Modele Markov-Functional – przegląd wybranych

Transkrypt

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Robert Pysiak
Nr albumu: 234577
Modele Markov-Functional –
przegląd wybranych własności
i zastosowanie do wyceny
wybranych instrumentów
pochodnych
Praca magisterska
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
dra Mariusza Baryło
Styczeń 2012
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora pracy
Streszczenie
W pracy omówiono pewne podstawowe własności uogólnionego modelu Vasička oraz modeli
rynkowych. Poruszono również problem niezgodności modeli rynkowych BGM i Jamshidiana,
ilustrując go na przykładzie n = 2 okresów depozytowych. Następnie przedstawiono alternatywny sposób modelowania stóp procentowych, zwany modelowaniem Markov-Functional
(M-F). W tym podejściu postuluje się, że stopy rynkowe są funkcjami pewnego procesu
Markowa. Pokazano różne metody kalibracji modelu M-F do danych rynkowych. Ponadto
zaprezentowano metodę modelowania M-F stopy LIBOR w mierze spot oraz opisano model
M-F ceny aktywa. Poruszono też kwestię wyboru procesu Markowa definiującego model M-F.
Słowa kluczowe
modele Markov-Functional, modele stopy procentowej, uogólniony model Vasička, model
BGM, model Jamshidiana, procesy Markowa
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
91 Game theory, economics, social and behavioral sciences
91G Mathematical finance
91G30 Interest rates (stochastic models)
Tytuł pracy w języku angielskim
Markov-Functional Models – an overview of chosen properties and application in valuation
of some derivatives
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Podstawowe pojęcia z teorii procesów stochastycznych
1.1. Całka stochastyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Nawias skośny i wariacja kwadratowa . . . . . . . . . . . .
1.3. Wzór Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Stochastyczne równania różniczkowe . . . . . . . . . . . .
1.5. Twierdzenie Girsanowa, zamiana miary . . . . . . . . . .
1.6. Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
7
7
10
11
12
13
14
2. Podstawy matematyki finansowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Stopy procentowe i podstawowe instrumenty finansowe . . . . . . . . . . . . .
2.2. Miary martyngałowe i zamiana numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
21
3. Modele stopy procentowej . . . .
3.1. Miara forward i miara swapowa
3.2. Uogólniony model Vasička . . .
3.3. Modele rynkowe . . . . . . . . .
3.4. Niezgodność modeli rynkowych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
26
32
35
. .
. .
. .
N
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
40
45
50
52
56
62
5. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4. Modele Markov-Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Wyznaczenie funkcjonału N na podstawie cen rynkowych
4.2. Modelowanie stóp rynkowych w mierze PTn . . . . . . . .
4.3. Kalibracja modelu dla parametrycznej postaci funkcjonału
4.4. Modelowanie stopy LIBOR w mierze spot . . . . . . . . .
4.5. Modelowanie ceny aktywa metodą Markov-Functional . .
4.6. Wybór zmienności procesu kierującego . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
Wstęp
Niedoskonałości wielu istniejących modeli stopy procentowej wciąż skłaniają matematyków
do poszukiwania modelu spełniającego podstawowe założenia niezbędne w praktyce rynkowej
(m.in. brak arbitrażu, możliwość jak najlepszego dopasowania do danych rynkowych oraz
możliwość efektywnej implementacji). Stosunkowo nową grupę modeli stanowią tzw. modele
Markov-Functional (M-F), w których postuluje się, że obserwowane na rynku stopy procentowe są funkcjami pewnego procesu Markowa o niewielkim wymiarze. Taki sposób modelowania został zaproponowany w roku 2000 przez P. Hunta, J. Kennedy i A. Pelssera w [HKP]
(por. też [HK], [Pels]) oraz niezależnie przez P. Ballanda i L. Hugstona w [BH]. Następnie ta
tematyka była rozwijana przez C. Friesa i M. Rotta (por. [FR], [F1], [F2]).
Celem niniejszej pracy jest przedstawienie modeli Markov-Functional, a także poprawienie
i uzupełnienie niektórych wyników zawartych w cytowanych źródłach. Większość rozumowań
opiera się na monografii [HK] i artykułach [F2], [FR] (por. też [F1]). W pracy położony jest
nacisk na teoretyczne aspekty omawianych modeli. Szczegóły dotyczące implementacji modelu M-F można znaleźć w [F1], s. 400-401, 403-408 i [Pels], s. 115-117. Przykładowe wyceny
i porównanie z innymi modelami znajdują się m.in. w [Pels], s. 121-129 i [BK].
Praca składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym wprowadzony jest niezbędny
aparat analizy stochastycznej używany w dalszych częściach pracy. Rozdział drugi zawiera
podstawowe definicje i twierdzenia matematyki finansowej.
W rozdziale trzecim przedstawione są niektóre znane modele stopy procentowej (uogólniony model Vasička oraz modele rynkowe BGM i Jamshidiana). Opisany jest także problem
niezgodności modeli rynkowych wraz z ilustracją dla n = 2 okresów depozytowych (stanowiącą wynik własny autora pracy).
Rozdział czwarty zawiera opis modeli Markov-Functional (w tym modeli LIBOR M-F i
swap M-F) oraz metody kalibracji do danych rynkowych. Oprócz tego przedstawiony jest
sposób modelowania stóp LIBOR w tzw. mierze spot, a także model M-F ceny aktywa. Ponadto omówiona jest kwestia wyboru procesu Markowa definiującego model M-F.
W Dodatku (rozdział 5) zawarte są pomocnicze obliczenia wykorzystywane w pracy, a
także pewne twierdzenia mówiące o związkach między lognormalnością rozkładów stóp LIBOR (lub stóp swapowych) a odpowiednimi wzorami Blacka.
5
Rozdział 1
Podstawowe pojęcia z teorii
procesów stochastycznych
Na początku przypomnimy najważniejsze dla matematyki finansowej narzędzia teorii procesów stochastycznych, które będą używane w pracy, m.in. konstrukcję całki stochastycznej
Itô, wzór Itô, twierdzenie Girsanowa i opis procesów Markowa. Definicje i twierdzenia znajdujące się w tym rozdziale można znaleźć w [L], [JPRS], [HK], [KS] i [RY].
Zakładamy, że (Ω, F, P) jest zupełną przestrzenią probabilistyczną (tzn. dowolny podzbiór
zbioru miary zero w tej przestrzeni jest mierzalny), 0 < T < ∞ oraz F = (Ft )t∈[0,T ] jest filtracją spełniającą zwykłe warunki. Ponadto zakładamy, że W jest procesem Wienera względem filtracji F (tzn. W jest adaptowany do F oraz dla dowolnych 0 ¬ s < t zmienna losowa
Wt − Ws jest niezależna od Fs ).
W pracy będziemy oznaczać przez g i Φ odpowiednio gęstość i dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego. O ile nie zostanie powiedziane inaczej, symbol E będzie oznaczał
wartość oczekiwaną w mierze P. Wartość oczekiwaną w dowolnej innej mierze probabilistycznej Q będziemy oznaczać (wskazując tę miarę w indeksie dolnym) symbolem EQ .
1.1. Całka stochastyczna
Opiszemy konstrukcję całki stochastycznej Itô względem procesu Wienera. Podobnie jak w
przypadku całki Lebesgue’a, całkę stochastyczną określa się najpierw dla najprostszych procesów stochastycznych (tzw. procesów elementarnych), a następnie uogólnia się definicję na
przypadek bardziej skomplikowanych procesów.
Definicja 1.1. Proces X = (Xt )t∈[0,T ] nazywamy procesem elementarnym, jeśli X jest postaci
Xt (ω) = ξ0 (ω)1
1{0} (t) +
n−1
X
ξk (ω)1
1(tk ,tk+1 ] (t), t ∈ [0, T ], ω ∈ Ω,
k=0
gdzie 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , a ξk są ograniczonymi Ftk -mierzalnymi zmiennymi
losowymi. Rodzinę procesów elementarnych oznaczamy przez E.
Uwaga 1.1. E jest przestrzenią liniową.
Definicja 1.2. Dla X ∈ E definiujemy całkę Itô
Z
I(X) =
T
Xs dWs
0
7
wzorem
I(X) :=
n−1
X
ξk (Wtk+1 − Wtk ).
k=0
Całkę
Rt
u
Xs dWs dla 0 < u < t < T określamy następująco:
Z
t
T
Z
11(u,t] (s)Xs dWs .
Xs dWs =
u
0
(1.1)
Definicja nie zależy od reprezentacji X ∈ E.
Stwierdzenie 1.1. Jeśli X ∈ E, to proces It (X) := 0t Xs dWs jest martyngałem względem F
o średniej zero i ciągłych trajektoriach. Ponadto I0 (X) = 0 oraz
R
Z
2
E(I(X)) = E
tzn.
Z
E
!2
T
Xs dWs
0
Z
=E
0
T
T
0
Xs2 ds
Xs2 ds,
Z
T
Z
=
Ω
0
!
Xs2 ds
dP.
(1.2)
Wzór (1.2) oznacza, że przekształcenie I = IT ,
I
L2 ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ F, λ ⊗ P) ←- E −→ L2 (Ω, F, P),
gdzie λ jest miarą Lebesgue’a, jest izometrią. To pozwala rozszerzyć całkę Itô na domknięcie
przestrzeni E w L2 ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ F, λ ⊗ P). Rozszerzenie to konstruujemy w sposób
następujący: jeśli proces X ∈ E jest granicą w L2 ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ F, λ ⊗ P) ciągu
procesów (X n ) z przestrzeni E, to (X n ) jest ciągiem Cauchy’ego. Ponieważ I jest izometrią,
więc ciąg (I(X n )) jest ciągiem Cauchy’ego w L2 (Ω, F, P). Z zupełności tej przestrzeni wynika,
że istnieje granica limn I(X n ) w L2 (Ω, F, P), którą przyjmujemy jako definicję całki Itô z
procesu X względem procesu Wienera na przedziale [0, T ] i oznaczamy znowu przez I(X).
Całkę Itô na przedziale zawartym w [0, T ] definiujemy wzorem (1.1).
Definicja 1.3.
(i) σ-ciałem zbiorów prognozowalnych P nazywamy σ-ciało podzbiorów [0, T ] × Ω generowane przez zbiory postaci F {0} × A oraz (s, t] × A dla s < t ¬ T, A ∈ Fs .
(ii) Proces X = (Xt )t∈[0,T ] nazywamy prognozowalnym, jeśli funkcja (t, ω) 7→ Xt (ω) : [0, T ]×
Ω → R jest mierzalna względem P.
(iii) Proces X nazywamy mierzalnym, jeśli funkcja (t, ω) 7→ Xt (ω) : [0, T ] × Ω → R jest
mierzalna względem B([0, T ]) ⊗ FT .
Okazuje się, że E = L2 ([0, T ] × Ω, P, λ ⊗ P). Ponadto
można pokazać, że jeśli X jest
R
procesem mierzalnym, F-adaptowanym i takim, że E 0T Xs2 ds < ∞, to istnieje proces prognozowalny Y taki,
że Xt (ω) = Yt (ω) dla (λ ⊗ P)-p.w. (t, ω) ∈ [0, T ]. Dzięki temu możemy
Rt
określić It (X) = 0 Xs dWs dla procesów X ∈ ΛT , gdzie
(
ΛT :=
Z
X = (Xt )t∈[0,T ] mierzalny i adaptowany : E
8
0
T
)
Xs2 ds
<∞ .
Twierdzenie 1.1. Jeśli X ∈ ΛT , to proces (It (X))t∈[0,T ] jest martyngałem względem F
posiadającym modyfikację ciągłą.
Dlatego, rozważając całkę Itô, mamy zawsze na myśli jej ciągłą modyfikację.
Okazuje się, że klasę procesów całkowalnych można jeszcze rozszerzyć. Oznaczmy
(
PT :=
T
Z
X = (Xt )t∈[0,T ] mierzalny i adaptowany : P
)
Xs2 ds < ∞ = 1 .
0
(1.3)
Definicja 1.4. Jeśli X = (Xt )t∈T jest procesem stochastycznym, a τ momentem zatrzymania,
to X τ = (Xtτ )t∈T – proces X zatrzymany w chwili τ definiujemy wzorem
Xtτ := Xt∧τ .
Stwierdzenie 1.2. Dla X ∈ PT określmy
t
Z
τn (ω) := inf t ∈ [0, T ] :
0
Xs2 (ω)ds n ∧ T ∧ n, n ∈ Z+ .
Wówczas (τn ) jest rosnącym ciągiem momentów zatrzymania,
τn % T R p.n. oraz 11[0,τn ] X =
R·
(1
1[0,τn ] (t)Xt )t∈[0,T ] ∈ ΛT . Ponadto dla m n procesy 0 11[0,τn ] Xs dWs i ( 0· 11[0,τm ] Xs dWs )τn są
nieodróżnialne, tzn.
P ∀t∈[0,T ]
Z
0
t
τn ∧t
Z
11[0,τn ] Xs dWs =
11[0,τm ] Xs dWs = 1.
0
Pozwala to określić całkę Itô dla X ∈ PT :
Z
t
Z
Xs dWs =
It (X) =
0
0
t
Z
11[0,τn ] Xs dWs =
0
t
Xsτn dWs
dla 0 ¬ t ¬ τn .
Innymi słowy, całka Itô to taki proces (Mt )t∈[0,T ] = ( 0t Xs dWs )t∈[0,T ] , że Mtτn =
R τn ∧t
R
Xs dWs = 0t 11[0,τn ] Xs dWs dla n ∈ Z+ . Na mocy powyższego stwierdzenia definicja
0
ta jest poprawna. Ponadto całka jest martyngałem lokalnym (τn jest ciągiem lokalizującym)
posiadającym ciągłą modyfikację, jest przekształceniem liniowym, ale nie jest już izometrią.
R
Definicja 1.5. Proces Z = (Zt )t∈[0,T ] o ciągłych trajektoriach nazywamy procesem Itô, jeśli
dla t ∈ [0, T ] zachodzi równość
Z
Zt = Z0 +
t
Z
as ds +
t
bs dWs
p.n.
(1.4)
Rt
|as |ds < ∞) = 1 dla t < T
0
0
gdzie a jest procesem mierzalnym i adaptowanym takim, że P(
oraz b ∈ PT .
0
Równość (1.4) zapisujemy w postaci tzw. różniczki stochastycznej:
dZt = at dt + bt dWt .
Proces a nazywamy współczynnikiem dryfu lub dryfem procesu Z, a proces b – współczynnikiem dyfuzji procesu Z.
Rt
Rt
Rt
Rt
Przedstawienie
(1.4)
jest
jednoznaczne:
jeśli
a
ds
+
b
dW
=
ã
ds
+
s
s
s
s
0
0
0
0 b̃s dWs p.n., to
R·
R·
0 (bs − b̃s )dWs = 0 (ãs − as )ds jest ciągłym martyngałem lokalnym startującym z zera, o
wahaniu ograniczonym na [0, t] dla t < T , zatem jest stale równy 0.
9
Definicja 1.6. Całkę Itô względem procesu Itô (1.4) określamy wzorem
t
Z
t
Z
t
Z
bs Xs dWs ,
as Xs ds +
Xs dZs =
0
0
0
o ile całki po prawej stronie powyższej równości istnieją.
Na koniec tego podrozdziału przypomnimy pewne proste własności całek stochastycznych
z funkcji deterministycznych.
Stwierdzenie 1.3. Niech h będzie funkcją deterministyczną. Wówczas
(a) jeśli h ∈ L2 ([0, T ]), to całka
RT
0
h(s)dWs ma rozkład normalny N 0,
RT
0
h2 (s)ds
(b) jeśli h ∈ C 1 ([0, T ]), to
Z
T
h(s)dWs = h(T )WT −
Z
T
h0 (s)Ws ds.
0
0
1.2. Nawias skośny i wariacja kwadratowa
Twierdzenie 1.2 (Rozkład Dooba-Meyera). Jeśli M = (Mt )t∈[0,T ] jest ciągłym martyngałem
takim, że supt EMt2 < ∞ (względnie: ciągłym martyngałem lokalnym), to istnieje dokładnie
jeden proces hM i = (hM it )t∈[0,T ] o trajektoriach ciągłych i niemalejących taki, że hM i0 = 0
oraz proces (Mt2 − hM it )t∈[0,T ] jest martyngałem (względnie: martyngałem lokalnym).
Definicja 1.7.
(i) Proces hM i z powyższego twierdzenia nazywamy nawiasem skośnym martyngału (martyngału lokalnego) M .
(ii) Wzajemnym nawiasem skośnym dwóch ciągłych martyngałów lokalnych M i N nazywamy proces hM, N i określony wzorem
hM, N i =
1
(hM + N i − hM − N i) .
4
Uwaga 1.2.
(a) Jeśli W jest procesem Wienera, to (Wt2 − t) jest martyngałem, zatem hW it = t.
(b) Dla ciągłego martyngału lokalnego M mamy hM, M i = hM i.
Definicja 1.8. Jeśli istnieje proces Z = (Zt )t∈[0,T ] taki, że
∀t∈[0,T ]
kn
X
i=1
(n)
(Xt(n) − Xt(n) )2 −−−→ Zt
P
i
i−1
(n)
n→∞
(n)
(n)
(n)
dla dowolnego ciągu πn = (t0 , . . . , tkn ) podziałów odcinka [0, t], 0 = t0 < t1 < . . . < tkn =
t, takiego że diam πn → 0, to Z nazywamy wariacją kwadratową procesu X na przedziale [0, T ]
i oznaczamy przez [X].
10
Twierdzenie 1.3. Jeśli X jest procesem Itô,
t
Z
t
Z
bs dWs
as ds +
Xt = X0 +
p.n.,
0
0
to istnieje jego wariacja kwadratowa oraz [X]t =
Rt
2
0 bs ds
(równoważnie: d[X]t = b2t dt).
Definicja 1.9. Wzajemną wariacją kwadratową dwóch procesów Itô X i Y nazywamy proces
[X, Y ] określony wzorem
1
[X, Y ] = ([X + Y ] − [X − Y ]) .
4
Uwaga 1.3.
Jeśli X i Y są procesami
Itô, Xt = X0 + 0t as ds + 0t bs dWs p.n., Yt = Y0 +
Rt
Rt
Rt
0 αs ds + 0 βs dWs p.n., to [X, Y ]t = 0 bs βs ds (równoważnie: d[X, Y ]t = bt βt dt).
R
R
Twierdzenie 1.4. Jeśli M, N są ciągłymi martyngałami lokalnymi, to dla każdego t zachodzi
[M ]t = hM it oraz [M, N ]t = hM, N it .
1.3. Wzór Itô
Wzór Itô pokazuje, że klasa procesów Itô jest zamknięta ze względu na funkcje gładkie i
podaje wzór na różniczkę stochastyczną df (x). Przez C 1,2 będziemy oznaczać klasę funkcji
mających ciągłą pochodną względem pierwszej zmiennej i ciągłą drugą pochodną względem
drugiej zmiennej.
Twierdzenie 1.5 (Lemat Itô). Niech Z = (Zt )t∈[0,T ] będzie procesem Itô,
t
Z
Z
t
bs dWs
as ds +
Zt = Z0 +
p.n.
0
0
i niech f (t, x) : R+ × R → R będzie funkcją klasy C 1,2 . Wówczas (f (t, Zt ))t∈[0,T ] też jest
procesem Itô oraz dla każdego t ∈ [0, T ] zachodzi wzór:
t
0
∂f
(s, Zs )ds +
∂x
Z
t
Z
f (t, Zt ) = f (0, Z0 ) +
Z
0
t
∂f
1
(s, Zs )dZs +
∂x
2
Z
0
t
∂2f
(s, Zs )d[Z]s
∂x2
p.n. (1.5)
lub równoważnie,
f (t, Zt ) = f (0, Z0 ) +
0
t ∂f
∂f
(s, Zs )ds +
(s, Zs )as ds +
∂s
0 ∂x
Z
Z t
1 t ∂2f
∂f
2
+
(s,
Z
)b
ds
+
(s, Zs )bs dWs
s s
2 0 ∂x2
0 ∂x
Z
p.n. (1.6)
Całka stochastyczna występująca we wzorze (1.6) jest martyngałem lokalnym, a jeśli
b ∈ ΛT i pochodna ∂f
∂x jest ograniczona, to całka ta jest ponadto martyngałem.
Często używa się postaci różniczkowej wzoru Itô:
df (t, Zt ) =
lub
∂f
∂f
1 ∂2f
(t, Zt )dt +
(t, Zt )dZt +
(t, Zt )d[Z]t
∂t
∂x
2 ∂x2
"
#
∂f
1 ∂2f
∂f
∂f
df (t, Zt ) =
(t, Zt ) +
(t, Zt )at +
(t, Zt )b2t dt +
(t, Zt )bt dWt .
∂t
∂x
2 ∂x2
∂x
11
W przypadku, gdy funkcja f nie zależy od czasu, tzn. f ∈ C 2 (R), wzór Itô redukuje się do
postaci:
1
df (Zt ) = f 0 (Zt )dZt + f 00 (Zt )d[Z]t ,
2
a przyjmując, że dZt = at dt (tzn. [Z] ≡ 0) otrzymujemy znany wzór na różniczkowanie funkcji
złożonej:
df (Zt ) = f 0 (Zt )dZt = f 0 (Zt )at dt.
Wzór Itô można uogólnić na przypadek wielowymiarowy.
Twierdzenie 1.6. Niech f (t, x) : R+ × Rn → R będzie funkcją klasy C 1,2 i niech
Z = (Z 1 , . . . , Z n ), gdzie Z i są procesami Itô dla i = 1, . . . , n. Wówczas (f (t, Zt ))t∈[0,T ] jest
procesem Itô oraz dla każdego t ∈ [0, T ] zachodzi wzór:
Z
f (t, Zt ) = f (0, Z0 )+
0
t
n
X
∂f
ds+
∂s
i=1
t
Z
0
n
X
∂f
i 1
(s, Zs )dZs +
∂xi
2 i,j=1
Z
t
0
∂2f
(s, Zs )d[Z i , Z j ]s p.n.
∂xi ∂xj
Po zastosowaniu dwuwymiarowego wzoru Itô do funkcji f (x, y) = xy otrzymujemy wzór
na całkowanie przez części.
Twierdzenie 1.7. Jeśli X, Y są procesami Itô, to
Z
t
t
Z
Ys dXs + [X, Y ]t
Xs dYs +
Xt Yt = X0 Y0 +
p.n.
0
0
1.4. Stochastyczne równania różniczkowe
Definicja 1.10. Mamy dane funkcje a, b : [0, T ]×Rn → R oraz F0 -mierzalną zmienną losową
ξ. Proces X = (Xt )t∈[0,T ] nazywamy rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego
dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt ,
X0 = ξ,
(1.7)
jeśli jest ciągły, F − adaptowany oraz dla każdego t ∈ [0, T ] zachodzi
Z
Xt = ξ +
t
Z
0
t
b(s, Xs )dWs
a(s, Xs )ds +
p.n.
0
Okazuje się, że dla dostatecznie regularnych funkcji a, b równanie (1.7) ma jednoznaczne
rozwiązanie.
Twierdzenie 1.8. Załóżmy, że współczynniki a, b : [0, T ]×R → R stochastycznego równania
różniczkowego (1.7) spełniają:
(i) warunek Lipschitza względem zmiennej przestrzennej: dla dowolnych x, y ∈ R i dowolnego t ∈ [0, T ]
|a(t, x) − a(t, y)|2 + |b(t, x) − b(t, y)|2 ¬ K|x − y|2
(ii) warunek liniowego wzrostu: dla dowolnego x ∈ R i dowolnego t ∈ [0, T ]
|a(t, x)|2 + |b(t, x)|2 ¬ K(1 + |x|2 ),
12
gdzie K jest pewną stałą. Wówczas istnieje rozwiązanie równania (1.7). Ponadto jest ono
jedyne w sensie nieodróżnialności procesów, tzn. jeśli X, Y są dwoma rozwiązaniami równania
(1.7), to
P Xt = Yt ∀t∈[0,T ] = 1.
Jeśli dodatkowo ξ ∈ L2 (P), to supt∈[0,T ] E|Xt |2 < ∞.
Stwierdzenie 1.4. Jeśli funkcje a, b : R+ → R są mierzalne i ograniczone, to równanie:
dXt = a(t)Xt dt + b(t)Xt dWt
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest ono zadane wzorem:
Z
Z t
t
b(s)dWs +
Xt = X0 exp
0
0
1
a(s) − b2 (s) ds
2
Stwierdzenie 1.5 (Eksponenta stochastyczna). Jeśli proces γ ∈ Pt , to równanie
dZt = γt Zt dWt ,
Z0 = 1
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest ono zadane wzorem:
Z
t
γs dWs −
Zt = exp
0
1
2
t
Z
0
1
γs2 ds = exp Mt − hM it ,
2
(1.8)
gdzie Mt = 0t γs dWs . Ponadto Z jest nieujemnym martyngałem lokalnym (a zatem jest
nadmartyngałem).
R
1.5. Twierdzenie Girsanowa, zamiana miary
Definicja 1.11. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Miarę probabilistyczną
Q nazywamy równoważną mierze P na (Ω, F) (co oznaczamy P ∼ Q), jeśli P, Q mają te same
zbiory miary zero, tzn.
∀A∈F P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0.
Twierdzenie 1.9. Jeśli miary probabilistyczne P i Q są równoważne na (Ω, F), to istnieje
gęstość
jednej miary względem drugiej (tzw. gęstość Radona-Nikodýma): % = dQ
dP , tzn. Q(A) =
R
%dP
dla
dowolnego
A
∈
F,
oraz
%
jest
dodatnią
zmienną
losową
mierzalną
względem F.
A
1
dP
Ponadto mamy dQ = % .
Twierdzenie 1.10.
(i) Niech (Ft ) będzie filtracją generowaną przez proces Wienera: Ft = FtW oraz niech P ∼ Q
na (Ω, FT ). Wówczas istnieje proces γ ∈ PT taki, że
dQ
%T :=
= exp
dP
Z
T
0
1
γs dWs −
2
Z
0
T
!
γs2 ds
.
(ii) Załóżmy, że proces % ma postać
Z
%t = exp
0
t
1
γs dWs −
2
Z
0
t
γs2 ds
dla
pewnego γ ∈ PT i niech miara Q będzie określona wzorem: dQ = %T dP (tzn. Q(A) =
R
A %T dP dla A ∈ FT ). Wówczas miara Q jest równoważna mierze P wtedy i tylko wtedy,
gdy EP %T = 1.
13
Uwaga 1.4. Ponieważ % jest nadmartyngałem, więc warunek EP %T = 1 jest równoważny
temu, że % jest martyngałem.
Często stosowanym kryterium dostatecznym, zapewniającym zachodzenie powyższego
warunku jest tzw. kryterium Nowikowa.
Twierdzenie 1.11 (kryterium Nowikowa). Jeśli
1
exp
2
T
Z
EP
0
γu2 du
!
< ∞,
to EP %T = 1.
Twierdzenie 1.12 (Girsanowa). Niech T < ∞ i niech Q będzie miarą probabilistyczną
równoważną P na (Ω, FT ) taką, że
dQ
= %T = exp
dP
T
Z
0
1
γs dWs −
2
Z
T
0
!
γs2 ds
dla pewnego γ ∈ PT . Jeśli W = (Wt )t∈[0,T ] jest procesem Wienera na przestrzeni probabilistyf zdefiniowany wzorem
cznej (Ω, F, P) względem filtracji F, to proces W
ft = Wt −
W
Z
0
t
γs ds ∀t∈[0,T ]
jest procesem Wienera na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q) względem filtracji F.
Wniosek 1.1. Przy założeniach twierdzenia Girsanowa dynamikę procesu Itô (1.4) można
zapisać w postaci
ft ,
dZt = (at + bt γt )dt + bt dW
zatem współczynnik dyfuzji nie zmienia się przy zmianie miary probabilistycznej na
równoważną.
1.6. Procesy Markowa
Na koniec tego rozdziału przypomnimy podstawowe pojęcia związane z procesami Markowa.
Zakładamy, że (Ω, F, P) jest przestrzenią probabilistyczną, T ⊆ R oraz (E, B) jest przestrzenią
mierzalną, taką że wszystkie zbiory jednoelementowe są mierzalne, tzn. ∀x∈E {x} ∈ B. Ponadto dla procesu X = (Xt )t∈T określamy σ-ciała:
FtX = σ(Xs : s ¬ t; s, t ∈ T ),
X
Ft
= σ(Xs : s t; s, t ∈ T )
i wprowadzamy oznaczenia:
E(Y |Z) = E(Y |σ(Z)),
E(Y |Z1 , . . . , Zn ) = E(Y |σ(Z1 , . . . , Zn )),
P(A|G) = E(1
1A |G),
gdzie Y jest całkowalną zmienną losową, Z, Zi – zmiennymi losowymi o wartościach w E;
A ∈ F oraz G ⊆ F jest σ-ciałem.
Intuicyjnie mówiąc, proces Markowa to taki proces, którego przyszłość zależy od
przeszłości jedynie poprzez stan teraźniejszy. Innymi słowy, w danej chwili t, do prognozowania przyszłości procesu X nie jest potrzebna wiedza o całej przeszłości – wystarczy
znajomość obecnego stanu Xt . Tę intuicję precyzuje poniższa definicja.
14
Definicja 1.12. Proces stochastyczny X = (Xt )t∈T o wartościach w (E, B) nazywamy procesem Markowa i mówimy, że X ma własność Markowa, jeśli dla dowolnych t ∈ T , A ∈ FtX ,
X zachodzi:
B ∈ Ft
P(A ∩ B|Xt ) = P(A|Xt ) · P(B|Xt ) p.n.
Istnieje wiele równoważnych sformułowań własności Markowa. Mówi o tym poniższe
twierdzenie.
Twierdzenie 1.13. Następujące warunki są równoważne:
1. X jest procesem Markowa.
X -mierzalnej zmiennej losowej ξ, F X -mierzalnej zmiennej
2. Dla dowolnych t ∈ T , Ft
t
losowej η, takich że ξ, η, ξη ∈ L1 zachodzi
E(ξη|Xt ) = E(ξ|Xt ) · E(η|Xt )
p.n.
X -mierzalnej, całkowalnej zmiennej losowej ξ zachodzi
3. Dla każdego t ∈ T i dowolnej Ft
E(ξ|FtX ) = E(ξ|Xt )
p.n.
X zachodzi
4. Dla dowolnych t ∈ T , A ∈ Ft
P(A|FtX ) = P(A|Xt )
p.n.
5. Dla dowolnych t, s ∈ T , t < s i dowolnego Γ ∈ B zachodzi
P(Xs ∈ Γ|FtX ) = P(Xs ∈ Γ|Xt )
p.n.
6. Dla dowolnych t, s ∈ T , t < s i dowolnej borelowskiej funkcji f : E → R takiej, że
f (Xs ) ∈ L1 zachodzi
E(f (Xs )|FtX ) = E(f (Xs )|Xt ) p.n.
7. Dla dowolnych t, s ∈ T , t < s, dowolnego Γ ∈ B i dowolnych n ∈ N, s1 < s2 < . . . <
sn = t zachodzi
P(Xs ∈ Γ|Xs1 , . . . , Xsn ) = P(Xs ∈ Γ|Xt ) p.n.
W dalszej części pracy będziemy używać przede wszystkim charakteryzacji 6. Użyjemy
jej do zdefiniowania procesu Markowa względem dowolnie ustalonej filtracji.
Definicja 1.13. Mówimy, że X = (Xt )t∈T jest procesem Markowa względem filtracji (Ft )t∈T ,
jeśli jest adaptowany do (Ft )t∈T oraz dla dowolnej funkcji mierzalnej i ograniczonej f i dowolnych t, s ∈ T , t < s zachodzi warunek
E(f (Xs )|Ft ) = E(f (Xs )|Xt ).
Przywołajmy pewne twierdzenie z rachunku prawdopodobieństwa, które pozwoli nam
zdefiniować warunkową wartość oczekiwaną i prawdopodobieństwo warunkowe pod warunkiem zdarzenia {Z = z} (nawet jeśli jego prawdopodobieństwo jest równe zero).
Twierdzenie 1.14. Niech Y będzie całkowalną zmienną losową, Z – zmienną losową o wartościach w E. Wówczas istnieje funkcja borelowska h : E → R taka, że:
E(Y |Z) = h(Z).
15
Definicja 1.14.
1. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem {Z = z}, oznaczaną przez E(Y |Z = z), nazywamy liczbę h(z), gdzie h jest funkcją otrzymaną w
powyższym twierdzeniu.
2. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A ∈ F pod warunkiem {Z = z}, oznaczanym przez P(A|Z = z), nazywamy liczbę E(1
1A |Z = z).
Zdefiniujemy teraz dwa ważne pojęcia w teorii procesów Markowa – funkcję przejścia i
gęstość przejścia.
Definicja 1.15. Rodzinę funkcji (Ps,t (x, Γ))s,t∈T ,s¬t , Ps,t (x, Γ) : (E × B) → R nazywamy
rodziną funkcji przejścia dla procesu Markowa X względem (Ft ), jeżeli spełnione są następujące warunki:
(1) ∀s¬t, s,t∈T ∀x∈E Ps,t (x, ·) jest miarą probabilistyczną na (E, B);
(2) ∀s¬t, s,t∈T ∀Γ∈B Ps,t (·, Γ) : (E, B) → (R, B(R)) jest funkcją mierzalną;
(3) ∀s∈T ∀x∈E Ps,s (x, ·) = δx ;
(4) ∀s¬t, s,t∈T ∀Γ∈B P(Xt ∈ Γ|Xs ) = Ps,t (Xs , Γ) p.n.
Warunek (4) można zapisać jako:
Ps,t (x, Γ) = P(Xt ∈ Γ|Xs = x).
Definicja 1.16. Niech (E, B)
=
(Rd , B(Rd )). Jeśli istnieje rodzina
(ps,t (x, y))s,t∈T , s<t , ps,t : (E × E, B ⊗ B) → (R, B(R)), mierzalnych i takich że
∀s,t∈T ,s<t ∀x∈E ∀Γ∈B Ps,t (x, Γ) =
funkcji
Z
ps,t (x, y)dy,
Γ
to ps,t nazywamy gęstością przejścia dla procesu Markowa X.
Gęstość przejścia musi spełniać warunek:
∀s,t∈T , s<t ∀x,y∈E ps,t (x, y) 0 oraz
Z
ps,t (x, y)dy = 1
E
(ps,t (x, ·) jest gęstością prawdopodobieństwa).
W dalszej części pracy będziemy korzystać z następującego faktu.
Fakt 1.1. Jeśli X jest procesem Markowa z rodziną funkcji przejścia (Ps,t (·, ·))s,t∈T , s¬t , to
dla dowolnej funkcji mierzalnej f : E → R zachodzi
E (f (Xt ) | Fs ) = ϕ(Xs )
p.n.,
gdzie
Z
ϕ(x) =
f (u)Ps,t (x, du).
E
W szczególności, jeśli dla procesu X istnieje rodzina gęstości przejścia (ps,t (·, ·))s,t∈T , s¬t , to
Z
ϕ(x) =
f (u)ps,t (x, u) du
E
16
Dla procesów Markowa z czasem dyskretnym przyjmujemy następującą terminologię:
Definicja 1.17. Niech X = (Xt )t∈T będzie procesem Markowa;
(i) jeśli T ⊆ Z, to X nazywamy łańcuchem Markowa;
(ii) Jeśli T ⊆ Z, a E jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to X nazywamy dyskretnym
łańcuchem Markowa.
Dla dyskretnych łańcuchów Markowa B = P(E) (gdyż, jak założyliśmy na początku
tego podrozdziału, wszystkie zbiory jednoelementowe są mierzalne), natomiast odpowiednikiem rodziny gęstości przejścia jest tzw. macierz przejścia P s,t (x, y) := (ps,t (x, y))x,y∈E ,
gdzie ps,t (x, y) := Ps,t (x, {y}). Wówczas zachodzi:
X
∀s¬t, s,t∈T ∀x∈E ∀Γ⊆E Ps,t (x, Γ) =
Ps,t (x, {y}) =
y∈Γ
X
ps,t (x, y).
y∈Γ
Macierz przejścia musi spełniać warunki:
1. ∀s,t∈T , s¬t ∀x,y∈E ps,t (x, y) 0
oraz
P
y∈E
ps,t (x, y) = 1;
2. dla każdego s ∈ T P s,s jest macierzą jednostkową, tzn. ps,s (x, y) = δx ({y}).
Za definicję dyskretnego łańcucha Markowa często przyjmuje się dyskretną wersję
warunku 7 w twierdzeniu 1.13.
Zanim podamy przykłady procesów Markowa, przypomnijmy znany fakt z rachunku prawdopodobieństwa.
Twierdzenie 1.15. Niech G będzie σ-ciałem, X zmienną losową niezależną od G, a Y
zmienną losową G-mierzalną. Wówczas dla dowolnej funkcji borelowskiej f : E × E → E
zachodzi
E(f (X, Y )|G) = Ef (X, y)|y=Y .
Przykład 1. Każdy proces X o przyrostach niezależnych jest procesem Markowa.
Istotnie, dla s ¬ t i Γ ∈ B mamy, na mocy twierdzenia 1.15 zastosowanego do funkcji
f (x, y) = 11Γ (x + y) i zmiennych Xt − Xs , Xs ,
P(Xt ∈ Γ|FsX ) = P(Xs + (Xt − Xs ) ∈ Γ|FsX ) = P(x + Xt − Xs ∈ Γ)|x=Xs =
= P(Xs + (Xt − Xs ) ∈ Γ|Xs ) = P(Xt ∈ Γ|Xs )
i z warunku 5 w twierdzeniu 1.13 wynika, że X ma własność Markowa. Ponadto funkcja
przejścia procesu X jest równa
Ps,t (x, Γ) = P(Xt ∈ Γ|Xs = x) = P(x + Xt − Xs ∈ Γ).
W szczególności, proces Wienera jest procesem Markowa o funkcji przejścia
Ps,t (x, Γ) = P(x + Wt − Ws ∈ Γ) =
Z
Γ
(y−x)2
1
−
e 2(t−s) dy,
2π(t − s)
p
bowiem x + Wt − Ws ∼ N (x, t − s). Zatem gęstość przejścia dla procesu Wienera ma postać:
(y−x)2
1
−
ps,t (x, y) = p
e 2(t−s) .
2π(t − s)
17
Oczywiście procesem Markowa jest także proces postaci Xt = µt + σWt . Ponadto dla
dowolnej funkcji niemalejącej ϕ proces Yt = Wϕ(t) jest procesem Markowa względem filtracji
Fet = Fϕ(t) .
Przykład 2. Niech X0 , Y1 , Y2 , . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach w E, fn : E × E → E funkcjami mierzalnymi, n = 1, 2, . . . i niech Xn = fn (Xn−1 , Yn )
dla n = 1, 2, . . . . Wówczas (Xn )∞
n=0 jest łańcuchem Markowa.
Istotnie, dla n = 1, 2, . . . , FnX ⊆ σ(X0 , Y1 , . . . , Yn ) i dla dowolnej funkcji mierzalnej i
ograniczonej g mamy, na mocy twierdzenia 1.15 zastosowanego do funkcji mierzalnej g ◦ fn+1
i zmiennych Yn+1 , Xn ,
E g(Xn+1 )|FnX = E g(fn+1 (Xn , Yn+1 ))|FnX = Eg fn+1 (x, Yn+1 ) = E g(fn+1 (Xn , Yn+1 ))|Xn = E g(Xn+1 )|Xn
x=Xn
=
i z warunku 6 w twierdzeniu 1.13 oraz zasady indukcji wynika, że (Xn )∞
n=1 ma własność
Markowa.
W szczególności, jeśli X0 , Y1 , Y2 , . . . są niezależnymi rzeczywistymi zmiennymi losowymi
oraz b, σ : N × R → R, to ciąg zmiennych losowych (Xn )∞
n=0 określony rekurencyjnie wzorem
Xn+1 = Xn + b(n, Xn ) + σ(n, Xn )Yn+1
ma własność Markowa. Jest to dyskretny odpowiednik procesu dyfuzji, spełniającego równanie (1.7), który, jak się okazuje, dla dostatecznie regularnych funkcji b, σ jest również procesem Markowa. Zachodzi
Twierdzenie 1.16. Załóżmy, że współczynniki a, b równania (1.7) spełniają warunki (i),(ii)
twierdzenia 1.8. Wówczas rozwiązanie tego równania jest procesem Markowa.
Jak widzimy, procesy Markowa stanowią szeroką klasę procesów stochastycznych. W
matematyce finansowej są one wykorzystywane do modelowania Markov-Functional opisanego
w dalszych rozdziałach. Zazwyczaj do opisu modelu stosuje się procesy Markowa z czasem
ciągłym. W celu kalibracji modelu do danych rynkowych i implementacji dyskretyzuje się
czas, czyli de facto używa się łańcuchów Markowa.
18
Rozdział 2
Podstawy matematyki finansowej
W tym rozdziale przedstawimy podstawowe zagadnienia matematyki finansowej, używane
w następnych rozdziałach. Ustalamy horyzont czasowy T ∗ i przestrzeń probabilistyczną
(Ω, F, P) z filtracją F = (Ft )t∈[0,T ∗ ] generowaną przez proces Wienera W , tzn. Ft = FtW =
σ(Ws : s ¬ t) dla t ∈ [0, T ∗ ]. O ile nie zostanie powiedziane inaczej, proces Wienera w
mierze Q równoważnej P będziemy oznaczać przez W Q . Będziemy też zakładali, że obecnie
znajdujemy się w chwili 0.
2.1. Stopy procentowe i podstawowe instrumenty finansowe
Przez B = (Bt )t∈[0,T ∗ ] będziemy oznaczać proces opisujący rachunek bankowy. Zakładamy,
że spełnia on następujące równanie różniczkowe:
dBt = rt Bt dt, B0 = 1,
gdzie r = (rt )t∈[0,T ∗ ] jest F-adaptowanym procesem stochastycznym w przestrzeni (Ω, F, P),
nazywanym krótkoterminową stopą procentową. Rozwiązaniem powyższego równania jest proces
Z
t
Bt = exp
rs ds , t ∈ [0, T ∗ ].
0
Definicja 2.1. Obligacją zerokuponową o terminie zapadalności T (zapadalną w T ) nazywamy instrument finansowy, który gwarantuje posiadaczowi wypłatę w wysokości 1 (w danej
walucie) w chwili T . Wartość obligacji w momencie t ∈ [0, T ] oznaczamy przez B(t, T ).
W przypadku ustalonej struktury czasowej 0 ¬ T0 < T1 < . . . Tn zawsze będziemy zakładać, że istnieje obligacja zapadalna w Ti , i = 1, . . . , n.
Definicja 2.2. Czynnik dyskontowy pomiędzy dwiema chwilami t, T , oznaczany przez
DF (t, T ), jest to wielkość, która sprowadza do chwili t wartość jednostki monetarnej danej
waluty płatnej w chwili T .
Oczywiście dla każdego T , DF (T, T ) = 1, DF (t, T ) < 1 dla t ∈ [0, T ) oraz
(DF (t, T ))t∈[0,T ] jest F-adaptowanym procesem stochastycznym. Będziemy zakładać, że
dla danego t 0 krzywa czynników dyskontowych obserwowana w chwili t, tj. funkcja
DF (t, ·) : [t, T ∗ ] → [0, 1] jest dopasowana do cen obligacji, tzn. jeśli istnieje obligacja zerokuponowa zapadająca w chwili T , to DF (t, T ) = B(t, T ). Dla pozostałych chwil T stosujemy
interpolację i ekstrapolację tak, aby otrzymana funkcja DF (t, ·) była różniczkowalna. Ponadto
będziemy zakładać, że początkowa krzywa czynników dyskontowych DF (0, ·) jest znana.
19
Definicja 2.3. Niech T < S. Terminową stopę LIBOR obserwowaną w chwili t ∈ [0, T ] na
okres depozytowy [T, S] oznaczamy przez Lt (T, S) i określamy wzorem
Lt (T, S) =
DF (t, T ) − DF (t, S)
∆ · DF (t, S)
lub równoważnie,
1 + ∆ · Lt (T, S) =
DF (t, T )
,
DF (t, S)
przy czym ∆ = S − T jest długością okresu depozytowego liczoną według ustalonej konwencji.
(Spotową) stopą LIBOR na okres [T, S] nazywamy stopę L(T, S) := LT (T, S). Spełnia ona
zależność
1 − DF (T, S)
,
L(T, S) =
∆ · DF (T, S)
tzn.
1 + ∆ · L(T, S) =
1
.
DF (T, S)
Definicja 2.4. Caplet (odpowiednio floorlet) jest to opcja kupna (sprzedaży) stopy LIBOR
L = L(T, S), której okres depozytowy zaczyna się w terminie wygaśnięcia opcji T i kończy się
w S. Wypłata z tej opcji następuje w chwili T i jest równa
max(ω(L − K), 0) · ∆
· N = DF (T, S) · max(ω(L − K), 0) · ∆ · N,
1+∆·L
gdzie ω = 1 (ω = −1 dla floorleta), K jest tzw. ceną wykonania opcji, określającą poziom
stopy procentowej, ∆ jest długością okresu depozytowego stopy L, a N jest nominałem opcji
wyrażonym w walucie stopy L.
Na potrzeby następnych definicji zawartych w tym podrozdziale ustalmy strukturę czasową 0 ¬ T0 < T1 < . . . < Tn i oznaczmy przez ∆i = Ti − Ti−1 długość i-tego okresu
depozytowego, i = 1, . . . , n.
Definicja 2.5. Capem (odpowiednio floorem) będziemy nazywać serię n capletów (floorletów)
na stopy L(Ti−1 , Ti ), i = 1, . . . , n, o ustalonej cenie wykonania K i z ustalonym nominałem
N.
Definicja 2.6. Kontrakt IRS (Interest Rate Swap), lub w skrócie: swap, jest to umowa
między dwiema stronami, na podstawie której w ustalonych chwilach czasu T1 , . . . , Tn strony
te wypłacają sobie wzajemnie odsetki od ustalonego nominału N (w danej walucie), naliczane według odmiennych stóp procentowych. Jedna ze stron kontraktu dokonuje płatności
odsetkowych według stałej stopy K (tzw. stopy kontraktu IRS, ustalonej w momencie zawarcia kontraktu T0 ), podczas gdy druga strona w chwilach Ti dokonuje płatności według
stopy zmiennej L(Ti−1 , Ti ), i = 1, . . . , n. Strumień pieniężny złożony z płatności wyliczonych
według stałej stopy nazywa się nogą stałą kontraktu IRS, natomiast strumień płatności według
zmiennej stopy – nogą zmienną kontraktu IRS. Obie nogi kończą się w tym samym momencie,
