Konspekt z wykładów (wyk.1,2,3,4)

Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
1. Statyka rozciąganego pręta
W ramach przypomnienia algorytmu metody elementów skończonych (MES), analizie
poddane zostanie zagadnienie rozciągania pręta pryzmatycznego w zakresie sprężystym
(rys.1).
L [m]
q [kN/m]
P [kN]
E [kPa], A [m2]
Rys. 1: Pręt rozciągany - model mechaniczny
Sformułowanie lokalne (mocne), w postaci równania różniczkowego zwyczajnego z
odpowiednimi warunkami brzegowymi typu podstawowego (dla x = 0 ) i naturalnego (dla
x = L ):

d 2u ( x )
= p ( x ) , x ∈ [0 L ]
− AE
dx 2

u ( 0 ) = 0 , AE du ( L ) = P

dx
(1.1)
Powyższe sformułowanie wymaga od nieznanej funkcji przemieszczenia u = u ( x ) "mocnej"
klasy ciągłości C 2 . Dodatkowo równanie różniczkowe obowiązuje w każdym punkcie
obszaru, a nie na całym obszarze. Aby móc zastosować metodę elementów skończonych z
liniową interpolacją w elemencie, wyprowadzone zostanie sformułowanie wariacyjne słabe.
− całkowanie równania w obszarze zadania
L
L
d 2u
− AE ∫ 2 dx = ∫ pdx
dx
0
0
(1.2)
− przemnożenie przez dowolną całkowalną (ciągłą) funkcję testową v = v ( x ) , która
stanowić będzie wariację nieznanej funkcji przemieszczenia v = δ u
L
L
d 2u
− AE ∫ v 2 dx = ∫ vpdx
dx
0
0
(1.3)
− całkowanie przez części dla całki po lewej stronie równania (w celu przeniesienia
pochodnej na funkcję testową)
1
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
L
L
 L dv du
 du  
− AE  − ∫
dx +  v   = ∫ vpdx
 dx dx
 dx  0  0
 0
(1.4)
− rozpisanie członu brzegowego
L
L
dv du
du
du
AE ∫
dx − AE ( L ) v ( L ) + AE ( 0 ) v ( 0 ) = ∫ vpdx
dx dx
dx
dx
0
0
(1.5)
− uwzględnienie naturalnego warunku brzegowego
L
L
dv du
du
AE ∫
dx − Pv ( L ) + ( 0 ) v ( 0 ) = ∫ vpdx
dx dx
dx
0
0
(1.6)
 dv

− ograniczenie funkcji testowej v : v ∈ H 01  ∫ dx < ∞ , v ( 0 ) = 0 
 dx

L
L
dv du
AE ∫
dx = ∫ vpdx + Pv ( L )
dx dx
0
0
(1.7)
Sformułowanie wariacyjne problemu rozciągania pręta: znaleźć funkcję przemieszczeń
u = u ( x ) , u ∈ H 01 , taką, że ∀v ∈ H 01 spełnione jest równanie (1.7), które w postaci ogólnej
można zapisać jako
b ( u, v ) = l ( v )
(1.8)
gdzie: b ( u, v ) - odpowiednia forma biliniowa, l ( v ) - forma liniowa.
W MES zamiast analizować zadanie ciągłe, wprowadza się dyskretyzację - podział obszaru na
elementy skończone w liczbie N (w przypadku 1D - odcinki [ xi xi +1 ] , 1,..., n = N + 1 rys.2). Podział na elementy implikuje także obecność węzłów (n) (zazwyczaj na styku
elementów), oraz stopni swobody ( N ss ) - wartości nieznanej funkcji (lub/i jej pochodnych).
W przypadku analizowanego zadania stopniami swobody są wartości przemieszczenia
poziomego w węzłach Qi , i = 1,..., N ss = n .
Q1
1
1
Q2
2
2
Q3
…
Qn −1
3
…
n-1
N
Qn
n
Rys. 2: Podział obszaru na elementy skończone
Najprostsza liniowa interpolacja MES w elemencie skończonym pozwala na zapisanie
przemieszczenia w elemencie
2
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
u e ( x ) = Q1e N1 ( x ) + Q2e N 2 ( x )
(1.9)
gdzie zastosowanie dwie linowe funkcje kształtu,
N1 ( x1 ) = 1 , N1 ( x2 ) = 0 oraz N 2 ( x1 ) = 0 , N 2 ( x2 ) = 1
N1 ( x)
N1 ( x) ,
N 2 ( x) , o własnościach
N 2 ( x)
1
1
x1
x2
x
el = i
i
i+1
h
Rys. 3: Interpolacja liniowa w elemencie skończonym
Funkcje kształtu można zapisać zarówno w układzie globalnym (x, u)
N1 ( x ) =
x − x2
x − x2
=−
x1 − x2
h
, N2 ( x ) =
x − x1 x − x1
=
x2 − x1
h
(1.10)
jak i w lokalnym ( x e , u e )
N1 ( x e ) = 1 −
xe
h
, N 2 ( xe ) =
xe
h
(1.11)
( h = x2 − x1 - długość elementu) lub w postaci macierzowej
N e ( x ) =  N1 ( x ) N 2 ( x ) 
(1.12)
[1×2]
oraz
ue ( x) = N e ( x)U e
[1×2]
(1.13)
[ 2×1]
gdzie U e = [Q1 Q2 ] .
t
[ 2×1]
W MES funkcja testowa v jest interpolowana najczęściej za pomocą tych samych funkcji
kształtu, co funkcja u
v e ( x ) = N e ( x ) V e = (V e ) ( N e ( x ) )
t
[1×2]
t
(1.14)
[2×1]
gdzie V e = [V1 V2 ] .
t
[ 2×1]
3
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Spełnienie równania (1.7) prowadzi do równania elementowego
x2
AE ∫ (V
)
e t
x1
t
 d e d e e
N U dx =
 N 
 dx
 dx
x2
∫ (V ) ( N )
e t
e t
pdx + P (V e ) ( N e ( L ) )
t
t
(1.15)
x1
które, wobec dowolności funkcji testowej, prowadzi do
t
x
2
d
 d e e
AE ∫  N e 
N U dx =
dx
dx


x1
x2
∫(N )
e t
pdx + P ( N e ( L ) )
t
(1.16)
x1
co stanowi układ równań algebraicznych na nieznane wartości węzłowe U e
K eU e = F e
(1.17)
gdzie:
− elementowa macierz sztywności
K =
e
[ 2×2]
x2
∫ ( B ( x))
e
t
h
(
)
DB e ( x ) dx = ∫ B e ( x e ) DB e ( x e ) dx e
x1
0
t
(1.18)
− elementowy wektor obciążenia
F =
e
[ 2×1]
x2
h
(
)
e
e
e
e
e
∫ ( N ( x ) ) p ( x ) dx = ∫ N ( x ) p ( x + x1 ) dx
t
x1
0
t
(1.19)
− macierz pochodnych funkcji kształtu
 dN ( x )
Be ( x ) =  1
1
×
2
[ ]
 dx
dN 2 ( x ) 

dx 
(1.20)
− macierz konstytutywna (stałych materiałowych)
D e = [ AE ]
(1.21)
[1×1]
Siła skupiona P zostanie uwzględniona na poziomie układu, po agregacji wielkości
elementowych.
Dla rozważanego zadania interpolacji funkcjami liniowymi, elementowa macierz sztywności
wynosi
4
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 1
 − h   −1
e
K = AE ∫   
[ 2×2]
1  h
0 
 h 
h
1
AE  1 −1
dx =

h
h  −1 1 
(1.22)
a wektor obciążenia
 x
1 − h 
e
F = ∫
 p ( x + x1 ) dx
[ 2×1]
x 
0 
 h 
h
(1.23)
Dla obciążenia stałego p = const.
F =
e
[ 2×1]
ph 1
2 1
(1.24)
Dla obciążenia linowo zmiennego o wartościach p1 dla x = x1 i p2 dla x = x2
F =
e
[ 2×1]
h  2 p1 + p2 


6  p1 + 2 p2 
(1.25)
Schemat agregacji globalnej macierzy sztywności
F
[ N ss ×1]
K
[ N ss × N ss ]
i globalnego wektora obciążenia
(z uwzględnieniem obciążenia skupionego P)
F1(1)
K11(1) K12(1)
K
(1)
21
(1)
K 22
+ K11(2)
K
(2)
21
F2(1)
(2)
12
K
+ F1( 2)
(2)
K 22
F2(2)
+ K11(3)
+ F1( 3)
+
P
Rys. 4: Schemat agregacji w MES
L
każdy oraz obciążenia
2
stałego p i siły skupionej P, przyłożonej na swobodnym końcu pręta
Przykładowo, dla dwóch elementów skończonych, o długości h =
5
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 1 −1 0 
2 AE 
K =
−1 2 −1 ,

