Zestaw 2. zadań z matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
WFiU, Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia
Zestaw 2. zadań z matematyki1
Układy równań liniowych
Zadanie 1. Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa następujące układy równań:
a)



x1

 2x
1
c)
x1 + x2 − x3 = 1
2x1 + 3x2
= 1

 −x + 2x + 7x = −4
1
2
3
e)


x1


 2x
1

4x1





 −x1

 2x
1
k)
m)
1
+ x2
+ 3x2
− x2
− 3x2
+ x3
− x3
− x3
+ 5x3
=
=
=
=
1

3x1



3x2
2x2
2x2
4x2
+ 2x3
− 3x3
− 2x3
+ x3
2
1
3
0
+ 4x4
− 2x4
+ x4
− 5x4


 x1
f)
h)
−
x2 + 2x3 = 6
x2 + x3 = 3
+ 2x2
= −5
= 8
= −4
= 2
= −5
j)
l)
n)
2x1 − x2 − 5x3 + 5x4 = −9
−x1 + 3x2 + 10x3 − 5x4 = 7


−3x1


 −x
1




− x2 + 2x3 −
x4 = 5
x2 − 4x3 + 9x4 = −10
+ x3 − 10x4 = 1
−
+
+
+
− x2 − 2x3 = 1
x1 + 2x2
= −3


x2 + 3x3 = 4
(
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 − 3x2 − 2x3 + 5x4 = 1

 −x − 6x − 5x + 2x = 1
1
2
3
4


2x1


 x


 3x1

 x
1



−x1
o)
d)
−x1 − 3x2 − 7x3 = −2
x1 + 4x2 + 10x3 = 5
x1
i)
b)



(
g)
− x2
− x2
− 3x3 = 2
+ 2x3 = 4
− 4x3 = 3
x1
+ 2x2
+ x2
− 4x2
3x2
−
−
+
−
7x3
3x3
9x3
6x3
=
=
=
=
−11
−4
7
−3



x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1
2x1 − 3x2 − x3 + x4 = −1

 x
+ 7x3 − 4x4 = 4
1


 2x1
+ 7x2 + 3x3 + x4 = 6
3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

 9x + 4x +
x3 + 7x4 = 2
1
2


x1


 −x
1

2x
1



+ x2
+ 2x2
+ 3x2
3x2


 2x1
− x2 − x3 + x4 + x5 = 2
3x1 + 2x2 + x3 + x4 − x5 = 1


8x1 + 3x2 + x3 + 3x4 − x5 = 4
Zestaw dostępny na stronie: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/j zestaw2 101WL.pdf
+ x3
− 2x3
+ 3x3
− x3
+ x4
+ 3x4
+ x4
+ 4x4
=0
=0
=0
=1
Zadanie 2. Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego podaj liczbę rozwiązań poniższych układów
równań liniowych (reprezentowanych w podpunktach b i d przez macierze uzupełnione). Dla układów
nieoznaczonych określ liczbę parametrów.
a)
c)




x1 − 2x2 + 4x3 = −3
−2x1 + 3x2 − 5x3 =
0

 −x
+ 2x3 =
2
1



b)
1
 0

U=
 0
−1
0
1
2
0

x1

 −3x
1
+ x3 − x4 = 0
− 3x2 + x3 + 6x4 = 7
+ x2 − 3x3 + 2x4 = −2
d)
1
1
−2 −1

U=
 0
0
2
1
0
0
3
3
3
8
16
−3
0
0
1
1
2
−4
1
5

| 4
| −1 


| 4 
| 2

| 0
| 1 


| −3 
| 7
Odpowiedzi
Ad 1a. układ sprzeczny;
Ad 1b. (1, −2, 2);
Ad 1c. (2 + 3t, −1 − 2t, t), gdzie t ∈ R jest parametrem;
Ad 1d. (−3, −1, 4);
Ad 1e. (−7 + 2k, 3 − 3k, k), gdzie k ∈ R jest parametrem;
Ad 1f. (−4 + t1 − 2t2 , 1 − 3t1 + t2 , t1 , t2 ), gdzie t1 , t2 ∈ R są parametrami;
Ad 1g. układ sprzeczny;
Ad 1h. (3 − t, −1 + 2t, t), gdzie t ∈ R jest parametrem;
Ad 1i. (−1 + 4a, 2 − a, 3 + 2a, a) , gdzie a ∈ R jest parametrem;
Ad 1j. (4 − 7t + 4k, 3 − 5t + 3k, t, k) , gdzie t, k ∈ R są parametrami;
Ad 1k. układ sprzeczny;
Ad 1l. (8 − 9t1 − 4t2 , t1 , t2 , −10 + 11t1 + 5t2 ) , gdzie t1 , t2 ∈ R są parametrami;
Ad 1m. (1, 0, 1, 1);
Ad 1n. układ sprzeczny;
Ad 1o. (a, 3 − 5a − 2c, b, c, 5 − 7a + b − 3c) gdzie a, b, c ∈ R są parametrami;
Ad 2a oraz 2d. brak rozwiązań – układy sprzeczne;
Ad 2b oraz 2c. nieskończenie wiele rozwiązań – układy nieoznaczone z jednym parametrem;
c 2016 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright