Teoria miary

Teoria miary - σ ciało
1. Uzasadnij, że jeżeli M jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X, to
a)
b)
c)
d)
1p.
1p.
2p.
2p.
∅, X ∈ M,
T∞
∀A1 ,A2 ...∈M
n=1 An ∈ M,
∀A,B∈M A ∪ B ∈ M, A ∩ B ∈ M oraz A \ B ∈ M,
Sn
Tn
∀n∈N ∀A1 ,...,An ∈M
k=1 Ak ∈ M.
k=1 Ak ∈ M,
2. Uzasadnij, że
a) 1p. rodzina {∅, X} i 2X są σ-ciałami podzbiorów zbioru X,
b) 2p. dla każdego zbioru X rodzina {A ⊂ X : cardA ¬ ℵ0 ∨ card(X \ A) ¬ ℵ0 },
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X,
c) 2p. dla każdego zbioru X rodzina {A ⊂ X : cardA < ℵ0 ∨ card(X \ A) < ℵ0 },
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem
skończonym,
S
d) 4p. rodzina M := { nk=1 [ak , bk ) ∩ R : a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ [−∞, ∞], n ∈ N}
nie jest σ-ciałem podzbiorów zbioru R choć spełnia warunki ∀A∈MR \ A ∈ M,
Sn
oraz ∀n∈N ∀A1 ,...,An ∈M
k=1 Ak ∈ M.
3. 4p.
Niech X = {1, 2, 3}.
a) Wyznaczyć wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru X.
b) Niech R1 = {{2, 3}}, R2 = {∅}, R3 = {{1}, {2}}, R4 = ∅. Wyznaczyć
σ(R1 ), σ(R2 ), σ(R3 ), σ(R4 ).
4. 2p.
Czy suma dwóch σ-ciał jest σ-ciałem?
5. 4p. Niech A będzie dowolnie ustalonym podzbiorem zbioru X. Wykazać, że jeżeli M
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X, to rodzina M|A := {M ∩ A, M ∈ M} jest σ-ciałem
podzbiorów zbioru A.
6. 4p.
a)
b)
c)
Niech R ⊂ 2X . Udowodnić, że
σ(R) jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X,
R ⊂ σ(R),
jeżeli M jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X i R ⊂ M to σ(R) ⊂ M.
7. 4p. Niech X, Y będą dowolnymi przestrzeniami. Udowodnić, że jeżeli M ⊂ 2X jest
na
σ-ciałem a f : X → Y jest dowolną funkcją, to rodzina {A ⊂ Y : f −1 (A) ∈ M} jest
σ-ciałem.
8. 2p.
Niech n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Czy istnieje σ-ciało złożone dokładnie z n-zbiorów?
1