3
×
3
[ ]
L
 0 −1 1 
1  0 
pL    
F =
2 + 0
[3×1]
4    
1   P 
(1.26)
Układ globalny MES po agregacji
K ⋅ U = F
[ N ss × N ss ] [ N ss ×1]
(1.27)
[ N ss ×1]
pozostaje osobliwy ( det ( K ) = 0 ) do czasu uwzględnienia warunków brzegowych typu
podstawowego (w omawianym zadaniu Q1 = 0 ). Jeżeli warunek jest jednorodny (zadana jest
wartość zerowa), technicznie sprowadza się to do modyfikacji układu (1.27)
( K → K wb , F → F wb )- poprzez wykreślenie (wyzerowanie w obliczeniach komputerowych)
z tego układu wiersza i kolumny, odpowiadających temu warunkowi (zablokowanemu
stopniowi swobody). Przy zerowaniu należy pamiętać o umieszczeniu "1" w wyrazie
przekątniowym zerowanych wiersza i kolumny.
Dla omawianego wyżej przykładu
K
wb
[3×3]
1 0 0
 0  0 
2 AE 
pL    

wb
=
−1 2 −1 , F =
2 + 0
[3×1]
L 
4    
 0 −1 1 
1   P 
(1.28)
Rozwiązanie zmodyfikowanego układu równań pozwala na wyznaczenie poziomych
przemieszczeń węzłowych
U
[ N ss ×1]
→ K wb ⋅ U = F wb
(1.29)
a w dalszej kolejności także reakcji węzłowych
R
[ N ss ×1]
→ R = K ⋅U − F
(1.30)
Aby wyznaczyć funkcję przemieszczeń
u = u ( x ) w dowolnym punkcie każdego z
elementów, należy zastosować wzór (1.9), natomiast do wyznaczenia siły podłużnej s(x)
można wykorzystać następujący wzór
s ( x) =
du ( x )
 dN ( x ) e dN 2 ( x ) e 
= AE ⋅  1
⋅ Q1 +
⋅ Q2 
dx
dx
 dx

(1.31)
Ćwiczenia
− obliczyć przemieszczenia węzłowe dla pręta o długości L, sztywności EA,
obciążonego obciążeniem o intensywności p ( x ) = 10 x . Zastosować dwa elementy
skończone równej długości
6
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
− dla rozciąganego pręta (P = 0, p = const.) o długości L i sztywności EJ,
dyskretyzowanego za pomocą trzech elementów skończonych o równej długości,
pL2
otrzymano przemieszczenia węzłowe U = {0 160.4938 283.9506 333.3333}
.
EA
Obliczyć siłę podłużną w każdym z elementów.
− wyprowadzić wektor obciążenia elementowego dla obciążenia parabolicznego
h
p ( 0 ) = 0 , p   = p0 , p ( h ) = 0 , gdzie h - długość elementu.
2
2. Dynamika pręta - podłużne drgania swobodne
Drgania swobodne (własne) występują wtedy, gdy konstrukcja zostaje wychylona z położenia
równowagi trwałej, a na konstrukcję nie działają żadne siły, poza siłami określającymi
∂ 2u
położenie równowagi (siły bezwładności ρ 2 ) i siłami dążącymi do jej przywrócenia (siły
∂t
2
∂u
sprężystości E 2 ). Przyczyną drgań własnych konstrukcji jest zazwyczaj siła grawitacji.
∂x
Opis matematyczny drgań swobodnych podłużnych dla pręta z rys.1
 ∂ 2u
∂ 2u
ρ
E
−
= 0 , x ∈ [0 L ] , t ∈ [0 T ]
 ∂t 2
∂x 2

u ( 0, t ) = 0 , ∂u ( 0, t ) = 0 , t ∈ [ 0 T ]

∂x
(2.1)
Ponieważ obciążenie dynamiczne jest pomijalne, pominięte zostały warunki początkowe.
Rozwiązania (nietrywialnego) powyższego zadania zazwyczaj szuka się w następującej
postaci
u ( x, t ) = α sin (ωt ) sin ( kx )
gdzie k = ω
ρ
E
(2.2)
. W rozwiązaniu (2.2) warunek podstawowy u ( 0, t ) = 0 jest spełniony a-
priori. Natomiast warunek naturalny
∂u
( 0, t ) = 0 prowadzi do następującego równania
∂x
charakterystycznego
cos ( kL ) = 0
(2.3)
co prowadzi do rozwiązania
kn L =
π
2
( 2n − 1)
, n = 1, 2,3...
(2.4)
7
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
a w dalszej kolejności do częstości kątowych
π
ωn =
2L
E
( 2n − 1)
, n = 1, 2,3...
ρ
(2.5)
i postaci drgań własnych (z dokładnością do stałej)
π 

un ( x ) = β sin ( kn x ) = β sin  ( 2n − 1)
x
2L 

(2.6)
W analizie MES należy skonstruować odpowiednie sformułowanie wariacyjne do równania
(2.1). Będzie ono podobne do (1.7). Różnica będzie polegać na braku obciążenia
zewnętrznego ( p = 0, P = 0 ) oraz obecności dodatkowego członu bezwładnościowego
dv ∂u
∂ 2u
dx + ρ ∫ v 2 dx = 0
∂t
dx ∂x
0
0
L
L
E∫
(2.7)
a po aproksymacji na poziomie elementu skończonego
x2
K u ( t ) + Aρ ∫ ( N
e
e
e
( x))
x1
t
∂ 2 ue ( t )
N ( x)
dx = 0
∂t 2
e
(2.8)
Rozwiązanie MES będzie poszukiwane jako złożenie części przestrzennej (wartości węzłowe
U ) z częścią czasową
ue ( t ) = U e sin (ωt + ψ )
(2.9)
Po podstawieniu (2.9) do (2.8) otrzymamy
K U sin (ωt +ψ ) − ω Aρ sin (ωt +ψ ) U
e
e
2
x2
e
∫ ( N ( x ))
e
t
N e ( x ) dx = 0
(2.10)
x1
lub
(K U
e
e
− ω 2 M eU e ) sin (ωt +ψ ) = 0
(2.11)
gdzie M e - konsystentna (pełna) macierz mas, wynikająca z ciągłego rozkładu masy wzdłuż
elementu
x2
h
(
)
M = Aρ ∫ ( N e ( x ) ) N e ( x ) dx = Aρ ∫ N e ( x e ) N e ( x e ) dx e
e
[ 2×2]
x1
t
0
t
(2.12)
Dla liniowej interpolacji w elemencie skończonym (1.9), macierz M e przyjmuje następującą
postać
8
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
M =
e
[ 2×2]
Aρ h  2 1 
6 1 2 
(2.13)
Po dokonaniu agregacji, równanie (2.11) na poziomie globalnym redukuje się do
uogólnionego algebraicznego problemu własnego (poszukiwanie nietrywialnego rozwiązania
w postaci częstości ωi i postaci drgań własnych U i , i = 1, 2,3,... )
KU = ω 2 MU
(2.14)
Problem ten ma niezerowe rozwiązanie ( U ≠ 0 ), gdy
det ( K − ω 2 M ) = 0
(2.15)
Uogólniony problem własny (2.14) można sprowadzić do postaci standardowej przez
przekształcenie ( det ( M ) ≠ 0 )
M −1 KU = ω 2U
(2.16)
Ze względu na symetrię macierzy mas M oraz macierzy sztywności K, postacie drgań
własnych są ortogonalne
0 , i ≠ j
0 , i ≠ j
U it MU j = 
, U it KU j = 
mk , i = j
kk , i = j
Zamiast konsystentnej macierzy mas
diagonalnej macierzy mas
e
M diag
=
[2×2]
(2.17)
M, można także używać jej prostszej postaci,
Aρ h  1 0 
2 0 1 
(2.18)
wynikającej z punktowego rozkładu masy (w węzłach elementu), podobnie jak w metodach
obliczeniowych mechaniki budowli. Wyniki takiej analizy MES będą mniej dokładne (w
stosunku do rozwiązania analitycznego), ale problem własny (2.14) będzie standardowy.
Podobnie jak to miało miejsce w przypadku obliczeń statycznych, dla dwóch elementów
L
skończonych o równej długości h = każdy, oraz konsystentnej macierzy mas, macierze w
2
problemie własnym (2.14) będą miały postacie (po agregacji)
 1 −1 0 
2 AE 
K =
−1 2 −1 ,

[3×3]
L
 0 −1 1 
2 1 0 
Aρ L 
M =
1 4 1 

[3×3]
12
 0 1 2 
9
(2.19)
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
stąd

 1 −1 0 
 2 1 0   Q1 
ρ
L
 2E 


 
2
 L  −1 2 −1 − ω 12 1 4 1   Q2  = 0

 0 −1 1 
 0 1 2   Q3 

(2.20)
oraz

 1 −1 0 
2 1 0 
 2E 


2 ρL 
det 
−1 2 −1 − ω
1 4 1   = 0


12
 L  0 −1 1 
 0 1 2  



(2.21)
Po uwzględnieniu warunku brzegowego (usunięcie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny)
 2 E  2 −1
ρ L 4 1 
det 
− ω2
=0


