Definicje Pochodna w punkcie: f (x0) = |x=x0 = lim Różniczka: df(x

Definicje
df (x)
dx |x=x0
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Pochodna w punkcie:
f 0 (x0 ) =
Różniczka:
df (x) = f 0 (x)dx
Całka nieoznaczona:
R
f (x)dx = F (x) + C, gdzie F 0 (x) = f (x), C = const
Całka oznaczona:
Rb
f (x)dx = F (b) − F (a)
= lim
∆x→0
a
f (x) = f (a) +
Szereg Taylora:
Własności pochodnych
x−a 0
1! f (a)
+
(x−a)2 00
2! f (a)
+ ... +
(x−a)n (n)
(a)
n! f
+ ...
Funkcja
Pochodna
Funkcja
Pochodna
(af )0 = af 0
xn
nxn−1
arc sin x
(f + g)0 = f 0 + g 0
ex
ex
arc cos x
(f g)0 = f 0 g + f g 0
ax
ax ln a
arc tg x
√ 1
1−x2
1
− √1−x
2
1
1+x2
(f gh)0 = f 0 gh + f g 0 h + f gh0
ln x
1
x
arc ctg x
1
− 1+x
2
sin x
cos x
sinh x
cosh x
cos x
− sin x
cosh x
sinh x
tg x
1
cos2 x
tgh x
ctg x
− sin12 x
ctgh x
1
cosh2 x
− sinh12 x
0
f
0
g0
= f g−f
g
g2
df (g(x))
df dg
= dg
dx
dx
f , g, h - funkcje zmiennej x, a - stała
Własności całek
R
R
Całki (z dokładnością do stałej)
R
R
af (x) = a f (x)dx
(f + g)dx =
R
R
f dx + gdx
Podstawianie:
u = g(x), du = g 0 (x)dx
R
R
f g(x) g 0 (x)dx = f (u)du
Przez części:
R
R
f dg = f g − gdf
R f 0 (x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + C
Funkcje trygonometryczne
sin2 x + cos2 x = 1
xn dx =
n+1
ln a
sin xdx = − cos x
R
sinh xdx = cosh x
cos xdx = sin x
R
cosh xdx = sinh x
tgh xdx = ln cosh x
tg xdx = − ln | cos x|
R
R
ctg xdx = ln | sin x|
R
ctgh xdx = ln | sinh x|
R
dx
cos2 x
= tg x
R
R
dx
= − ctg x
sin2 x
1
dx
x
a2 +x2 = a arc tg a
R
dx
= tgh x
cosh2 x
dx
= − ctgh x
sinh2 x
√ dx
= arc sin xa ,
a2 −x2
√ dx
= ar sinh xa
a2 +x2
R
ar tgh xa , |x| < a
dx
a2 −x2
=
R
dx
x2 −a2
= − a1 ar ctgh xa , |x| > a
1
a
Funkcje hiperboliczne
sinh x =
ex −e−x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
ar sinh x = ln(x +
sin x2 =
cos x2 =
2 tg x
1−cos x
2
q
1+cos x
2
2
R
R
√ dx
x2 −a2
a > |x|
= ar cosh xa
Wektory
Iloczyn skalarny
2
ex +e−x
cosh x =
1−tg2 x
q
R
R
sin 2x = 2 sin x cos x
tg 2x =
R x
e dx = ex
R x
x
a dx = a
, n 6= −1
R dx
x = ln |x|
R
R
R
xn+1
√
~a • ~b = ax bx + ay by + az bz
x2 + 1)
√
ar cosh x = ± ln(x + x2 − 1)
~a • ~b = |~a||~b| cos ](~a, ~b)
cosh2 x − sinh2 x = 1
~a × ~b = [ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx ]
Iloczyn wektorowy
|~a × ~b| = |~a||~b| sin ](~a, ~b)