zwanym terminem zapadalności kontraktu IRS. Wyróżniamy dwa rodzaje kontraktów IRS:
(a) pay-fixed IRS lub payer IRS to kontrakt IRS, którego posiadacz płaci stopę stałą i otrzymuje stopę zmienną;
(b) receive-fixed IRS lub receiver IRS to kontrakt IRS, którego posiadacz płaci stopę zmienną
i otrzymuje stopę stałą.
20
Dla i = 1, . . . , n łączny przepływ pieniężny w chwili Ti jest równy
ω(L(Ti−1 , Ti ) − K) · ∆i · N,
gdzie ω = 1 (dla kontraktu payer IRS) lub ω = −1 (dla kontraktu receiver IRS).
Definicja 2.7. Terminową stopę swapową w chwili t ∈ [0, T0 ] na przyszły termin T0 oznaczamy przez Kt (T0 , Tn ) i określamy wzorem
Kt (T0 , Tn ) =
DF (t, T0 ) − DF (t, Tn )
Pn
.
i=1 ∆i DF (t, Ti )
(Spotową) stopą swapową nazywamy stopę K(T0 , Tn ) := KT0 (T0 , Tn ). Spełnia ona zależność
1 − DF (T0 , Tn )
K(T0 , Tn ) = Pn
.
i=1 ∆i DF (T0 , Ti )
Uwaga 2.1. Dla n = 1 kontrakt IRS sprowadza się do kontraktu forward na stopę K o
terminie zapadalności T1 oraz
Kt (T0 , T1 ) = Lt (T0 , T1 )
dla t ∈ [0, T0 ].
Zauważmy, że dla i = 1, . . . , n mamy
DF (t,Ti−1 )
DF (t, Ti−1 ) − DF (t, Tn )
DF (t,Tn ) − 1
Pn
Kt (Ti−1 , Tn ) =
=
=
Pn−1
DF (t,Tk )
∆n + k=i
∆k DF
k=i ∆k DF (t, Tk )
(t,Tn )
Qn
j=i
=
∆n +
Pn−1
k=i
DF (t,Tj−1 )
DF (t,Tj )
∆k
Qn
−1
j=k+1
(j)
j=i (1 + ∆j Lt ) − 1
,
Pn−1
Qn
(j)
k=i ∆k j=k+1 (1 + ∆j Lt )
Qn
DF (t,Tj−1 )
DF (t,Tj )
=
∆n +
(2.1)
(j)
gdzie Lt = Lt (Tj−1 , Tj ). Zatem terminowa stopa swapowa K (i) jest funkcją terminowych
stóp LIBOR L(i) , L(i+1) , . . . , L(n) .
Definicja 2.8. Swapcja jest to opcja na kontrakt IRS, który rozpoczyna się w terminie
wygaśnięcia opcji T0 i kończy się w Tn , przy czym cena wykonania swapcji jest stopą kontraktu. Wyróżniamy dwa rodzaje swapcji:
(a) payer swapcja (payer swaption) to opcja na kontrakt payer IRS;
(b) receiver swapcja (receiver swaption) to opcja na kontrakt receiver IRS.
Innymi słowy, payer/receiver swapcja jest opcją kupna/sprzedaży stopy swapowej K(T0 , Tn ).
Zauważmy, że dla n = 1 payer/receiver swapcja sprowadza się do capleta/floorleta na
stopę L(T0 , T1 ).
2.2. Miary martyngałowe i zamiana numéraire
Rozpatrujemy rynek finansowy złożony z d instrumentów pierwotnych, których ceny
St1 , . . . , Std są F-adaptowanymi procesami Itô typu càdlàg. Przestrzeń (Ω, F, P) wraz z procesem cen S = (S 1 , . . . , S d ) nazywamy modelem rynku finansowego i oznaczamy przez M.
21
Definicja 2.9. Strategią (inwestycyjną) lub portfelem nazywamy proces ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕd ) o
składowych prognozowalnych i lokalnie ograniczonych. Procesem wartości portfela ϕ nazywamy proces
Vt (ϕ) =
d
X
ϕit Sti , t ∈ [0, T ∗ ].
i=1
Definicja 2.10. Numéraire jest to proces stochastyczny N = (Nt )t∈[0,T ∗ ] , który z prawdopodobieństwem 1 jest ściśle dodatni dla prawie każdego t ∈ [0, T ∗ ], tzn.
Nt (ω) > 0 dla (λ ⊗ P)-p.w. (t, ω).
Intuicyjnie, numéraire opisuje instrument N , względem którego normalizowane są ceny
Sk
wszystkich innych instrumentów. Innymi słowy, zamiast cen Stk rozpatrywane są ceny Ntt
(dzielone przez numéraire), k = 0, 1, . . . , d. Będziemy zakładać, że N w czasie swego istnienia
nie płaci dywidendy i prawie na pewno jest ściśle dodatni dla każdego t ∈ [0, T ∗ ].
Definicja 2.11. Niech N będzie numéraire. Miarę probabilistyczną PN określoną na
przestrzeni (Ω, F) nazywamy (równoważną) miarą martyngałową (RMM) stowarzyszoną z
St
S
N
∗ jest P -martyngałem
= (N
)
N , jeśli PN jest równoważna mierze P oraz proces N
t t∈[0,T ]
względem filtracji F.
Na rynku z czasem dyskretnym istnienie RMM jest równoważne warunkowi braku arbitrażu. Aby sformułować warunek równoważny istnieniu RMM na rynku z czasem ciągłym,
musimy najpierw wprowadzić kilka technicznych definicji.
Definicja 2.12. Proces prognozowalny nazywamy prostym, jeśli jest skończoną kombinacją
liniową procesów postaci ψ 11(τ,σ] , gdzie τ, σ są momentami zatrzymania, a ψ jest zmienną
losową Fτ -mierzalną.
Ustalmy numéraire N .
Definicja 2.13. Niech δ > 0. Prostą strategię inwestycyjną ϕ nazywamy δ-dopuszczalną
(względem N ), jeśli
Vt (ϕ)
P ∀t∈[0,T ∗ ]
−δ = 1.
Nt
Definicja 2.14. Mówimy, że proces cen St spełnia warunek NFLVR (no free lunch with
vanishing risk), jeśli dla każdego ciągu (δn ) zbieżnego do zera i każdego ciągu (ϕn ) prostych
strategii takich, że dla n = 1, 2, . . . ϕn jest δn -dopuszczalna (względem N ), zachodzi warunek
P
VT (ϕn ) −−−→ 0.
n→∞
Twierdzenie 2.1. Na rynku M istnieje równoważna miara martyngałowa wtedy i tylko
wtedy, gdy jest spełniony warunek NFLVR.
Twierdzenie 2.2 (Fundamentalne twierdzenie wyceny). Załóżmy, że istnieje numéraire N i
równoważna miara martyngałowa PN stowarzyszona z N . Wówczas dla dowolnego numéraire
U istnieje równoważna miara martyngałowa PU stowarzyszona z U . Co więcej, wartość w
chwili t ∈ [0, T ] dowolnej następującej w T ¬ T ∗ wypłaty osiągalnej X dzielona przez U jest
PU -martyngałem, tzn.
πt (X)
= EPU
Ut
X Ft , 0 ¬ t ¬ T ¬ T ∗ .
UT 22
(2.2)
Ponadto, pochodna Radona-Nikodýma definiująca miarę PU jest dana wzorem
dPU
UT N0
.
=
N
dP
U0 NT
(2.3)
Miarę P∗ := PB stowarzyszoną z rachunkiem bankowym jako numéraire nazywa się miarą
neutralną względem ryzyka. Proces Wienera w tej mierze będziemy oznaczać przez W ∗ .
Ze wzoru (2.2), zwanego martyngałowym wzorem wyceny, wynika natychmiast związek
między cenami obligacji a procesem krótkoterminowej stopy procentowej:
B(t, T ) = Bt · EP∗
B(T, T ) Ft = EP∗ exp
BT −
Z
t
T
!
rs ds Ft .
Technika zmiany numéraire jest niezwykle użytecznym narzędziem wyceny instrumentów pochodnych. Jeśli mamy daną wypłatę h(XT ) zależącą od procesu X w chwili T (np.
od stopy procentowej, kursu wymiany walut, ceny akcji) i chcemy obliczyć jej wartość
w
h(XT )
chwili 0, możemy dobrać odpowiedni numéraire N , tak aby wartość oczekiwana EPN
NT
była możliwie najprostsza do obliczenia. Jeśli dodatkowo XT NT jest wypłatą osiągalną, to
( XNt Nt t )t = (Xt )t jest PN -martyngałem, co również jest mile widzianą własnością. Wówczas,
jeśli chcemy modelować X za pomocą lognormalnego procesu Itô w mierze PN , spełniającego
równanie
N
dXt = µ(t)Xt dt + σ(t)Xt dWtP
dla pewnych funkcji deterministycznych µ, σ, to współczynnik dryfu musi być zerowy i na
mocy wzoru (1.8) otrzymujemy
ln Xt ∼ N ln X0 −
1
2
Z
t
σ 2 (s)ds,
Z
0
0
t
σ 2 (s)ds
w PN ,
czyli znamy rozkład X w mierze PN , dzięki czemu możemy stosunkowo łatwo obliczać wartości
oczekiwane funkcji zależnych od X.
23
Rozdział 3
Modele stopy procentowej
W tym rozdziale przedstawimy uogólniony model Vasička modelujący krótkoterminową stopę
procentową, a także modele rynkowe BGM i Jamshidiana modelujące obserwowane na rynku
terminowe stopy LIBOR i, odpowiednio, terminowe stopy swapowe. Najpierw jednak zdefiniujemy pewne miary martyngałowe, których bedziemy używać.
3.1. Miara forward i miara swapowa
Definicja 3.1. Przyjmijmy obligację zerokuponową zapadalną w chwili T jako numéraire:
Nt = B(t, T ). Równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z tym numéraire nazywamy
miarą T -forward (lub miarą forward, jeśli określenie T nie jest istotne albo wynika z kontekstu) i oznaczamy przez PT . Proces Wienera w tej mierze będziemy oznaczać przez W T .
Uwaga 3.1. Zgodnie z (2.3) miarę T -forward można zdefiniować za pomocą pochodnej
1
∗
T
Radona-Nikodýma wzorem dP
dP∗ = BT B(0,T ) P -p.n.
Stwierdzenie 3.1. Terminowa stopa LIBOR na dowolny okres kończący się w T jest martyngałem w mierze PT , tzn.
EPT (Lt (S, T )|Fu ) = Lu (S, T )
∀0¬u¬t¬S<T .
W szczególności, dla t = S mamy
EPT (L(S, T )|Fu ) = Lu (S, T ),
czyli terminowa stopa LIBOR obserwowana w chwili u jest warunkową wartością oczekiwaną
przyszłej stopy LIBOR pod warunkiem informacji dostępnej w u.
Dowód. Z definicji terminowej stopy LIBOR Lt (S, T ) wynika, że
Lt (S, T )B(t, T ) =
1 B(t, S) − B(t, T )
T −S
jest ceną pewnego aktywa w chwili t (portfela złożonego z długiej pozycji w obligacji za1
padalnej w S z nominałem T −S
oraz krótkiej pozycji w obligacji zapadalnej w T , także z
1
nominałem T −S . Stąd
Lt (S, T )B(t, T )
Lt (S, T ) =
B(t, T )
jest PT -martyngałem.
25
Definicja 3.2. Niech 0 < T0 < T1 < . . . < Tn , ∆j = Tj − Tj−1 dla j = 1, . . . , n i niech
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Jako numéraire przyjmijmy portfel złożony z n − k długich pozycji w obligacjach zerokuponowych zapadalnych w Tk+1 , . . . , Tn , z nominałami odpowied(k+1)
=
nio ∆k+1 , . . . , ∆n . Jego proces cen będziemy oznaczać przez P (k+1) , tzn. Pt
Pn
j=k+1 ∆j B(t, Tj ). Równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z tym numéraire nazye T . Proces Wienera w tej mierze będziemy ozwamy miarą swapową i oznaczamy przez P
k+1
T
f k+1 .
naczać przez W
(n)
Uwaga 3.2. Zauważmy, że Pt
e T = PT .
= ∆n B(t, Tn ), zatem P
n
n
Stwierdzenie 3.2. Terminowa stopa swapowa K jest martyngałem w odpowiedniej mierze
swapowej, tzn. przy powyższych oznaczeniach zachodzi
EeP
Tk+1
(Kt (Tk , Tn ) | Fu ) = Ku (Tk , Tn )
∀0¬u¬t¬Tk
W szczególności dla t = Tk mamy
EeP
Tk+1
(K(Tk , Tn ) | Fu ) = Ku (Tk , Tn ),
czyli terminowa stopa swapowa w chwili u na termin Tk jest warunkową wartością oczekiwaną
przyszłej stopy swapowej K(Tk , Tn ) pod warunkiem informacji dostępnej w u.
Dowód. Z definicji terminowej stopy swapowej wynika, że
Kt (Tk , Tn ) ·
n
X
∆j B(t, Tj ) = B(t, Tk ) − B(t, Tn )
j=k+1
jest ceną pewnego aktywa w chwili t (portfela złożonego z długiej pozycji w obligacji zapadalnej w Tk i krótkiej pozycji w obligacji zapadalnej w Tn ). Stąd
Kt (Tk , Tn ) =
Kt (Tk , Tn ) ·
Pn
j=k+1 ∆j B(t, Tj )
Pn
j=k+1 ∆j B(t, Tj )
e T -martyngałem.
jest P
k+1
3.2. Uogólniony model Vasička
Tak zwane modele dyfuzyjne stopy krótkoterminowej są zadane przez stochastyczne równanie
różniczkowe
drt = µ(t, rt )dt + σ(t, rt )dWt∗ ,
(3.1)
gdzie W ∗ jest procesem Wienera w mierze wolnej od ryzyka P∗ , a funkcje µ, σ : [0, T ∗ ]×R → R
są dostatecznie regularne (np. spełniające warunki liniowego wzrostu i Lipschitza, jak w
twierdzeniu 1.8), tak aby powyższe równanie z warunkiem początkowym r0 > 0 miało jednoznaczne markowskie rozwiązanie. Wówczas wartość w chwili t dowolnej obligacji zerokuponowej zapadalnej w T t jest zadana wzorem
B(t, T ) = EP∗ exp
26
−
Z
t
T
!
rs ds rt ,
a więc jest funkcją zmiennych t, T, rt :
B(t, T ) = B(t, T, rt ).
(3.2)
Pozwala to efektywnie wyceniać instrumenty pochodne za pomocą rozmaitych metod numerycznych.
Jednym z pierwszych modeli stopy krótkoterminowej jest model zaproponowany przez
Vasička w roku 19771 , w którym dynamika stopy r w mierze P∗ jest zadana przez równanie
(z wartością początkową r0 ):
drt = (θ − art )dt + σdWt∗
dla pewnych stałych r0 , θ, a, σ > 0. Stopa krótkoterminowa w tym modelu ma tzw. własność
powrotu do średniej : w przypadku, gdy rt < aθ , dryf procesu jest dodatni; jeśli zaś rt > aθ , to
dryf jest ujemny. Zatem dla każdego t stopa krótkoterminowa rt zbliża się do wartości aθ .
Wadą modelu Vasička jest niemożność dopasowania go do bieżącej struktury terminowej stóp procentowych. Aby dokładnie skalibrować model do rynkowych cen obligacji,
musielibyśmy rozwiązać nieskończoną liczbę równań postaci
−
B(0, T ) = EP∗ exp
T
Z
!
T ∈ [0, T ∗ ],
,
rs ds
0
co wymagałoby wprowadzenia nieskończenie wielu parametrów. Ten problem stanowił motywację dla Hulla i White’a2 do rozszerzenia modelu Vasička poprzez zastąpienie stałych
parametrów funkcjami zależnymi od czasu i modelowanie stopy krótkoterminowej równaniem
drt = (θ(t) − a(t)rt )dt + σ(t)dWt∗ ,
r0 ,
(3.3)
gdzie funkcje θ, a, σ : [0, T ∗ ] → R są ograniczone. Model ten, nazywany uogólnionym modelem Vasička lub modelem Vasička-Hulla-White’a, daje możliwość dokładnej kalibracji do
początkowej struktury terminowej stóp procentowych, a także do struktury terminowej współczynników zmienności terminowej stopy LIBOR. Ponadto zachowuje on własność powrotu do
θ(t)
średniej w tym sensie, że dla każdego t stopa krótkoterminowa rt zbliża się do krzywej a(t)
(o ile a(t) 6= 0). Parametr a(t) bywa nazywany parametrem powrotu do średniej.
Wyznaczymy teraz rozkład i autokorelację procesu r. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
Z
φ(t) = exp
t
Z
a(s)ds ,
T
1
du,
φ(u)
ψ(t, T ) =
t
0
Z
ξ(t) =
t
φ2 (u)σ 2 (u)du.
(3.4)
0
Ze wzoru na całkowanie przez części mamy
d(φ(t)rt ) = φ(t)a(t)rt dt + φ(t)drt = φ(t)(θ(t)dt + σ(t)dWt∗ ).
Zatem dla s < t
1
rt =
φ(s)rs +
φ(t)
Z
t
Z
φ(u)θ(u)du +
s
s
t
φ(u)σ(u)dWu∗
,
(3.5)
a więc
rt |rs ∼ N
1 φ(s)rs +
φ(t)
Z
t
ξ(t) − ξ(s) φ(u)θ(u)du ,
s
1
φ2 (t)
.
zob. O. Vasiček, An equilibrium characterisation of the term structure. Journal of Financial Economics
5, s. 177-188, 1977.
2
zob. J. Hull, A. White, Pricing interest-rate derivative securities. Review of Financial Studies 3, s. 573-592,
1990.
27
Ponadto dla s < u < t mamy
Cov(rt , ru |rs ) =
1
(ξ(u) − ξ(s))
φ(t)φ(u)
oraz
s
corr(rt , ru |rs ) =
ξ(u) − ξ(s)
.
ξ(t) − ξ(s)
W szczególności, jeśli a(t) ≡ a > 0, σ(t) ≡ σ, to φ(t) = eat , ξ(t) =
s
corr(rt , ru |rs ) =
σ2
2a
e2at − 1 oraz
e2au − e2as
, s < u < t.
e2at − e2as
(3.6)
q
Jeśli natomiast a(t) ≡ 0, σ(t) ≡ σ, to φ(t) = 1, ξ(t) = σ 2 t oraz corr(rt , ru |rs ) = u−s
t−s dla
s < u < t, czyli autokorelacja stopy r jest tożsama z autokorelacją procesu Wienera (wynika
to również bezpośrednio ze wzoru (3.3)).
Poniższe twierdzenie pokazuje, że, dla danych s < u < t, korelacja stóp rt , ru pod
warunkiem rs jest malejącą funkcją parametru a > 0.3
Twierdzenie 3.1. Rozważmy uogólniony model Vasička ze stałymi parametrami a > 0 i σ.
Dla dowolnych 0 < s < u < t korelacja między stopami rt , ru pod warunkiem rs jest funkcją
malejącą względem parametru a.
Dowód. Ustalmy 0 < s < u < t. Mamy
corr2 (rt , ru |rs ) =
e2a(u−s) − 1
.
e2a(t−s) − 1
t−s
> 1, x = x(a) = 2a(u − s). Ponieważ funkcja x jest rosnącą bijekcją na
Oznaczmy c = u−s
R+ , więc wystarczy wykazać, że dla dowolnie ustalonego c > 1 funkcja
f (x) =
ex − 1
ecx − 1
jest malejąca na R+ .
Oczywiście f jest klasy C ∞ . Ponadto mamy następujący ciąg równoważnych nierówności:
f 0 (x) < 0 ⇐⇒ ex (ecx − 1) − (ex − 1)cecx < 0 ⇐⇒ cecx − ex < e(c+1)x (c − 1).
Oznaczmy g(x) = cecx − ex , h(x) = e(c+1)x (c − 1). Zauważmy, że dla dowolnego n = 0, 1, . . .
zachodzi
g (n) (x) = cn+1 ecx − ex , h(n) (x) = (c − 1)(c + 1)n e(c+1)x
oraz
g (n) (0) ¬ h(n) (0)
(dla n ∈ {0, 1} zachodzi równość, a dla n > 1 nierówność ostra). Zatem aby wykazać, że
g(x) < h(x), wystarczy wykazać, że istnieje n ∈ N takie, że g (n) (x) < h(n) (x) dla wszystkich
x > 0. Ale
g (n) (x) < cn+1 ecx , (c − 1)(c + 1)n ecx < h(n) (x),
3
Jest to wynik własny autora pracy.
28
zatem wystarczy udowodnić, że istnieje n spełniające nierówność cn+1 < (c − 1)(c + 1)n ,
która z kolei jest równoważna nierówności
c
c+1
n
c−1
.
c
<
Ta ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa dla dostatecznie dużego n, gdyż
(wystarczy wziąć n dlog
c
c+1
c
c+1
n
c−1
c
n→∞
−−−→ 0 <
( c−1
c )e).
Dodatkową zaletą uogólnionego modelu Vasička jest tzw. afiniczność struktury terminowej.
Definicja 3.3. Model krótkoterminowej stopy procentowej, w którym ceny obligacji mają
postać
B(t, T ) = A(t, T )e−C(t,T )rt
(3.7)
dla pewnych funkcji deterministycznych A,C, nazywamy modelem afinicznym struktury terminowej.
Powyższą nazwę uzasadnia fakt, że kapitalizowana w sposób ciągły stopa zwrotu z obligacji o cenie zadanej wzorem (3.7) jest funkcją afiniczną stopy krótkoterminowej, tzn.
R(t, T ) = −
ln B(t, T )
− ln A(t, T ) + C(t, T )rt
=
.
T −t
T −t
Pokażemy teraz, że uogólniony model Vasička jest modelem afinicznym struktury terminowej i wyznaczymy współczynniki
A i C.4 Z równości (3.5) i stwierdzenia 1.3 (b) widzimy,
RT
że dla t < T zmienna t ru du pod warunkiem rt ma rozkład normalny. Mamy
Z
t
T
ru durt ∼ N (mt,T , Vt,T ),
gdzie
Z
mt,T =
t
T
E(ru |rt )du =
T
Z
t
1
φ(t)rt +
φ(u)
u
Z
φ(s)θ(s)ds du
t
oraz
Z
Vt,T = EP∗
t
Z
= EP∗
T
ru du − mt,T rt
T
Z
φ(s)σ(s)
t
s
T
!2
Z
= EP∗
1
du dWs
φ(u)
t
T
1
φ(u)
!2
Z
T
Z
!2
u
φ(s)σ(s)dWs du
2
2
Z
φ (s)σ (s)
=
t
=
t
s
T
1
du
φ(u)
!2
ds,
przy czym przedostatnia równość wynika ze stochastycznej wersji twierdzenia Fubiniego5 . Na
mocy lematu 5.1 (p. Dodatek) otrzymujemy
B(t, T ) = EP∗ exp
−
Z
t
T
!
ru du rt = A(t, T )e−C(t,T )rt ,
4
(3.8)
Jest to wynik autora pracy, nieznaleziony w dostępnej literaturze.
por. tw. IV.45 w: P. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, Berlin Heidelberg
New York 1990.
5
29
gdzie
A(t, T ) = exp −
Z
T
t
Z
T
C(t, T ) = φ(t)
t
1
φ(u)
Z
t
u
1
φ(s)θ(s)ds du +
2
Z
T
φ2 (s)σ 2 (s)
t
!
T
Z
2
1
du ds , (3.9)
φ(u)
s
1
du = φ(t)ψ(t, T ).
φ(u)
(3.10)
Wyprowadzimy jeszcze inny wzór na cenę obligacji w uogólnionym modelu Vasička.
Twierdzenie 3.2. Dla T > S > 0 wartość w chwili S obligacji zapadalnej w T w uogólnionym
modelu Vasička wyraża się wzorem
B(0, T )
1
B(S, T ) =
exp −ψ(S, T )XS + ψ 2 (S, T ) Var(XS ) ,
B(0, S)
2
(3.11)
gdzie
t
Z
Xt =
0
φ(s)σ(s)dWsT .
W szczególności, jeśli a(t) ≡ a, to zachodzi

