Tablice Całek
Transkrypt
Tablice Całek
Tablice Całek 29 grudnia 2003 roku Spis treści 1 Wzory podstawowe 2 2 Całkowanie funkcji wielomianowych 4 3 Całkowanie funkcji wymiernych 5 4 Całkowanie funkcji niewymiernych 7 5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych 8 6 Całkowanie funkcji wykładniczych 9 7 Całkowanie przez czȩści i podstawienie 1 10 1 Wzory podstawowe 1. R 0dx = C 2. R dx = x + C 3. R xdx = 12 x2 + C 4. R xn dx = 5. R 1 dx x 6. R f 0 (x) dx f (x) 1 xn+1 n+1 + C, dla n 6= −1 = ln |x| + C = ln |f (x)| + C = − x1 + C √ R√ 8. xdx = 23 x x √ R 9. √1x dx = 2 x + C 7. R 1 dx x2 10. R f (x) √ dx = 2 f (x) + C 11. R √ dx 1−x2 12. R sin xdx = − cos x + C 13. R 1 14. R cos xdx = sin x + C 15. R cosh xdx = sinh x + C 16. R 1 dx sin2 x 17. R 1 dx sinh2 x 18. R 1 dx cos2 x 19. R 1 dx cosh2 x 20. R ex dx = ex + C 0 q f (x) 1 sinh x 2 cosh x = arcsin x + C sinh xdx = −2 cosh x + C = = −3 cot x + C = −4 coth x + C = tan x + C = 5 tanh x + C ex −e−x , 2 ex +e−x , 2 jest to sinus hiperboliczy = jest to cosinus hiperboliczy 3 cot x oznacza cotangens 4 cot x = cosh x , jest to cotangens hiperboliczy sinh x 5 tanh x = sinh x , jest to tangens hiperboliczy cosh x 2 mx ln m 21. R mx dx = 22. R ln xdx = x ln x − x + C 23. R √ arctan xdx = x arctan x − ln x2 + 1 + C, dla m > 0 i m 6= 1 3 2 Całkowanie funkcji wielomianowych 1. R 0dx = C 2. R dx = x + C 3. R xdx = 12 x2 + C 4. R (ax + b)dx = a2 x2 + bx + C 5. R xn dx = 6. R (ax + b)n dx = 7. R 1 xn+1 n+1 + C, dla n 6= −1 1 (ax a(n+1) + b)n+1 + C, dla a 6= 0 i n 6= −1 (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 )dx = ... + a21 x2 + a0 x + C 4 an n+1 x n+1 + an−1 n x n + 3 Całkowanie funkcji wymiernych 1. R 1 dx x 2. R 1 dx x2 = − x1 + C 3. R dx 1+x2 = arctan x + C 4. R dx (1+x2 )n 5. R dx 1+(ax+b)2 6. R dx a2 +x2 7. R dx b+(x−a)2 = √1 b 8. R dx a2 −x2 1 2a ln | a+x | + C, dla a > 0 i |x| = 6 0 a−x 9. R 1 dx ax+b 10. R 1 dx (ax+b)2 1 = − a(ax+b) +C 11. R 1 (ax+b)n 1 a(1−n)(ax+b)n−1 12. R Ax+B dx ax+b 13. R = ln |x| + C x 2(n−1)(1+x2 )n−1 = = = = 1 a + 2n−3 2n−2 R dx , (1+x2 )n−1 dla n 6= 1 arctan (ax + b) + C, dla a 6= 0 arctan xa + C, dla a 6= 0 1 a 1 a = = √ + C, dla b > 0 arctan x−a b ln |ax + b| + C, dla a 6= 0 A x a = aB−Ab a2 + + C, dla n 6= 1 ln |ax + b| + C, dla a 6= 0 b dx ax2 +bx+c x+ 2a = q1−∆ arctan q −∆ + C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0 a 4a2 4a2 √ x+ b−2a ∆ √ x+ b+2a ∆ 14. R dx ax2 +bx+c = 15. R dx ax2 +bx+c 1 = − ax+ b + C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0 16. R dx b+x2 17. R Ax+B dx ax2 +bx+c = √1 b √1 ∆ ln | | + C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0 2 arctan √xb + C, dla b > 0 = A 2a ln |ax2 + bx + c| + 2aB−Ab √ a −∆ x+ b 2a arctan q −∆ + C, 4a2 dla a 6= 0 oraz ∆ < 0 √ 18. R Ax+B dx ax2 +bx+c = A 2a √ ln |ax2 + bx + c|+ 2aB−Ab ln | 2a ∆ a 6= 0 oraz ∆ > 0 5 x+ b−2a ∆ √ x+ b+2a ∆ |+C, dla 19. 