Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Kartezjański układ współrzędnych:
ex ≡ x ≡i
ey ≡ y ≡j
ez≡ z ≡k
Wersory osi:
r - wektor o współrzędnych [ x 0 , y 0 , z 0 ]
Wektor położenia:
r t=[ x t , y t , z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie.
r t= x t i  y t  jz t  k Złożenie ruchu wzdłuż każdej osi układu współrzędnych.
Wektor przesunięcia:
Po upływie chwili czasu Δt wektor położenia będzie miał współrzędne:
r t t=[ x t t , y t t  , z t t ] , co oznacza że poruszające się ciało przesunęło
się o wektor  r =r t t − r t nazywany wektorem przesunięcia.
Często rozważa się tzw. infinitezymalne przesunięcie, czyli przesunięcie przy Δt → 0.
Stosujemy wtedy zapis: d r =[dx , dy , dz ] a elementarną chwilę czasu oznaczamy dt.
Prędkość:
Zadania.
v t=
d r t 
dt
Przyspieszenie:
a
 t =
d v t 
dt
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
1. Dane są wektory: r1 t=2t i 3t 21 j5 k i r2 t=t 23 i  4t−1 jt 2−t  k .
Oblicz:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
współrzędne i długość tych wektorów w chwili początkowej t = 0,
sumę tych wektorów,
różnicę tych wektorów,
wartość (długość) tych wektorów w chwili t1 = 1 s oraz t2 = 10 s,
iloczyn skalarny tych wektorów w chwili t1 = 1 s oraz t2 = 2 s,
zależność kąta między tymi wektorami od czasu,
kąt między tymi wektorami w 5 s ruchu,
iloczyn skalarny r1 t ⋅i ,
iloczyn skalarny r2 t⋅k .
2. Dane są wektory: r1 t=2ln t1 i 2t 2t−3 j5 e 2t k i
r2 t=lnt 23 i t−4 jet 1 k . Oblicz:
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
współrzędne i długość tych wektorów w chwili początkowej t = 0,
sumę tych wektorów,
różnicę tych wektorów,
wartość (długość) tych wektorów w chwili t1 = 1 s oraz t2 = 10 s,
iloczyn skalarny tych wektorów w chwili t1 = 1 s oraz t2 = 2 s,
zależność kąta między tymi wektorami od czasu,
kąt między tymi wektorami w 5 s ruchu,
iloczyn skalarny r1 t ⋅i ,
iloczyn skalarny r2 t⋅k .
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 1A.
Położenie pewnego ciała opisane jest wektorem: r t=3t i −t 21 jk . Oblicz:
a) r ti ,
b) r t−j ,
c) położenie ciała w chwili t = 0 oraz t = 2 [s].
d) długość początkową wektora r t ,
e) kąt między wektorem r t a osią x w chwili t = 10 [s].
f) kąt między wektorem r t a osią z w dowolnej chwili czasu.
Zadanie 2A.
Przedstaw na wykresach zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla każdej
składowej.
Nazwij ruch ciała wzdłuż każdej osi.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 1B.
Położenie pewnego ciała opisane jest wektorem: r t=t 22 i 2t j−4 k . Oblicz:
a) r ti ,
b) r t−j ,
c) położenie ciała w chwili t = 0 oraz t = 2 [s].
d) długość początkową wektora r t ,
e) kąt między wektorem r t a osią x w chwili t = 10 [s].
f) kąt między wektorem r t a osią z w dowolnej chwili czasu.
Zadanie 2B.
Przedstaw na wykresach zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla każdej
składowej.
Nazwij ruch ciała wzdłuż każdej osi.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 1C.
Położenie pewnego ciała opisane jest wektorem: r t=3−t i t 2−3 j−6 k . Oblicz:
a) r ti ,
b) r t−j ,
c) położenie ciała w chwili t = 0 oraz t = 2 [s].
d) długość początkową wektora r t ,
e) kąt między wektorem r t a osią x w chwili t = 10 [s].
f) kąt między wektorem r t a osią z w dowolnej chwili czasu.
Zadanie 2C.
Przedstaw na wykresach zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla każdej
składowej.
Nazwij ruch ciała wzdłuż każdej osi.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 1D.
Położenie pewnego ciała opisane jest wektorem: r t=3 i −2t 2t  jt k . Oblicz:
a) r ti ,
b) r t−j ,
c) położenie ciała w chwili t = 0 oraz t = 2 [s].
d) długość początkową wektora r t ,
e) kąt między wektorem r t a osią x w chwili t = 10 [s].
f) kąt między wektorem r t a osią z w dowolnej chwili czasu.
Zadanie 2D.
Przedstaw na wykresach zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla każdej
składowej.
Nazwij ruch ciała wzdłuż każdej osi.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 1E.
