Matura Próbna Podstawowa WSiP marzec 2014

Transkrypt

MATURA 2014 z WSiP
Matematyka
Poziom podstawowy
Materiały pobrane ze strony www.tomaszgrebski.pl
Zasady oceniania zadań
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 2014
Matematyka • Poziom podstawowy
Kartoteka testu
Numer
zadania
2
Uczeń:
Sprawdzana umiejętność
(z numerem standardu)
Sprawdzana czynność
Uczeń:
Maksymalna
liczba
punktów
1
stosuje podany wzór lub przepis
postępowania, wykonuje rutynowe
procedury (1)
oblicza wartość bezwzględną liczby
niewymiernej
1
2
operuje znanymi obiektami
matematycznymi (2)
oblicza różnicę liczby niewymiernej i liczby
do niej przeciwnej
1
3
matematycznymi (2)
oblicza procent, o jaki zmniejszono pole
trapezu po zmianie wymiarów
1
4
stosuje strategię rozwiązania zadania,
która jasno wynika z jego treści (4)
oblicza wartość wyrażenia, w którym
występują potęgi
1
5
stosuje definicję lub twierdzenie
w typowym kontekście (2)
oblicza wartość wyrażenia, w którym
występują logarytmy
1
6
matematycznymi (2)
oblicza miejsce zerowe funkcji liniowej
1
7
matematycznymi (2)
oblicza współczynnik prostej równoległej
do danej prostej
1
8
matematycznymi (2)
podaje zbiór wartości funkcji
1
9
wyznacza wzór funkcji kwadratowej, mając
zbiór wartości i rozwiązanie nierówności
1
10
matematycznymi (2)
podaje liczbę miejsc zerowych funkcji
kwadratowej
1
11
matematycznymi (2)
podaje liczbę pierwiastków wielomianu
1
12
matematycznymi (2)
podaje stopień wielomianu będącego
iloczynem wielomianów
1
13
matematycznymi (2)
oblicza stosunek długości odcinków, na
które wysokość trójkąta dzieli jego bok
1
14
matematycznymi (2)
oblicza wartości funkcji
trygonometrycznych w trójkącie
prostokątnym i wartość wyrażenia
1
15
oblicza pole trapezu wyciętego z trójkąta
1
16
matematycznymi (2)
oblicza długość boku rombu, znając jego
pole i miarę kąta między bokami
1
17
matematycznymi (2)
oblicza długość średnicy okręgu i długość
boku trójkąta wpisanego w okrąg
1
18
matematycznymi (2)
oblicza różnicę ciągu arytmetycznego,
mając dany pierwszy wyraz oraz sumę
kilku początkowych wyrazów
1
19
oblicza pierwszy wyraz ciągu
geometrycznego, mając związki między
innymi wyrazami tego ciągu
1
20
buduje model matematyczny danej
sytuacji przy uwzględnieniu ograniczeń
i zastrzeżeń (3)
oblicza, ile jest czterocyfrowych liczb,
uwzględniając zadane warunki
1
2014
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o.
21
matematycznymi (2)
oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia ze
związku między prawdopodobieństwami
zdarzenia i zdarzenia przeciwnego
1
22
matematycznymi (2)
oblicza objętość walca, znając jego przekrój
1
23
oblicza objętość ostrosłupa na podstawie
jego siatki
1
24
matematycznymi (2)
wyznacza liczbę ujemnych wyrazów ciągu
2
25
matematycznymi (2)
rozwiązuje równanie trzeciego stopnia
2
26
prowadzi rozumowanie składające się
z niewielkiej liczby kroków (5)
uzasadnia, że równanie kwadratowe
spełniające podane warunki ma
rozwiązanie
2
27
matematycznymi (2)
oblicza sinus kąta, jaki prosta tworzy
z osią x
2
28
prowadzi rozumowanie składające się
z niewielkiej liczby kroków (5)
wykazuje związek między polami
trójkątów
2
29
wyznacza równanie okręgu stycznego do
danej prostej
2
30
dobiera model matematyczny do podanej
oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia
sytuacji (np. praktycznej) (3)
2
31
4
32
dobiera model matematyczny do podanej oblicza długość drogi, znając liczbę
sytuacji (np. praktycznej) (3)
obrotów koła i jego wymiary
4
33
oblicza objętość ostrosłupa, znając
kąt między ścianą a podstawą i pole
powierzchni ściany bocznej
5
oblicza sumę wyrazów ciągu danego
wzorem
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych
Numer zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Poprawna odpowiedź
C
D
D
B
B
A
B
C
C
A
Numer zadania
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Poprawna odpowiedź
B
C
B
C
A
C
C
D
D
C
Numer zadania
21
22
23
Poprawna odpowiedź
D
A
A
Za każdą poprawną odpowiedź w zadaniach zamkniętych uczeń otrzymuje 1 punkt.
2014
3
Schemat oceniania pozostałych zadań
Numer
zadania
Rozwiązanie
Zasady punktowania
n2 − 20 < 0 i n ∈ N +
(n − 2 5 )(n + 2 5 ) < 0 i n ∈ N
24
−2 5
+
2 5
n∈ {1, 2, 3, 4}
a1 < 0 , a2 < 0, a3 < 0 , a4 < 0
Cztery wyrazy ciągu są ujemne.
I sposób rozwiązania
( x − 2 ) + x − 8 =0
0
( x − 2 )2 + ( x − 2 ) ( x 2 + 2x + 4 ) =
2
( x − 2 ) ( x − 2 + x + 2x + 4 ) =0
0
( x − 2 ) ( x 2 + 3x + 2 ) =
2
25
3
∆= 9−8= 1
−3 + 1
−3 − 1
= −1
x1 =
= −2, x2 =
2
2
x = −2 lub x = −1, lub x = 2
II sposób rozwiązania
Punktacja
Uczeń otrzymuje 1 punkt,
gdy zapisze nierówność n2 − 20 < 0 i obliczy
pierwiastki trójmianu n2 − 20 : n1 = −2 5 ,
n2 = 2 5 .
Uczeń otrzymuje 2 punkty,
gdy rozwiąże nierówność n2 − 20 < 0 i poda
liczbę ujemnych wyrazów ciągu ( an ) :
Ciąg ( an ) ma cztery wyrazy ujemne.
0–2
gdy przekształci dane równanie do postaci,
z której można odczytać jeden z jego
pierwiastków, np.
0
( x − 2 ) ( x 2 + 3x + 2 ) =
lub
(x
2
)
− 4 ( x + 1) =
0.
gdy rozwiąże dane równanie: x = −2 lub
x = −1, lub x = 2 .
0–2
( x − 2 )2 + x 3 − 8 =0
x2 − 4x + 4 + x3 − 8 =
0
x3 + x2 − 4x − 4 =
0
2
x ( x + 1) − 4 ( x + 1) =
0
(x
2
)
− 4 ( x + 1) =
0
0
( x + 2 )( x + 1)( x − 2 ) =
x = −2 lub x = −1, lub x = 2
4
2014
gdy zapisze wyróżnik trójmianu ax 2 + bx + c
z wykorzystaniem założenia a + b + c =,
0 np.
b =
− (a + c )
.

