Matematyka dyskretna Zestaw 4. 1. Układanka składa się z 8

Matematyka dyskretna
Zestaw 4.
(zadania na 3.IV)
1. Układanka składa się z 8 elementów umieszczonych w pudełku 3x3. Elementy
można przesuwać tylko na aktualnie wolne miejsce, np. na lewym rysunku
poniżej można przesunąć element z literą Y w dół lub element z literą T
w prawo. Pokazać, że nie istnieje sekwencja ruchów, umożliwiająca przejście
z układu lewego do prawego. (Uwaga: zadanie zmienione ze względu na
błędnie przepisany diagram.)
A E I
O U Y
R T
Y O U
A R E
I T
2. Zbiór X ma 9 elementów. Rodzina B zawiera sześć jego 6-elementowych
podzbiorów i każdy element zbioru X występuje w takiej samej liczbie podzbiorów z B, równej r. Ile wynosi r? Podać przykład rodziny podzbiorów
spełniającej podane warunki. Czy powyższa sytuacja jest możliwa dla rodziny sześciu 5-elementowych podzbiorów X?
3. Wiadomo, że B jest konfiguracją kombinatoryczną na zbiorze X o parametrach (n, k, r). Rodzina podzbiorów B 0 ⊂ P(X) jest określona warunkiem:
A ∈ B 0 ⇔ X \ A ∈ B. Pokazać, że B 0 też jest konfiguracją kombinatoryczną
i wyznaczyć jej parametry.
4. Siedmiu degustatorów ma porównać siedem gatunków koniaku. Każda osoba
chce spróbować tej samej liczby gatunków oraz każda para gatunków powinna być przetestowana przez tę samą liczbę osób. Podać rozwiązanie tego
problemu zakładając, że ze zrozumiałych względów nie można dopuścić do
próbowania przez każdego degustatora wszystkich gatunków koniaku.
5. Dana jest 5-konfiguracja o parametrach n = 12, k = 6 i r5 = 1. Znaleźć
wartości r4 , r3 , r2 i r1 .
6. Sprawdzić, czy istnieją następujące konfiguracje kombinatoryczne:
a) 2-konfiguracja o parametrach n = 11, k = 7, r2 = 3,
b) 3-konfiguracja o parametrach n = 15, k = 6, r3 = 4,
c) 4-konfiguracja o parametrach n = 9, k = 5, r4 = 1.
7. Pokazać, że dla liczby naturalnej q parametry n = q 2 + q + 1, k = q + 1 i
r2 = 1 spełniają warunki podzielności dla 2-konfiguracji. Jakie są wartości
r1 i r0 (liczba bloków w konfiguracji)? Podać przykład takiej konfiguracji dla
q = 3.∗
8. Niech B będzie t-konfiguracją kombinatoryczną na zbiorze X o parametrach
(n, k, r). Dla x ∈ X określamy: Bx = {A \ {x} : A ∈ B ∧ x ∈ A}. Pokazać, że
Bx jest (t − 1)-konfiguracją na zbiorze X \ {x} o parametrach (n − 1, k − 1, r).