznaczone rozwia̧zanie jest poszukiwanym minimum.
12