12 1 2  
 L  −1 1 
(2.22)
i wprowadzeniu oznaczenia
λ =ω
2
ρ L2
(2.23)
E
otrzymamy
  2 −1
4 1 
det  24 
−λ 

 = 0
1 2 
  −1 1 
(2.24)
−1
4 1 
1  2 −1
a po sprowadzeniu do postaci standardowej ( 
= 
)

7  −1 4 
1 2 
 24  5 −3
1 0 
det  
−
λ

0 1   = 0


 7  −6 5 
(2.25)
Równanie charakterystyczne
2
 120
 10368
−λ −
=0

49
 7

(2.26)
ma dwa rozwiązania
λ1 =
120
10368
120
10368
−
= 2.5967 , λ2 =
+
= 31.6891
7
49
7
49
10
(2.27)
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Stąd częstości drgań własnych wynoszą
ω1 =
2.5967
L
E
ρ
=
1.6114 E
L
ρ
, ω1 =
31.6891 E 5.6293 E
=
L
ρ
L
ρ
(2.28)
Z częstości drgań własnych można wyliczyć częstotliwość f oraz okres drgań własnych T
ω = 2π f =
2π
T
(2.29)
Pierwsza postać drgań własnych Q1 wynika z podstawienia do równania (2.20) ω = ω1 oraz
przyjęcia dodatkowego założenia, co do postaci Q1 , druga postać Q2 dla ω = ω2 .
0

0




Q1 = −0.7444 , Q2 = −1.0771




 −1.0527 
 1.5233 
(2.30)
Im więcej elementów skończonych zostanie przyjętych, tym więcej postaci drgań własnych
(odpowiadających coraz wyższym częstościom) można obliczyć i będą one dokładniejsze.
Obliczenia dla macierzy diagonalnej
1 0 0 
Aρ L 
M =
0 2 0 

[3×3]
4
0 0 1 
(2.31)
prowadzą do następującego standardowego problemu własnego

 1 −1 0 
1 0 0   Q1 
 2E 

 
2 ρL 
 L  −1 2 −1 − ω 4 0 2 0   Q2  = 0

 0 −1 1 
0 0 1   Q3 

(2.32)
który po wprowadzeniu oznaczenia (2.23) oraz uwzględnieniu podstawowego warunku
brzegowego, sprowadza się do następującej postaci warunku istnienia niezerowego
rozwiązania
  8 −4 
1 0  
det  
−λ 

 = 0
−
8
8
0
1





(2.33)
o równaniu charakterystycznym
(8 − λ )
2
− 32 = 0
(2.34)
11
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
które ma rozwiązania
λ1 = 2.3431 , λ2 = 13.6569
(2.35)
Stąd częstości drgań własnych wynoszą
ω1 =
1
1.5307
2.3431 =
kL
kL
1
3.6955
13.6569 =
kL
kL
, ω1 =
(2.36)
a ich postacie
0

0




Q1 = −0.7071 , Q2 = −0.7071




 −1 
 1 
(2.37)
Ćwiczenia
− rozwiązać powyższe zadanie dla jednego elementu skończonego,
− zapisać problem własny dla powyższego zadania, dla trzech elementów skończonych
równej długości.
3. Dynamika pręta - drgania wymuszone
Bardziej ogólne równanie drgań wymuszonych (czynnikiem zewnętrznym innym niż siła
grawitacji) tłumionych ma postać
 Mu
ɺɺ + Cuɺ + Ku = f (t )

u ( t = 0 ) = u0
ɺ
 u ( t = 0 ) = v0
gdzie
-
(3.1)
u = u( x, t ) - odpowiedź układu (przemieszczenie poziome),
f = f (t ) - funkcja obciążenia,
M - macierz mas,
C - macierz tłumienia, na poziomie elementu równa (c – współczynnik tłumienia)
x2
C = Ac ∫ ( N
e
[ 2×2]
-
x1
e
( x))
t
( x ) dx = Ac ∫ ( N e ( x e ) )
h
N
e
t
N e ( x e ) dx e
(3.2)
0
K - macierz sztywności.
Równanie (3.1) to przykład problemu początkowo – brzegowego. Jego analiza numeryczna
wymaga znajomości metod służących do rozwiązywania problemów początkowych (dla
równań zwyczajnych) I i II rzędu. Dla problemu I rzędu
12
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 dy
 = f (t, y )
 dt
 y ( t0 ) = y0

(3.3)
rozwiązania szukamy w postaci dyskretnej (jako zbiór wartości, co ∆t ) wg wzoru ogólnego
y ( t k + ∆t ) = y ( t k ) + ∆y k = y ( t k ) +
tk +∆t
∫ f ( t , y )dt
(3.4)
tk
Poszczególne metody otrzymywania wartości (3.4) różnią się od siebie sposobem obliczania
∆yk czyli całki z funkcji prawej strony na odcinku od tk do tk + ∆t . Możemy je podzielić
na metody jednokrokowe ∆yk = ∆yk ( yk ) i wielokrokowe ∆yk = ∆yk ( yk , yk −1 , yk − 2 ,...) ; na
jawne
(otwarte)
∆yk = ∆yk ( yk , yk −1 , yk − 2 ,...)
i
niejawne
(zamknięte)
∆yk = ∆yk ( yk +1 , yk , yk −1 ,...) ; oraz na stabilne (dla każdego ∆t ), warunkowo stabilne
( ∆t < ∆tkryt ) i niestabilne. W przypadku metod niestabilnych błąd narasta w bardzo szybkim
tempie wraz z każdą nową obliczoną wartością.
Problem początkowy II rzędu
d2 y
dy 

 dt 2 = f  t , y, dt 



 y ( t0 ) = y0
 dy
 ( t0 ) = z0
 dt
(3.5)
należy rozbić na dwa problemy rzędu I (przez podstawienie
dy
= z)
dt
 dy
 dt = z ( t , y ) , y ( t0 ) = y0

 dz = f ( t , y, z ) , z ( t ) = z
0
0
 dt
(3.6)
i następnie numerycznie analizować je wg jednej z metod, obliczając naprzemiennie wartości
funkcji y i z.
W opracowaniu rozważane będą drgania wymuszone nietłumione
 Mu
ɺɺ + Ku = f (t )

u ( t = 0 ) = u0
ɺ
 u ( t = 0 ) = v0
(3.7)
13
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
W obliczeniach zostanie zastosowana metoda Newmarka (metoda jednokrokowa, warunkowo
stabilna, jawna). Jej algorytm jest następujący
ɺɺ0 = M −1 ( f 0 − Ku0 )
dane wielkości początkowe: u0 , v0 = uɺ 0 , a0 = u
wartość przyspieszenia:
1