Położenie pewnego ciała opisane jest wektorem: r t=3t−2 i t 2−2t1 j3 k . Oblicz:
a) r ti ,
b) r t−j ,
c) położenie ciała w chwili t = 0 oraz t = 2 [s].
d) długość początkową wektora r t ,
e) kąt między wektorem r t a osią x w chwili t = 10 [s].
f) kąt między wektorem r t a osią z w dowolnej chwili czasu.
Zadanie 2E.
Przedstaw na wykresach zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla każdej
składowej.
Nazwij ruch ciała wzdłuż każdej osi.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 1F.
Położenie pewnego ciała opisane jest wektorem: r t=−t i t 2t−1 j10 k . Oblicz:
a) r ti ,
b) r t−j ,
c) położenie ciała w chwili t = 0 oraz t = 2 [s].
d) długość początkową wektora r t ,
e) kąt między wektorem r t a osią x w chwili t = 10 [s].
f) kąt między wektorem r t a osią z w dowolnej chwili czasu.
Zadanie 2F.
Przedstaw na wykresach zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla każdej
składowej.
Nazwij ruch ciała wzdłuż każdej osi.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zadanie 3.
Zilustruj na odpowiednich wykresach i podaj interpretację fizyczną dla:
a) ruchu jednostajnego prostoliniowego,
b) ruchu jednostajnie zmiennego,
c) ruchu niejednostajnie zmiennego.
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
3. Kula o masie 1 kg porusza się w przestrzeni z prędkością opisaną równaniem:
2
v t=2t i t −3 j−5t k . Znajdź moment pędu kuli dla ramienia opisanego
wektorem r =i −3 j2 k .
4. Na krążek o promieniu 10 cm działa para sił … . Znajdź moment siły.
5. Elektron poruszający się z prędkością v t=2t i t2 −3 j−5t k wpadł w pole
magnetyczne o indukcji v t=2t i t2 −3 j−5t k . Znajdź zależność siły
Lorenza od czasu i zależność kąta pomiędzy siłą Lorenza a kierunkiem prędkości.
Znajdź zależność kąta pomiędzy prędkością a indukcją pola magnetycznego od czasu.
Pod jakim kątem względem wektora indukcji jest skierowana prędkość elektronu?
6. Piłka o masie 1 kg porusza się w przestrzeni zgodnie z równaniami ruchu:
x t =2t 4
3
y t=3t
z t =2t6
a) zapisz wektor położenia tej piłki,
b) znajdź wektor prędkości tej piłki,
c) znajdź pęd piłki,
d) znajdź moment pędu piłki obracającej się wokół nieruchomej osi opisanej
położeniem ro=2 i 3 j4 k ,
e) znajdź moment pędu piłki obracającej się wokół ruchomej osi opisanej położeniem
ro t=t i 2t j6t1 
k ,
f) znajdź wektor przyspieszenia piłki,
g) znajdź siłę działającą na piłkę,
h) znajdź moment siły powodujący ruch obrotowy piłki wokół nieruchomej osi
opisanej położeniem ro=2 i 3 j4 k ,
i) znajdź moment siły powodujący ruch obrotowy piłki wokół ruchomej osi opisanej
położeniem ro t=t i 2t j6t 1 k .
Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające.
Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.
http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Zajęcia uzupełniające.
Zadanie 1.
Grupy 3-4 osobowe, max.10 grup.
Materiały (dla 1 grupy): patyki drewniane (szaszłykowe) – 3 szt.
patyczki drewniane (wykałaczki) – 4 szt.
plastelina – 2 cm
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Zbudować prawoskrętny prostokątny układ współrzędnych (układ kartezjański).
Nanieść jednostkę na osie układu współrzędnych (co najmniej 6 jednostek).
Pokazać wersory osi.
Zademonstrować położenie wektorów o współrzędnych:
 = [0,3,4],


A = [1,2,3],
C
B = [1,1,1],
 = [1,0,5],

 = [5,3,4].
D
E = [3,2,0],
F
Zapisać te wektory przy pomocy wersorów osi.
Pokazać rzuty prostokątne wybranego wektora na każdą z osi.
Pokazać wynik dodawania dowolnych dwóch wektorów, dowolnych trzech wektorów
oraz wszystkich wektorów.
Pokazać wynik odejmowania dowolnych dwóch wektorów, dowolnych trzech
wektorów oraz wszystkich wektorów.
Obliczyć iloczyn skalarny dowolnej pary wektorów.
Pokazać iloczyn wektorowy dowolnej pary wektorów.
 .
Pokazać wynik iloczynu: A ∙ B ∙ F
 .
Pokazać wynik iloczynu: A× B× F
×D
 ×E
 .
Pokazać wynik iloczynu: C
Obliczyć kąt między dwoma dowolnymi wektorami.
Obliczyć kąt między wektorami z punktu l) i m).