article in PDF format - Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW
4(95)/2013
Aleksandra Waszczuk-Młyńska1, Stanisław Radkowski2
DRGANIA PŁYTY, MODEL ANALITYCZNY I JEGO
WERYFIKACJA ZA POMOCĄ WIBROMETRU LASEROWEGO
1. Wstęp
Problem drgań jest zjawiskiem często występującym w życiu codziennym. Oprócz
częstotliwości z jaką drga dany obiekt, ważną rolę odgrywa identyfikacja postaci drgań.
Dzięki tej wiedzy możemy wykrywać uszkodzenia w badanej strukturze lub sterować
drganiami.
Defekty na powierzchni mogą być wykrywane na podstawie porównania postaci
drgań na przykład za pomocą analizy obrazu [1]. W poniższym artykule skupiono się
nad wykorzystaniem wibrometru laserowego.
Innym ważnym zagadnieniem jest aktywne sterowanie drganiami. Zagadnienia
związane z tą tematyką można znaleźć w literaturze [2, 3, 4]. Również ważną rolę
odgrywa znajomość postaci drgań, czyli położenia węzłów i strzałek (maksymalnych
amplitud). Wiedząc jaki jest rozkład amplitud drgań powierzchni dla określonej
częstotliwości, możliwe jest efektywnie ich tłumienie lub wzmocnienie wybrane
postacie drgań.
2. Stanowisko badawcze
Stanowisko do badań powstało w Zintegrowanym Środowiskowym Laboratorium
Systemów Mechatronicznych Pojazdów i Maszyn Roboczych. Układ pomiarowy,
składa się z: głowicy laserowej, skanującej powierzchnię wiązką lasera oraz jednostki
sterująco-pomiarowej, która pozwala na analizowanie wyników. Obiektem badań była
stalowa blacha podparta przegubowo z dwóch boków i mająca swobodne krawędzie z
pozostałych stron (Rys. 1). Płyta była pobudzana do drgań za pomocą aktywatora
piezoelektrycznego, przymocowanego do obiektu.
mgr inż. Aleksandra Waszczuk-Młyńska, doktorantka, Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
Politechnika Warszawska
2
prof. dr hab. inż. Stanisław Radkowski, Dziekan Wydziału Samochodów i Maszyn Roboczych
Politechnika Warszawska
1
169
Rys.1. Stanowisko do badań w Zintegrowanym Środowiskowym Laboratorium
Systemów Mechatronicznych Pojazdów i Maszyn Roboczych
3. Model analityczny
W tym rozdziale rozpatrywane będą drgania prostokątnej płyty o wymiarach
a = 0,41 m, b = 0,34 m, h = 0,00095 m (Rys. 2). Zatem poszukiwane będzie
rozwiązanie równania :
(1)
170
Rys.2. Badany obiekt
Po rozpisaniu laplasjanu otrzymuje się równanie (2) [5].
(2)
gdzie :
– moduł Younga
– gęstość stali
– współczynnik Poissona
metodę
rozdzielenia
zmiennych
[5]
wyrażenie
podstawia się do równania (2). W efekcie zostaje
uzyskany układ równań :
Stosując
(3)
(4)
gdzie :
.
Warunki brzegowe, które występują w badanym obiekcie są następujące:
– brak przemieszczenia i
momentu zginającego
– brak siły tnącej i momentu
zginającego
Zgodnie z przyjętymi założeniami, funkcje własne w równaniu (4) mają postać:
(5)
gdzie :
171
Wartości te są wynikiem swobodnego podparcia [5], zaś dla warunków
brzegowych o końcach swobodnych poszukiwane jest rozwiązanie równana (6), gdzie
występują oprócz funkcji sinus i cosinus, funkcje hiperboliczne :
,
. Ostatecznie poszukiwane rozwiązanie przyjmuje postać :
(6)
Po zróżniczkowaniu i podstawieniu warunków brzegowych końców swobodnych
powstaje układ czterech równań:
(7)
Z równań otrzymuje się macierz, której wyznacznik przyrównywany jest
zera (8) i otrzymuje się równanie charakterystyczny.