ak +1 =  M + ∆t 2 K 
2


-
−1
(f
k +1
− K ⋅ ( uk + ∆t ⋅ v k ) )
(3.8)
wartość prędkości:
vk +1 = vk + ∆t ⋅ ak +1
-
(3.9)
wartość przemieszczenia:
1
uk +1 = uk + ∆t ⋅ vk + ∆t 2 ak +1
2
(3.10)
Algorytm Newmarka jest przykładem metody jednokrokowej, otwartej i warunkowo stabilnej.
Warunek stabilności metody wynika z ograniczenia na parametr λ < 1 , który dla równania
(hiperbolicznego) (3.7) jest równy
λ=
∆t 2 E
h2 ρ
(3.11)
Stąd ograniczenie na krok czasowy ∆t w metodzie Newmarka jest następujące
∆t < h
E
(3.12)
ρ
Ćwiczenia
− zastosować algorytm Newmarka do obliczenia postaci drgań pręta o długości L,
sztywności EA i gęstości masy ρ , po t = 0.2 . Przyjąć ∆t = 0.1 , f ( x, t ) = x sin(10t ) , 2
elementy skończone równej długości, diagonalną macierz mas oraz zerowe wartości
startowe przemieszczenia i prędkości.
− powyższe zadanie rozwiązać dla konsystentnej macierzy mas.
4. Interpolacja kwadratowa za pomocą hierarchicznych funkcji kształtu
Liniowa interpolacja w elemencie za pomocą dwóch liniowych funkcji kształtu,
omawiana w rozdziale 1, to oczywiście nie jedyny sposób aproksymacji nieznanej funkcji.
Wyższy rząd funkcji interpolujących można wymusić na kilka sposobów. Pierwszy z nich
wiążę się z wprowadzeniem dodatkowych węzłów w środku elementu i budowy nowych
funkcji kształtu typu Lagrange'a. Przykładowo, dla elementu prętowego o dwóch węzłach
wprowadzenie dodatkowego, trzeciego węzła, pozwoli na zbudowanie interpolacji
kwadratowej za pomocą trzech kwadratowych funkcji kształtu. Wymaga to jednak całkowitej
14
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
przebudowy bazy funkcji kształtu w elemencie, a element pozostaje elementem klasy C 0 ,
jako, że połączenia pomiędzy elementami pozwalają jedynie na zbudowanie takiej właśnie
interpolacji funkcji w obszarze. Klasę ciągłości C 1 można wymusić np. poprzez
wprowadzenie dodatkowych funkcji swobody w istniejących już węzłach elementu i budowę
tzw. funkcji kształtu typu H'ermitte'a. Przykładem takich elementów mogą być elementy
belkowe i ramowe (a także niektóre elementy płytowe), w których to dodatkowe stopnie
swobody mają charakter obrotów - pierwszych pochodnych przemieszczenia. Natomiast w
opracowaniu zostanie zastosowany jeszcze inny sposób podwyższenia rzędu interpolacji w
elemencie - za pomocą tzw. hierarchicznych funkcji kształtu. Technika zakłada zachowanie
dwóch pierwszych liniowych funkcji i dołożenie dodatkowej funkcji kwadratowej, funkcji
pseudo-kształtu, co wynika z faktu, iż nie musi ona spełniać warunków zero-jedynkowych w
węzłach elementu (rys.5).
N 3 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) = x e ( x e − h )
(4.1)
Z funkcją wiąże się dodatkowy matematyczny stopień swobody α 3e , nie mający interpretacji
przemieszczenia podłużnego.
u e ( x ) = N1 ( x) ⋅ Q1e + N 2 ( x) ⋅ Q2e + N 3 ( x) ⋅ α 3e = N e ( x ) U e
[1×3]
(4.2)
[3×1]
Aproksymacja siły podłużnej jest teraz liniowa
 dN ( x ) e dN 2 ( x ) e dN 3 ( x ) e 
s e ( x ) = EA ⋅  1
⋅ Q1 +
⋅ Q2 +
⋅α3 
dx
dx
 dx

N1 ( x)
N3 ( x)
(4.3)
N 2 ( x)
1
1
x1
x2
x
el = i
i
i+1
h
Rys. 5: Interpolacja kwadratowa w elemencie
Zmiany w algorytmie sprowadzają się do większych rozmiarów macierzy ( [3 × 3] ) i wektorów
elementowych ( [1× 3] lub [3 × 1] ). Dla elementowych: macierzy sztywności
15
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 1 
− h 

h 
1
e

  −1 1
K = AE ∫
h
  h h
[3×3]
0


2 x − h 




 1 −1 0 

AE 

2 x − h  dx =
−1 1
0 

h 

1 4
h 
0 0
3 

(4.4)
i wektora obciążeń ( p = const )
 x 


1 − h 


1


h

x
ph 
e


dx =
1
F = p∫


h

[3×1]
2 
0
1 2
 2

h 
−
x
−
xh



3 



(4.5)
Agregacja tych wielkości zależy od sposobu numeracji globalnej stopni swobody. Jeżeli
numerowane są one kolejno (rys.6), to elementy macierz lokalnych należy przegrupować przy
agregacji.
Q1
1
Q3
2
Q5
…
QNss − 2
1
α2
2
α4
3
…
n-1
N
QNss
α Nss −1 n
Rys. 6: Numeracja globalna dla interpolacji kwadratowej
Przykładowo, dla zadania pręta rozciąganego stałym obciążeniem o intensywności p, dla
dwóch elementów skończonych - jednego liniowego i jednego kwadratowego (rys.7), układ
globalny (po agregacji) będzie wyglądał następująco
Q1
1
1
Q2
2
Q4
2
α3
3
Rys. 7: Siatka dwóch elementów o różnych stopniach interpolacji
 1 −1 0
 −1 2
0
AE 

1 4
h 0 0
h
3

 0 −1 0
0
1

Q


1



−1  
2

Q
ph
2
  =
 1 2
0  α 3  2  − h 
 Q 
 3 
1   4 
1

(4.6)
16
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Podobnie można wyprowadzić elementową macierz mas dla interpolacji kwadratowej i
zapisać za jej pomocą uogólniony problem własny.
Ćwiczenia
− wyprowadzić konsystentną macierz mas elementu prętowego dla interpolacji
kwadratowej typu hierarchicznego,
− dla pręta o długości L i sztywności EA, zastosowano dwa elementy skończone o
interpolacji kwadratowej typu hierarchicznego; wyznaczyć przemieszczenia węzłowe
oraz rozkład siły podłużnej w elementach.
5. Estymacja błędu a-posteriori
Jednym z elementów nowoczesnej mechaniki obliczeniowej jest oszacowanie błędu
rozwiązania po jego otrzymaniu (a-posteriori, "po fakcie"). Dla prostych problemów
brzegowych możliwa jest także jego ocena przed otrzymaniem rozwiązania (a-priori, "przed
faktem"), np. na podstawie rzędu aproksymacji p czy modułu siatki h, jednakże sposób ten
ma bardzo ograniczoną stosowalność i podaje zazwyczaj jedną ogólną informację o błędzie,
np. bez wyszczególnienia na poszczególne elementy.
Przy estymacji błędu rozwiązania interesuje nas estymacja błędu ścisłego
esc ( x ) = uh , p ( x ) − usc ( x )
(5.1)
w którym uh , p ( x ) oznacza rozwiązanie numeryczne MES, odpowiadające siatce o module h
i p-temu rzędowi aproksymacji (oczywiście nie muszą one być takie same w całej siatce
elementów), a usc ( x ) - rozwiązanie ścisłe (analityczne rozwiązanie równania
różniczkowego). Rozkład ciągły błędu (5.1) w całym obszarze lub elemencie jest mało
interesujący ze względu na fakt, iż może się on wyraźnie zmieniać od punktu do punktu.
Dlatego też przyjmuje się odpowiednie normy całkowe, podające informację w postaci liczby
o poziomie błędu w całym obszarze lub na wybranym elemencie. Norma ta powinna
korespondować zarówno z rozkładem (5.1) jak i typem sformułowania (1.8), które jest
rozwiązywane numeryczne za pomocą MES. I tak dla liniowego równania różniczkowego
drugiego rzędu funkcji jednej zmiennej (np. (1.1)), norma błędu na podobszarze Ωe może być
liczona jako
1
Ωe
ηe =
∫ b ( e, e ) d Ω
e
1
Ωe
=
Ωe
de de
∫Ω dx dx d Ωe =
e
1
Ωe
2
 de 
∫Ω  dx  d Ωe
e
(5.2)
gdzie Ωe oznacza pole obszaru Ωe . Jeżeli obszar ten jest elementem skończonym, wtedy
norma błędu dla całego obszaru (zwana często wskaźnikiem lub indykatorem błędu), jest
równa sumie norm dla poszczególnych elementów
η = ∑η e = ∑
e
e
1
Ωe
2
 de 
∫Ω  dx  d Ωe
e
(5.3)
17
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Podobnie, dla zadania z pochodnymi cząstkowymi
1
Ωe
η = ∑η e = ∑
e
e
2
2
 de   de 
∫Ω  dx  +  dy  d Ωe
e
(5.4)
We wzorach (5.2) - (5.4), błąd e może być zarówno błędem ścisłym (5.1), jak i jego
oszacowaniem
e( x ) = uh , p ( x ) − uodn ( x )
(5.5)
w którym zastępujemy nieznane rozwiązanie ścisłe rozwiązaniem odniesienia uodn ( x ) ,
które najczęściej stanowi ulepszone rozwiązanie numeryczne, w stosunku do rozwiązania
estymowanego uh , p ( x ) . Poszczególne estymatory błędu różnią się pomiędzy sobą sposobem
budowy takiego rozwiązania, lub - w ogólności - sposobem konstruowania indykatora błędu
η.
W przypadku pierwszej grupy estymatorów hierarchicznych, rozwiązanie odniesienia
pochodzi z lepszej dyskretyzacji lub/i aproksymacji rozwiązania. Wyróżniamy
− estymator hierarchiczny typu h - w którym rozwiązanie odniesienia pochodzi z siatki o
jeden stopień gęstszej uodn ( x ) = uh , p ( x ) ,
2
− estymator hierarchiczny typu p - w którym rozwiązanie odniesienia pochodzi z siatki o
wyższym (zazwyczaj o 1) stopniu aproksymacji uodn ( x ) = uh , p +1 ( x ) ,
− estymator hierarchiczny typu hp,
wymienionych, uodn ( x ) = uh , p +1 ( x ) .
stanowiący połączenie obydwu
powyżej
2
Przykładowo, rozważmy równanie różniczkowe z warunkami podstawowymi
d 2u
= 2 , x ∈ ( 0 2) , u (0) = u ( 2) = 0
dx 2
(5.6)
którego rozwiązaniem ścisłym jest funkcja
u ( x ) = x ( x − 2)
(5.7)
Odpowiednie sformułowanie wariacyjne słabe dla tego równania wymaga znalezienia funkcji
takiej funkcji u ∈ H 01 , że dla każdej funkcji testowej v ∈ H 01 zachodzi
2
2
dv du
dx = 2 ∫ vdx
dx
dx
0
0
−∫
(5.8)
Obszar podzielono na dwa elementy skończone o równej długości h = 1, z liniową
interpolacją. Macierze sztywności elementów wynoszą
18
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
1
 −1
 1 −1
K (1) = K (2) = − ∫   [ −1 1] dx = − 

