Badania Operacyjne, ćwiczenia, ISN, 2015/2016, lista 6 1 Zadanie 1

Badania Operacyjne, ćwiczenia, ISN, 2015/2016, lista 6
1
Zadanie 1 (Metoda dwóch faz). Rozwiąż algorytmem sympleks następujące
zagadnienienia liniowe:
(a)
max z
3x1 + 2x2
2x1 + x2
x1 , x2
=
≥
≤
≥
2x1 + 5x2
6
2
0
max z
2x1 + x2 + x3
3x1 + 4x2 + 2x3
x1 , x2 , x3
=
≤
≥
≥
2x1 + x2 + 4x3
2
8
0
max z
2x1 + x2 + x3
x1 + 3x2 + x3
3x1 + 4x2 + 2x3
x1 , x2 , x3
=
=
=
=
≥
3x1 + 2x2 + 3x3
2
6
8
0
(b)
(c)
(d) Rozwiąż dodając tylko jedną zmienną sztuczną.
min z
5x1 − 6x2 + 2x3
−x1 + 3x2 + 5x3
2x1 + 5x2 − 4x3
x1 , x2 , x3
=
≥
≥
≤
≥
2x1 − 4x2 + 3x3
5
8
4
0
Zadanie 2(Algorytm dualny sympleks). Rozwiąż następujące zagadnienia
algorytmem dualnym:
(a)
min z
2x1 + 2x2
x1 + 2x2
x1 , x2
=
≤
≥
≥
2x1 + 3x2
30
10
0
Badania Operacyjne, ćwiczenia, ISN, 2015/2016, lista 6
2
(b)
min z
x1 + x2
4x1 + x2
x1 , x2
=
≥
≥
≥
5x1 + 6x2
2
4
0
min z
x1 + x2
3x1 − x2
x1 , x2
=
=
≥
≥
4x1 + 2x2
1
2
0
min z
2x1 + x2
x1 + x2
x1 , x2
=
≥
=
≥
2x1 + 3x2
3
2
0
(c)
(d)
(e)
max z
2x1 + 3x2 − 5x3
−x1 + 9x2 − x3
4x1 − 6x2 − 3x3
x1 , x2 , x3
=
≥
≥
≤
≥
2x1 − x2 + x3
4
3
8
0
Wskazówka! Dodaj do początkowej tablicy sympleksowej ograniczenia x1 +
x3 ≤ M (gdzie M jest dostatecznie dużą liczbą) i następnie wykorzystaj
to ograniczenie jako wiersz centralny biorąc x1 jako zmienną wchodzacą.
Zastosuj teraz algorytm dualny.
Zadanie 3. Rozwiąż trzema metodami zagadnienie następujące zagadnienie liniowe:
min z
5x1 + 6x2 − 3x3 + 4x4
x2 − 5x3 − 6x4
2x1 + 5x2 + x3 + x4
x1 , x2 , x3 , x4
=
≥
≥
≥
≥
6x1 + 7x2 + 3x3 + 5x4
12
10
8
0
Badania Operacyjne, ćwiczenia, ISN, 2015/2016, lista 6
3
Zadanie 4(Dualność).
(a) Zapisz zagadnienie dualne do następującego:
min z
x1 + x2 + x3 + x4
x1
+ x3 + x4
x1
− x4
x1 , x2 , x4
=
≥
≤
=
≥
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4
0
0
1
0
(b) Na podstawie zagadnienia dualnego wyznacz optymalną wartość funkcji celu
zadania:
min z =
n
X
ixi
i=1
k
X
xi ≥ k, k=1,. . . ,n
i=1
xi ≥ 0, i=1,. . . ,n
(c) Wykorzystując twierdzenie o warunkach komplementarnych sprawdzić, czy
wektor x = [1, 0, 1]T jest rozwiązaniem optymalnych zadania:
max z
x1 + x2 + 4x3
x1 − x2 + 2x3
x1 , x2 , x3
=
=
=
≥
x1 + 8x2 + 10x3
2
0
0
Zadanie 5(Zakresy cen dualnych i współczynników funkcji celu). Dla
następującego zadania liniowego:
max z
2x1 + 5x2 + x3 + 2x4 + 4x5
5x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 + x5
4x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 6x5
x1 + 2x2
+ x4 + 2x5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
=
≤
≤
≤
≤
≥
78x1 + 72x2 + 18x3 + 72x4 + 10x5
606
1158
624
156
0
optymalną jest następująca tablica sympleksowa:
Badania Operacyjne, ćwiczenia, ISN, 2015/2016, lista 6
cB
0
72
18
78
xB
Z
s1
x4
x3
x1
x1 x2 x3 x4
0 24 0 0
0 3 0 0
0 4 0 1
0 -2 1 0
1 -2 0 0
4
x5 s 1
s2 s3
s4
98 0
4 6 34 13680
3 1 − 13 0 − 13
168
1
7
-1 0
126
-1
3
3
1
5
-3 0
126
0 −3
3
1
4
3 0 −3 1 −3
30
(a) Podaj rozwiazanie optymalne problemu, sformułuj problem dualny i odczytaj
rozwiązanie optymalne zagadnienia dualnego z tablicy.
(b) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne, gdy wektor współczynników funkcji
celu zastąpimy wektorem c=[60,40,36,60,10] a jak wektorem c=[60,40,36,60,21]?
(c) Wyznacz zmiany współcznników funkcji celu, przy których otrzymane bazowe rozwiązanie pozostaje optymalnym.
(d) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne, gdy wektor wyrazów wolnych b zastąpimy wektorem b=[600,1200,600,144] a jak wektorem b=[780,696,574,150]?
(e) Wyznacz zakresy cen dualnych.
Zadanie 6. Dla następującego zadania liniowego:
max z
x1 − 2x2 + x4
x2 + x3 − 2x4
3x2 + x4 + x5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
=
=
=
=
≥
−x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4
3
5
4
0
optymalną jest następująca tablica sympleksowa:
cB
xB
Z
-3 x4
3 x3
-2 x2
x1 x2 x3 x4 x5
4.8 0 0 0 0.2 24.2
0.6 0 0 1 0.4 3.4
1.4 0 1 0 0.6 11.6
-0.2 1 0 0 0.2 0.2
(a) Dla jakich wartości współczynnika c6 dołączenie zmiennej x6 z wektorem
a6 = [1, 2, 0.5]T nie zmieni bazy optymalnej?
(b) Czy i jak zmieni się rozwiązanie optymalne, gdy do zadania dołączymy nowy
warunek
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 ≤ 35?