2
∆= ( a + c ) − 4ac
Założenie: a + b + c =
0
Teza: ∆ ≥ 0
Dowód:
26
0
a + b + c =

2
∆= b − 4ac
b =
− (a + c )

2
∆= ( a + c ) − 4ac
⇓
2
gdy wykaże, że wyróżnik trójmianu
ax 2 + bx + c jest nieujemny przy założeniu,
0
że a + b + c =.
2
∆= a + 2ac + c − 4ac
0–2
⇓
2
∆= a − 2ac + c 2= ( a − c )
⇓
∆≥0
Jeśli wyróżnik trójmianu jest liczbą
nieujemną, to trójmian ma co najmniej
jedno miejsce zerowe.
2
1
gdy zauważy, że tgα = .
2
1
tg α =
2
1
5
.
gdy obliczy sin=
α =
5
5
5
1
α
2
sin=
α
27
1
=
5
5
5
Korzystamy z tożsamości
trygonometrycznych.
0–2
 sinα 1
 cos α = 2
 2
2
1
sin α + cos α =
 

0 < α < 90

cos α = 2sinα
 2
2
1
sin α + ( 2sinα ) =
 

0 < α < 90
sinα =
5
5
2014
5
gdy wyrazi długości odcinków KB i LB
wykorzystując długości odcinków AB i CB.
Założenie:
C
L
A
AB
BK
α
K
= 2 oraz
BC
BL
B
gdy wykaże, że pole trojkąta KBL jest
czterokrotnie mniejsze od pola trojkąta ABC.
=2 2
1
Teza: P∆KBL = P∆ABC
4
Dowód:
28
P∆ABC =
1
AB ⋅ BC ⋅ sinα
2
BK
=
AB
=
2
AB ⋅ 2
=
BL
BC
=
2 2
BC ⋅ 2
P∆KBL=
=
P∆KBL
P=
∆KBL
0–2
2
4
1
BK ⋅ BL ⋅ sinα
2
1 AB 2 ⋅ BC 2
⋅ sinα
2
2⋅4
1 AB ⋅ BC
1
⋅=
sinα
P∆ABC
2
4
4
gdy obliczy długość promienia okręgu
r = 3 2.
y
x
29
gdy zapisze równanie okręgu
18.
( x − 1)2 + ( y + 3 )2 =
0–2
x+ y−4=
0 ⇒
1− 3 − 4
6
= = 3 2
1+1
2
Okrąg styczny ma równanie:
18.
( x − 1)2 + ( y + 3 )2 =
=
r
6
2014
3
1
2
3
4
5
30
4
5
6
12
12
6
6
12
18
24
30
7
8
9
18
24
36
Zdarzeniami elementarnymi są
wszystkie pary ( x , y ) , gdzie
x∈X =
{1, 2, 3, 4, 5},
y ∈Y =
{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
gdy wyznaczy liczbę wszystkich zdarzeń
elementarnych: Ω = 5 ⋅ 7 = 35 lub liczbę
zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A: A = 11 .
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia
11
A: P ( A ) = .
35
Uwaga: Jeżeli uczeń otrzyma P ( A ) > 1,
otrzymuje 0 punktów.
0–2
Ω = 5 ⋅ 7 = 35
=
A
{( x, y ) : x ∈ X , y ∈Y , 6 ( x ⋅ y )}
A = 11
P(=
A)
A 11
=
Ω 35
a1 = −1, a3 = 3, a5 = 7, ... a31 = 59
−1 + 59
a1 + a3 + ... +=
a31
=
⋅ 16 464
2
a2 = 1, a4 = 1, a6 = 1, ..., a32 = 1
a2 + a4 + ... + a32 = 16 ⋅ 1 = 16
a1 + a2 + ... + a32 = 464 + 16 = 480
31
gdy przedstawi rozwiązanie, w którym
postęp jest niewielki, ale konieczny na
drodze do pełnego rozwiązania, czyli
obliczy sumę 16 początkowych wyrazów
ciągu ( an ) o numerach parzystych:
a2 + a4 + ... + a32 = 16 ⋅ 1 = 16 .
gdy przedstawi rozwiązanie, w którym jest
istotny postęp, czyli zauważy, że wartości