1 
 −1 1 
0 
(5.9)
natomiast wektory obciążeń
1 − x 
1
= 2∫ 
dx =  

x 
1
0 
1
F
(1)
=F
(2)
(5.10)
Układ równań MES po agregacji
 1 −1 0  u1  1 
−  −1 2 −1 u2  =  2 
 0 −1 1  u3  1 
(5.11)
a po uwzględnieniu warunków brzegowych ( u1 = u3 = 0 )
1 0 0  u1  0 
0 −2 0  u  =  2 

 2  
0 0 1  u3  0 
(5.12)
co prowadzi do rozwiązania
u1  0 
u  =  −1
 2  
u3  0 
(5.13)
Ścisłe indykatory błędu (liczone na podstawie rozwiązania ścisłego (5.7)) wynoszą
− dla elementu 1:
e ( x ) = 0 ⋅ (1 − x ) − 1 ⋅ x − x 2 + 2 x = x 2 − x
1
1
1
3
2
4

η1 = ∫ ( 2 x − 1) dx =  x3 − 2 x 2 + x  =
= 0.57735
10
3
3
0
(5.14)
− dla elementu 2:
e ( x ) = ( −1) ⋅ (1 − x ) + 0 ⋅ x − ( x + 1) + 2 ( x + 1) = x − 1 − x 2 − 2 x − 1 + 2 x + 2 = x 2 − x
2
1
1
1
3
2
4

η2 = ∫ ( 2 x − 1) dx =  x3 − 2 x 2 + x  =
= 0.57735
10
3
3
0
Powyższe całki obliczane są w układach lokalnych elementów.
19
(5.15)
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Równość obydwu wskaźników błędu ścisłego wynika z symetrii zadania. W dalszej
kolejności zostaną one obliczone dla dwóch estymatorów hierarchicznych, typu h i p.
Dla estymatora typu
h
wymagane jest dokonanie nowego podziału obszaru na cztery
1
elementy skończone o długości h = każdy. Układ MES po agregacji ma postać
2
1 
 1 −1 0 0 0  u1 
 2
 −1 2 −1 0 0  u 

  2 1  
− 2  0 − 1 2 − 1 0   u3  =  2 

  4 
 2
 0 0 −1 2 −1 u4 
1 
 0 0 0 −1 1  u5 
(5.16)
a po uwzględnieniu warunków brzegowych ( u1 = u5 = 0 )
1 0 0 0
 0 2 −1 0

−2 0 −1 2 −1

 0 0 −1 2
0 0 0 0
0  u1 
0 
u 
2

0  2 
1 
0   u3  =  2 
  4 
0  u 4 
2
0 
1  u5 
(5.17)
daje on rozwiązanie
u1 
0 
u 
3 
 2
1 
 u3  = −  4 
4 
 
u 4 
3 
u 
0 
 5
(5.18)
które zresztą pokrywa się idealnie (ale tylko w węzłach!) z rozwiązaniem ścisłym (5.7). Jest
to charakterystyczna cecha modeli MES dla równań liniowych (o stałych współczynnikach).
Dlatego też, dla celów estymacji błędu, do znalezienia wartości rozwiązania na siatce rzadkiej
(5.13) oraz siatce gęstszej (5.18), można było się posłużyć od razu wzorem (5.7).
Indykatory błędu (liczone na podstawie estymatora hierarchicznego typu h) wynoszą
− dla elementu 1:

3  1
1


 0 ⋅ (1 − x ) − 1 ⋅ x −  0 ⋅ (1 − 2 x ) − 2 x  = x , x ∈  0

4  2
2



e( x) = 
 0 ⋅ (1 − x ) − 1 ⋅ x −  − 3 ⋅  1 − 2  x − 1   − 1 ⋅ 2  x − 1   = − 1 x + 1







2  
2 
2
2


 4 

20
1 
, x ∈
1
2 
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 12

2
2
1
1  1 
11 1 1
 1

η1 =  ∫   dx + ∫  −  dx  =
 +  = = 0.5
1 0  2 
2
4
2 2 2

1

2


(5.19)
− dla elementu 2:

3  1

 3
 −1 ⋅ (1 − x ) − 0 ⋅ x −  −1⋅ (1 − 2 x ) − 2 x  = x , x ∈ 1

4  2

 2

e( x) = 
 −1 ⋅ (1 − x ) − 0 ⋅ x −  − 3 ⋅ 1 − 2  x − 1   − 0 ⋅ 2  x − 1   = − 1 x + 1







2  
2 
2
2


 4 

3
, x ∈
2
 12

2
2
1
1  1 
11 1 1
1

η2 =  ∫   dx + ∫   dx  =
 +  = = 0.5
1 0  2 
4
2 2 2

12


2


2

(5.20)
Dla estymatora typu p wymagane jest dokonanie interpolacji kwadratowej (4.2) w dwóch
1
elementach skończonych o długości h = każdy. Macierze sztywności elementów wynoszą
2
K (1) = K (2)

 1 −1
−
1

1 
 −1 1 2 x − 1 dx = −  −1 1
= − ∫ 1
]


[
0

 2 x − 1
0 0


0

0
1

3
(5.21)
a wektory obciążeń
F (1) = F (2)
 
1 
 x −1 
1
 


= 2∫  x
 dx = 1 
0 2
 1
 x − x 
− 
 3
(5.22)
Układ MES po agregacji ma postać (numeracja globalna stopni swobody, jak na rys.6)
21
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
1

0

−  −1

0


0
0 −1 0 0 
1 

u1   1 
1

0 0 0   − 
3
 α 2   3 
0 2 0 −1 u3  =  2 
   
1
α
 1
0 0
0   4   − 
u 
3
3
 5   
0 −1 0 1 
1 
(5.23)
a po uwzględnieniu warunków brzegowych ( u1 = u5 = 0 )
1

0

− 0

0


0
0 0 0 0
0 
 1

u


1
1
0 0 0   − 
3
 α 2   3 
0 2 0 0   u3  =  2 
   
1
α
 1
0 0
0   4   − 


3
3
u
 5   
0 0 0 1
0 
(5.24)
otrzymujemy rozwiązanie
u1   0 
α   
 2  1 
u3  =  −1
   
α 4  1 
u   0 
 5
(5.25)
Indykatory błędu (liczone na podstawie estymatora hierarchicznego typu p) wynoszą
− dla elementu 1:
e ( x ) = 0 (1 − x ) − 1 ⋅ x − ( 0 (1 − x ) − 1 ⋅ x + x 2 − x ) = x − x 2
1
1
3
2
η1 = ∫ (1 − 2 x ) dx =
= 0.57735
10
3
(5.26)
− dla elementu 2:
e ( x ) = −1(1 − x ) + 0 ⋅ x − ( −1(1 − x ) + 0 ⋅ x + x 2 − x ) = x − x 2
η2 =
1
1
3
2
(1 − 2 x ) dx = = 0.57735
∫
10
3
(5.27)
22
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Ścisłe oszacowania są efektem tego, iż rząd aproksymacji w elementach (p = 2) jest taki sam,
jak rząd wielomianu opisujący rozwiązanie ścisłe (5.7).
Estymacja hierarchiczna nie jest jedynym sposobem oszacowania błędu rozwiązania.
Znacznie prostszym sposobem jest skorzystanie z residuum równania różniczkowego r ( x ) i
obliczenie na jego podstawie normy całkowej
ηe =
1
Ωe
∫ ( r ( x ))
2
d Ωe
(5.28)
Ωe
Jest to tzw. estymator residualny jawny. Estymator niejawny wymaga rozwiązania
wariacyjnego zagadnienia brzegowego, w którym obciążenie (prawa strona równania
różniczkowego) jest błędem residualnym r ( x )
b ( e, v ) = l ( v )
(5.29)
Po jego rozwiązaniu otrzymamy wyrażenie na błąd rozwiązania e(x), na podstawie którego
należy następnie obliczyć wskaźnik (5.3).
Dla tego samego przykładu, co poprzednio, uproszczone (bez wartości skoków pochodnej na
granicach elementów) residuum r ( x ) wynosi
2−
r ( x) = r =
d 2 uh , p
dx 2
2
=1
(5.30)
a wskaźniki błędu w elementach
η1 = η2 =
1
1
dx = 1
1 ∫0
(5.31)
Zastosowanie wzoru (5.29) dla estymatora residualnego niejawnego prowadzi do układu
równań ME
1
 1 −1 0  e1   2 
 