do
(8)
Stąd otrzymuje się równanie częstości rozpatrywanej płyty:
(9)
(10)
Z dalszych obliczeń mamy zależności dla stałych A, B, C, D :
(11)
Podstawiając (11) do równania (6) otrzymuje się:
(12)
172
(13)
Przyjmując:
(14)
Obliczając równanie różniczkowe (3) przy odpowiednich warunkach początkowych
otrzymuje się rozwiązanie :
(15)
Częstość drgań własnych badanej płyty wynosi:
(16)
(17)
Rozwiązanie końcowe otrzymuje formę :
(18)
4. Wibrometr laserowy
Wibrometria laserowa jest nową techniką badań konstrukcji, która pozwala na
przeprowadzenie bezdotykowych pomiarów drgań. Systemy, oferowane obecnie na
rynku, umożliwiają skanowanie powierzchni całych elementów oraz rejestrowanie
drgań w trzech kierunkach.
Wibrometr laserowy jest to urządzenie wykorzystujące efekt Dopplera. Wewnątrz
głowicy lasera znajduje się interferometr oraz układ soczewek. W głowicy następuje
podzielenie wiązki na dwie składowe. Pierwsza, zwana wiązką referencyjną, kierowana
jest bezpośrednio na fotodetektor i przechodzi po drodze przez tzw. celę Bragga i w
wyniku efektu Dopplera jej częstotliwość zostaje przesunięta o 40 MHz. Dzięki temu
jest możliwy pomiar stałej składowej oraz kierunku ruchu badanego obiektu. Druga
część wiązki kierowana jest na badany obiekt, a po odbiciu od niego wraca z powrotem
do głowicy padając następnie na fotodetektor (Rys. 3). Dzięki danym z wiązek
referencyjnej i pomiarowej, generowany jest sygnał, który podlega dalszej analizie [6].
Wibrometr laserowy ma wiele zalet, nad innymi urządzeniami do pomiarów drgań,
takimi jak np. akcelerometry. Wynika to z tego, że wibrometry mogą być skierowane na
obiekty, które są trudno dostępne, zbyt małe lub mają bardzo wysoką temperaturę, aby
173
zamocować na nich klasyczny przetwornik. Ponadto, wibrometry zapewniają
bezstykowy pomiar drgań co wiąże się z uniknięciem montowania dodatkowej masy na
badanej strukturze, co jest szczególnie ważne dla urządzeń w systemach
mikroelektromechanicznych MEMS.
Dzięki wibrometrowi można dokonać analizy drgań konstrukcji zarówno w
dziedzinie czasu, jak i częstotliwości. Dodatkową zaletą jest możliwości wizualizacji i
analizowania zjawisk dynamicznych zachodzących w badanej konstrukcji.
Rys. 3. Wykorzystanie zjawiska Dopplera w wibrometrze laserowym. [6]
5. Eksperyment badawczy
Badanie zostało wykonane na stanowisku pokazanym na rysunku 1. Jednostka
sterująco – pomiarowa wibrometru, wykorzystując wbudowany generator sygnału, za
pośrednictwem aktywatora piezoelektrycznego, pobudziła badaną płytę do drgań
sygnałem białego szumu w zakresie częstotliwościowym 0-500 Hz realizując
równoczesny pomiar odpowiedzi drganiowej głowicą laserową. W efekcie otrzymano
wykres zależności amplitudy w funkcji częstotliwości (Rys. 4). Przedstawione na
rysunku szczyty odpowiadają kolejnym postaciom drgań własnych płyty.
174
Rys. 4. Widmo uzyskane w wyniku doświadczenia
6. Porównanie modeli
Rysunki od 5 do 8 przedstawiają przykładowe postacie drgań dla wybranych
częstotliwości otrzymane z badań eksperymentalnych (strona lewa) i modelu opisanego
równaniem (14) (strona prawa). Oznaczenia: ,
– częstotliwość, gdzie d – wynik
uzyskany doświadczalnie, t – wynik uzyskany analitycznie,
– m, n – numery
postaci drgań w kierunku odpowiednio x i y.
Rys. 5. Częstotliwość
Rys. 6. Częstotliwość
=116,8Hz
175
Rys. 7. Częstotliwość
Rys. 8. Częstotliwość
Rysunki przedstawiające postać drgań płyty otrzymane z doświadczenia są
wynikiem wizualizacji wyliczonej przez wibrometr laserowy, zaś teoretyczne rozkłady
amplitud zostały wykonane w programie MATLAB.