wyrażenia 2n − 3 dla n nieparzystych są
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
(bn ) i zapisze, że pierwszy wyraz tego ciągu
równa się –1, a różnica r jest równa 4.
0–4
pokonał zasadnicze trudności, czyli obliczy
Sn – sumę 16 początkowych wyrazów ciągu
(bn ) : Sn = 464 .
gdy przedstawi pełne rozwiązanie, czyli
obliczy sumę 32 początkowych wyrazów
ciągu ( an ) : S =16 + 464 =480.
2014
7
gdy przedstawi rozwiązanie, w którym postęp
jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania, czyli wprowadzi
oznaczenia, np. obwód przedniego koła
l = 2π ⋅ r , obwód tylnego koła L = 2π ⋅ R .
l = 2π ⋅ r
L = 2π ⋅ R
8000 ⋅ 2π=
r 6000 ⋅ 2π R
3
R
4
2πr + 0,6 = 2πR
8r = 6R ⇒ r =
32
3
2π ⋅ R + 0,6 = 2πR
4
1,2
R=
π
1,2
=
s 6000 ⋅ 2π ⋅ = 6000 ⋅ =
2,4 14 400
π
0–4
promień jednego z kół ciągnika, np.
1,2
, lub obliczy obwód jednego
R=
π
z kół ciągnika, np. l = 1,8.
obliczy drogę, którą przejechał ciągnik:
s = 14 400 m = 14,4 km.
L = l + 0,6
8000l = 6000L
8l = 6 ∙ (l + 0,6)
l = 1,8
s = 8000 ∙ 1,8 = 14 400
jest istotny postęp, czyli zapisze zależność
pomiędzy długościami promieni obydwóch
3
kół, np. r = R , lub zapisze zależność
4
między obwodami obydwóch kół, np.
L = l + 0,6.
8
2014
S
H
h
D
C
α
A
33
a
B
a
P=
P=
6
∆ABS
∆BCS
1
a
2
3
⇒ h= a
cos=
α 2=
3
h 4
1
1 2
1
P∆BCS = ah = a ⋅ a = a2 = 6
2
2 3
3
⇓
a=3 2 i h=2 2
⇓ i twierdzenia Pitagorasa
H=
14
2
( )
2
⋅
14
3 14
=
2
jest istotny postęp, czyli zapisze zależność:
3
2
h = a lub a = h .
2
3
długość krawędzi podstawy i wysokość
ściany bocznej ostrosłupa:
a=3 2 i h=2 2 .
0–5
gdy przedstawi pełne rozwiązanie
z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy
rachunkowe).
Uczeń otrzymuje 5 punktów,
obliczy objętość ostrosłupa: V = 3 14 .
1
1
V =Pp H =⋅ 3 2
3
3
gdy przedstawi rozwiązanie, w którym postęp
jest niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania, czyli zapisze zależność
między a i h:
1
a
3
.
cos=
α 2=
h 4
2014
9

Matura Próbna Podstawowa WSiP marzec 2014

Transkrypt

Podobne dokumenty

Matematyka

Upływ czasu - oblicza Pani Marii

rysownik - Związek Harcerstwa Rzeczypospolitej w Kanadzie

Konkurs fotograficzny "Miejsce w którym żyję"

ŚWIATOWY DZIEŃ KSIĄŻKI

Kim jest człowiek ?

załączonym zaproszeniu - Stowarzyszenie Res Carpathica

Oblicza Miasta plakat 2

Katalog wymagań programowych. Procenty, Liczy się matematyka

projektant mody - Związek Harcerstwa Rzeczypospolitej w Kanadzie