−  −1 2 −1 e2  = 1 
 0 −1 1  e3   1 
 
2
(5.32)
1
który po uwzględnieniu warunków e1 = e3 = 0 daje rozwiązanie e2 = − .
2
Rozkład błędu
23
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 1
 − 2 x , x ∈ ( 0 1)
e( x) = 
 − 1 (1 − ( x − 1) ) = 1 ( x − 2 ) , x ∈ (1 2 )
 2
2
(5.33)
prowadzi do wskaźników elementowych
1
1 1
η1 = η2 = ∫ dx = 0.5
10 4
(5.34)
6. Zagadnienia 2D
Metoda elementów skończonych w zagadnieniach
szczegółowo na przykładzie ustalonego przepływu ciepła
2D
zostanie omówiona

∂ 2T
∂ 2T
−
k
−
k
= f w Ω
y
 x 2
2
∂
x
∂
y


T = T na ∂ΩT

∂T
−kn
= q na ∂Ω q
∂n

(6.1)
w którym (rys.8):
− T = T ( x, y ) - nieznane pole temperatury (skalarne) [ºC],
−
k x , k y - współczynniki przewodzenia ciepła [W/(m ºC)],
−
f = f ( x, y ) - intensywność generacji ciepła wewnątrz obszaru Ω [W/m2],
−
T - temperatura zadania na krawędzi brzegu ∂ΩT [ºC]
−
q - strumień ciepła (obciążenie) zadany na krawędzi brzegu ∂Ω q [W/m].
qn
Ω
∂Ω q
∂ΩT
Rys. 8: Ustalony przepływ ciepła
24
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Odpowiednie
T =T
sformułowanie
wariacyjne:
Znaleźć
funkcję
T = T ( x, y )
taką,
że
na ∂ΩT oraz
∫ ∇v ( x, y ) D∇T ( x, y ) d Ω = ∫ v ( x, y ) f ( x, y ) d Ω − ∫ v ( x, y ) qd ∂Ω
Ω
Ω
kx
gdzie D = 
0
, ∀v ∈ H 01
(6.2)
∂Ω q
0
.
k y 
Interpolację MES omówimy na przykładzie elementu prostokątnego o wymiarach a×b, o
czterech stopniach swobody (funkcja temperatury T = T ( x, y ) jest funkcją skalarną).
Element ten ma cztery funkcje kształtu, o wzorach (w układzie lokalnym elementu)
 e
( x − a )( y − b )
 N1 ( x, y ) =
ab

−x ( y − b)
 e
 N 2 ( x, y ) =
ab

 N e ( x, y ) = xy
 3
ab

 N 4e ( x, y ) = −( x − a ) y

ab
Zatem interpolacja temperatury w elemencie
(6.3)
T e ( x, y ) = N e ( x, y ) q e =  N1e ( x, y ) N 2e ( x, y ) N 3e ( x, y )
[1×4]
[4×1]
T1e 
 e
T2 
e
N 4 ( x, y )   e 
T3 
T4e 
(6.4)
v1e 
 e
v2 
N 4e ( x, y )   e 
v3 
v4e 
(6.5)
To samo dotyczy funkcji testowej
v e ( x, y ) = N e ( x, y ) v e =  N1e ( x, y ) N 2e ( x, y ) N 3e ( x, y )
[1×4]
[ 4×1]
Po wstawieniu (6.4) i (6.5) do (6.2), otrzymamy równanie dla elementu
∫ ( v ( ∇ N ( x, y ) ) ) D ( ∇ N ( x, y ) q ) d Ω
t
Ωe
=
e
t
e
∫ ( v ( N ( x, y ) ) ) f ( x, y ) d Ω
t
Ωe
e
t
e
−
∫
∂Ωeq
e
=
( v ( N ( x, y )) ) qd ∂Ω
t
t
e
25
e
, ∀v
(6.6)
t
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Ze względu na dowolność wyboru funkcji testowej, ostatecznie otrzymamy
K e q e = F fe + Fqe
(6.7)
gdzie
Ke =
[ 4×4]
F fe =
[ 4×1]
∫ ( B ( x, y ) )
e
t
DB e ( x, y ) d Ωe =
Ωe
∫ ( N ( x, y ) ) f ( x, y ) d Ω
e
∫ ( ∇N ( x, y ) )
e
Ωe
t
, Fqe = −
e
[4×1]
Ωe
t
D∇N e ( x, y ) d Ωe
∫ ( N ( x, y ) ) qd ∂Ω
e
(6.8)
t
(6.9)
e
∂Ωeq
oraz
 ∂N1e ( x, y )

∂x
e
e
B ( x, y ) = ∇ N ( x, y ) =  e
 ∂N1 ( x, y )
[ 2×4]

∂y

=
1 y −b b− y
ab  x − a − x
∂N 2e ( x, y )
∂x
e
∂N 2 ( x, y )
∂y
∂N 3e ( x, y )
∂x
e
∂N 3 ( x, y )
∂y
∂N 4e ( x, y ) 

∂x
=
∂N 4e ( x, y ) 

∂y

(6.10)
y −y 
x a − x 
Macierz (6.8) oraz wektory (6.9) należy zagregować do globalnego układu równań, a
następnie uwzględnić podstawowe warunki brzegowe (zadana temperatura T ) i rozwiązać.
y
2 x 1m
2
1
3
e=2
e=1
1m
T=10 °C
4
q= -12 W/m
5
6
e=4
e=3
x
7
8
9
Rys. 9: Przykładowe zadanie ustalonego przepływu ciepła
26
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Dla obszaru ( k x = k y = 1 ) jak na rys.9, zastosowano dwie dyskretyzacje: za pomocą jednego
elementu prostokątnego o wymiarze 2m x 1m i za pomocą czterech elementów skończonych
o wymiarach 1m x 0.5m każdy. Dla pierwszej z nich otrzymano układ równań MES
10 2 −5 −7  T7  0 

   
1  2 10 −7 −5  T9   −6 
=
12  −5 −7 10 2  T3   −6 

   
 −7 −5 2 10  T1  0 
(6.11)
a jego rozwiązaniu, następujące temperatury węzłowe
T7  10 
T  

 9  =  −14 
T3   −14 
  

T1  10 
(6.12)
Ponieważ funkcje kształtu tego elementu wynoszą

( x − 2 )( y − 1)
 N1 ( x, y ) =
2

− x ( y − 1)

 N 2 ( x, y ) =
2

 N ( x, y ) = xy
 3
2

 N 4 ( x, y ) = −( x − 2) y

2
(6.13)
to interpolacja rozwiązania w elemencie (a także całym obszarze) opisuje się następującym
wzorem
T ( x, y ) = 10 N1 ( x, y ) − 14 N 2 ( x, y ) − 14 N 3 ( x, y ) + 10 N 4 ( x, y ) = 10 − 12 x
(6.14)
Pozwala ona na obliczenie składowych wektora strumienia ciepła w elementach
q e ( x, y ) = − D∇T e ( x, y ) = − D∇N e ( x, y ) q = − DB e ( x, y ) q
[ 2×1]
czyli
27
(6.15)
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe

∂T ( x, y ) 
−k x

∂x  12 
e

q ( x, y ) =
=
∂T ( x, y )  0 

−k y

∂y 

(6.16)
Dla drugiej siatki, temperatury węzłowe wynoszą
T1  10 
  

T2   −2 
T3   −14 
  

T4  10 
T  =  −2 
 5 

T6   −14 
T  10 
 7 

T8   −2 
  

T9   −14 
(6.17)
Możliwa jest zatem ocena błędu rozwiązania (temperatury) za pomocą estymatora
hierarchicznego w "dużym" elemencie skończonym pierwszej siatki.
7. Zadania nieliniowe
Wszystkie powyższe przykłady dotyczyły zadań liniowych, tj. takich, które po
aproksymacji MES prowadziły do liniowych układów równań algebraicznych. Jednakże wiele
zadań mechaniki to zadania nieliniowe, w których nieliniowość wynika np. dużych
deformacji, dużych odkształceń czy też nieliniowych związków fizycznych. W teorii
sprężystości nieliniowe mogą być związki geometryczne (równania różniczkowe łączące pola
przemieszczeń i odkształceń), w teorii plastyczności i w reologii nieliniowe (i często
niejednoznaczne) są związki fizyczne (równania łączące pola odkształceń i naprężeń). W
takich przypadkach zwykła procedura MES jest niewystarczająca. Konieczna jest
odpowiednia linearyzacja równań, a co za tym idzie odpowiednio skonstruowana (z uwagi na
zbieżność) procedura iteracyjna (lub iteracyjno - przyrostowa).
Rozważmy modelowy przykład nieliniowego równania różniczkowego II rzędu
d2y
+ y 2 = 2 , x ∈ ( 0 2) ,
2
dx
y ( 0) = y ( 2) = 0
(7.1)
Odpowiednie sformułowanie wariacyjne słabe dla tego równania wymaga znalezienia funkcji
takiej funkcji u ∈ H 01 , że dla każdej funkcji testowej v ∈ H 01 zachodzi
2
2
2
dv dy
−∫
dx + ∫ vy 2 dx = 2 ∫ vdx
dx dx
0
0
0
(7.2)
28
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
Po aproksymacji MES w elemencie skończonym otrzymamy wyrażenie
h
h
(
t d
t

