Ćwiczenie 1. Wahadła fizyczne
Transkrypt
Ćwiczenie 1. Wahadła fizyczne
Ćwiczenie 1. Wahadła fizyczne Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego. Wyznaczenie momentu bezwładności brył sztywnych przez pomiar okresu drgań. Wprowadzenie Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na nieważkiej nici (rys. 1.2 w rozdziale 1). Jego przybliżoną realizację stanowić może kula zawieszona na realnych niciach (układ taki badamy w ćwiczeniu 2). Wahadłem fizycznym nazywamy natomiast bryłę sztywną mogącą obracać się wokół osi obrotu O nie przechodzącej przez środek ciężkości S (rys.1). Wahadło odchylone od pionu o kąt θ, a następnie puszczone swobodnie, będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia z obrotem bryły sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. Zasady dynamiki dla ruchu postępowego, ma = F , i obrotowego, I = M , są matematycznie identyczne, tyle że zamiast masy m mamy moment bezwładności I, odpowiednikiem przyspieszenia liniowego a jest przyspieszenie kątowe = d2 θ/dt2 i odpowiednikiem siły F jest moment siły M . Rys.1. Wahadło fizyczne Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia θ jest równy M = mga sin θ, gdzie a oznacza odległość środka ciężkości S od osi obrotu O. Zatem równanie ruchu wahadła można zapisać jako d2 θ I0 2 = −mga sin θ. (1.1) dt Znak minus po prawej stronie uwzględnia fakt, że moment siły jest skierowany przeciwnie do kierunku wychylenia. Jeżeli ograniczyć ruch do małych kątów wychylenia (kilka stopni), to sinus kąta można zastąpić samym kątem w mierze łukowej, czyli sin θ ≈ θ. Przy tym założeniu równanie (1.1) przyjmuje postać d2 θ + ω02 θ = 0, dt2 1-1 (1.2) gdzie ω02 = mga . Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja I0 θ = θm cos(ω0 t + α). (1.3) Wzór (1.3) wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznym prostym. Amplituda θm i faza α zależą od warunków początkowych. Okres drgań T , związany bezpośrednio z częstością ω0 wynosi s I0 T = 2π . (1.4) mga W ćwiczeniu mierzymy okres wahadła T i odległość a, co umożliwia wyznaczenie dla badanego ciała momentu bezwładności I0 . Występujący w wyrażeniach (1.1)– (1.4) moment I0 jest momentem bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Dla wyznaczenia momentu bezwładności IS względem równoległej osi przechodzącej przez środek ciężkości możemy posłużyć się związkiem między I0 i IS znanym jako twierdzenie Steinera I0 = IS + ma2 . (1.5) Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Z definicji moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem masy i kwadratu odległości od osi obrotu. Momenty bezwładności brył sztywnych, tak I0 jak i IS , wyraża się jako całkę oznaczoną Z r2 dm, (1.6) m gdzie r jest odległością elementu masy dm od osi obrotu. Całkę 1.6 można analitycznie obliczyć dla brył jednorodnych o prostych kształtach (rys. 2). Przykłady takich obliczeń podane są w podręcznikach. Aparatura Zestaw ćwiczeniowy stanowią pręt oraz pierścień metalowy, które zawiesza się na odpowiednim statywie, a następnie wprowadza w ruch drgający. Potrzebne przyrządy pomiarowe to waga szalkowa lub elektroniczna, suwmiarka, przymiar milimetrowy oraz sekundomierz. 1-2 Rys.2. Wymiary pręta i pierścienia, które należy zmierzyć w celu wyznaczenia momentu bezwładności Wykonanie ćwiczenia A. Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej. 1. Zważyć pręt i pierścień. 2. Wykonać niezbędne pomiary długości (rys.2) za pomocą suwmiarki. 3. Wprawić pręt (pierścień) w ruch drgający o amplitudzie nie przekraczającej kilku stopni i zmierzyć sekundomierzem czas kilkudziesięciu wahnięć. Pomiar okresu powtórzyć 10 razy. Uwaga. Ruch pręta (pierścienia) ma się odbywać w jednej płaszczyźnie. Opracowanie wyników 1. Wyznaczyć moment bezwładności pręta i pierścienia względem osi obrotu O. 2. Obliczyć momenty bezwładności względem środka ciężkości IS , wykorzystując twierdzenie Steinera. 3. Z prawa przenoszenia błędów obliczyć błędy wyznaczonych momentów. 4. Obliczyć wartości momentów bezwładności IS na podstawie zmierzonych wartości masy i wymiarów geometrycznych i porównać z wartościami uzyskanymi z pomiaru okresu drgań. B. Badanie funkcji rozkładu błędu pomiaru czasu. Opis wykonania i opracowania wyników w ćwiczeniu 2. 1-3