B(0, T )
e−aS − e−aT
B(S, T ) =
exp −
B(0, S)
a
!
1
XS +
2
e−aS − e−aT
a

!2
Var(XS )
(3.12)
B(·,S)
Dowód. Rozpatrzmy proces B(·,T
) . Korzystając z reprezentacji (3.8) i wzoru (3.10), otrzymujemy
B(t, S)
A(t, S) (C(t,T )−C(t,S))rt
= F (t, rt ),
=
e
B(t, T )
A(t, T )
A(t,S) φ(t)ψ(S,T )r
gdzie F (t, r) = A(t,T
.
)e
Wzór Itô zastosowany do funkcji F ma postać
d
B(t, S)
B(t, T )
=
∂F
∂F
1 ∂2F
(t, rt )dt +
(t, rt )drt +
(t, rt )dhrit .
∂t
∂r
2 ∂r2
B(·,S)
Ponieważ B(·,T
) jest martyngałem w mierze PT , więc na mocy wniosku 1.1 powyższe równanie
przyjmie w tej mierze postać
B(t, S)
d
B(t, T )
=
∂F
B(t, S)
(t, rt )σ(t)dWtT =
φ(t)ψ(S, T )σ(t)dWtT .
∂r
B(t, T )
Stąd
B(t, S)
B(0, S)
=
exp ψ(S, T )
B(t, T )
B(0, T )
t
Z
0
φ(s)σ(s)dWsT
1
− ψ 2 (S, T )
2
φ(s)σ(s)dWsT
1
+ ψ 2 (S, T )
2
t
Z
2
2
φ (s)σ (s)ds
0
i kładąc t = S, dostajemy
B(0, T )
B(S, T ) =
exp −ψ(S, T )
B(0, S)
S
Z
0
co prowadzi do wzoru (3.11).
W szczególności, jeśli a(t) ≡ a, to
Z
T
ψ(S, T ) =
e−as ds =
S
co daje wzór (3.12).
30
e−aS − e−aT
,
a
Z
S
!
2
2
φ (s)σ (s)ds ,
0
Wniosek 3.1. Cena w S obligacji zapadalnej w T jest funkcją XS (z parametrami S, T , a(·),
σ(·)):
B(S, T ) = B(S, T, XS ),
gdzie
B(0, T )
1
B(S, T, ξ) =
exp −ψ(S, T )ξ + ψ 2 (S, T )
B(0, S)
2
Z
S
!
2
2
φ (s)σ (s)ds .
0
Na koniec tego podrozdziału wyznaczymy stochastyczne równanie różniczkowe na terminową stopę LIBOR. Jest to uogólnienie wyniku z monografii [HK], s. 381-382.
Twierdzenie 3.3. Rozważmy uogólniony model Vasička zadany równaniem (3.3), ustalmy
strukturę czasową 0 ¬ T0 < T1 < . . . < Tn i niech ∆i = Ti − Ti−1 dla i = 1, . . . , n. Wówczas
(i)
dla i = 1, . . . , n terminowa stopa LIBOR na okres [Ti−1 , Ti ], Lt := Lt (Ti−1 , Ti ) spełnia
stochastyczne równanie różniczkowe w mierze PTi :
(i)
(i)
Ti
dLt = (Lt + ∆−1
i )φ(t)ψ(Ti−1 , Ti )σ(t)dWt .
(3.13)
W szczególności, jeśli a(t) ≡ a, to terminowa stopa LIBOR spełnia równanie
(i)
(i)
dLt = (Lt + ∆−1
i )·
e−aTi−1 − e−aTi at
e σ(t)dWtTi .
a
(3.14)
Dowód. Korzystając z reprezentacji (3.8) i wzoru (3.10), otrzymujemy
(i)
Lt =
B(t, Ti−1 ) − B(t, Ti )
= ∆−1
i ·
∆i B(t, Ti )
A(t, Ti−1 ) (C(t,Ti )−C(t,Ti−1 ))rt
e
− 1 = f (t, rt ),
A(t, Ti )
gdzie
f (t, r) =
∆−1
i
A(t, Ti−1 ) φ(t)ψ(Ti−1 ,Ti )r
e
−1 .
A(t, Ti )
Wzór Itô zastosowany do funkcji f ma postać
(i)
dLt =
∂f
∂f
1 ∂2f
(t, rt )dt +
(t, rt )drt +
(t, rt )dhrit .
∂t
∂r
2 ∂r2
(i)
Ponieważ Lt jest martyngałem w mierze PTi (por. stwierdzenie 3.1), więc na mocy wniosku
1.1 powyższe równanie przyjmie w tej mierze postać
(i)
dLt =
∂f
(i)
Ti
(t, rt )σ(t)dWtTi = (Lt + ∆−1
i )φ(t)ψ(Ti−1 , Ti )σ(t)dWt .
∂r
Przyjmując a(t) ≡ a, dostajemy
(i)
dLt
=
(i)
(Lt +∆−1
i )
Z
Ti
!
−as
e
Ti−1
(i)
ds ·eat σ(t)dWtTi = (Lt +∆−1
i )
(i)
Zauważmy, że z postaci (3.13) wynika, że proces Yt
rozkładzie lognormalnym w mierze PTi .
31
e−aTi−1 − e−aTi at
e σ(t)dWtTi .
a
(i)
:= Lt + ∆−1
jest martyngałem o
i
3.3. Modele rynkowe
Chociaż wiele modeli stopy krótkoterminowej ma dobre własności, takie jak istnienie analitycznych wzorów na ceny obligacji i możliwość efektywnej implementacji, to jednak ich
wspólną wadą jest fakt, że modelują stopę czysto teoretyczną, nieobserwowalną na rynku.
To powoduje ograniczoną możliwość kalibracji modelu do rynkowych cen instrumentów (np.
capów, floorów, swapcji). Taka kalibracja wymaga użycia bardziej skomplikowanych i nie zawsze satysfakcjonujących metod numerycznych.
W celu ominięcia tych problemów rozwinięto tzw. modele rynkowe, w których modelowane są występujące w praktyce terminowe stopy LIBOR i swapowe. W tym podejściu postuluje się, że – w zależności od wybranego modelu – terminowe stopy LIBOR lub terminowe
stopy swapowe są procesami lognormalnymi w odpowiednich miarach martyngałowych, dzięki
czemu otrzymuje się zgodność cen capów i floorów (odpowiednio swapcji) ze stosownymi wzorami Blacka, używanymi w praktyce rynkowej.
Opiszemy teraz model rynkowy stóp LIBOR, znany również pod nazwą modelu BGM.
Został on wprowadzony w roku 1997 przez Miltersena, Sandmanna i Sondermanna6 oraz
Brace’a, Gątarka i Musielę7 .
Niech 0 < T0 < . . . < Tn i ∆j = Tj − Tj−1 dla j = 1, . . . , n. Oznaczmy przez L(j)
proces terminowej stopy LIBOR na j-ty okres depozytowy, L(j) = (Lt (Tj−1 , Tj ))t∈[0,Tj−1 ] dla
każdego j = 1, . . . , n. Zgodnie ze stwierdzeniem 3.1 proces ten jest martyngałem w mierze
Tj -forward. Dodatkowo zakładamy, że ma on w tej mierze rozkład lognormalny, tzn. spełnia
stochastyczne równanie różniczkowe postaci
(j)
dLt
T
(j)
= Lt σj (t)dWt j ,
(3.15)
gdzie σj : [0, Tj−1 ] → R jest ograniczoną funkcją deterministyczną. Ponieważ σj jest ograniczone, więc z kryterium Nowikowa wynika, że L(j) rzeczywiście jest martyngałem w mierze
PTj . Ze wzoru (1.8) widzimy, że
(j)
Lt
=
(j)
L0 exp
Z
t
T
σj (s)dWs j
0
(j)
czyli dla dowolnego t ∈ [0, Tj−1 ] stopa Lt
PTj . Dokładniej,
(j)
ln Lt
(j)
∼ N L0 −
1
2
1
−
2
t
Z
0
σj2 (s) ds
,
(3.16)
rzeczywiście ma rozkład lognormalny w mierze
Z
t
0
σj2 (s)ds,
Z
0
t
σj2 (s)ds .
(j)
Ponieważ funkcja DF (0, ·) jest malejąca, więc dla j = 1, . . . , n L0 > 0 i ze wzoru (3.16)
wynika, że proces L(j) jest dodatni.
Zadaliśmy dynamikę każdej z n terminowych stóp LIBOR w odpowiedniej mierze forward.
Sprowadzimy teraz wszystkie stopy do jednej miary martyngałowej; mianowicie wyznaczymy
ich dynamikę w mierze forward na chwilę Tn .
Ustalmy i ∈ {1, . . . , n − 1}. Zgodnie z twierdzeniem 2.2 pochodna Radona-Nikodýma
wiążąca miary PTi i PTi+1 jest dana wzorem
(i)
%t
dPTi B(t, Ti ) · B(0, Ti+1 )
B(0, Ti+1 ) (i+1)
=
=
=
1
+
∆
L
.
i+1
t
dPTi+1 Ft
B(0, Ti ) · B(t, Ti+1 )
B(0, Ti )
6
zob. K. Miltersen, K. Sandmann, D. Sondermann, Closed form solutions for term structure derivatives
with log-normal interest rates. Journal of Finance 52, s. 409-430, 1997.
7
zob. A. Brace, D. Gątarek, M. Musiela, The market model of interest rate dynamics. Mathematical Finance
7, s. 127-154, 1997.
32
Stąd i ze wzoru (3.15) mamy
(i)
(i)
d%t
B(0, Ti+1 )
%t
T
T
(i+1)
(i+1)
=
·∆i+1 σi+1 (t)Lt
dWt i+1 =
·∆i+1 σi+1 (t)Lt
dWt i+1 =
(i+1)
B(0, Ti )
1 + ∆i+1 Lt
(i) (i+1)
= %t γt
(i+1)
gdzie γt
Ti+1
dWt
,
(i+1)
=
∆i+1 σi+1 (t)Lt
czona, to proces
(i+1)
1+∆i+1 Lt
γ (i+1)
, t ∈ [0, Ti ]. Zauważmy, że skoro funkcja σi+1 jest ograni-
∆i+1 L(i+1) t
też jest ograniczony, gdyż (i+1) =
1+∆i+1 L
t
(i+1)
∆i+1 Lt
(i+1)
1+∆i+1 Lt
< 1. Zatem
γ (i+1) ∈ PTi (por. (1.3)).
Ze stwierdzenia 1.5 wynika, że
Z
(i)
%t = exp
0
t
γs(i+1) dWsTi+1 −
1
2
Z t
0
γs(i+1)
2
ds ,
(i)
gdyż %0 = 1. Z twierdzenia Girsanowa otrzymujemy
Ti+1
dWtTi = dWt
(i+1)
− γt
dt.
(3.17)
Iterując powyższe rozumowanie n − i razy, dostajemy
dWtTi = dWtTn −
n
X
(k)
γt dt.
k=i+1
Zauważmy, że powyższe równanie jest spełnione także dla i = n. Ostatecznie otrzymujemy
następującą dynamikę terminowych stóp LIBOR:

(i)
(i)
dLt = Lt σi (t) dWtTn −
n
X

(k)
n
X
∆k σk (t)Lt
(k)
γt dt = −
k=i+1
k=i+1
1+
(k)
∆k Lt
(i)
(i)
Lt σi (t)dt + Lt σi (t)dWtTn
(3.18)
dla t ∈ [0, Ti−1 ], i = 1, . . . , n.
Omówimy teraz model rynkowy stóp swapowych. Został on wprowadzony w roku 1997
przez Jamshidiana8 (dlatego też jest nazywany modelem Jamshidiana). Jego konstrukcja
jest analogiczna do modelu BGM. Zakładamy, że dla każdego j = 1, . . . , n terminowa
stopa swapowa K (j) := (Kt (Tj−1 , Tn ))t∈[0,Tj−1 ] spełnia stochastyczne równanie różniczkowe
eT :
w mierze swapowej P
j
(j)
dKt
(j)
= Kt
T
f j,
· σj (t)dW
t
gdzie σj : [0, Tj−1 ] → R jest ograniczoną funkcją deterministyczną. Analogicznie jak w przye T martyngałem o rozkładzie logpadku modelu BGM wnioskujemy, że K (j) jest w mierze P
j
normalnym, tzn.
Z t
Z
1 t 2
Tj
(j)
(j)
f
σ (s)ds ,
Kt = K0 exp
σj (s)dWs −
2 0 j
0
8
zob. F. Jamshidian, LIBOR and swap market models and measures. Finance and Stochastics 1, s. 293-330,
1997.
33
(j)
ln Kt
∼N
1
−
2
(j)
K0
Z
t
0
σj2 (s)ds ,
t
Z
0
σj2 (s)ds
.
Dla pełności opisu wyznaczymy dynamikę terminowych stóp swapowych K (1) , . . . , K (n)
e T = PT , choć dynamika ta jest dużo
w jednej mierze martyngałowej, mianowicie mierze P
n
n
bardziej skomplikowana niż dynamika terminowych stóp LIBOR (3.18) w modelu BGM. Niech
K = (K (1) , . . . , K (n) ). Z wniosku 1.1 wynika, że dla i = 1, . . . , n dynamika stopy K (i) jest
zadana równaniem
(i)
(i)
dKt = µi (t, Kt )dt + σi (t)Kt dWtTn ,
gdzie µi jest procesem stochastycznym. Przyjmijmy dla wygody następujące oznaczenia:
(i)
Pt
∆0 = 1,
=
n
X
(i)
(i)
∆k B(t, Tk ),
P̂t
Pt
,
B(t, Tn )
=
k=i
(i)
Ψt =
i
Y
(j+1)
(1 + ∆j Kt
t ∈ [0, Ti ], i = 0, . . . , n,
Ψ(−1) ≡ 1.
i = 0, . . . , n − 1,
),
j=0
(n)
Zauważmy, że P̂t
(i)
P̂t
= ∆n oraz dla i = 0, . . . , n − 1 zachodzi
n
X
B(t, Tk )
B(t, Ti )
B(t, Ti ) − B(t, Tn )
(i+1)
(i+1)
∆k
=
= P̂t
+ ∆i ·
= P̂t
+ ∆i · 1 +
B(t, Tn )
B(t, Tn )
B(t, Tn )
k=i
(i+1)
= P̂t
(i+1)
(i+1)
· P̂t
+ ∆i 1 + Kt
(i+1)
= ∆i + 1 + ∆i Kt
(i+1)
P̂t
=
.
(3.19)
Po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części mamy
(i)
dP̂t
(i+1)
= 1 + ∆ i Kt
(i+1)
dP̂t
(i+1)
+ ∆i P̂t
(i+1)
dKt
+ ∆i dhK (i+1) , P̂ (i+1) it .
Korzystając z faktu, że dla każdego j = 0, . . . , n P̂ (j) jest martyngałem w mierze PTn , otrzymujemy
(i)
(i+1)
(i+1)
(i+1) (i+1)
dP̂t = 1 + ∆i Kt
dP̂t
+ ∆i P̂t
Kt
σi+1 (t)dWtTn
oraz
(i+1)
∆i P̂t
(i+1)
µi+1 (t, Kt )dt + ∆i σi+1 (t)Kt
dhW Tn , P̂ (i+1) it = 0
(3.20)
dla i = 0, . . . , n − 1. Stąd
(i+1)
(i−1)
(i)
Ψt
dP̂t
=
(i)
(i+1)
Ψt dP̂t
+
(i) (i+1)
Ψt P̂t
!
∆i Kt
1+
(i+1)
∆ i Kt
σi+1 (t)dWtTn
i przez indukcję otrzymujemy
(i−1)
(i)
Ψt
dP̂t
=
n−1
X
k=i
(k+1)
(k) (k+1)
Ψt P̂t
∆k Kt
1+
!
(n−1)
σk+1 (t)dWtTn +Ψt
(k+1)
∆ k Kt
(n)
dP̂t ,
i = 0, . . . , n−1,
czyli
(i)
dP̂t
=
(i)
P̂t
(j−1) (j)
n
X
Ψt
P̂t
(i−1) (i)
P̂t
j=i+1 Ψt
(j)
∆j−1 Kt
1+
(j)
∆j−1 Kt
34
!
σj (t)dWtTn ,
i = 0, . . . , n − 1.
(3.21)
Ze wzoru (3.20) wynika, że
(i)
(i)
P̂t µi (t, Kt )dt + σi (t)Kt dhWtTn , P̂ (i) it = 0,
i = 1, . . . , n,
co w połączeniu z (3.21) daje
µi (t, Kt ) =
(i)
−σi (t)Kt
(j−1) (j)
n
X
Ψt
P̂t
(i−1)
j=i+1
Ψt
(j)
∆j−1 Kt
(i)
(j)
P̂t
1 + ∆j−1 Kt
!
σj (t)
dla i = 1, . . . , n − 1. Powyższa równość zachodzi w sposób trywialny także dla i = n, gdyż
wiemy, że µn ≡ 0.
Na koniec zauważmy, że ze wzoru (3.19) i zasady indukcji mamy
(i−1)
Ψt
(i)
P̂t
=
n−1
X
(k−1)
∆k Ψt
(n−1)
+ Ψt
(n)
P̂t
=
k=i
n
X
(k−1)
∆k Ψt
=: Φi (t, Kt ),
i = 0, . . . , n.
k=i
Ostatecznie otrzymujemy następującą dynamikę terminowych stóp swapowych w mierze PTn :

(i)
dKt = − 
(j)
n
X
Φj (t, Kt )
j=i+1
Φi (t, Kt )
1+

!
∆j−1 Kt
(i)
(j)
∆j−1 Kt
(i)
σi (t)σj (t) Kt dt + σi (t)Kt dWtTn
(3.22)
dla i = 1, . . . , n.
Mimo swej prostoty i dobrej kalibracji do cen capów lub swapcji modele rynkowe mają zasadniczą wadę utrudniającą ich zastosowanie w praktyce. Mamy w nich bowiem do czynienia
z n-wymiarowym procesem Markowa, gdzie n jest liczbą modelowanych stóp LIBOR lub
stóp swapowych. Prowadzi to do znacznych trudności implementacyjnych, np. przy wycenie
swapcji bermudzkich.
Innym problemem jest opisana niżej niezgodność modeli rynkowych utrudniająca ich zastosowanie do wyceny instrumentów pochodnych zależnych jednocześnie od stóp LIBOR i
stóp swapowych. Przykładem takiego instrumentu jest tzw. constant maturity swap (CMS),
w którym w chwili Ti , i = 1, . . . , n, stopa LIBOR L(Ti−1 , Ti ) jest wymieniana na stopę
swapową K(Ti−1 , Tn ).
3.4. Niezgodność modeli rynkowych
Na mocy uwagi 2.1 i uwagi 3.2 model Jamshidiana dla n = 1 redukuje się do modelu BGM.
Jednak już dla n 2 modele te są sprzeczne ze sobą. Sprzeczność ta polega na tym, że
w modelu Jamshidiana terminowe stopy LIBOR L(i) nie mają rozkładu lognormalnego w
odpowiednich miarach martyngałowych PTi , co jest niezgodne z założeniami modelu BGM.
Podobnie, terminowe stopy swapowe K (i) pochodzące z modelu BGM nie mają rozkładu
e T , niezgodnie z założeniami modelu Jamshidiana. Zilustrujemy
lognormalnego w miarach P
i
ten drugi fakt dla przypadku n = 2.9
Przyjmijmy model BGM z n = 2. W celu uproszczenia obliczeń zakładamy, że ∆1 =
∆2 = 1, σ1 ≡ σ2 ≡ 1. Dla czytelności zapisu oznaczymy Li := L(i) dla i = 1, 2, K1 := K (1)
i pominiemy zmienną czasową t w równaniach stochastycznych. Aby wyznaczyć dynamikę
e T , skorzystamy ze wzoru (2.1). W tym celu musimy
terminowej stopy swapowej K1 w mierze P
1
eT .
najpierw wyznaczyć dynamikę stóp L1 , L2 w tej samej mierze swapowej P
1
9
Jest to wynik własny autora pracy.
35
Wiemy, że dLi = Li dW Ti dla i = 1, 2. Ponadto na mocy twierdzenia 2.2 pochodna
eT i P
e T jest dana wzorem
Radona-Nikodýma wiążąca miary P
1
2
e T dP
1
%t =
dPT2 =
Ft
B(t, T1 ) + B(t, T2 ) B(0, T2 )
B(0, T2 )
·
=
·
B(0, T1 ) + B(0, T2 ) B(t, T2 )
B(0, T1 ) + B(0, T2 )
B(t, T1 )
+1 =
B(t, T2 )
B(0, T2 )
· (L2 + 2) .
=
B(0, T1 ) + B(0, T2 )
Zatem
d% =
gdzie proces µ2 :=
L2
L2 +2
B(0, T2 )
L2 dW T2 = % µ2 dW T2 ,
B(0, T1 ) + B(0, T2 )
jest ograniczony przez 1. Z twierdzenia Girsanowa mamy
f T1 = dW T2 − µ2 dt
dW
oraz
f T1 + µ2 dt =
dL2 = L2 dW T2 = L2 dW
L22
f T1 ,
dt + L2 dW
L2 + 2
a ze wzoru (3.18) otrzymujemy
L2
L2
f T1 + L2 dt =
L1 dt + L1 dWtT2 = −
L1 dt + L1 dW
1 + L2
1 + L2
L2 + 2
L
L
1 2
f T1 −
f T1 ,
= L1 dW
dt = µ1 L1 dt + L1 dW
(L2 + 2)(L2 + 1)
dL1 = −
L2
gdzie µ1 := − (L2 +2)(L
.
2 +1)
e T . Na mocy
Teraz wyznaczymy dynamikę terminowej stopy swapowej K1 w mierze P
1
wzoru (2.1) mamy
(1 + L1 )(1 + L2 ) − 1
K1 =
2 + L2
Ponadto
∂K1
L2 + 1
=
,
∂L1
L2 + 2
∂ 2 K1
= 0,
∂L21
∂K1
(L1 + 1)(L2 + 2) − L1 − L2 − L1 L2
L1 + 2
=
=
,
2
∂L2
(L2 + 2)
(L2 + 2)2
∂ 2 K1
∂ 2 K1
1
,
=
=
∂L1 ∂L2
∂L2 ∂L1
(L2 + 2)2
∂ 2 K1
L1 + 2
= −2 ·
2
(L2 + 2)3
∂L2
i z dwuwymiarowego wzoru Itô otrzymujemy
L1 + 2
1
L1 + 2
L2 + 1
dL1 +
dL2 +
dhL1 , L2 i −
dhL2 i =
2
2
L2 + 2
(L2 + 2)
(L2 + 2)
(L2 + 2)3
L2 + 1
L1 + 2
1
L1 + 2 2
=
µ1 L1 +
µ
L
+
L
L
−
L
dt +
2 2
1 2
L2 + 2
(L2 + 2)2
(L2 + 2)2
(L2 + 2)3 2
L2 + 1
L1 + 2
f T1 =
+
L1 +
L2 dW
L2 + 2
(L2 + 2)2
dK1 =
"
#
L1 L2 (L2 + 1)
L22 (L1 + 2)
L1 L2
L22 (L1 + 2)
= −
+
+
−
dt +
(L2 + 1)(L2 + 2)2
(L2 + 2)3
(L2 + 2)2
(L2 + 2)3
+
(L2 + 1)(L2 + 2)L1 + L2 (L1 + 2) f T1
L1 L22 + 4L1 L2 + 2L1 + 2L2 f T1
d
W
=
dW ,
(L2 + 2)2
(L2 + 2)2
36
e T , zgodnie z oczekiwaniem. Jednak
a więc K1 jest martyngałem w mierze P
1
dK1
f T1 ,
= σ(L1 , L2 )dW
K1
gdzie
σ(L1 , L2 ) =
L1 L22 + 4L1 L2 + 2L1 + 2L2
2
L1 L2
>0
=
+
(L2 + 2)(L1 + L2 + L1 L2 )
L2 + 2 L1 + L2 + L1 L2
nie jest funkcją deterministyczną. Istotnie, gdyby σ(L1 , L2 ) = c(t) dla pewnej funkcji deterministycznej c, to
L1 L22 + 4L1 L2 + 2L1 + 2L2 = c(t)(L1 L2 + L22 + L1 L22 + 2L1 + 2L2 + 2L1 L2 ),
czyli
L1 L22 (c(t) − 1) + L1 L2 (3c(t) − 4) + 2L1 (c(t) − 1) + 2L2 (c(t) − 1) + c(t)L22 = 0.
Ale L1 , L2 są stochastyczne – sprzeczność. Zatem K1 nie ma rozkładu lognormalnego w
eT .
mierze P
1
Dla dowolnego n rachunki są oczywiście dużo bardziej skomplikowane, oparte na
poniższym stwierdzeniu (zob. [BM], s. 245).
Stwierdzenie 3.3. W modelu BGM określonym przez równanie (3.15) dynamika terminowej
e T ma postać
stopy LIBOR L(k) w mierze swapowej P
l
(k)
dLt
(k)
(k)
f Tl ),
= σk (t)Lt (µt dt + dW
t
k, l = 1, . . . , n
(3.23)
gdzie
(k)
µt
(l)
Pt
=
=
n
X
j=l
n
X
(2 · 11{j¬k} − 1)
B(t, Tj )
max(k,j)
∆i σi (t)Lt
i=min(k+1,j+1)
1 + ∆i Lt
(l)
Pt
(i)
X
(i)
,
∆j B(t, Tj ).
j=l
Na podstawie równania (3.23) i zależności (2.1) można pokazać, że w modelu BGM, dla
eT
i = 1, . . . , n terminowa stopa swapowa K (i) nie ma rozkładu lognormalnego w mierze P
i
10
(zob. [BM] s. 244-246).
10
W [BM] przedstawiony jest jedynie ogólny zarys dowodu stwierdzenia 3.3 i dowodu niezgodności modeli
rynkowych. W dostępnej literaturze brak jest dokładnych rachunków prowadzących do tego wniosku.
37
Rozdział 4
Modele Markov-Functional
Wady modeli opisanych w poprzednim rozdziale stanowiły istotną motywację do zaproponowania przez Hunta, Kennedy i Pelssera w roku 2000 (zob. [HKP]) alternatywnego
sposobu modelowania, zwanego modelowaniem Markov-Functional. W tym podejściu postuluje się, że terminowe stopy LIBOR i terminowe stopy swapowe są funkcjami pewnego
procesu Markowa o niewielkim wymiarze (najczęściej jedno- lub dwuwymiarowego). Dokładniej, model Markov-Functional jest określony przez proces Markowa X, strukturę czynników
dyskontowych będących funkcjami procesu X oraz numéraire, również będący funkcją X.
Niski wymiar procesu Markowa X umożliwia efektywną implementację modelu, podobnie
jak modele dyfuzyjne krótkoterminowej stopy procentowej. Natomiast swoboda wyboru zależności funkcyjnych między procesem X a numéraire i czynnikami dyskontowymi pozwala
dokładnie skalibrować model do cen rynkowych capów (floorów) lub swapcji, jak w przypadku
modeli rynkowych BGM i Jamshidiana. Pozostaje jeszcze swoboda wyboru samego procesu
X, która pozwala określić łączny rozkład stóp rynkowych i tym samym dobrze wyceniać
egzotyczne instrumenty pochodne.
Za Huntem, Kennedy i Pelsserem przyjmujemy następującą definicję:
Definicja 4.1. Model stopy procentowej nazywamy n-wymiarowym modelem MarkovFunctional na przedziale [0, T ∗ ] lub krótko: modelem M-F (M-F model), jeśli istnieje
numéraire N , równoważna miara martyngałowa PN stowarzyszona z N oraz proces stochastyczny X = (Xt )t∈[0,T ∗ ] o wartościach w Rn , spełniające następujące warunki:
(M1) X jest procesem Markowa w mierze PN ;
(M2) proces N cen numéraire’a jest postaci
Nt (ω) = N (t, Xt (ω)),
t ∈ [0, T ∗ ],
gdzie (t, ξ) 7→ N (t, ξ) jest funkcją deterministyczną;
(M3) ceny czynników dyskontowych są postaci
DF (t, T )(ω) = DF (t, T, Xt (ω)),
0 ¬ t ¬ T ¬ T ∗,
gdzie (t, T, ξ) 7→ DF (t, T, ξ) jest funkcją deterministyczną.
Proces X nazywamy (markowskim) procesem kierującym (Markovian driver).
W pracy skupimy się na przypadku, gdy X jest procesem jednowymiarowym (tzn. na
jednowymiarowym modelu Markov-Functional).
39
W powyższej definicji i w całej pracy używamy tego samego oznaczenia N zarówno na
proces stochastyczny N : [0, T ∗ ] × Ω → R, jak i na funkcjonał N : [0, T ∗ ] × R → R. Z
kontekstu będzie jasne, który obiekt mamy akurat na myśli: Nt oznacza wartość procesu w
chwili t, a N (t, ξ) – wartość funkcjonału w czasie t i stanie ξ. Ta sama uwaga dotyczy czynników dyskontowych DF i wszystkich procesów, dających się zapisać jako funkcje procesu
kierującego. Zauważmy, że z warunku (M3) wynika, że terminowe stopy LIBOR i swapowe
także są funkcjami procesu X, tzn. Lt (T, S) = L(t, T, S, Xt ), Kt (T0 , Tn ) = K(t, (Tk )nk=0 , Xt ).
Uwaga. Warunek (M2) powyższej definicji czasami zastępuje się słabszym warunkiem
mówiącym, że N zależy od całej trajektorii procesu X do chwili t:
(M2’) Nt = N (t, (Xs )s¬t ),
t ∈ [0, T ∗ ].
Użyjemy tego zmodyfikowanego warunku w wersji dyskretnej w podrozdziale 4.4 przy opisie
modelu Markov-Functional w mierze spot.
Z warunku (M2) i wzoru na wycenę wynika, że jeśli V = (Vt )t∈[0,T ] jest procesem
cen pewnego instrumentu o wypłacie VT następującej w chwili T ¬ T ∗ i będącej funkcją
zmiennej XT : VT = VT (XT ), to
Vt = Nt EPN
VT Ft = Nt (Xt )EPN
NT VT (XT ) Xt
NT (XT ) na mocy własności Markowa, czyli Vt jest funkcją Xt , którą oznaczymy znowu tą samą literą
V . Mamy
V (T, ξ) {X
=
ξ}
.
(t, ξ) 7→ V (t, ξ) = N (t, ξ)EPN
t
N (T, ξ) W szczególności, dla dowolnego T ¬ T ∗ proces cen obligacji spełnia
B(t, T ) = B(t, T, Xt ),
gdzie
B(t, T, ξ) = N (t, ξ) EPN
1
{Xt = ξ} .
N (T, XT ) (4.1)
Zatem, jeśli czynniki dyskontowe utożsamiamy z obligacjami zerokuponowymi, to warunek
(M3) definicji 4.1 wynika z warunku (M2).1 Wówczas do pełnego określenia modelu wystarczy zdefiniować proces kierujący X oraz funkcjonał (t, ξ) 7→ N (t, ξ), t ∈ [0, T ∗ ], ξ ∈ R.
4.1. Wyznaczenie funkcjonału N na podstawie cen rynkowych
Wprowadzimy najpierw definicję binarnych opcji na stopy procentowe, które posłużą nam
do kalibracji modelu. W literaturze bardzo różnie określa się moment i wartość wypłaty tych
instrumentów. Decydujemy się na najbardziej dogodną terminologię. Dla uproszczenia notacji
przyjmujemy następujące oznaczenie: 1(x)
1 := 11(0,∞) (x).
1
Natomiast jeśli oprócz tego założymy, że numéraire jest pakietem obligacji zerokuponowych, to warunek
(M2) wynika z warunku (M3).
40
Definicja 4.2. Caplet/floorlet binarny (digital caplet/floorlet) jest to binarna opcja kupna/
sprzedaży stopy LIBOR L = L(T, S), której okres depozytowy zaczyna się w terminie
wygaśnięcia opcji T i kończy się w S. Wypłata z tej opcji następuje w chwili T i jest równa
N · ∆ · DF (T, S) · 1(ω(L
1
− K)),
gdzie ω = 1 (ω = −1 dla floorleta), K jest ceną (poziomem) wykonania opcji, ∆ jest
długością okresu depozytowego stopy L, a N – nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy
L.
Definicja 4.3. Niech 0 ¬ T0 < T1 < . . . < Tn , ∆i = Ti − Ti−1 dla i = 1, . . . , n i rozważmy
kontrakt IRS rozpoczynający się w T0 i wymieniający odsetki w T1 , . . . , Tn . Swapcja binarna
(digital swaption) związana z tym kontraktem jest to binarna opcja kupna (lub sprzedaży)
stopy swapowej K(T0 , Tn ). Wypłata z tej opcji następuje w chwili T0 i jest równa
N
n
X
∆i DF (T0 , Ti ) · 11(ω (K (T0 , Tn ) − K)) ,
i=1
gdzie ω = 1 dla payer swapcji (opcji kupna), ω = −1 dla receiver swapcji (opcji sprzedaży),
K jest ceną (poziomem) wykonania, a N – nominałem kontraktu.2
Zauważmy, że dla n = 1 binarna payer/receiver swapcja sprowadza się do binarnego
capleta/floorleta na stopę L(T0 , T1 ).
Lemat 4.1. Oznaczmy przez Vsw (K, ·) proces wartości payer/receiver swapcji na stopę
K(T0 , Tn ) o poziomie wykonania K, a przez Vbin.sw (K, ·) proces wartości odpowiedniej
payer/receiver swapcji binarnej. Wówczas cena binarnej payer/receiver swapcji jest równa
Vbin.sw (K, 0) = −ω
∂
Vsw (K, 0),
∂K
(4.2)
gdzie ω = 1 dla payer swapcji, ω = −1 dla receiver swapcji.
Dowód. Udowodnimy lemat dla payer swapcji. Dowód dla receiver swapcji jest analogiczny.
P
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że N = 1. Niech Pt = ni=1 ∆i B(t, Ti ). Mamy
Vsw (K, T0 ) = PT0 · (K(T0 , Tn ) − K)+ ,
czyli
∂
Vsw (K, T0 ) = −PT011(K(T0 , Tn ) − K) = −Vbin.sw (K, T0 ),
∂K
zatem z martyngałowego wzoru wyceny i twierdzenia o różniczkowaniu całki z parametrem
wynika, że
Vbin.sw (K, 0) = P0 · EeP
T1
Vbin.sw (K, T0 )
PT0
=−
2
= P0 EeP
T1
∂
P0 EeP
T1
∂K
∂
− ∂K
Vsw (K, T0 )
PT0
Vsw (K, T0 )
PT0
=−
!
=
∂
Vsw (K, 0). (4.3)
∂K
Hunt i Kennedy określają ten rodzaj swapcji binarnej jako PVBP-digital swaption, zob. [HK] s. 356.
41
Często stosuje się następującą aproksymację na cenę swapcji binarnej:
Vbin.sw (K, 0) ≈ −ω ·
Vsw (K + h, 0) − Vsw (K − h, 0)
.
2h
(4.4)
Zajmiemy się teraz ogólnym zagadnieniem kalibracji modelu Markov-Functional do rynkowych cen capletów lub swapcji (nasze rozważania będą dotyczyć capletów i payer swapcji,
ale w podobny sposób można je przeprowadzić dla floorletów i receiver swapcji).
Załóżmy, że mamy dane ceny n swapcji, przy czym instrumentem podstawowym i-tej
(i)
swapcji jest kontrakt IRS rozpoczynający się w T0 i wymieniający odsetki w chwilach
(i)
(i)
(1)
(n)
T1 , . . . , Tmi , przy czym T0 < . . . < T0 . Po ewentualnym wprowadzeniu pomocniczych
(i)
(k)
swapów możemy dodatkowo założyć, że dla każdych i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mi , Tj = T0
(i)
(n)
(i)
(i)
(i)
dla pewnego k > i lub Tj > T0 . Oznaczmy przez Kt = Kt (T0 , Tmi ) terminową stopę
swapową związaną z i-tym kontraktem IRS. W szczególności, jeśli dla każdego i = 1, . . . , n,
(i)
(i)
(i)
mi = 1, to rozważane swapcje są capletami oraz Kt = Lt (T0 , T1 ) i jeśli dodatkowo za(i)
(i+1)
(1)
(n)
łożymy, że T1 = T0
=: Ti dla i = 1, . . . , n − 1, T0 =: T0 , T1 =: Tn , to otrzymamy taką
samą strukturę stóp LIBOR jak w modelu BGM. Jeśli natomiast przyjmiemy mi = n+1−i dla
(1)
(i)
i = 1, . . . , n, Tj =: Tj dla j = 0, . . . , n oraz Tj = Tj+i−1 dla i = 2, . . . , n, j = 0, . . . , n+1−i,
to otrzymamy taką samą strukturę stóp swapowych jak w modelu Jamshidiana. Poniższą
procedurę kalibracji do cen rynkowych można więc będzie zastosować do modelowania stóp
rynkowych aternatywnego względem modeli BGM i Jamshidiana.
Instrumenty egzotyczne zależne od wyżej określonych swapów można wycenić na pod(i)
(l)
(l)
(i)
stawie czynników dyskontowych DF (T0 , Tj ), i, l = 1, . . . , n, j = 1, . . . ml , Tj > T0 .
(i)
Zatem do zastosowań praktycznych wystarczy wyznaczyć funkcjonały numéraire, N (T0 , ξ)
dla i = 1, . . . , n oraz funkcjonały czynników dyskontowych na kracie
K :=
n
(i)
(l)
T0 , T j
(l)
(i)
: i, l = 1, . . . , n, j = 1, . . . , ml , Tj > T0
o
.
Ustalmy numéraire N . Przyjmujemy następujące założenia:
(i) mamy dany rozkład jednowymiarowego procesu kierującego X w mierze martyngałowej
PN ;
(n)
(n)
(n)
(ii) znamy funkcje ξ 7→ N (T0 , ξ) oraz ξ 7→ DF (T0 , T, ξ) dla T takich, że (T0 , T ) ∈ K;3
(iii) stopa swapowa K
K
(i)
(i)
T0
=
(i)
(i)
jest rosnącą funkcją zmiennej XT (i) , tzn. dla i = 1, . . . , n
T0
(i) mj
(i)
K
(Tj )j=0 , XT (i) ,
0
gdzie funkcja ξ 7→
0
K (i)
(i)
i
(Tj )m
j=0 , ξ
jest rosnąca
(będziemy w skrócie pisać K (i) (ξ)).
Założenie (iii) jest dość naturalnym założeniem, świadczącym o tym, że proces X rzeczywiście „kieruje” stopą rynkową: wzrost (spadek) procesu X powoduje wzrost (spadek) stopy4 .
Alternatywnie można zamiast (ii) założyć, że
(n)
(ii’) znamy funkcje ξ 7→ N (T, ξ) dla T takich, że (T0 , T ) ∈ K.
3
(i)
(i)
Jak zwykle, zakładamy że DF (·, Tj ) = B(·, Tj ) dla i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mi .
(i)
(i)
4
Można zamiast tego założyć, że K (i) jest malejącą funkcją zmiennej XT0 – zob. uwaga 4.2.
T0
42
(i)
Uwaga 4.1. Z założeń (i), (ii) wynika, że, znając funkcjonały ξ 7→ N (T0 , ξ) dla i =
(i)
(l)
1, . . . , n, potrafimy wyznaczyć funkcjonały czynników dyskontowych ξ 7→ DF (T0 , Tj , ξ) dla
(i)
(l)
(T0 , Tj ) ∈ K . Istotnie, dla i = 1, . . . , n musi być

n
o
1


X (i) = ξ 
 (k)
T0
N T0 , XT (k) 
(i)
(k)
(i)
DF (T0 , T0 , ξ) = N (T0 , ξ)EPN
0
dla k > i oraz

(i)
(i)
DF (T0 , T, ξ) = N (T0 , ξ)EPN
(n)

DF T0 , T, XT (n) n
o


0
X (i) = ξ 

T0
(n)
N T0 , XT (n)
0
(n)
dla T > T0 . Zatem do opisu modelu M-F na kracie K wystarczy wyznaczyć zależności
(i)
funkcyjne ξ 7→ N (T0 , ξ) dla i = 1, . . . , n.
Wyprowadzimy postać funkcjonału N tak, aby otrzymany model M-F był skalibrowany
do rynkowych cen swapcji (lub capletów).
Na mocy lematu 4.1 kalibracja modelu do cen standardowych swapcji jest równoważna
kalibracji do cen swapcji binarnych zadanych wzorem (4.2).
Oznaczmy
B̂(t, T ) =
B(t, T )
,
Nt
(i)
Pt
=
mi
X
(i)
∆j B t, Tj
(i)
(i)
,
P̂t
=
j=1
Pt
,
Nt
i = 1, . . . , n.
Dla i = 1, . . . , n mamy
K
(i)
(i)
T0
1−B
=
(i)
(i)
T0 , Tmi
P
=
(i)
1
(i)
NT
(i)
(i)
− B̂ T0 , Tmi
0
P̂
(i)
T0
(i)
(i)
T0
i stąd
NT (i) =
0
1
P̂
(i)
(i)
T0
T0
(i) K
(i)
(i)
(n)
T0 , ξ
W celu wyznaczenia funkcjonału ξ 7→ N T0 , ξ
1. Z założenia (ii) znamy funkcjonał ξ 7→ N
zależności funkcyjne ξ 7→ N
(k)
T0 , ξ
(i)
(i)
+ B̂ T0 , Tmi
.
(4.5)
zastosujemy wsteczną indukcję od n do
. Załóżmy, że mamy już wyznaczone
dla k = i + 1, . . . , n. Wówczas na mocy założeń (i) oraz
(i)
(i)
(ii) potrafimy wyznaczyć funkcjonały ξ 7→ B̂ T0 , Tj , ξ , j = 1, . . . , mi . Mianowicie, jeśli
(i)
Tj
(k)
= T0
dla pewnego k > i, to

n
o
1


X (i) = ξ  ,
 (i)
T0
N Tj , XT (i) 
(i)
(i)
B̂(T0 , Tj , ξ) = EPN
j
43
(4.6)
(i)
a jeśli Tj
(n)
> T0 , to

(i)
(n)
(i)