d
−∫  ( v e )
N e ( x )  N e ( x ) y e dx + ∫ ( v e ) ( N e ( x ) )
dx
 dx
0
0
h
) ( N ( x ) y ) dx =
e
e 2
= 2 ∫ ( v e ) ( N e ( x ) ) dx , ∀v e
(7.3)
t
0
co prowadzi do
K e yke +1 = F e + ( Fye )
(7.4)
k
gdzie
t
h
d
 d e
K = −∫  N e ( x ) 
N ( x ) dx
dx
 dx
0
e
h
F = 2∫ ( N
e
e
( x ) ) dx
t
,
0
(F )
e
y k
h
= −∫ ( N
e
( x ))
t
( N ( x) y )
e
e 2
k
(7.5)
dx
0
W mechanice, w modelu przemieszczeniowym MES, wektor Fye nosi nazwę wektora
obciążenia przemieszczeniowego (jeżeli y(x) jest funkcją przemieszczeń), gdyż jest zależny
od nieznanej funkcji (przemieszczeń). Równanie (7.4) stanowi przykład metody iteracji
prostej, w której następne rozwiązanie yke +1 obliczane jest na podstawie poprzedniego yke .
Potrzebna jest zatem wartość startowa y0e , np. wektor zerowy lub rozwiązanie liniowe,
otrzymywane przy pominięciu członów nieliniowych w (7.1). Kolejne rozwiązania otrzymuje
się tak długo, aż będzie spełniony określony warunek, np. tempo zbieżności
yk +1 − yk
≤ ε dop
yk +1
(7.6)
gdzie ε dop - dopuszczalny poziom błędu rozwiązania (np. ε dop = 10−6 ). Dla trzech elementów
skończonych o równej długości i dla trywialnego rozwiązania startowego y0 = {0 0 0} ,
otrzymamy ten sam układ równań, co dla równania (5.6), czyli (5.11), którego rozwiązaniem
jest y1 = {0 −1 0} .
Dla kolejnej iteracji otrzymamy
2
1
y 1
(F )
1 − x  
= −∫ 
 [1 − x
x  
0 
1
0  
1 − x  2
1 1 
x ]    dx = − ∫ 
x dx = −  

x 
12 3
 −1 
0 
(F )
1 − x  
= −∫ 
 [1 − x
x  
0 
1
 −1 
1 − x 
1 3
2
x ]    dx = − ∫ 
( x − 1) dx = −  

x 
12 1 
0  
0 
2
y 1
1
1
(7.7)
2
29
(7.8)
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
a po agregacji całego układu
 1 −1 0   y1  1 
1 
1  






−  −1 2 −1  y2  =  2  −  6 
12
 0 −1 1   y3  2 1 
1 
co
daje
rozwiązanie
(po
(7.9)
uwzględnieniu
warunków
brzegowych
y1 = y3 = 0 )
3


y2 =  0 −
0  . W podobny sposób otrzymujemy kolejne rozwiązania - każde z nich
4


wymaga ponownego przeliczenia i agregowania wektorów (7.7) oraz (7.8). Po dokonaniu
dwóch iteracji norma błędu rozwiązania wynosi
0  0 
3   
−1 − −1
4   
0  0 
y2 − y1
=
= 0.333
y2
0 
3 
−1
4 
0 
(7.10)
Metoda iteracji prostej, mimo iż nieskomplikowana technicznie, ma jednak podstawową wadę
- jest rzadko zbieżna, a jeżeli już jest zbieżna, to bardzo wolno. Dlatego też znacznie częściej
wykorzystywana jest inna metoda iteracyjna - oparta na algorytmie Newtona-Raphsona, w
n
której występuje styczna (lub pseudo-styczna) macierz sztywności. Dla układu
nieliniowych równań algebraicznych o n niewiadomych postaci
f ( x) = 0
(7.11)
gdzie
f ( x ) = { f1 ( x )
f 2 ( x ) ...
f n ( x )} ,
x = { x1
x2 ... xn }
(7.12)
algorytm metody Newtona - Raphsona wygląda następująco
( )x
∂f x( k )
∂x
( k +1)
=
( )x
∂f x( k )
∂x
(k )
( )
− f x( k )
(7.13)
lub w postaci przyrostowej
( ) ∆x
∂f x( k )
∂x
( k +1)
(7.14)
( )
= − f x( k )
(7.15)
gdzie ∆x( k +1) = x( k +1) − x( k ) . Macierz
30
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
( )
∂f x( k )
∂x
 ∂f1
 ∂x
 1
 ∂f 2

=  ∂x1
 ...

 ∂f n
 ∂x1
∂f1
∂x2
∂f 2
∂x2
...
∂f n
∂x2
∂f1 
∂xn 

∂f 2 
...
∂xn 

... ... 

∂f n 
...
∂xn  ( k )
...
(7.16)
nosi nazwę macierzy stycznej lub macierzy Jacobiego.
Dla rozważanego sformułowania wariacyjnego na poziomie elementu skończonego (7.4),
funkcja f ( y e ) ma postać
f ( y e ) = K e y e − F e − Fye
(7.17)
a macierz styczna wynosi
K Te =
∂
f ( y e ) = K e + K ye
e
∂y
(7.18)
gdzie K ye = K ye ( yke ) to macierz sztywności przemieszczeniowej
h
K = 2 ∫ ( N e ( x ) ) N e ( x ) ⋅ ( N e ( x ) yke ) dx
e
y
t
(7.19)
0
Algorytm Newtona - Raphsona w formie przyrostowej, po agregacji macierzy i wektorów,
wygląda następująco
K T ∆yk +1 = − ( Kyk − F ) + ( Fy
)
(7.20)
k
R
Wektor R można interpretować jako reakcje więzów na przyłożone obciążenie F . Siły
reakcji R są zawsze równe zero dla metod iteracyjnych (dokładniej: jedyne niezerowe
reakcje powstają dla zablokowanych stopni swobody, które i tak są wykreślane z układu
równań), natomiast stają się niezerowe dla metody przyrostowej. Wtedy wektor F zawiera
już "nowe" obciążenie (po dodaniu jego kolejnego przyrostu), a wektor Kyk bazuje na
"starym" rozwiązaniu yk , odpowiadającym "staremu" obciążeniu bez kolejnego przyrostu.
Rozpoczynając obliczenia od wektora zerowego y0 = {0 0 0} , ponownie otrzymamy w
pierwszym kroku iteracyjnym, rozwiązanie liniowe y1 = {0 −1 0} , co wynika z tego, że
dla wektora zerowego, schemat (7.20) upraszcza się do postaci
31
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
K ∆y1 = F
→
y1 = y0 + ∆y1 = ∆y1
(7.21)
W następnej iteracji otrzymamy
1 − x 
K = 2∫ 
[1 − x
x 
0

x ] ⋅  [1 − x

0  
1 1 1
x ]    dx = − 
6 1 3
 −1 
(7.22)
1 − x 
K = 2∫ 
[1 − x
x 
0 

x ] ⋅  [1 − x

 −1 
1 3 1
x ]    dx = − 
6 1 1
0  
(7.23)
1
1
y
1
2
y
a po agregacji
  1 −1 0 
  1 −1 0  0  1  
1 1 0    ∆y1 
1 
1
 