20. A = 2a ln |ax2 + bx + c| + a 6= 0 oraz ∆ = 0 R R Ax+B dx ax2 +bx+c Ax+B dx (ax2 +bx+c)n 2aB−Ab 1 (− ax+ b 2a A 2aB−bA + n+1 1 2a(1−n)(ax2 +bx+c)n−1 2a ( −∆ )n− 2 = ) + C, dla 2 R dt , (1+t2 )n dla 4a2 b x+ 2a a 6= 0, n 6= 1, ∆ < 0 oraz t = q −∆ 4a2 21. R Ax2 +Bx+C dx ax2 +bx+c bA = B− A x+ 2aa a ln |ax2 + bx + c|+ 2a(C− cA )−(B− bA )b a√ a a −∆ x+ b 2a arctan q −∆ + 4a2 C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0 22. R Ax2 +Bx+C dx ax2 +bx+c bA = B− A x+ 2aa a 2 ln |ax + bx + 2a(C− cA )−(B− bA )b a √ a c|+ 2a ∆ √ ln | C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0 23. Ax2 +Bx+C dx ax2 +bx+c B− bA = Aa x+ 2aa ln |ax2 + bx + c|+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0 R dx (x−a)(x−b)(x−c) 24. = C, dla a 6= b 6= c 1 (a−b)(a−c) 25. R Ax+B dx (x−a)(x−b)(x−c) Ac+B ln |x − c| (c−a)(c−b) Aa+B = (a−b)(a−c) ln |x − a| + + C, dla a 6= b 6= c R x+ b−2a ∆ √ x+ b+2a ∆ 2a(C− cA )−(B− bA )b 1 a a (− ax+ b 2a |+ )+ 2 1 1 ln |x − a|+ (b−a)(b−c) ln |x − b|+ (c−a)(c−b) ln |x − c|+ 6 Ab+B (b−a)(b−c) ln |x − b| + 4 Całkowanie funkcji niewymiernych 1. R√ √ xdx = 23 x x 2. R√ 4. R √ 5. R √ dx 1−x2 6. R √ q 2 ax + bdx = 3a (ax + b) (ax + b), dla a 6= 0 √ R 1 3. √x dx = 2 x + C 1 dx (ax+b) R √ dx a2 −x2 10. R √ 11. R √ dx x2 −1 12. R √ + C, dla a 6= 0 = arcsin x + C dx 1−(ax+b)2 7. √ 2 ax+b a = = 1 a arcsin (ax + b) + C, dla a 6= 0 = arcsin xa + C, dla a > 0 √ R 8. √xdx = ln |x + x2 − a2 | + C, dla a 6= 0 2 −a2 √ R dx 9. √1+x x2 + 1) + C 2 = ln (x + dx 1+(ax+b)2 = 1 a ln ((ax + b) + = ln |x + dx (ax+b)2 −1 = 1 a √ R 14. R 15. R √ dx x2 +bx+c ln |(ax + b) + = ln |x + 12 b + √ √ √ √ dx ax2 +bx+c dx ax2 +bx+c = √1 −a = √1 a (ax + b)2 + 1) + C, dla a 6= 0 x2 − 1| + C, dla |x| > 1 b| > 1 i a 6= 0 13. q arcsin q (ax + b)2 − 1| + C, dla |ax + x2 + bx + c| + C, dla −ax− 2√b−a √ ln | ax + q ∆ −4a b √ 2 a + 6 ∆<0 + C, dla a < 0, oraz ∆ > 0 √ ax2 + bx + c| + C, dla a > 0i∆<0 √ √ √ √ = Aa ax2 + bx + c+ 2aB−Ab ln | ax + 2√b a + ax2 + bx + c|+ 2a a C, dla a > 0 i ∆ < 0 √ √ R −ax− 2√b−a Ax+B A 2aB−Ab 2 √ √ q dx = 17. ax + bx + c + arcsin + 2 a 2a −a ax +bx+c ∆ 16. R √ Ax+B dx ax2 +bx+c −4a C, dla a < 0, oraz ∆ > 0 6∆ = b2 − 4ac oznacza delt równania kwadratowego 7 5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych 1. R sin xdx = − cos x + C 2. R sin (ax + b)dx = − a1 cos (ax + b) + C, dla a 6= 0 3. R cos xdx = sin x + C 4. R cos (ax + b)dx = 5. R 1 dx sin2 x 6. R 1 dx sin2 (ax+b) 7. R 1 dx cos2 x 8. R 1 dx cos2 (ax+b) 9. R sinh xdx = − cosh x + C 10. R sinh (ax + b)dx = − a1 cosh (ax + b) + C, dla a 6= 0 11. R cosh xdx = sinh x + C 12. R cosh (ax + b)dx = 13. R 1 dx cosh2 x 14. R 1 dx cosh2 (ax+b) 15. R 1 dx sinh2 x 16. R 1 dx sinh2 (ax+b) 1 a sin (ax + b) + C, dla a 6= 0 = − cot x + C = − a1 cot (ax + b) + C, dla a 6= 0 = tan x + C = 1 a tan (ax + b) + C, dla a 6= 0 1 a sinh (ax + b) + C, dla a 6= 0 = tanh x + C = 1 a tanh (ax + b) + C, dla a 6= 0 = − coth x + C = − a1 coth (ax + b) + C, dla a 6= 0 8 6 Całkowanie funkcji wykładniczych 1. R ex dx = ex + C 2. R eax+b dx = a1 eax+b + C, dla a 6= 0 3. R mx dx = 4. R max+b dx = mx ln m + C, dla m > 0 i m 6= 1 max+b a ln m + C, dla d > 0, m 6= 1 i a 6= 0 9 7 Całkowanie przez czȩści i podstawienie 1. R ln (ax + b)dx = a1 [(ax+b) ln (ax + b)−(ax+b)]+C, dla a 6= 0 2. R xn ln xdx = 3. R arctan (ax + b)dx = a1 [(ax+b) arctan (ax + b)−ln (ax + b)2 + 1] + C 1 xn+1 n+1 ln x − 1 xn+1 (n+1)2 +C q 10