B T0 , Tj , XT (n) n
o


0
X (i) = ξ  .5

T0
(n)
N T0 , XT (n)
(i)
B̂(T0 , Tj , ξ) = EPN
0
Ponadto P̂
(i)
(i)
T0
= P̂ (i) (XT (i) ), gdzie funkcjonał ξ 7→ P̂ (i) (ξ) =
(i)
(i)
(i)
(i)
j=1 ∆j B̂ T0 , Tj , ξ jest
0
Pmi
wyznaczony na podstawie funkcjonałów ξ 7→ B̂ T0 , Tj , ξ , j = 1, . . . , mi .
Teraz wyznaczymy funkcjonał ξ 7→ K (i) (ξ). Weźmy dowolne ξ ∈ R. Oznaczmy przez
(i)
cenę rynkową i-tej swapcji binarnej o poziomie wykonania K, a przez Ve0 (K) jej
cenę arbitrażową (tzn. uzyskaną na podstawie martyngałowego wzoru wyceny). Naturalnie
będziemy zakładali, że V0 jest funkcją ciągłą, malejącą względem K oraz
(i)
V0 (K)
(i)
(i)
(i)
V0 (0) = P0 ,
V0 (+∞) = 0.
Mamy
(i)
Ve0 (K) = N0 EPN P̂
(i)
(i)
T0
· 11 K
(i)
−K
(i)
T0
= N0 EPN P̂ (i) XT (i) · 11 K (i) XT (i) − K
0
.
0
Oznaczmy
J
(i)
(ξ) = N0 EPN P̂
(i)
XT (i) · 11
0
(i)
XT0
−ξ
.
Na podstawie rozkładu zmiennej XT (i) możemy obliczyć wartość funkcji J (i) (ξ) dla dowolnego
0
ξ ∈ R. Zauważmy też, że jeśli ten rozkład ma gęstość, to J (i) jest funkcją ciągłą. Ponadto
jest ona malejąca.
Ponieważ funkcja K (i) (ξ) jest rosnąca, więc
(i)
Ve0
(i)
K (i) (ξ) = J (i) (ξ),
czyli potrafimy obliczyć wartości Ve0 K (i) (ξ) bez znajomości funkcjonału K (i) (ξ). Na podstawie cen rynkowych znajdujemy takie K ∗ , że
(i)
(i)
V0 (K ∗ ) = Ve0
K (i) (ξ) = J (i) (ξ)
i przyjmujemy K (i) (ξ) = K ∗ (K ∗ jest wyznaczone jednoznacznie na mocy różnowartoś(i)
ciowości funkcji V0 ).
(i)
Korzystając z (4.5) wyznaczamy funkcjonał ξ 7→ N T0 , ξ :
(i)
1
N T0 , ξ =
P̂ (i) (ξ)K (i) (ξ)
(i)
(i)
+ B̂ T0 , Tmi , ξ
,
co kończy krok indukcyjny. W ten sposób otrzymujemy funkcjonały numéraire w chwilach
(1)
(n)
T0 , . . . , T0 , a następnie funkcjonały czynników dyskontowych na kracie K, zgodnie z uwagą
4.1.
(i)
5
(i)
W przypadku, gdy dysponujemy założeniem (ii’) zamiast (ii), wyznaczamy B̂(T0 , Tj , ξ) za pomocą
wzoru (4.6).
44
Uwaga 4.2. Alternatywnie można było założyć, że funkcjonał ξ 7→ K (i) (ξ) jest malejący.
Wówczas J (i) (ξ) definiujemy następująco:
(i)
J (i) (ξ) = N0 EPN P̂ (i) XT (i) · 11 ξ − XT0
0
(tym razem jest to funkcja rosnąca) i rozumowanie przeprowadzone wyżej dla funkcji rosnących ξ 7→ K (i) (ξ) przenosi się na przypadek funkcji malejących. Przy naturalnym założeniu,
(i)
że cena rynkowa V0 (K) jest funkcją malejącą względem ceny wykonania K, monotoniczność
(i)
funkcji K (i) (ξ) = (V0 )−1 (J (i) (ξ)) jest zgodna z obranym założeniem.6
Uwaga 4.3. Przy założeniu, że funkcja K (i) jest rosnąca, mamy
J
(i)
(−∞) = N0 EPN P̂
(i)
(i)
T0
(i)
(i)
= P0 = V0 (0),
czyli K (i) (−∞) = 0, oraz
(i)
J (i) (+∞) = 0 = V0 (+∞),
czyli K (i) (+∞) = +∞.
Analogicznie, przy założeniu, że funkcja K (i) jest malejąca, mamy K (i) (−∞) = +∞ oraz
(i)
K (+∞) = 0, zatem w obu przypadkach K (i) : R → R+ jest ciągłą bijekcją R na R+ .
Zwróćmy uwagę, że monotoniczność funkcjonału stopy rynkowej jest kluczowym założeniem w metodologii opisanej w tym podrozdziale. Można je poczynić, jeśli proces X jest jednowymiarowy. W przypadku wielowymiarowym Hunt i Kennedy proponują za proces kierujący przyjąć jednowymiarowy proces niebędący procesem Markowa, lecz funkcją pewnego
wielowymiarowego procesu Markowa, tzn.
Xt = f (t, Zt ),
gdzie Z jest n-wymiarowym procesem Markowa, a f : R × Rn → R – zob. [HK], s. 363.
Odbiega to od definicji 4.1, ale pozwala zastosować wyżej opisaną metodę kalibracji.
Częstą praktyką rynkową jest wycena swapcji na podstawie wzoru Blacka. Jednak opisana
w tym podrozdziale technika kalibracji nie narzuca sposobu, w jaki obliczane są rynkowe ceny
swapcji, zatem można ją zastosować w wielu sytuacjach rynkowych – również wtedy, gdy
ceny rynkowe nie są dane wzorem Blacka7 . Jest to duża zaleta modeli Markov-Functional i
przewaga nad innymi modelami.
4.2. Modelowanie stóp rynkowych w mierze PTn
Modelowanie M-F może być użyte jako alternatywa wobec modeli rynkowych opisanych w
rozdziale 3. Przedstawimy najpierw model M-F modelujący stopę LIBOR, zwany modelem
LIBOR M-F, a następnie model M-F stopy swapowej (tzw. model swap M-F). W obydwu
przypadkach ograniczymy się do wyspecyfikowania modelu na kracie.
Ustalmy strukturę czasową 0 < T0 < T1 . . . ¬ Tn i niech L(i) = (Lt (Ti−1 , Ti ))t∈[0,Ti−1 ]
dla i = 1, . . . , n. Przyjmujemy obligację zerokuponową zapadalną w Tn jako numéraire:
6
Uwaga 4.2 jest spostrzeżeniem autora pracy.
Dotyczy to np. rynku jena japońskiego (zob. [HKP] s. 10), na którym nie jest rozsądne modelowanie
stóp procentowych za pomocą procesu lognormalnego (a więc w szczególności modele rynkowe nie mają tam
zastosowania).
7
45
Nt = B(t, Tn ) i zakładamy, że istnieje równoważna miara martyngałowa PTn . Ponadto zakładamy, że proces L(n) jest martyngałem o rozkładzie lognormalnym w mierze PTn , tzn.
(n)
dLt
(n)
= σn (t)Lt dWtTn , t ∈ [0, Tn−1 ],
(4.7)
gdzie σn (t) jest funkcją ograniczoną na przedziale [0, Tn−1 ]. Oprócz tego zakładamy, że ceny
(i)
rynkowe capletów o poziomie wykonania K na stopy LIBOR LTi−1 = L(Ti−1 , Ti ), i = 1, . . . , n,
są dane odpowiednimi wzorami Blacka ze zmiennością implikowaną σ̃i (K), tzn.8
(i)
(i)
(i) Vcpl (K, 0) = ∆i B(0, Ti ) L0 Φ d1
(i) − KΦ d2
,
(4.8)
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego oraz
(i)
(i)
d1,2
=
(i)
d1,2 (Ti−1 , K)
=
ln
L0
K
± 12 σ̃i2 (K)Ti−1
√
,
σ̃i (K) Ti−1
przy czym, na mocy (4.7),
1
σ̃n2 (K) = σ̃n2 =
Z
Tn−1
Tn−1
0
σn2 (t)dt.
(4.9)
Z równania (4.7) wynika, że
(n)
Lt
(n)
= L0 exp
Z
0
t
σn (u)dWuTn −
1
2
Z
0
t
(n)
σn2 (u)du = L0 exp Xt −
1
2
Z
0
t
σn2 (u)du ,
gdzie proces Xt spełnia równanie stochastyczne
dXt = σn (t)dWtTn ,
X0 = x0 := 0.
(4.10)
Funkcja σn – jako funkcja stała względem zmiennej przestrzennej – spełnia warunek Lipschitza, a ponieważ jest ograniczona, więc spełnia też warunek liniowego wzrostu. Zatem z
twierdzenia 1.16 wynika, że X jest procesem Markowa. Przyjmujemy go jako proces kierujący
modelu.
Dla dowolnych 0 ¬ s < t, jeśli Xs = ξ, to
Z
Xt = ξ +
s
2 =
gdzie σ̄s,t
Rt
s
t
σn (u)dWuTn ∼ N (ξ, σ̄s,t ),
σn2 (u)du. Zatem gęstość przejścia dla procesu X ma postać:
ps,t (ξ, y) = gs,t (y − ξ),
2 . Stąd
gdzie gs,t jest gęstością rozkładu normalnego w mierze PTn o średniej 0 i wariancji σ̄s,t
dla dowolnej funkcji f mamy
Z
EPTn (f (Xt )|Xs = ξ) =
∞
−∞
f (y)gs,t (y − ξ)dy.
Na mocy rozważań w poprzednim podrozdziale, do określenia modelu M-F na kracie
wystarczy wyznaczyć funkcjonały ξ 7→ N (Ti , ξ) dla i = 0, . . . , n. W tym celu zastosujemy
metodę z poprzedniego podrozdziału. Założenie (i) (s. 42) jest już spełnione. Ponadto mamy
NTn = B(Tn , Tn ) = 1,
8
W odróżnieniu od [HKP] zaprezentowano metodę kalibracji modelu LIBOR M-F (jak również modelu
swap M-F) dla zmienności implikowanej σ̃i zależącej od K (niekoniecznie stałej).
46
czyli
N (Tn , ξ) ≡ 1.
Dalej,
B(Tn−1 , Tn ) =
1
1+
1
=
(n)
∆n LTn−1
1+
(n)
∆n L0 exp(XTn−1
−
1 R Tn−1
2 0
σn2 (u)du)
,
czyli
N (Tn−1 , ξ) =
1
(n)
∆n L0 exp(ξ
1+
−
1 R Tn−1
2 0
σn2 (u)du)
,
a więc spełnione jest założenie (ii).
Załóżmy, że mamy już wyznaczone funkcjonały ξ 7→ N (Tk , ξ) dla k = i, . . . , n. Wyznaczymy funkcjonał ξ 7→ N (Ti−1 , ξ). Ponieważ B̂(·, Ti ) jest martyngałem w mierze PTn , więc
na mocy faktu 1.1 mamy
B̂(Ti−1 , Ti , XTi−1 ) = EPTn (B̂(Ti , Ti , XTi ) | FTi−1 ) = ϕi (XTi−1 ),
gdzie
1
XT
ϕi (s) = EPTn
=s =
B(Ti , Tn , XTi ) i−1
Z ∞
Z ∞
1
1
pTi−1 ,Ti (s, u)du =
gTi−1 ,Ti (u − s)du.
=
−∞ B(Ti , Tn , u)
−∞ B(Ti , Tn , u)
Dla danego s potrafimy obliczyć ϕi (s) na mocy założenia indukcyjnego.
Ustalmy ξ ∈ R. Zgodnie z oznaczeniami z poprzedniego podrozdziału mamy
1 Ti−1 − ξ) =
J (i) (ξ) = B(0, Tn )EPTn ∆i B̂(Ti−1 , Ti , XTi−1 ) · 1(X
1 Ti−1 − ξ) =
= ∆i B(0, Tn )EPTn ϕi (XTi−1 ) · 1(X
Z
= ∆i B(0, Tn )
ξ
Z
∞
ϕi (s)g0,Ti−1 (s − x0 )ds =
∞ Z ∞
= ∆i B(0, Tn )
ξ
−∞
1
gT ,T (u − s) du g0,Ti−1 (s − x0 ) ds.
B(Ti , Tn , u) i−1 i
Ze wzoru (4.8) i lematu 4.1 wyznaczamy wzór na cenę rynkową binarnego capleta na stopę
(i)
LTi−1 o cenie wykonania K (zob. Dodatek):
(i)
(i)
(i)
(i)
p
Vbin (K, 0) = ∆i B(0, Ti ) Φ(d2 ) − L0 g(d1 ) Ti−1
∂ σ̃i (K)
,
∂K
gdzie g jest gęstością standardowego rozkładu normalnego. Znajdujemy takie K ∗ , że
(i)
Vbin (K ∗ , 0) = J (i) (ξ)
i przyjmujemy
L(i) (ξ) = K ∗ .
(4.11)
Ostatecznie ze wzoru (4.5), sprowadzającego się do postaci
NTi−1 =
1
(i)
∆i B̂(Ti−1 , Ti )LTi−1
47
,
+ B̂(Ti−1 , Ti )
otrzymujemy
N (Ti−1 , ξ) =
1
1
=
,
(i)
ϕi (ξ)(1 + ∆i L(i) (ξ))
B̂(Ti−1 , Ti , ξ)(1 + ∆i L (ξ))
co kończy krok indukcyjny. Otrzymujemy model LIBOR M-F skalibrowany do cen capletów.
W przypadku, gdy zmienność σ̃i (K) = σ̃i nie zależy od K, otrzymujemy
(i)
(i)
Vbin (K, 0) = ∆i B(0, Ti )Φ(d2 )
i można wyprowadzić jawny wzór na L(i) (ξ). Istotnie, z równości
(i)
J (i) (ξ) = ∆i B(0, Ti )Φ d2 (Ti−1 , K ∗ )
dostajemy
Φ
−1
J (i) (ξ)
∆i B(0, Ti )
(i)
L
!
=
(i)
d2 (Ti−1 , K ∗ )
ln( K0∗ ) − 12 σ̃i2 Ti−1
√
,
=
σ̃i Ti−1
czyli
∗
(i)
L (ξ) = K =
(i)
L0 exp
p
1
J (i) (ξ)
− σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1
2
∆i B(0, Ti )
!
.
Wówczas
"
N (Ti−1 , ξ) = ϕi (ξ) 1 +
(i)
∆i L0 exp
J (i) (ξ) p
1
− σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1
2
∆i B(0, Ti )
!#−1
.
Teraz wyznaczymy model swap M-F. Niech 0 < T0 < . . . < Tn oraz, dla i = 1, . . . , n,
= (Kt (Ti−1 , Tn ))t∈[0,Ti−1 ] . Jak w modelu LIBOR M-F, przyjmujemy obligację zerokuponową zapadalną w Tn jako numéraire: Nt = B(t, Tn ) i zakładamy, że istnieje równoważna
miara martyngałowa PTn , proces K (n) = L(n) spełnia stochastyczne równanie różniczkowe
(i)
(4.7) oraz ceny rynkowe opcji na stopy swapowe KTi−1 są dane odpowiednimi wzorami
Blacka ze zmiennością implikowaną σ̃i (K), tzn.
K (i)
(i)
(i)
(i) (i)
Vsw
(K, 0) = P0 · K0 Φ d1
(i)
gdzie Pt
=
Pn
k=i ∆k B(t, Tk )
(i) − KΦ d2
,
(4.12)
oraz
(i)
(i)
d1,2
=
(i)
d1,2 (Ti−1 , K)
=
ln
K0
K
± 21 σ̃i2 (K)Ti−1
√
.
σ̃i (K) Ti−1
Warunki (i), (ii) spełniamy tak samo, jak dla modelu LIBOR M-F, tzn. przyjmujemy proces
o dynamice (4.10) jako proces kierujący z rodziną gęstości przejścia (ps,t (·, ·)) oraz
N (Tn , ξ) ≡ 1,
N (Tn−1 , ξ) =
1
1+
(n)
∆n L0 exp
ξ−
1 R Tn−1
2 0
.
σn2 (u)du
Pozostaje wyznaczyć funkcjonały ξ 7→ N (Ti , ξ) dla i = 1, . . . , n − 2. Załóżmy, że funkcjonały
ξ 7→ N (Tk , ξ) są już wyznaczone dla k = i, . . . , n. Znajdziemy funkcjonał ξ 7→ N (Ti−1 , ξ).
48
Ponieważ dla k = i, . . . , n proces B̂(·, Tk ) jest martyngałem w mierze PTn , więc na mocy faktu
1.1 mamy dla k = i, . . . , n,
B̂(Ti−1 , Tk , XTi−1 ) = EPTn B̂(Tk , Tk , XTk ) FTi−1 = ϕi,k (XTi−1 ),
gdzie
!
1
=s
XT
B(Tk , Tn , XTk ) i−1
ϕi,k (s) = EPTn
Z
∞
=
−∞
1
pT ,T (s, u)du.
B(Tk , Tn , u) i−1 k
Stąd otrzymujemy
(i)
P̂Ti−1 (s) =
n
X
Z
∆k B̂(Ti−1 , Tk , s) =
k=i
∞
n
X
Z
=
−∞ k=i
∞
n
X
−∞ k=i
∆k
1
pT ,T (s, u)du =
1
gT ,T (u − s)du.
∆k
Na mocy założenia indukcyjnego potrafimy wyznaczyć funkcjonały s 7→ B̂(Ti−1 , Tk , s) dla
(i)
k = i, . . . , n oraz s 7→ P̂Ti−1 (s).
Ustalmy ξ ∈ R. Zgodnie z oznaczeniami z poprzedniego podrozdziału mamy
(i)
J (i) (ξ) = B(0, Tn )EPTn P̂Ti−1 (XTi−1 ) · 1(X
1 Ti−1 − ξ) =
Z
∞
ξ
Z
(i)
P̂Ti−1 (s)g0,Ti−1 (s − x0 )ds =
= B(0, Tn )
∞
= B(0, Tn )
ξ
∞
n
X
!
∆k
gTi−1 ,Tk (u − s) du g0,Ti−1 (s − x0 )ds.
−∞ k=i B(Tk , Tn , u)
Z
Ze wzoru (4.12) i lematu 4.1 wyznaczamy wzór na cenę rynkową i-tej swapcji binarnej (tzn.
(i)
opcji binarnej na stopę KTi−1 ) o cenie wykonania K (zob. Dodatek):
(i)
(i)
Vbin.sw. (K, 0) = P0
(i)
(i)
(i)
∂ σ̃i (K)
,
∂K
p
Φ(d2 ) − K0 g(d1 ) Ti−1
gdzie g jest gęstością standardowego rozkładu normalnego. Znajdujemy takie K ∗ , że
(i)
Vbin.sw. (K ∗ , 0) = J (i) (ξ)
i przyjmujemy
K (i) (ξ) = K ∗ .
Na podstawie wzoru (4.5), sprowadzającego się do postaci
NTi−1 =
1
(i)
(i)
P̂Ti−1 KTi−1
=
+ B̂(Ti−1 , Tn )
1
(i)
(i)
P̂Ti−1 KTi−1
,
+1
wyznaczamy funkcjonał
N (Ti−1 , ξ) =
1
(i)
P̂Ti−1 (ξ)K (i) (ξ)
.
+1
To kończy krok indukcyjny. Otrzymujemy model swap M-F skalibrowany do cen swapcji. Jeśli
zmienność σ̃i (K) = σ̃i nie zależy od K, to otrzymujemy prostszy wzór na cenę i-tej swapcji
binarnej:
(i)
(i)
(i)
Vbin.sw. (K, 0) = P0 Φ(d2 )
49
i analogicznie jak w przypadku modelu LIBOR M-F wyznaczamy jawny wzór na funkcjonał
ξ 7→ K (i) (ξ):
(i)
K (ξ) =
(i)
K0 exp
p
1
J (i) (ξ)
− σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1
(i)
2
P0
!
.
Wówczas
"
N (Ti−1 , ξ) =
p
J (i) (ξ)
1
− σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1
(i)
2
P0
(i)
(i)
P̂Ti−1 (ξ)K0 exp
!
#−1
+1
.
4.3. Kalibracja modelu dla parametrycznej postaci funkcjonału
N
Zaletą techniki kalibracyjnej opisanej w podrozdziałach 4.1 i 4.2 jest to, że otrzymany model
M-F jest dokładnie dopasowany do rynkowych cen capletów lub swapcji. Wadą jest możliwość
pojawienia się błędów numerycznych podczas implementacji. Mianowicie, wyznaczając funkcjonał ξ 7→ N (Ti , ξ), korzystamy z wyprowadzonych wcześniej funkcjonałów ξ 7→ N (Tk , ξ),
i < k ¬ n, co może prowadzić do kumulacji błędów numerycznych podczas implementacji
algorytmu, zwłaszcza, gdy n jest duże (np. jeśli chcemy wycenić instrument egzotyczny o terminie zapadalności 50Y zależny od trzymiesięcznych stóp LIBOR, to mamy n = 200 iteracji
algorytmu). Co więcej, algorytm wymaga znajomości rynkowych cen capletów lub swapcji o
dowolnej cenie wykonania K ∗ ∈ [0, ∞) (wyznaczonych np. za pomocą wzoru Blacka z danym
uśmiechem zmienności), natomiast w praktyce dysponujemy nie więcej niż kilkunastoma cenami wykonania, dla których znane są ceny rynkowe. Dlatego też postulat o dokładnym
dopasowaniu modelu M-F do cen rynkowych z dowolną ceną wykonania może się okazać zbyt
silny.
Dlatego przedstawimy alternatywną metodę kalibracji modelu M-F do cen rynkowych.
Mianowicie, na początku wybieramy pewną parametryczną postać funkcjonału N , a następnie
dobieramy parametry tak, aby otrzymany model najlepiej dopasowywał się do cen rynkowych.
Ustalmy strukturę czasową 0 ¬ T0 < . . . < Tn . Jak poprzednio przyjmujemy Nt = B(t, Tn ),
zakładamy istnienie równoważnej miary martyngałowej PTn i za proces kierujący przyjmujemy proces X o dynamice
dXt = σ(t)dWtTn , X0 = x0 .
Pelsser (zob. [Pels] s. 118-120) proponuje następującą parametryzację funkcjonału N :
1
1
2
= 1 + a(t)eb(t)Xt + d(t)e− 2 c(t)(Xt −m(t)) ,
B(t, Tn )
(4.13)
tzn.
1
h
N (t, ξ) = B(t, Tn , ξ) = 1 + a(t)eb(t)ξ + d(t)e− 2 c(t)(ξ−m(t))
2
i−1
,
gdzie a, b, c : [0, Tn ] → [0, ∞), d, m : [0, Tn ] → R są funkcjami deterministycznymi.
Biorąc d ≡ 0, otrzymujemy postać eksponencjalną
1
= 1 + a(t)eb(t)Xt ,
B(t, Tn )
(4.14)
która jest mile widzianą postacią, gdyż wówczas prosta stopa zwrotu z inwestycji w chwili t
w obligację zapadalną w Tn wyraża się wzorem
R(t, Tn ) =
1
a(t) eb(t)Xt ,
Tn − t
50
czyli R(·, Tn ) jest procesem lognormalnym. Dokładniej, dla ustalonego t ∈ (0, Tn ) mamy
a(t)
a(t)
+ b(t)Xt ∼ N ln
+ b(t)x0 , b2 (t)
Tn − t
Tn − t
ln R(t, Tn ) = ln
t
Z
σ 2 (u)du .
0
(n)
W szczególności, stopa LIBOR LTn−1 = L(Tn−1 , Tn ) ma rozkład lognormalny.
Postać (4.13) obejmuje dodatkowo możliwość lokalnych odchyleń od postaci eksponencjalnej (4.14), zanikających wraz ze wzrostem parametru c(t). Wówczas prosta stopa zwrotu
z obligacji zapadalnej w Tn wyraża się wzorem
R(t, Tn ) =
1
1 2
a(t)eb(t)Xt + d(t)e− 2 c(t)(Xt −m(t)) .
Tn − t
Zauważmy jeszcze, że modele afiniczne struktury terminowej, w których krótkoterminowa
stopa procentowa jest procesem Markowa, spełniają (4.13) dla d ≡ −1, c ≡ 0, Xt = rt .
2 = T σ 2 (u)du. Z martyngałowego wzoru wyceny, faktu 1.1 i lematu 5.1
Oznaczmy σ̄t,T
t
otrzymujemy dla dowolnych 0 ¬ t ¬ T ¬ Tn :
R
B(t, T )
= EPTn
B(t, Tn )
1
b(T )XT
− 21 c(T )(XT −m(T ))2 Ft = EP
1
+
a(T
)e
+
d(T
)
e
Xt =
Tn
B(T, Tn ) 1
2
= 1 + a(T )EPTn eb(T )XT Xt + d(T )EPTn e− 2 c(T )(XT −m(T )) Xt =
c(T )
1
2
(Xt −m(T ))
−2
d(T )
1+c(T )σ̄ 2
t,T
+q
=
·e
2
1 + c(T )σ̄t,T
1 2
2 +b(T )X
(T )σ̄t,T
t
= 1 + a(T )e 2 b
1
2
= 1 + a(t, T )eb(T )Xt + d(t, T )e− 2 c(t,T )(Xt −m(T )) ,
gdzie
1 2
2
(T )σ̄t,T
a(t, T ) = a(T )e 2 b
,
c(t, T ) =
c(T )
2 ,
1 + c(T )σ̄t,T
d(T )
d(t, T ) = q
2
1 + c(T )σ̄t,T
.
Wobec tego cena w chwili t dowolnej obligacji zapadalnej w T dzielona przez wartość
numéraire’a w t ma postać funkcyjną analogiczną do (4.13).
Mając wzory analityczne na ceny obligacji, możemy wyprowadzić również wzory analityczne na ceny opcji europejskich na obligacje. Mianowicie, niech P0 (t, T, K) oznacza cenę
w chwili 0 europejskiej opcji put wygasającej w chwili t, o cenie wykonania K, na obligację
zapadalną w T ∈ [t, Tn ]. Wypłata z tej opcji następuje w chwili t i jest oczywiście równa
max(K − B(t, T ), 0),
zatem
K
B(t, T, Xt )
P0 (t, T, K)
= EPTn max
−
,0
B(0, Tn )
B(t, Tn , Xt ) B(t, Tn , Xt )
Z
=K
b(t)ξ
1 + a(t)e
− 12 c(t)(ξ−m(t))2
+ d(t)e
{ξ: K>B(t,T,ξ)}
−
Z
b(T )ξ
1 + a(t, T )e
=
−
1
√
e
2πσ̄0,t
− 21 c(t,T )(ξ−m(T ))2
+ d(t, T )e
{ξ: K>B(t,T,ξ)}
51
(ξ−x0 )2
2σ̄ 2
0,t
−
1
√
e
2πσ̄0,t
dξ +
(ξ−x0 )2
2σ̄ 2
0,t
dξ.
Z lematu 5.1 zastosowanego do zmiennych losowych X ∼ N (µ, σ 2 ) oraz X − m wynika
równość9
Z
h
1
1 + aebx + de− 2 c(x−m)
2
·√
l
(x−µ)2
1
e− 2σ2 dx =
2πσ
1 2 2
x − µ h
x − (µ + bσ 2 )
+ aebµ+ 2 b σ Φ
=Φ
σ
σ
x=l
!