 1  









 −  −1 2 −1 − 6 1 6 1    ∆y2  = −   −1 2 −1  −1 −  2   − 12  6 

  0 −1 1  0  1  
0 1 1    ∆y3  2
1 

   
  0 −1 1 

(7.24)
 −2 
0 
 −2 
czyli
0   ∆y1 
 −7 5
 23 
1
1  



5 −18 5   ∆y2  =  −6 
6
12
 0
 23 
5 −7   ∆y3  2
(7.25)
Układ ten daje rozwiązanie (poprawki brzegowe ∆y1 = ∆y3 = 0 )
 ∆y1 
 y1   y1   ∆y1  0 
0 
0 
0 
 ∆y  = 1 1  →  y  =  y  +  ∆y  =  −1 + 1 1  = 1  −5
 2
 2  2  2   6   6  
6 
 ∆y3  2
 y3  2  y3 1  ∆y3  2 0 
0 
0 
 0 
(7.26)
Po dokonaniu dwóch iteracji norma błędu rozwiązania wynosi
0  0 
1   
−5 − −1
6   
y2 − y1
0  0 
=
= 0.2
y2
0 
1 
−5
6 
0 
(7.27)
W problemach nieliniowych mechaniki (duże przemieszczenia, duże odkształcenia) można
wyróżnić trzy macierze wchodzące w skład macierzy stycznej: omawiane uprzednio macierz
32
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
sztywności
K i macierz sztywności przemieszczeniowej
K y , zależna od przemieszczeń,
oraz macierz sztywności naprężeniowej
K σ , zależna od pochodnych przemieszczeń
(odkształceń), które po przeskalowaniu przez liniowe związki fizyczne stają się naprężeniami.
Przykładem zagadnienia, w którym występuje naprężeniowa macierz sztywności (zwana też
macierzą wstępnych naprężeń), jest klasyczne (bez imperfekcji, z proporcjonalnym
obciążeniem) wyboczenie konstrukcji prętowych.
Rys. 10: Idea metody przyrostowo - iteracyjnej
Na rys.10 przedstawiono ideę metody przyrostowo - iteracyjnej. Stosuje się ją wtedy, gdy
przyłożenie od razu całego obciążenia może spowodować tzw. przeskok rozwiązania lub brak
zbieżności. W metodzie tej całe obciążenie dzieli się na przyrosty, od 1 do n. Po przyłożeniu
pierwszego z nich konstrukcja zostaje wychylona z położenia równowagi R ≠ 0 (czarna
gruba ścieżka - np. zależność przemieszczenie - siła). Dzieje się tak dlatego, że przyrost
przykładany jest liniowo (styczna do krzywej), a tymczasem ścieżka równowagi jest
nieliniowa. Stąd potrzebne są iteracje, aby na nią powrócić. Obciążenie nie zmienia się
( R = 0 ), za to powstają siły residualne, które należy wygasić. Ponieważ jednak obliczanie za
każdym razem (dla każdej poprawki) nowej macierzy stycznej może być kosztowne
(pamiętajmy, iż zależy ona od przemieszczenia), to wprowadzono różne modyfikacje, np.
początkowa metoda Newtona - Raphsona, w której macierz styczna liczona jest tylko raz, dla
pierwszego przyrostu obciążenia (nachylenie stycznej nie zmienia się w czasie procesu).
Obliczenia trwają dłużej (potrzebne jest więcej iteracji), ale macierz styczna generowana (i
odwracana) jest tylko raz. Inną modyfikacją może być wprowadzenie parametru relaksacji α ,
który steruje poziomem "przykładanych" sił residualnych. Po wygaszeniu sił residualnych (z
33
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
zadaną dokładnością) następuje przyłożenie kolejnego przyrostu obciążenia i proces
iteracyjny zaczyna się od nowa.
Przykładanie przyrostów obciążenia (tzw. sterowanie obciążeniem) jest najprostszym, ale nie
jedynym rozwiązaniem. Innym sposobem może być sterowanie przemieszczeniem, lub też
parametrem łuku. Stają się one przydatne dla konstrukcji, w których następuje tzw. przeskok,
czyli nagła zmiana (niejednoznaczność) postaci deformacji (np. krata Misesa).
Przeanalizujemy jeszcze inne zadanie nieliniowe: duże ugięcia belki zginanej, zamocowanej z
przesuwem pionowym z lewej strony, swobodnie podpartej z prawej; o długości L, o znanej
sztywności na zginanie EJ, obciążonej siłą skupioną P na jej lewym końcu (rys.11). Siła nie
zmienia kierunku podczas deformacji.
L
P
1
2
EJ
3’ 3
x
P
2’
1’
xL
y
Rys. 11: Duże ugięcia belki zginanej
Sformułowanie lokalne jest następujące
d2y
dx 2
 dy
M ( x, xL )
 ( 0) = 0
=−
, x ∈ ( 0 xL ) ,  dx
3
EJ
 y ( xL ) = 0
  dy 2  2

1 +   
  dx  
(7.28)
gdzie moment zginający M ( x, xL ) jest równy
M ( x , xL ) = P ( xL − x )
(7.29)
Przy budowie prawej strony równania (moment zginający) należy pamiętać o konieczności
wyodrębnienia dwóch konfiguracji: początkowej (przed deformacją) i aktualnej (po
deformacji). Nie obowiązuje zatem zasada zesztywnienia, a parametr xL (współrzędna końca
belki) jest dodatkową niewiadomą. Można ją wyliczyć np. z warunku na nierozciągliwość osi
belki, tj.
34
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
2
xL
 dy 
1 +   dx = L
 dx 
∫
0
(7.30)
co oznacza, że długość krzywej po deformacji musi być zawsze równa pierwotnej długości
belki L. Można też założyć rozciągliwość osi belki, np. xL = L .
Odpowiednie sformułowanie wariacyjne słabe dla tego równania wymaga znalezienia funkcji
takiej funkcji u ∈ H 01 , że dla każdej funkcji testowej v ∈ H 01 zachodzi
3
xL
dv dy
P
−∫
dx = −
dx dx
EJ
0
  dy  2  2
v
∫0 1 +  dx   ( xL − x ) dx


xL
(7.31)
Po aproksymacji MES, na poziomie elementu skończonego otrzymamy równanie
t
h
P
d e
 d e
e
∫0  dx N ( x )  dx N ( x ) y dx = EJ
∫ ( N ( x ) ) (1 + ( N ( x ) y ) ) ( x
h
e
t
e
3
e 2 2
L
− x ) dx
(7.32)
0
które stanowi podstawę metody iteracji prostej. Po agregacji otrzymamy
Kyk +1 = ( Fy
gdzie ( Fy
)
k
)
(7.33)
k
zależy od poprzedniego rozwiązania yk +1 oraz od poprzedniej długości ( xL )k .
dy
= 0 i xL = L ), lub
dx
rozwiązanie zerowe, które prowadzi również do rozwiązania liniowego w pierwszym kroku
iteracji.
Przyjmijmy jeden element skończony o interpolacji kwadratowej typu hierarchicznego, z
funkcjami kształtu
Jako wartości startowe można od razu przyjąć rozwiązanie liniowe (dla
 x
N e ( x ) = 1 −
 L
x
L

x ( x − L )

(7.34)
co prowadzi do następującego układu równań dla rozwiązania liniowego
1 0

1
L4
0
L
3
 −1 0

−1
  y1 
PL2
0  α 2  =

12 EJ
 y3 1

1
4 


2 
 − L2 
(7.35)
który, po uwzględnieniu warunku brzegowego y3 = 0, daje rozwiązanie
35
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
 y1 
α  = PL
 2  12 EJ
 y3 1
 4 L2 


6 
0 


(7.36)
Interpolacja przemieszczenia w elemencie (i w całym obszarze) wyraża się wzorem
ye ( x ) = N e ( x ) ye =
PL
12 EJ
 x
1 − L
x
L
 4 L2 


x ( x − L )  0 


6 
(7.37)
a jego pierwsza pochodna
d e
d e
PL
y ( x) =
N ( x ) ye =
dx
dx
12 EJ
 1
 − L
1
L
 4 L2 


2 x − L  0 


6 
(7.38)
Nowa współrzędna xL może wynikać z warunku nierozciągliwości (7.30), czyli
xL
∫
0

 1
1 +  −
 L

2
1
L
 4 L2  

 PL 
2x − L
0

  dx = L
 12 EJ 

6  
(7.39)
Powyższa całka musi być obliczana numerycznie, a równanie nieliniowe rozwiązywane
iteracyjnie. Po wyznaczeniu xL , należy wyznaczyć wektory obciążenia ( Fy ) w równaniu
1
(7.33).
Ćwiczenia
− sformułować schematy MES metody iteracji prostej oraz metody Newtona - Raphsona
dla nieliniowego równania różniczkowego postaci
d 2 y dy
−
y = x , x ∈ ( −1 1) ,
dx 2 dx
y ( −1) = y (1) = 0
przyjąć dwa elementy skończone równej długości z liniową interpolacją; wykonać po
dwa kroki iteracyjne każdym z tych schematów; oszacować błąd rozwiązania po
drugim kroku; jako rozwiązanie startowe przyjąć wektor zerowy,
− rozwiązać powyższe zadanie dla dwóch elementów skończonych, ale o kwadratowej
interpolacji typu hierarchicznego,
− znaleźć ugięcia belki o długości L, sztywności na zginanie EJ, swobodnie podpartej,
obciążonej obciążeniem ciągłym o intensywności q; przyjąć teorię dużych
36
Sławomir Milewski
maj-czerwiec, 2014
Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe
przemieszczeń oraz siatkę złożoną z dwóch elementów skończonych równej długości
o liniowej interpolacji; wykonać dwie iteracje za pomocą metody Newtona Raphsona. Przy obliczeniach numerycznych posłużyć się programem Matlab.
37