7. Podsumowanie
Wibrometr laserowy jest urządzeniem, które w istotny sposób może ułatwić prace
inżynierskie związane z badaniem i analizą drgań.
Rozwiązanie otrzymane z modelu teoretycznego i w wyniku eksperymentu są
bardzo zbliżone, co potwierdza poprawność przyjętego modelu a zarazem wymaganą
dokładność i rozdzielczość przestrzenną zastosowanej aparatury.
Niewielka rozbieżność wyników może wynikać, między innymi, z nieznajomości
dokładnej gęstości stali i modułu Younga, ponieważ wielkości te wpływają na
sztywność blachy, a tym samym na jej zachowanie dynamiczne.
Doświadczenie wykazało, że wibrometr może dużą rozdzielczością przestrzenną
zarejestrować postacie drgań, co przedstawiono na rysunkach 5-8. Węzły postaci drgań,
czyli miejsca przegięcia sinusoidy, są koloru jasnego zielonego zaś strzałki, czyli
maksymalne lub minimalne amplitudy, na rysunkach są koloru czerwonego lub,
odpowiednio, niebieskiego.
Znajomość położenia strzałek i węzłów umożliwia łatwiejsze sterowanie draniami,
na przykład w celu zmniejszenia amplitud drgań..
Literatura:
[1]
Radziński M., Doliński Ł., Palacz M., Krawczuk M., Lokalizacja uszkodzeń
konstrukcji z wykorzystaniem skaningowego wibrometru laserowego, 2010,
PAK
[2]
Kowal J.: Sterowanie drganiami, 1987, GK ZHP
176
[3]
[4]
[5]
[6]
Gosiewski Z.: Aktywne sterowanie drganiami konstrukcji mechanicznych, 2012,
WNIL
Bajkowski J., Jasiński M., Mączak J., Radkowski S., ZalewskiR.: The active
magnetorheological support as an element of damping of vibrations transferred
from the ground to large-scale structure supports. Key Engineering Materials,
Vol. 518, pp 350-357, 2012.
Kaliski S.: Drgania i fale, 1986, PWN
Materiały informacyjne firmy Polytec GmbH „Measurement Solutions Made
Possible by Laser Vibrometry”
Streszczenie
W artykule przedstawiono metody wyznaczania częstości i postaci drgań.
Podstawowym sposobem do wyznaczenia wibracji jest stworzenie modelu
analitycznego, który, w przypadku płyty, oblicza równanie różniczkowe cząstkowe
czwartego rzędu. Innym, sposobem wyznaczenia drgań jest skanowanie powierzchni
wiązką lasera za pomocą wibrometru laserowego. Porównując otrzymane wyniki dla
obu meto badawczych zauważa się dobrą zbieżność w wartościach częstotliwości (tzn.
częstotliwości uzyskanej metodą analityczną i doświadczalną). Ewentualne rozbieżności
mogą wynikać z braku dokładnej informacji o wartości gęstości i module Younga
stalowej płyty. Niewielki błąd potwierdza wiarygodność wibrometru laserowego jako
użytecznego urządzenia do weryfikacji modelu teoretycznego oraz badania częstości
drgań własnych analizowanego obiektu.
Znajomość częstotliwości i postaci drgań w późniejszym etapie prac będzie
wykorzystana do aktywnego sterowania wibracjami, jak również do wykrywania
defektów na badanej powierzchni.
Słowa kluczowe: Efekt Dopplera, wibrometr laserowy, drgania płyty
PLATE VIBRATIONS: ANALYTICAL MODEL AND
ITS EVALUATION USING LASER VIBROMETER
Abstract
Paper presents methods of determination of natural frequencies and mode shapes.
Basic method is to create analytical model, which, in case of plate, calculates partial
differential equation of forth order. Other method to determine vibrations is to scan
surface of object with laser using laser vibrometer. Comparing results acquired with
both methods one can see good correlation of frequencies (i.e. frequency calculated
from analytical model and determined from experiment). Possible differences can result
from lack of precise information about value of density and Young modulus of steel
plate. Small error confirm reliability of laser vibrometer as a useful tool for verification
of theoretical model and for study of natural frequencies and mode shapes of examined
object.
Knowledge of modal frequencies and mode shapes in later phases of research
works will be used to actively control the vibrations as well as for detection of surface
failures.
Keywords: Doppler effect, laser vibrometer, vibration plate, model validation
177