+
c(µ−m)2
x−
d
−1
+√
e 2 1+cσ2 Φ  q
1 + cσ 2
µ+mcσ 2
1+cσ 2
σ2
1+cσ 2
 h
 , (4.15)
x=l
na podstawie której można wyznaczyć cenę opcji P0 (t, T, K).
Mając dane ceny opcji put na obligacje, można łatwo wyprowadzić wzory na ceny
capletów. Istotnie, wypłata z capleta na stopę LIBOR L = L(T, S) o nominale N i cenie
wykonania K jest równa
∆N
(1 + ∆L) − (1 + ∆K)
max(L − K, 0) = N max
,0 =
1 + ∆L
1 + ∆L
1
1
1
= N ·(1+∆K) max
−
, 0 = N ·(1+∆K) max
− B(T, S), 0 ,
1 + ∆K
1 + ∆L
1 + ∆K
czyli jest równa wypłacie z opcji put o nominale N (1 + ∆K) i cenie wykonania
obligację zapadalną w S. Stąd cena tego capleta jest równa
Vcpl (K, 0) = N · (1 + ∆K) · P0
1
T, S,
1 + ∆K
1
1+∆K
na
.
Mając dane wzory analityczne na ceny capletów, optymalizujemy parametry a, b, c, d, m tak,
aby otrzymana cena była najbliższa cenie obserwowanej na rynku. Zwróćmy uwagę, że opisana
powyżej metoda kalibracji modelu nie wymaga znajomości rynkowych cen opcji o dowolnej
cenie wykonania K, co może stanowić przewagę nad metodą opisaną w podrozdziałach 4.1 i
4.2.
4.4. Modelowanie stopy LIBOR w mierze spot
Niech 0 ¬ T0 < . . . < Tn ¬ T ∗ oraz ∆j = Tj − Tj−1 , L(j) = L(Tj−1 , Tj ) dla j = 1, . . . , n. Dla
t ∈ [0, Tn ] określamy proces
m(t)
Nt = B (t, Tm (t))
m(t)
Y
1
j=1
B(Tj−1 , Tj )
= B(t, Tm(t) )
Y
(1 + ∆j L(j) ),
(4.16)
j=1
gdzie m(t) = min{k = 0, 1, . . . : Tk t}, przy czym przyjmujemy, że iloczyn po zbiorze
pustym jest równy 1.
N jest procesem bogactwa portfela skonstruowanego w następujący sposób: w chwili 0
inwestujemy kwotę B(0, T0 ) w obligację zapadalną w T0 , a następnie w chwili Tj−1 reinwestujemy całą aktualnie posiadaną kwotę w obligację zapadalną w Tj dla j = 1, . . . , n.
Instrument N , zwany obligacją rolowaną (rolling bond) przyjmujemy za numéraire.
9
Analogiczny wzór w [Pels] zawiera literówkę – lewa strona równości (9.30) ze s. 119 powinna być podzielona
przez σ.
52
Definicja 4.4. Równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z obligacją rolowaną zdefiniowaną wzorem (4.16) nazywamy miarą martyngałową spot lub krótko: miarą spot.
Zajmiemy się teraz kalibracją modelu LIBOR M-F w mierze spot. Jak w podrozdziale 4.2
ograniczymy się do wyspecyfikowania modelu na kracie. Zakładamy, że proces kierujący X
ma w tej mierze dynamikę
dXt = σ(t)dWt , X0 = x0
(4.17)
dla danej funkcji ograniczonej σ oraz dla każdego j = 1, . . . , n stopa L(j) jest funkcją zmiennej
XTj−1 :
L(Tj−1 , Tj ) = L(Tj−1 , Tj , XTj−1 ).
Zauważmy, że dla i = 0, . . . , n mamy
NTi =
i
Y
(1 + ∆j L(j) ),
j=1
zatem NTi jest funkcją zmiennych XT0 , XT1 , . . . , XTi−1 , a więc zależną od trajektorii procesu X, w przeciwieństwie do modeli M-F w mierze PTn , w których numéraire w chwili Ti
jest funkcją samej tylko zmiennej XTi . W modelu M-F w mierze spot mamy więc spełniony
warunek (M2’) definicji (zob. s. 40). Zauważmy jeszcze, że NTi jest zmienną losową FTi−1 mierzalną, podczas gdy w mierze PTn numéraire w chwili Ti jest zmienną losową FTi mierzalną, ale nie FTi−1 -mierzalną.
W mierze PTn użyliśmy capleta binarnego do kalibracji modelu LIBOR M-F. Dogodnym
instrumentem w mierze spot okazuje się być tzw. binarny caplet in arrears. Przyjmujemy za
Friesem i Rottem ([FR], s. 20) następującą definicję.
Definicja 4.5. Binarny caplet/floorlet in arrears (digital caplet/floorlet in arrears) jest to
binarna opcja kupna/sprzedaży stopy LIBOR L = L(T, S), której wypłata następuje w chwili
T i jest równa
11(ω(L − K)) ,
gdzie ω = 1 dla capleta, ω = −1 dla floorleta.
1
Wypłata ze zwykłego capleta binarnego (z nominałem S−T
) jest równoważna wypłacie
1(L
1 − K) na koniec okresu depozytowego stopy L, natomiast w przypadku binarnego capleta
in arrears otrzymujemy tę wypłatę na początku okresu depozytowego.
Mamy
∆(L − K)+
1
∆
1(L
1 − K) =
·
+ K+
· 1(L
1 − K),
1 + ∆L
∆
1 + ∆L
gdzie ∆ = S − T jest długością okresu depozytowego stopy L. Zatem caplet binarny in
arrears o cenie wykonania K jest równoważny z portfelem złożonym z jednego capleta o cenie
1
wykonania K oraz K + ∆
capletów binarnych o cenie wykonania K. Podobnie
1
∆(K − L)+
+ K+
1(K
1 − L) = −
1 + ∆L
∆
·
∆
· 1(K
1 − L),
1 + ∆L
czyli floorlet binarny in arrears jest równoważny z portfelem złożonym z krótko sprzedanego
1
floorleta oraz długiej pozycji w K + ∆
floorletów binarnych.
Skupimy się na kalibracji modelu do cen capletów. Na mocy lematu 4.1 kalibracja modelu do rynkowych cen capletów jest równoważna kalibracji do wyprowadzonych z nich cen
53
binarnych capletów in arrears. Zakładamy, że cena rynkowa capleta na stopę L(i) jest dana
wzorem Blacka ze zmiennością implikowaną σ(Ti−1 , K) = σ̃i (K), tzn.
(i)
(i)
(i) Vcpl (K, 0) = ∆i B(0, Ti ) L0 Φ d1
(i) − KΦ d2
.
(4.18)
Wówczas cena rynkowa i-tego capleta binarnego in arrears jest równa (zob. Dodatek):
(i)
(i)
(i)
(i)
Vb.a. (K, 0) = ∆i B(0, Ti )L0 Φ(d1 ) + B(0, Ti )Φ(d2 ) +
(i)
(i)
p
− (∆i K + 1)B(0, Ti )L0 g(d1 ) Ti−1
∂ σ̃i (K)
.
∂K
Tym razem w celu wyznaczenia funkcjonałów ξ 7→ N (Ti , ξ), i = 1, . . . , n, zastosujemy
indukcję „w przód”. Zakładamy, że T0 = 0 oraz funkcjonał ξ 7→ L(i) (ξ) jest rosnący dla
i = 2, . . . , n. Oczywiście N (T0 ) = 1, L(1) (ξ) ≡ L(0, T1 ) oraz N (T1 , ξ) ≡ 1 + ∆1 L(0, T1 ).
Załóżmy, że mamy już wyznaczone funkcjonały ξ 7→ L(j) (ξ) dla j ¬ i − 1. Tym
samym znamy funkcjonał (ξ1 , . . . , ξi−2 ) 7→ N (Ti−1 , x0 , ξ1 , . . . , ξi−2 ). Wyznaczymy funkcjonały
(i)
ξ 7→ L(i) (ξ) oraz (ξ1 , . . . , ξi−1 ) 7→ N (Ti , x0 , ξ1 , . . . , ξi−1 ). Oznaczmy przez Veb.a. (K, t) wartość
w chwili t i-tego capleta binarnego in arrears o cenie wykonania K. Dla czytelności zapisu
operator wartości oczekiwanej w mierze PN będziemy oznaczać przez E zamiast EPN . Mamy
(i)
Veb.a. (K, Ti−1 ) = 1(L
1 (i) − K)
oraz dla j ¬ i − 2,
(i)
(i)
Veb.a. (K, Tj )
!
Veb.a. (K, Tj+1 ) N (Tj )
(i)
= N (Tj ) · E
· E Veb.a. (K, Tj+1 ) FTj =
FTj =
N (Tj+1 ) N (Tj+1 )
1
e (i) (K, Tj+1 ) FT ,
·
E
V
=
j
b.a.
1 + ∆j+1 L(j+1) (Tj , Tj+1 , XTj )
gdyż zmienna losowa N (Tj+1 ) jest FTj -mierzalna. Stąd
1
e (i) (K, T1 ) =
E
V
b.a.
1 + ∆1 L(1)
!
1
1
(i)
e
=
·E
E Vb.a. (K, T2 )FT1
=
1 + ∆1 L(1)
1 + ∆2 L(2) (XT1 )
(i)
Veb.a. (K, 0) =
1
1
1
e (i) (K, T3 )FT FT
=
E
E
E
V
2
1
b.a.
1 + ∆1 L(1)
1 + ∆2 L(2) (XT1 )
1 + ∆3 L(3) (XT2 )
!!
=
= ... =
1
1
e (i) (K, Ti−2 )FT
=
E
E
.
.
.
E
V
.
.
.
F
T1
i−3
b.a.
1 + ∆1 L(1)
1 + ∆2 L(2) (XT1 )
!
=
!
1
1
(i)
=
E
E
.
.
.
E
1
1
L
−
K
F
F
.
.
.
.
F
T
T
T
1
i−2
i−3
1 + ∆1 L(1)
1 + ∆2 L(2) (XT1 )
(4.19)
Weźmy dowolne ξ ∈ R i oznaczmy
J (i) (ξ) =
1
1
=
E
E
.
.
.
E
1(X
1
−
ξ)
F
F
.
.
.
FT1
Ti−1
Ti−2
Ti−3
1 + ∆1 L(1)
1 + ∆2 L(2) (XT1 )
54
!
.
Mając rozkłady zmiennych XT1 , . . . , XTi−1 , potrafimy wyznaczyć J (i) (ξ) na mocy założenia
indukcyjnego. Mamy bowiem
1
1
...
(2)
(3)
R 1 + ∆2 L (x1 ) R 1 + ∆3 L (x2 )
Z
Z
1
...
1(x
1 i−1 − ξ)pTi−2 ,Ti−1 (xi−2 , xi−1 )dxi−1 ·
(i−1) (x
R 1 + ∆i−1 L
i−2 ) R
· pTi−3 ,Ti−2 (xi−3 , xi−2 )dxi−2 . . . pT1 ,T2 (x1 , x2 )dx2 · p0,T1 (x0 , x1 )dx1 =
Z
Z ∞
1
· gTi−2 ,Ti−1 (xi−1 − xi−2 )gTi−3 ,Ti−2 (xi−2 − xi−3 ) . . .
=
NTi−1 (x0 , . . . , xi−2 )
Ri−2 ξ
J (i) (ξ) =
1
1 + ∆1 L(1)
Z
Z
. . . gT1 ,T2 (x2 − x1 )g0,T1 (x1 − x0 )dxi−1 dxi−2 . . . dx2 dx1 .
(4.20)
Ponieważ funkcjonał ξ 7→ L(i) (ξ) jest rosnący, więc
(i)
Veb.a. L(i) (ξ), 0 = J (i) (ξ).
Na podstawie cen rynkowych znajdujemy takie K ∗ , że
(i)
Vb.a. (K ∗ , 0) = J (i) (ξ)
i przyjmujemy L(i) (ξ) = K ∗ . Następnie wyznaczamy funkcjonał N (Ti ):
i Y
N (Ti , ξ0 , ξ1 , . . . , ξi−1 ) =
1 + ∆j L(j) (ξj−1 ) .
j=1
Funkcjonały czynników dyskontowych DF (Ti , Tj ) = B(Ti , Tj ), 1 ¬ i ¬ j ¬ n, wyznaczamy
krok po kroku z zastosowaniem wstecznej indukcji. Weźmy dowolne j ∈ {1, . . . , n}. Przyjmujemy
B(Tj , Tj , ξ) ≡ 1,
1
.
1 + ∆j L(j) (ξ)
B(Tj−1 , Tj , ξ) =
Zauważmy, że B(Tj−1 , Tj ) =
1
1+∆j L(j) (XTj−1 )
jest funkcją zmiennej XTj−1 .
Teraz weźmy i ∈ {1, . . . , j − 2} i załóżmy, że B(Ti+1 , Tj ) = B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ), gdzie
funkcjonał ξ 7→ B(Ti+1 , Tj , ξ) jest dany. Wówczas
!
B(Ti+1 , Tj ) NTi
B(Ti , Tj ) = NTi E
E B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ) | FTi =
FTi =
NTi+1 NTi+1
1
=
E(B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ) | XTi )
1 + ∆i+1 L(i+1) (XTi )
jest funkcją zmiennej XTi . Przyjmujemy
B(Ti , Tj , ξ) =
1
E B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ) | {XTi = ξ} ,
(i+1)
1 + ∆i+1 L
(ξ)
co zgodnie z faktem 1.1 i założeniem (4.17) sprowadza się do postaci
B(Ti , Tj , ξ) =
1
1 + ∆i+1 L(i+1) (ξ)
Z
=
R
Z
R
B(Ti+1 , Tj , x)pTi ,Ti+1 (ξ, x)dx =
B(Ti+1 , Tj , x)gTi ,Ti+1 (x − ξ)dx.
55
(4.21)
To kończy krok indukcyjny. Zatem, aby wyznaczyć funkcjonał czynnika dyskontowego między
chwilami Ti , Tj , i < j, musimy po kolei wyznaczyć wszystkie funkcjonały pośrednich czynników dyskontowych między chwilami Tk , Tj dla k = j − 1, j − 2, . . . , i + 1. Jeśli jednak
z pewnych względów nie potrzebujemy znać wszystkich funkcjonałów, a znamy funkcjonał
ξ 7→ B(Tk , Tj , ξ) dla pewnego i < k < j − 1, to do wyznaczenia funkcjonału ξ wystarczy
wykonać k − i iteracji, począwszy od k.
Zwróćmy uwagę, że dla dowolnych i, j, B(Ti , Tj ) jest funkcją samej tylko zmiennej XTi ,
czyli spełnione jest założenie (M3) na kracie {(Ti , Tj ) : 0 ¬ i ¬ j ¬ n}.
Opisana w tym podrozdziale metoda kalibracji ma zastosowanie również w przypadku,
gdy ceny rynkowe capletów nie są wyspecyfikowane za pomocą wzoru Blacka, a także w przypadku, gdy proces kierujący ma inną dynamikę niż (4.17) – wzory (4.20) i (4.21) pozostaną
prawdziwe przy odpowiednio zmienionych gęstościach przejścia.
Analogicznie do wzoru (4.19) można wyprowadzić wzór na cenę dowolnego instrumentu
egzotycznego wypłacającego w chwili Ti wartość VTi (L(1) , . . . , L(i+1) ) zależną od stóp LIBOR
L(1) , . . . , L(i+1) :
"
1
1
1
V0 =
E
...
E
(1)
(2)
1 + ∆1 L
1 + ∆2 L (XT1 )
1 + ∆3 L(3) (XT2 )
1
...E
1 + ∆i−1
· E VTi
L(i−1) (X
1
Ti−2 )
E
1 + ∆i
L(i) (X
Ti−1 )
·
(1)
(i+1)
L (X0 ), . . . , L
(XTi ) FTi−1 FTi−2 FTi−3 . . . FT1
!#
=
(4.22)
VTi L(1) (x0 ), . . . , L(i+1) (xi )
...
gTi−1 ,Ti (xi − xi−1 )dxi ·
=
N (Ti , x0 , . . . , xi−1 )
R
R
· gTi−2 ,Ti−1 (xi−1 − xi−2 )dxi−1 · . . . · g0,T1 (x1 − x0 )dx1 .
Z
Z
4.5. Modelowanie ceny aktywa metodą Markov-Functional
Modele Markov-Functional zostały wymyślone na potrzeby modelowania stóp rynkowych.
Jednak ideę Markov-Functional można z powodzeniem zastosować do modelowania wielu innych obserwowanych na rynku procesów stochastycznych, np. cen akcji, towarów, czy kursów
wymiany walut. To podejście zostało zaproponowane przez Friesa (2006) (zob. [F1], par. 27.2
i [F2]). Nowatorskim pomysłem był wybór samego modelowanego aktywa za numéraire, w
odróżnieniu od standardowych modeli traktujących rachunek bankowy jako numéraire.
Opiszemy teraz model M-F modelujący cenę aktywa. Niech Q oznacza równoważną miarę
martyngałową stowarzyszoną z aktywem S. Jak poprzednio zakładamy, że proces kierujący
X ma dynamikę
dXt = σ(t)dWtQ , X0 = x0 ,
(4.23)
gdzie σ jest funkcją deterministyczną. Ponadto, zgodnie z (M2) zakładamy, że istnieje funkcjonał (t, ξ) 7→ S(t, ξ) taki, że proces cen aktywa S spełnia
St (ω) = S(t, Xt (ω)).
Z martyngałowego wzoru wyceny mamy również
B(t, T ) = B(t, T, Xt ),
56
gdzie
B(t, T, ξ) = S(t, ξ) · EQ
1
{Xt = ξ} .
S(T, XT ) (4.24)
Przykładem modelu M-F aktywa jest klasyczny model Blacka-Scholesa.
Twierdzenie 4.1. Klasyczny model Blacka-Scholesa, w którym spełnione są równania
dSt = rSt dt + σBS St dWt∗ ,
Bt = ert ,
(4.25)
jest modelem M-F. Jeśli za proces kierujący przyjmiemy proces (4.23) ze stałym współczynnikiem dyfuzji σ(t) = σ > 0 oraz x0 = 0, to funkcjonały aktywa i obligacji będą miały postać
1 2
σBS
S(t, ξ) = S0 exp rt + σBS
t+
ξ ,
2
σ
(4.26)
B(t, T, ξ) = e−r(T −t) .
(4.27)
Dowód. Na mocy twierdzenia 2.2 pochodna Radona-Nikodýma wiążąca miary Q i P∗ jest
dana wzorem
St
St e−rt
dQ %t =
=
=
dP∗ Ft
S0 Bt
S0
i ze wzoru na całkowanie przez części mamy
d%t =
1 −rt
1 −rt
e (dSt − rSt dt) =
e σBS St dWt∗ = σBS %t dWt∗ .
S0
S0
Z twierdzenia Girsanowa otrzymujemy
dWtQ = dWt∗ − σBS dt.
Równanie (4.25) przyjmuje w mierze Q postać
2
dSt = rSt dt + σBS St (dWtQ + σBS dt) = (r + σBS
)St dt + σBS St dWtQ
i ze stwierdzenia 1.4 dostajemy
St = S0 exp
σBS WtQ
1 2
σBS
1 2
t = S0 exp rt + σBS
t+
· Xt ,
+ r + σBS
2
2
σ
gdyż, jak przyjęliśmy,
Z
Xt = x0 +
0
t
σdWuQ = σWtQ .
Zatem funkcjonał aktywa S jest określony wzorem (4.26). Dalej, ze wzoru martyngałowego
wyceny i lematu 5.1 otrzymujemy, na mocy niezależności przyrostów procesu Wienera
WTQ − WtQ od σ-ciała Ft ,
St 1 2
Ft = EQ exp −σBS (WTQ − WtQ ) + (r + σBS
)(t − T ) =
ST 2
1 2
1 2
= exp (r + σBS
)(t − T ) + σBS
(T − t) = e−r(T −t)
2
2
B(t, T ) = EQ
i stąd mamy wzór (4.27).
W prosty sposób można przeprowadzić rozumowanie odwrotne.
57
Twierdzenie 4.2. Rozpatrzmy model M-F aktywa S określony przez proces kierujący Xt =
σWtQ i funkcjonał (4.26). Wówczas jest to model Blacka-Scholesa spełniający (4.25). Ponadto
zachodzi (4.27).
Uwaga. W powyżej rozpatrywanym modelu Blacka-Scholesa za proces kierujący można
przyjąć dowolny proces postaci
Xt = x0 + µt + σWtQ .
Wówczas zmieni się tylko funkcjonał S. Mianowicie, będziemy mieli
1 2
σBS
σBS
r + σBS
−
µ t+
(ξ − x0 ) .
2
σ
σ
S(t, ξ) = S0 exp
Model Markov-Functional aktywa można skalibrować do cen opcji europejskich o
dowolnej cenie wykonania K i terminie wygaśnięcia T (a więc do całej płaszczyzny zmienności σ(T, K)). W tym celu załóżmy, jak zwykle, że funkcjonał (t, ξ) 7→ S(t, ξ) jest rosnący
względem ξ i rozpatrzmy binarną opcję call typu Asset-or-Nothing, tj. opcję o wypłacie
AoN
VT,K
(T ) = ST · 1(S
1 T − K)
następującej w chwili T . Mamy
AoN
VT,K
(T ) = (ST − K)+ + K · 1(S
1 T − K),
czyli ta opcja jest w sensie wyceny równoważna z portfelem złożonym z waniliowej opcji call
i K binarnych opcji call typu Cash-or-Nothing (o tej samej cenie wykonania K i terminie
wygaśnięcia T ).
call (·), V CoN (·), V AoN (·) procesy wartości waniliowej opcji
Oznaczmy odpowiednio przez VT,K
T,K
T,K
call, opcji Cash-or-Nothing (typu call) i opcji Asset-or-Nothing (typu call) o cenie wykonania
K i terminie wygaśnięcia T . Analogicznie do dowodu lematu 4.1 pokazujemy, że
∂ call
V (0).
(4.28)
∂K T,K
Zatem kalibracja modelu do rynkowych cen opcji waniliowych jest równoważna kalibracji do
wyprowadzonych z nich cen opcji typu Asset-or-Nothing.
Zakładamy, że ceny rynkowe opcji waniliowych są dane wzorem Blacka-Scholesa z
płaszczyzną zmienności implikowanej σ̃BS (T, K), tzn.
AoN
call
(0) = VT,K
(0) − K
VT,K
call
VT,K
(0) = S0 Φ(d1 ) − e−rT KΦ(d2 ),
gdzie
d1,2 = d1,2 (T, K) =
2 (T, K)T
ln SK0 + rT ± 21 σ̃BS
√
.
σ̃BS (T, K) T
Analogicznie jak w przypadku capletów binarnych, z równości (4.28) wyprowadzamy wzór na
cenę rynkową opcji Asset-or-Nothing:10
√
∂ σ̃BS (T, K)
AoN
−rT
−rT
VT,K (0) = S0 Φ(d1 ) − e
KΦ(d2 ) + K e
Φ(d2 ) − S0 T g(d2 ) ·
=
∂K
√
∂ σ̃BS (T, K)
.
= S0 Φ(d1 ) − KS0 T g(d2 )
∂K
10
Wzór w [F1] s. 382 i [F2] s. 5 jest niepoprawny.
58
Natomiast cena arbitrażowa tej opcji jest równa
AoN
VeT,K
(0) = S0 EQ
ST1(S
1 T − K)
ST
= S0 EQ [1
1(S(T, XT ) − K)] .
Ustalmy T > 0, ξ ∈ R i niech

J(T, ξ) = S0 EQ1(X
1 T − ξ) = S0 Q(XT > ξ) = S0 Φ  qR

x0 − ξ
T
0
σ 2 (u)du
.
Mając dane ceny rynkowe, znajdujemy takie K ∗ , że
AoN
VT,K
∗ (0) = J(T, ξ)
(4.29)
i przyjmujemy
S(T, ξ) = K ∗ .
AoN (0) = V AoN (0) i
Z założenia, że funkcjonał S jest rosnący względem ξ wynika, że VeT,K
T,K
otrzymujemy model Markov-Functional dla aktywa S skalibrowany do cen rynkowych.
Uwaga. Jeśli zmienność implikowana σ̃BS nie zależy od K, σ̃BS (T, K) = σ̃BS (T ), to
można wyprowadzić wzór jawny na funkcjonał ξ 7→ S(T, ξ). Mianowicie, z równości (4.29)
otrzymujemy
x0 − ξ
d1 (T, K ∗ ) = qR
,
T 2
σ
(u)du
0
a stąd
1 2
σ̃BS (T )
S(T, ξ) = K = S0 exp rT + σ̃BS
(T ) · T +
(ξ − x0 ) ,
2
σ̃(T )
∗
gdzie σ̃ 2 (t) =
(4.30)
1 Rt 2
11
t 0 σ (u)du.
Uwaga. Z rynkowych cen opcji europejskich danych dla wszystkich K > 0 wynikają
w sposób jednoznaczny ceny obligacji. Istotnie, mamy
K→0+
CoN
VT,K
(T ) = 1(S
1 T − K) −−−−→ 1 = B(T, T ),
a z założenia o braku arbitrażu wynika, że dla t < T zachodzi
CoN
(t) = − lim
B(t, T ) = lim VT,K
K→0+
K→0+
∂ call
V (t).
∂K T,K
Zatem w modelu M-F musi być
CoN
B(t, T, ξ) = lim VT,K
(t, ξ),
K→0+
(4.31)
CoN (t, ξ) jest funkcjonałem wartości opcji Cash-or-Nothing w tym modelu.
gdzie (t, ξ) 7→ VT,K
Rozkład procesu kierującego trzeba tak dobrać, aby równości (4.24) i (4.31) były zgodne ze
sobą. W przypadku, gdy ceny rynkowe opcji są dane wzorem Blacka-Scholesa ze strukturą
terminową zmienności implikowanej σ̃BS (T ), tzn.
call
VT,K
(t) = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ),
11
Jest to spostrzeżenie autora pracy.
59
d1,2
2 (T ) (T − t)
ln SKt + r ± 12 σ̃BS
√
=
,
σ̃BS (T ) T − t
otrzymujemy
CoN
VT,K
(t) = e−r(T −t) Φ(d2 )
oraz
B(t, T ) = e−r(T −t) Φ( lim d2 ) = e−r(T −t) .
K→0+
Pokażemy, jak dopasować model M-F do powyższych cen obligacji. Załóżmy teraz, że
x0 = 0 oraz σ̃BS (T, K) = σ̃BS (T ) dla T > 0. Ze wzoru (4.30) i lematu 5.1 dostajemy dla
t < T,
"
St 1 2
2
Ft = EQ exp r(t − T ) +
σ̃BS (t) · t − σ̃BS
(T ) · T +
ST
2
B(t, T ) = EQ
σ̃BS (t)
σ̃BS (T )
+
Xt +
Xt −
σ̃(t)
σ̃(T )
T
Z
t
! #
σ(u)dWuQ Ft =
"
1
σ̃ 2 (T )
2
2
= exp − r(T − t) +
σ̃BS
(t) · t − σ̃BS
(T ) · T + BS
2
σ̃ 2 (T )
− Xt
"
σ̃BS (T ) σ̃BS (t)
−
σ̃(T )
σ̃(t)
Z
!
T
2
σ (u)du +
t
#
=
σ̃ 2 (t)
1 2
2
σ̃BS (T ) · 2
t − σ̃BS
(t)t −
= exp −r(T − t) −
2
σ̃ (T )
#
σ̃BS (T ) σ̃BS (t)
−
Xt .
σ̃(T )
σ̃(t)
Jeśli wybierzemy σ takie, że σ̃ ≡ σ̃BS , to
B(t, T ) = e−r(T −t)
i otrzymany model M-F jest wolny od arbitrażu.
Z powyższych rozważań wynika
Wniosek 4.1. Rozpatrzmy model M-F z procesem kierującym Xt =
nałami
Rt
0
σ(u)dWu i funkcjo-
1
S(t, ξ) = S0 exp rt + σ̃ 2 (t) · t + ξ ,
2
−r(T −t)
B(t, T, ξ) = e
.
Wówczas jest to model Blacka-Scholesa o dynamice
dSt = rSt dt + σ(t)St dWt∗ ,
Bt = ert .
Dowód wynika natychmiast z faktu, że zmienność implikowana w powyższym modelu
Blacka-Scholesa spełnia
1
t
Z
σ̃BS (t) =
t
2
σ (u)du
1/2
= σ̃(t).
0
Nie trzeba jednak poświęcać parametru σ, żeby dopasować model do cen obligacji. Zamiast
60
tego można wprowadzić dryf do procesu kierującego X.12 W tym celu rozważamy dyskretyzację czasu 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = T ∗ i zdyskretyzowany proces kierujący taki, że
dla i = 1, . . . , n,
Xti+1 = Xti + αi Xti (ti+1 − ti ) + σi (WtQi+1 − WtQi ),
X0 = 0.13
Jest to dyskretna wersja procesu o dynamice
dXt = α(t)Xt dt + σ(t)dWtQ ,
X0 = 0.
Ponieważ dla i = 1, . . . , n zmienne losowe Xti , WtQi+1 − WtQi są niezależne oraz X0 = 0, więc
z zasady indukcji wynika, że zmienna Xti ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji γi2 ti ,
gdzie
2
γi+1
ti+1 = (1 + αi (ti+1 − ti ))2 γi2 ti + σi2 (ti+1 − ti ).
Stąd
ξ
Q(Xti > ξ) = Φ − √
γi ti
i ze wzoru (4.29) wyprowadzamy postać funkcjonału ξ 7→ S(ti , ξ):
1 2
σ̃BS (ti )
(ti ) · ti +
ξ .
S(ti , ξ) = S0 exp rti + σ̃BS
2
γi
Zatem
B(ti , ti+1 , ξ) = EQ
Sti Xt = ξ
Sti+1 i
!
1 2
1 2
(ti )ti − σ̃BS
(ti+1 )ti+1 +
= exp r(ti − ti+1 ) + σ̃BS
2
2
σ̃BS (ti )
σ̃BS (ti+1 )
ξ · EQ −
· Xti+1 Xti = ξ =
γi
γi+1
1 2
σ̃BS (ti )
1 2
ξ ·
= exp r(ti − ti+1 ) + σ̃BS (ti )ti − σ̃BS (ti+1 )ti+1 +
2
2
γi
+
!
2 (t
σ̃BS (ti+1 )
1 σ̃BS
i+1 ) 2
· exp −
σi (ti+1 − ti )
ξ(1 + αi (ti+1 − ti )) +
2
γi+1
2 γi+1
"
= exp
1 2
σ 2 (ti+1 − ti )
− r(ti+1 − ti ) −
σ̃BS (ti+1 ) ti+1 − i
2
2
γi+1
!
#
−
2
σ̃BS
(ti )
· ti +
!
σ̃BS (ti+1 )
σ̃BS (ti )
ξ
−
(1 + αi (ti+1 − ti )) −
γi+1
γi
=
"
= exp
=
#
1 2
ti γ 2
2
− r(ti+1 − ti ) −
(ti ) · ti +
σ̃BS (ti+1 ) 2 i (1 + αi (ti+1 − ti ))2 − σ̃BS
2
γi+1
!
σ̃BS (ti )
σ̃BS (ti+1 )
−
(1 + αi (ti+1 − ti )) −
ξ .
γi+1
γi
Kładąc αi takie, że
σ̃BS (ti+1 )
σ̃BS (ti )
(1 + αi (ti+1 − ti )) −
= 0,
γi+1
γi
otrzymujemy
B(ti , ti+1 , ξ) = e−r(ti+1 −ti ) .
12
Wówczas σ zostanie wolnym parametrem, którego można użyć do kalibracji tzw. zmienności forward - zob.
[F1], s. 388-389.
13
Zaprezentowano poprawione obliczenia względem [F1], s. 387-388 i [F2], s. 9.
61
4.6. Wybór zmienności procesu kierującego
W omówionym dotąd modelu M-F zmienność σ procesu kierującego X cały czas pozostaje
wolnym parametrem, za pomocą którego można kontrolować autokorelację stóp procentowych.
Rozpatrzmy najpierw uogólniony model Vasička ze stałym parametrem powrotu do średniej a i stałym współczynnikiem dyfuzji σv , tzn.
drt = (θ(t) − art ) dt + σv dWt∗ .
Na mocy wzoru (3.14) mamy
(n)
Lt
(n)
= Yt
− ∆−1
n ,
gdzie
(n)
dYt
=
e−aTn−1 − e−aTn
(n)
σv eat Yt dWtTn .
a
(n)
Zauważmy, że współczynnik dyfuzji w powyższym równaniu jest postaci σ̂ · eat · Yt , gdzie σ̂
jest stałą. Dlatego też w zastosowaniach często przyjmuje się, że zmienność σn stopy LIBOR
w równaniu (4.7) definiująca proces kierujący X (por. (4.10)) ma postać σn (t) = σeat dla
pewnego σ > 0 i a ∈ R. Okazuje się, że z tak określonym procesem kierującym model LIBOR
M-F w mierze PTn jest zgodny z uogólnionym modelem Vasička na kracie, co precyzuje
poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 4.3. Rozważmy model LIBOR M-F w mierze PTn , w którym proces kierujący
X ma dynamikę
(4.32)
dXt = σeat dWtTn , X0 = 0,
dla pewnego a ∈ R i σ > 0 oraz funkcjonały ξ → L(i) (ξ) są rosnące. Załóżmy, że ten model
jest skalibrowany do cen capletów pochodzących z uogólnionego modelu Vasička zadanego przez
równanie
drt = (θ(t) − art ) dt + σdWt∗ .
(4.33)
Wówczas oba modele są ze sobą zgodne na kracie K = {(Ti , Tj ) : 0 ¬ i ¬ j ¬ n}, tzn. czynniki
dyskontowe B(Ti , Tj ), 0 ¬ i ¬ j ¬ n, są takie same w obu modelach.
Dowód. Na mocy lematu 4.1 kalibracja modelu M-F do cen capletów jest równoważna kalibracji do wyprowadzonych z nich cen capletów binarnych. Z martyngałowego wzoru wyceny
wynika, że w uogólnionym modelu Vasička cena i-tego capleta binarnego, tj. capleta na stopę
(i)
LTi−1 = L(Ti−1 , Ti ), o cenie wykonania K jest równa
(i)
(i)
Vbin (K, 0)
= B(0, Ti )EPTi
Vbin (K, Ti−1 )
B(Ti−1 , Ti )
!
(i)
= B(0, Ti )EPTi ∆i 11 LTi−1 − K
=
(i)
= ∆i B(0, Ti )PTi LTi−1 > K .
(i)
(i)
Ze wzoru (3.14) wynika, że proces Yt
:= Lt + ∆−1
spełnia stochastyczne równanie
i
różniczkowe:
(i)
(i)
dYt = σi (t)Yt dWtTi ,
gdzie
σi (t) = σeat
e−aTi−1 − e−aTi
.
a
62
Stąd
(i)
Yt
=
(i)
Y0 exp
t
Z
0
σi (s)dWsTi
1
−
2
t
Z
0
σi2 (s)ds
,
zatem
(i)
Z
(i)
ln YTi−1 = ln Y0 +
Ti−1
0
σi (s)dWsTi −
1
2
Z
Ti−1
0
1
(i)
σi2 (s)ds ∼ N ln Y0 − Σ2i , Σ2i ,
2
gdzie
Σ2i =
=
Ti−1
Z
0
σi2 (s)ds =
a
a
!2 Z
Ti−1
·
σ 2 e2as ds =
0
(4.34)
!2
· Var(XTi−1 ).
Zatem cena i-tego capleta binarnego w uogólnionym modelu Vasička jest równa
(i)
(i)
Vbin (K, 0) = ∆i B(0, Ti )PTi ln YTi−1 > ln K + ∆−1
i
= ∆i B(0, Ti )Φ(d2 ),
gdzie
(i)
d2 =
ln Y0 − 12 Σ2i − ln K + ∆−1
i
ln
=
Σi
(i)
L0 +∆−1
i
K+∆−1
i
Σi
1
− Σi .
2
Aby określić model M-F w mierze PTn na kracie K, skalibrowany do podanych wyżej cen,
wystarczy na mocy wzoru (4.1) zdefiniować funkcjonały od numéraire’a B(Ti , Tn , XTi ) dla
i = 0, . . . , n. Zatem, aby wykazać, że rozpatrywane modele M-F i Vasička zgadzają się ze
sobą na kracie K, wystarczy pokazać, że w obu modelach czynniki dyskontowe B(Ti , Tn ),
i = 0, . . . , n, są takie same.
W uogólnionym modelu Vasička zgodnie ze wzorem (3.12) i (4.32) zachodzi
B(0, Tn )
1
B(Ti , Tn ) = B(Ti , Tn , XTi ) =
exp −ci XTi + c2i Var(XTi ) ,
B(0, Ti )
2
(4.35)
gdzie
ci =
e−aTi − e−aTn
,
a
i = 0, . . . , n.
Pozostaje wykazać, że czynniki dyskontowe B(Ti , Tn ), i = 1, . . . , n, w skalibrowanym modelu
M-F również spełniają (4.35). W tym celu użyjemy techniki kalibracyjnej z podrozdziału 4.2.
Mamy B(Tn , Tn , ξ) ≡ 1. Ponadto, skoro model LIBOR M-F jest skalibrowany do cen
(i)
capletów (tzn. opcji na stopy LTi−1 ) pochodzących z uogólnionego modelu Vasička, to stopy
(i)
LTi−1 , a więc i czynniki dyskontowe B(Ti−1 , Ti ), muszą się zgadzać w obu modelach (por.
(4.11)). W szczególności, w modelu M-F mamy
B(0, Tn )
1
B(Tn−1 , Tn , ξ) =
exp −cn−1 ξ + c2n−1 Var(XTn−1 ) .
B(0, Tn−1 )
2
Załóżmy, że funkcjonały ξ 7→ B(Tk , Tn , ξ) spełniają (4.35) dla k = i, . . . , n. Wyznaczymy
funkcjonał ξ 7→ B(Ti−1 , Tn , ξ).
63
Na mocy martyngałowego wzoru wyceny, lematu 5.1, faktu 1.1 i założenia indukcyjnego
mamy
B(Ti−1 , Ti )
= EPTn
B(Ti−1 , Tn )
= EPTn
1
FT
B(Ti , Tn , XTi ) i−1
B(0, Ti )
exp ci XTi −
B(0, Tn )
B(0, Ti )
1
=
exp ci XTi−1 + c2i
B(0, Tn )
2
=
1 2
ci Var(XTi ) XTi−1
2
Ti
Z
2 2au
σ e
Ti−1
1
du − c2i
2
=
Z
Ti
(4.36)
!
2 2au
σ e
du
=
0
B(0, Ti )
1
=
exp ci XTi−1 − c2i Var(XTi−1 ) ,
B(0, Tn )
2
gdyż zmienna XTi pod warunkiem zdarzenia {XTi−1 = ξ} ma rozkład N (ξ,
Ustalmy ξ ∈ R i oznaczmy
R Ti
Ti−1
σ 2 e2au du).
!
∆i B(Ti−1 , Ti , XTi−1 )
1(X
1 Ti−1 − ξ) =
J (i) (ξ) : = B(0, Tn )EPTn
B(Ti−1 , Tn , XTi−1 )
1
= ∆i B(0, Ti ) exp − c2i Var(XTi−1 ) EPTn exp(ci XTi−1 ) · 11(ξ,∞) (XTi−1 ) =
2

