Zestaw 6 - PDF
Transkrypt
Zestaw 6 - PDF
Matematyczne Metody Fizyki/Algebra - ćwiczenia WFiIS – I rok IS - gr.1,2 - I semestr Zestaw nr 6 na zajęcia w dniu 12.12.2010 Zad.1 Przekształcenie liniowe dla danego wektora v = [vx, vy, vz] ≡ [v1,v2,v3] w przestrzeni trójwymiarowej będziemy rozumieć jako utworzenie nowego wektora w = [wx, wy, wz] ≡[w1,w2,w3] którego składowe zostały utworzone jako kombinacje liniowe składowych starego wektora v. To znaczy, że: j=3 W i =∑ a ij V j=1 j Zbiór współczynników aij będziemy nazywać macierzą przekształcenia liniowego. Proszę znaleźć macierze przekształcenia dla następujących operacji: odbicia zwierciadlanego wektora w płaszczyźnie XY inwersji względem początku układu współrzędnych obrotu o kąt π/2 wokół osi OX obrotu o kąt α wokół osi OZ Zad.2 Nie wszystkie (a właściwie mało które, za wyjątkiem obrotów i odbić) przekształcenia liniowe zachowują długość wektora. Jako przykład rozważmy przekształcenia, które dany wektor v przekształcają w wektory u oraz w , będące wynikiem rozłożenia wektora v na składową równoległą i prostopadłą do danego wektora n o długości jednostkowej. Proszę znaleźć macierze tych przekształceń wiedząc, że: u =n v⋅n w =v − u Proszę sprawdzić procedurę przez wykonanie mnożenia macierzy otrzymanych dla wektora n postaci [ c, c, c ] , gdzie c=1/ 3 przez kolejne wersory układu współrzędnych a następnie przemyślenie i przetestowanie otrzymanego wyniku. Zad.3 Dla ogólnych macierzy obrotu wektora wokół jednej osi A(α) wykazać (przez pomnożenie macierzy) następujące własności składania operacji obrotu: dla obrotów wokół jednej osi (np. osi OZ) wynik tego działania nie zależy od kolejności wykonywania obrotów, tzn, że mnożenie tych macierzy jest przemienne, tzn. A(α) A(β) = A(β)A(α) = A(α) A(β) = A(α+β) dla obrotów wokół różnych osi (np. OZ i OX) wynik działania zależy od kolejności operacji, tzn. mnożenie takich macierzy obrotów nie jest przemienne tzn. A(α) B(β) ≠ B(β)A(α) (gdzie A oznacza obrót wokół OZ zaś B wokół OX) Zad.4 Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz B = A-1 , taką że: A A-1 = A-1 A = I gdzie I jest tzw. macierzą jednostkową, czyli macierzą mającą same jedynki na diagonali (głównej przekątnej) i zera we wszystkich pozostałych pozycjach. Pokazać, że: dla macierzy obrotu o kąt α wokół dowolnej osi (np. osi OZ) macierzą odwrotną jest macierz obrotu o kąt (-α) dla macierzy otrzymanej ze złożenia obrotów wokół osi OZ(α) i OX(β) (czyli OX(β)*OZ(α) ) macierzą odwrotną jest macierz transponowana do niej. Pokazać, że macierz odwrotna może być otrzymana jako OZ(-α)*OX(-β) Zad.5 Dane są następujące macierze: [ ] 1 2 0 A= 2 1 1 0 1 3 [ C= 1 2 1 2 3 2 ] [ ] 1 3 D= 1 2 2 1 Obliczyć wartość następujących wyrażeń: A2 , AD , CA. Czy da się znaleźć wartość wyrażeń: DA , AC ? Czy da się znaleźć macierze odwrotne do macierzy C i D ?