torsje - Akademia Morska w Gdyni

mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Wprowadzenie teoretyczne
Doświadczenie „T O R S J E”
Drganiami harmonicznymi nazywamy ruch masy m wzdłuż współrzędnej x, w sytuacji, gdy na masę
tę działa siła (tzw.siła kierująca) proporcjonalna do wartości tej współrzędnej, z przeciwnym znakiem.
a mF (zasada dynamiki Newtona)
F = - kx
Po uwzględnieniu definicji przyśpieszenia powstaje równanie różniczkowe:
d 2x
dt 2
kx
m
równanie to ma rozwiązanie w postaci funkcji:
x = A sin ( t+ )
A - amplituda;
- częstość (2 /T); argument sinusa - faza;
- faza początkowa
Rozwiązanie okazuje się poprawne, gdy 2 = k/m (czyli: kwadrat częstości jest stosunkiem stałej
proporcjonalności k (znajdującej się przy funkcji x) do stałej przy drugiej pochodnej (w tym przypadku
masa m).
Wahadło torsyjne wykonuje również drgania harmoniczne, tyle że nie w ruchu posuwistym
(postępowym), tylko w ruchu skrętnym (obrotowym). Zasada dynamiki Newtona w zastosowaniu do
M
ruchu obrotowego ujęta jest w brzmieniu analogicznym jak w przypadku ruchu postępowego:
I
słownie: przyspieszenie kątowe bryły jest proporcjonalne do momentu siły, a współczynnikiem
proporcjonalności jest odwrotność momentu bezwładności. Ruch harmoniczny skrętny - ruch torsyjny wystąpi wówczas, gdy na bryłę działa tzw. moment powracający, proporcjonalny do położenia
kątowego (wychylenia kątowego):
M=-D
D - współczynnik proporcjonalności (moduł sprężystości);
d2
dt 2
D
m
Przez zastosowanie analogii do drgań w ruchu postępowym, ustala się związek częstości
sprężystości D i momentem bezwładności I:
2
= D/I
z modułem
Moment bezwładności jest pojęciem stworzonym po to, aby w przypadku ruchu obrotowego
zastosować matematycznie identyczną formułę wyrażającą zasadę dynamiki, jak dla ruchu
postępowego; wówczas stosuje się:
w miejsce przyśpieszenia
przyśpieszenie kątowe
w miejsce siły
moment siły
w miejsce masy
moment bezwładności
Przyśpieszenie kątowe, moment siły i moment bezwładności określane są względem tej samej osi.
Pojęciowa definicja momentu bezwładności:
k
I
mi ri 2
lim
k
i 1
Operacyjna (różniczkowa) definicja momentu bezwładności: dI = r2 dm, co w wersji słownej brzmi:
elementarny moment bezwładności dI elementarnej masy dm odległej o r od osi obrotu to iloczyn
kwadratu tej odległości i elementarnej masy. Elementarna masa to masa punktów jednakowo odległych
od osi obrotu.
Zagadnienia do przygotowania:
- druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego,
- moment bezwładności, wyznaczanie metodą dynamiczną i statyczną,
- wahadło torsyjne, okres drgań torsyjnych,
- druga zasada dynamiki dla ruchu torsyjnego.
mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Szablon metodyczny
„T O R S J E”
Student 1: Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną przy pomocy wahadła torsyjnego
Student 2: Sprawdzanie zależności okresu drgań wahadła torsyjnego od momentu bezwładności
Baza teoretyczna
T
2
I
D
gdzie: I
I 0 4md 2
D – moduł sprężystości (związany ze współczynnikiem
sprężystości materiału,
z jakiego wykonana jest
sprężyna i z jej rozmiarami geometrycznymi)
I0
– moment bezwładności
(z wyłączeniem 4 mas m)
samego
„krzyżaka”
Teoretyczna zależność okresu T drgań wahadła
skrętnego od odległości d ciężarków od osi
wyraża się następująco:
T
T2
I 0 4md 2
D
2
4
2
D
I0
16 2m 2
d
D
Zatem, aby wyznaczyć moment bezwładności
metodą dynamiczną przy pomocy wahadła
torsyjnego należy:
Zatem, aby sprawdzić zależność okresu drgań
wahadła torsyjnego od momentu bezwładności,
należy:
- wykonać pomiary zależności okresu wahadła
od odległości ciężarków od osi,
- sporządzić wykres zależności T2 od d2,
- określić liczbowo parametry a-b-c i obliczyć
wartość momentu bezwładności Io.
- wykonać pomiary zależności okresu wahadła
od odległości ciężarków o osi,
- sporządzić wykres zależności T2 od d2
- zanalizować jego liniowość.
mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Wskazówki do sprawozdania – wyznaczanie
„T O R S J E”
Student 1: Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną przy pomocy wahadła torsyjnego
I.
Metodyka (ideowy plan ćwiczenia)
II. Przebieg ćwiczenia
II.1. Przebieg czynności
II.2. Szkic układu pomiarowego
III. Wyniki
III.1. Wyniki pomiarów
1
2
t = 10 T [s]
d
[m]
t = ...
d = ...
3
4
5
6
7
8
9
10
m = ...
III..2. Obliczenia (przykładowe – odnoszą się np. do pomiaru nr 3)
T2 = ...
T2 = ...
d2 = ...
d2 = ...
III.3. Wyniki obliczeń
1
T2
[s2]
T2
[s2]
d2
[m2]
[m2]
d2
2
3
4
5
6
7
III.4. Wykres (na którym znajdują się wyliczenia)
IV. PODSUMOWANIE
Wyznaczona wartość momentu bezwładności metodą dynamiczną wynosi ...
Dokładność metody: ...
Dodatkowe wnioski, spostrzeżenia, przyczyny niepewności pomiarowych, itp
8
9
10
mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Wskazówki do sprawozdania – sprawdzanie
„T O R S J E”
Student 2: Sprawdzanie zależności okresu drgań wahadła torsyjnego od momentu bezwładności
I.
Metodyka (ideowy plan ćwiczenia)
II. Przebieg ćwiczenia
II.1. Przebieg czynności
II.2. Szkic układu pomiarowego
III. Wyniki
III.1.Wyniki pomiarów
1
2
t = 10 T [s]
d
[m]
t = ...
d = ...
3
4
5
6
7
8
9
10
m = ...
III..2. Obliczenia (przykładowe – odnoszą się np. do pomiaru nr 3)
T2 = ...
T2 = ...
d2 = ...
d2 = ...
III.3. Wyniki obliczeń
1
T2
[s2]
T2
[s2]
d2
[m2]
[m2]
d2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
III.4. Wykres
IV. PODSUMOWANIE
Ponieważ na wykresie ... można poprowadzić prostą przechodzącą przez wszystkie prostokąty
niepewności pomiarowych, nie ma podstaw do stwierdzenia odstępstwa od ...
Ewentualnie: Odstępstwo od liniowości w zakresie ... może wynikać z ….
Dodatkowe wnioski, spostrzeżenia, przyczyny niepewności pomiarowych.