ci Var(XTi−1 ) − ξ
= ∆i B(0, Ti )Φ  q
Var(XTi−1 )

,
gdzie ostatnia równość wynika z lematu 5.1. Zgodnie z założeniem, że funkcja ξ 7→ L(i) (ξ)
jest rosnąca, mamy
L(i) (ξ) = K ∗ ,
gdzie K ∗ jest rozwiązaniem równania
(i)
J (i) (ξ) = Vbin (K ∗ , 0),
które jest równoważne równaniu
q
ln
=
(i)
L0 +∆−1
i
K ∗ +∆−1
i
Σi
Var(XTi−1 )
1
− Σi .
2
Stąd


(i)
c Var(XTi−1 ) − ξ
B(0, Ti−1 )
1
L0 + ∆−1
1
1
i
 Σ2 + i q
Σi 
·
=
·
=
exp
i
−1
B(0, Ti ) 1 + ∆i L(i) (ξ)
2
1 + ∆i L(i) (ξ)
∆i
Var(XTi−1 )
64
i ostatecznie z (4.36) i (4.34) mamy
B(Ti−1 , Tn , ξ) =
B(Ti−1 , Tn , ξ)
1
·
=
B(Ti−1 , Ti , ξ) 1 + ∆i L(i) (ξ)


B(0, Tn ) B(0, Ti )
1
1
=
=
·
exp −ci ξ + c2i Var(XTi−1 ) + Σ2i + Σi q
B(0, Ti ) B(0, Ti−1 )
2
2
Var(XT )
i−1
=
B(0, Tn )
·
B(0, Ti−1 )

· exp − ci +
a

!

1
2Σi ci
Σ2i
=
ξ + Var(XTi−1 ) c2i + q
+
2
Var(X
)
T
i−1
Var(XTi−1 )
B(0, Tn )
e−aTi−1 − e−aTn
=
exp −
B(0, Ti−1 )
a
!
1
ξ + Var(XTi−1 ) ci +
2
a
!2 
=
B(0, Tn )
1
=
exp −ci−1 ξ + c2i−1 Var(XTi−1 ) .
B(0, Ti−1 )
2
Zatem czynnik dyskontowy B(Ti−1 , Tn ) spełnia równanie (4.35).
Zauważmy jeszcze, że autokorelacja procesu kierującego Xt = 0t σeas dWsTn jest taka sama,
jak autokorelacja krótkoterminowej stopy procentowej w uogólnionym modelu Vasička (4.33),
tzn.
s
e2at − 1
corr(Xt , Xs ) =
dla 0 < t ¬ s
e2as − 1
R
(por. obliczenia przed (3.6)), czyli w szczególności dla ustalonych 0 < t < s jest ona malejącą
funkcją parametru a > 0. Ponieważ stopy procentowe w modelu M-F są nieliniowymi funkcjami procesu X, ich autokorelacja nie musi mieć powyższej postaci. Jednak ważny jest sam
fakt, że, dobierając odpowiednią postać procesu kierujacego, jesteśmy w stanie kontrolować
autokorelację stóp procentowych, dzięki czemu możemy dopasować model do cen instrumentów egzotycznych.
65
Rozdział 5
Dodatek
Lemat 5.1. Załóżmy, że X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią µ i
wariancją σ 2 . Wówczas dla dowolnych l ∈ R ∪ {−∞}, h ∈ R ∪ {∞}, α ∈ R, c > 0 zachodzą
równości:
1
(a) E eαX11(l,h) (X) = eαµ+ 2 α
− 12 cX 2
(b) E e
11(l,h) (X) =
2 σ2
cµ 2
−1
e 2 1+cσ
√
1+cσ 2
Φ
h−(µ+ασ 2 )
σ
 
h−
Φ  q
µ
1+cσ 2
σ2
1+cσ 2
−Φ

l−(µ+ασ 2 )
σ

l−
 − Φ q
µ
1+cσ 2
σ2
1+cσ 2
,

 .1
Dowód.
a) Mamy
E eαX11(l,h) (X) =
Z
h
l
Z
h
=
l
Z
=
l
(x−µ)2
1
eαx− 2σ2 dx =
2πσ
1
2
2
2
4 2
4 2
1
√
e− 2σ2 ((x−µ) −2σ α(x−µ)−2σ αµ+σ α −σ α ) dx =
2πσ
2
1
1 2 2
2
1
√
e− 2σ2 ((x−µ)−σ α) +αµ+ 2 α σ dx =
2πσ
√
h
αµ+ 12 α2 σ 2
h
Z
=e
l
αµ+ 12 α2 σ 2
=e
αµ+ 12 α2 σ 2
=e
Z
−1
1
√
e 2
2πσ
h−(µ+σ 2 α)
σ
l−(µ+σ 2 α)
σ
x−(µ+σ 2 α)
σ
2
dx =
1 2
1
√ e− 2 y dy =
2π
h − (µ + ασ 2 )
Φ
σ
!
l − (µ + ασ 2 )
−Φ
σ
!!
.
b) Mamy
1
Dowód punktu (b) jest wynikiem własnym autora; w dostępnej literaturze nie znaleziono rachunku uzasadniającego tę równość.
67
1
2
E e− 2 cX 11(l,h) (X) =
h
Z
√
l
h
Z
=
l
h
Z
=
l
2
1
2 (x−µ)
1
e− 2 cx − 2σ2 =
2πσ
− 12
2σ
1
√
e
2πσ
−
1
√
e
2πσ
cµ2
1+cσ 2
1
2σ 2
√
l
x2 (1+cσ 2 )−2x
h
Z
√
√
x 1+cσ 2 − √
h
1
2 2
2
1
e− 2σ2 (cx σ +(x−µ) ) dx =
2πσ
1+cσ 2 · √
2
µ
1+cσ 2
√
2
µ
1+cσ 2
2 cσ 2
1+cσ 2
+µ
+
2
µ2
− µ 2 +µ2
1+cσ 2
1+cσ
dx =
dx =
2
− 1 x 1+cσ
− √µ
1
σ
σ 1+cσ 2
√
dx =
=e
e 2
2πσ
l
2
! h
√
− 12 cµ 2
1+cσ
e
x 1 + cσ 2
µ
=√
·Φ
− √
=
2
2
σ
1 + cσ
σ 1 + cσ l
− 12
− 21
e
=√
Z
cµ2
1+cσ 2
1 + cσ 2

Φ
µ
1+cσ 2
q
σ2
1+cσ 2
x−
 h
 .
l
Lemat 5.2. Rozważmy caplet na stopę LIBOR L(T1 , T2 ) z ceną wykonania K i załóżmy, że
jego cena jest zadana wzorem Blacka ze zmiennością σ(T1 , K), tzn.
Vcpl (K, 0) = ∆B(0, T2 )(L0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )),
gdzie
∆ = T2 − T1 ,
L0 = L0 (T1 , T2 ),
d1,2 = d1,2 (T1 , K) =
ln LK0 ± 21 σ 2 (T1 , K)T1
√
.
σ(T1 , K) T1
Wówczas cena odpowiadającego mu capleta binarnego jest dana wzorem:2
∂σ
Vbin (K, 0) = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) − L0 g(d1 ) T1
(T1 , K) ,
∂K
p
a cena odpowiedniego capleta binarnego in arrears jest równa
p
Vb.a. (K, 0) = ∆B(0, T2 )L0 Φ(d1 ) + B(0, T2 )Φ(d2 ) − (∆K + 1)B(0, T2 )L0 g(d1 ) T1
∂σ
(T1 , K).
∂K
Dowód. Mamy
p 2
1
1
=
g(d2 ) = √ exp − d1 − σ(T1 , K) T1
2
2π
p
1
L0
L0
1
1
= √ exp − d21 exp d1 σ(T1 , K) T1 − σ 2 (T1 , K)T1 = g(d1 ) exp ln
=
g(d1 )
2
2
K
K
2π
2
Formuły na ceny binarnych capletów oraz binarnych capletów in arrears zawarte w [FR] są błędne.
68
i z lematu 4.1 otrzymujemy wzór na cenę capleta binarnego:3
Vbin (K, 0) = −
∂
Vcpl (K, 0) =
∂K
∂
∂
= ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + K
Φ(d2 ) − L0
Φ(d1 ) =
∂K
∂K
∂
∂
(d2 ) − L0 · g(d1 )
(d1 ) =
= ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + Kg(d2 )
∂K
∂K
∂
= ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + L0 g(d1 )
(d2 − d1 ) =
∂K
p
∂
= ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + L0 g(d1 )
(−σ(T1 , K) T1 ) =
∂K
p ∂σ
= ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) − L0 g(d1 ) T1
(T1 , K) .
∂K
Dalej, caplet binarny in arrears o cenie wykonania K jest równoważny w sensie wyceny z
1
portfelem złożonym z jednego capleta i K + ∆
capletów binarnych, również z ceną wykonania
K (zob. podrozdz. 4.4). Stąd otrzymujemy wzór na cenę capleta binarnego in arrears:
1
Vbin (K, 0) = ∆B(0, T2 ) (L0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) +
∆
p ∂σ
1
· ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) − L0 · g(d1 ) T1
(T1 , K) =
+ K+
∆
∂K
p ∂σ
= ∆B(0, T2 )L0 Φ(d1 ) + B(0, T2 )Φ(d2 ) − (∆K + 1)B(0, T2 )L0 g(d1 ) T1
(T1 , K).
∂K
Vb.a. (K, 0) = Vcpl (K, 0) + K +
W analogiczny sposób wyprowadza się wzór na cenę swapcji binarnej.
Lemat 5.3. Niech 0 < T0 < . . . < Tn , ∆i = Ti − Ti−1 dla i = 1, . . . n. Rozważmy payer
swapcję na stopę swapową K(T0 , Tn ) z ceną wykonania K i załóżmy, że jej cena jest zadana
wzorem Blacka ze zmiennością σ(T0 , K), tzn.
Vsw (K, 0) =
n
X
∆i B(0, Ti )(K0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )),
i=1
gdzie
K0 = K0 (T0 , Tn ),
d1,2 = d1,2 (T0 , K) =
ln( KK0 ) ± 12 σ 2 (T0 , K)T0
√
.
σ(T0 , K) T0
Wówczas cena odpowiedniej swapcji binarnej z ceną wykonania K jest dana wzorem:
Vbin.sw (K, 0) =
n
X
p
∆i B(0, Ti ) Φ(d2 ) − K0 g(d1 ) T0
i=1
∂σ
(T0 , K) .
∂K
Twierdzenie 5.1.
(i) Niech T < S, ∆ = S − T oraz (Lt )t∈[0,T ] oznacza proces terminowej stopy LIBOR na
okres [T, S]. Załóżmy, że cena capleta na stopę LT o poziomie wykonania K jest dana
wzorem Blacka ze stałą zmiennością σ̃, tzn.
Vcpl (K, 0) = ∆B(0, S) (L0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) ,
3
W odróżnieniu od [FR] zaprezentowano rachunek prowadzący do tego wzoru.
69
gdzie
ln LK0 ± 21 σ̃ 2 T
√
.
σ̃ T
Wówczas, jeśli są spełnione założenia fundamentalnego twierdzenia wyceny 2.2, to spotowa stopa LIBOR LT ma rozkład lognormalny w mierze forward PS .
d1,2 =
(ii) Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i rozważmy model, w którym terminowa stopa LIBOR (Lt )t∈[0,T ] spełnia stochastyczne równanie różniczkowe w mierze
P:
dLt = µLt dt + σ(t)Lt dWt ,
gdzie µ jest stałą, a σ – ograniczoną funkcją deterministyczną. Wówczas ten model jest
zgodny z powyższym wzorem Blacka, jeśli
1
σ̃ =
T
2
T
Z
σ 2 (s)ds.
0
Dowód. (i) Rozpatrzmy caplet binarny na stopę LT . Z martyngałowego wzoru wyceny mamy
Vbin (K, 0) = B(0, S) · EPS
∆B(T, S) · 1(L
1 T − K)
B(T, S)
= ∆B(0, S)PS (LT > K),
a z lematu 5.2 otrzymujemy
Vbin (K, 0) = ∆B(0, S)Φ(d2 ).
Stąd
√
1
PS (LT ¬ K) = Φ(−d2 ) = PS X · σ̃ T + ln L0 − σ̃ 2 T ¬ ln K ,
2
gdzie X ∼ N (0, 1). Zatem ln LT ∼ N (ln L0 − 12 σ̃ 2 T, σ̃ 2 T ).
(ii) Ze stwierdzenia 3.1 wiemy, że proces L musi być martyngałem w mierze PS . Zatem miarę PS definiujemy za pomocą pochodnej Radona-Nikodýma:
dPS %t =
= exp
dP Ft
Z
0
t
−µ
1
dWs −
σ(s)
2
Z
0
t
!
µ2
ds ,
σ 2 (s)
która jest martyngałem w mierze P na mocy kryterium Nowikowa (bo σ jest ograniczona),
czyli PS jest równoważna P i z twierdzenia Girsanowa proces
Z
WtS
t
= Wt +
0
µ
ds
σ(s)
jest procesem Wienera w mierze PS . Ponadto mamy
dLt = µLt dt + σ(t)Lt dWtS −
µ
dt = σ(t)Lt dWtS
σ(t)
i ze wzoru (1.8) otrzymujemy
Z
Lt = L0 exp
0
t
σ(s)dWsS −
1
2
Z
t
σ 2 (s)ds .
0
Zatem w mierze PS mamy
1
ln LT ∼ N ln L0 − σ̃ 2 T, σ̃ 2 T ,
2
gdzie σ̃ 2 =
1
T
RT
0
σ 2 (s)ds.
70
Analogicznie dowodzi się twierdzenie dotyczące swapcji.
Twierdzenie 5.2. Rozważmy payer swapcję na kontrakt IRS rozpoczynający się w T0 i
wymieniający odsetki w chwilach T1 < . . . < Tn . Niech ∆i = Ti − Ti−1 , i = 1, . . . , n oraz
(Kt )t∈[0,T0 ] oznacza proces terminowej stopy swapowej związanej z tym kontraktem IRS.
(i) Załóżmy, że cena swapcji o poziomie wykonania K jest dana wzorem Blacka ze stałą
zmiennością σ̃, tzn.
Vsw (K, 0) =
n
X
∆i B(0, Ti ) (K0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) ,
i=1
gdzie
d1,2 =
ln KK0 ± 12 σ̃ 2 T0
√
.
σ̃ T0
Wówczas, jeśli są spełnione założenia fundamentalnego twierdzenia wyceny 2.2, to spoeT .
towa stopa swapowa LT ma rozkład lognormalny w mierze swapowej P
1
(ii) Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i rozważmy model, w którym terminowa stopa swapowa (Kt )t∈[0,T0 ] spełnia stochastyczne równanie różniczkowe w mierze
P:
dKt = µKt dt + σ(t)Kt dWt ,
gdzie µ jest stałą, a σ – ograniczoną funkcją deterministyczną. Wówczas ten model jest
zgodny z powyższym wzorem Blacka, jeśli
1
σ̃ =
T
2
Z
71
0
T
σ 2 (s)ds.
Podsumowanie
W pracy – poza omówieniem znanych modeli stopy procentowej, stanowiącym punkt wyjścia
do dalszych rozważań – przedstawiono opis modeli Markov-Functional wraz z metodami kalibracji do cen rynkowych. Zaprezentowano także sposób modelowania stopy LIBOR w mierze
spot oraz metodę M-F modelowania ceny aktywa, w której samo aktywo przyjmuje się za
numéraire. Poruszono również kwestię wyboru procesu Markowa definiującego model M-F.
Opisane w pracy modele Markov-Functional, ze względu na dużą swobodę wyboru procesu
kierującego, numéraire’a oraz funkcjonałów numéraire’a i czynników dyskontowych, można z
powodzeniem zastosować do prawidłowej i skutecznej wyceny rozmaitych instrumentów egzotycznych. Przykładami instrumentów wycenianych za pomocą modeli M-F są (zob. [Pels], s.
121-129):
• barrier cap – jest to seria capletów barierowych na stopę LIBOR, tzn. capletów, których
wypłata następuje tylko w przypadku, gdy stopa LIBOR nie wykroczy poza ustalony
w kontrakcie przedział;
• auto cap (limit cap) – jest to seria n capletów z ustaloną maksymalną liczbą m ¬ n
realizowanych wypłat; posiadacz auto capa otrzymuje (automatycznie) wypłaty z co
najwyżej m pierwszych capletów in-the-money;
• chooser cap (flexible cap) – jest to również seria n capletów z ustaloną maksymalną
liczbą m ¬ n realizowanych wypłat, jednak w tym wypadku posiadacz chooser capa
może w terminie wygaśnięcia każdego capleta zdecydować, czy realizuje wypłatę z tego
capleta czy nie (przy czym może zrealizować łącznie co najwyżej m capletów);
• swapcja bermudzka (Bermudan swaption) – jest to opcja dająca posiadaczowi prawo
do zrealizowania kontraktu IRS w jednym z ustalonych uprzednio terminów.
Modele Markov-Functional rozwiązują wiele problemów związanych z niedoskonałościami innych modeli stopy procentowej (m.in. niemożność dokładnej kalibracji modeli stopy
krótkoterminowej do danych rynkowych czy trudności implementacyjne i teoretyczna niezgodność modeli rynkowych). Pewną ich wadą może być fakt, że dynamika stóp procentowych
nie zapisuje się w formie prostego i przejrzystego równania stochastycznego, natomiast funkcjonały numéraire, czynników dyskontowych i stóp rynkowych mają dość złożoną i uwikłaną
postać. Mimo to modele te mogą być bez większych problemów zastosowane w praktyce i
zaimplementowane przy użyciu metody Monte Carlo.
73
Bibliografia
[BH]
P. Balland, L. Hughston, Markov Market Model Consistent with Cap Smile. International Journal of Theoretical and Applied Finance 3(2), 161-181, 2000
[BK]
M. Bennett, J. Kennedy, A Comparison of Markov-Functional and Market Models:
The One-Dimensional Case, http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/statistics/
crism/research/2005/paper05-11/05-11w.pdf, 2005
[BM]
D. Brigo, F. Mercurio, Interest Rate Models: Theory and Practice, 2nd Ed., Springer,
Berlin Heidelberg 2006
[F1]
C. Fries, Mathematical Finance: Theory, Modeling, Implementation, Wiley, New Jersey
2007
[F2]
C. Fries, Markov Functional Modeling of Equity, Commodity and other Assets, http:
//www.christian-fries.de/finmath/markovfunctionaleqmodel/, 2006
[FR]
C. Fries, M. Rott, Cross-Currency and Hybrid Markov-Functional Models, http://www.
christian-fries.de/finmath/markovfunctionalhybrid/, 2004
[HK]
P. J. Hunt, J. E. Kennedy, Financial Derivatives in Theory and Practice, Revised Edition, Wiley, Chichester 2004
[HKP] P. Hunt, J. Kennedy, A. Pelsser, Markov-Functional Interest Rate Models. Finance and
Stochastics 4(4), 391-408, 2000
[JPRS] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, Matematyka finansowa, WNT,
Warszawa 2003
[JSZ]
J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. III, SCRIPT,
Warszawa 2004
[KS]
I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition,
Springer, Berlin New York 1998
[L]
R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, skrypt, http://www.mimuw.edu.pl/
~rlatala/testy/proc/was.pdf, 2010
[MR]
M. Musiela, M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, 2nd Ed.,
Springer, Berlin Heidelberg 2005
[Pels]
A. Pelsser, Efficient Methods for Valuing Interest Rate Derivatives, Springer, London
2000
[RY]
D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, Berlin Heidelberg 1991
75

Modele Markov-Functional – przegląd wybranych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Warszawa, dnia 13 grudnia 2006 r. DO/ZW/2674/2006 ONP

Matematyka ubezpieczeń majątkowych

Arkadiusz MORDAK Współczesne metody zwiększania

ZAKRES CZYNNOŚCI

Zadania z procesów stochastycznych. Zadanie. Niech X1,X2

Adapter Gembird USB - IDE MF

Stawka średni EURIBOR 3M w styczniu 2015