IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
IV.
TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)
Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych.
Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to
doznaje przyspieszenia i promieniuje, a wówczas traci energię.
IV.1. WIDMA PROMIENIOWANIA ATOMÓW
Rys. IV.1. Schemat spektrometru optycznego. Wiązka światła pada na pryzmat i zostaje rozszczepiona.
Rys.IV.2. Z Rys.IV.1. – na kliszy uzyskamy taki obraz padającej wiązki. Jest to widmo liniowe.
Rodzaje widm – podział:
I.
według (ze względu na) długość fali λ
a) widma optyczne
– powstają w wyniku zmiany energii elektronów zewnętrznych
–1–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
(100Å ≤ λ ≤ daleka podczerwień)
– widma widzialne (VIS):
4000Å ≤ λ ≤ 8000Å
– widma podczerwone (IR):
λ ≥ 8000Å
– widma nadfioletowe (UV):
λ ≤ 4000Å
b) widma rtg (rentgenowskie)
– powstają w wyniku zmiany energii elektronów wewnętrznych (najbliższych jądra
atomowego)
II. według struktury linii
a) widma liniowe | | | || | || | : atomy (jony) swobodne
b) widma pasmowe ||| |||| ||| |||| – gdy linie są zgrupowane bardzo gęsto obok
siebie: drobiny (jony drobin) np. CO2, NH3, CH4,...
c) widma ciągłe – są charakterystyczne dla materii skondensowanej: ciała stałe
(metale), ciecze i gazy w wysokich ciśnieniach. Nie da się jednoznacznie
przypisać konkretnej substancji.
a) i b) są charakterystyczne dla danej substancji – określają ją w sposób jednoznaczny
Dwie linie blisko siebie w widmie – dublet (np. widmo sodu).
III. ze względu na sposób obserwacji
a) widma emisyjne – obserwujemy promieniowanie wysyłane
b) widma absorbcyjne – powstają gdy widmo ciągłe przepuścimy przez daną
substancję (np. gaz), różnica widma ciągłego i liniowego. Na podstawie
analizy linii widmowych możemy stwierdzić przez jakie pierwiastki widmo
zostało przepuszczone
–2–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.IV.3. Przykłady widm.
IV.2. WIDMO ATOMU WODORU (DOŚWIADCZENIE)
Rys.IV.4. Widmo atomu wodoru – przedstawienie graficzne ilustrujące serię Balmera.
–3–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Balmer zaproponował wzór dzięki któremu możemy znaleźć położenie każdej z linii
widmowych atomu wodoru.
2
n =
B⋅n
2
n −4
,
n = 3,4,5,....
(IV.2.1)
λ3 = λα = 6563 [Å]
H∞ – granica serii Balmera ( λ =3646Å)
Każda seria kończy się pewną linią graniczną.
W serii Balmera wykryto 10 linii.
Rydberg wprowadził pewną modyfikację z której wynika, że wygodniej położenie linii
opisywać przez tzw. liczbę falową k, którą wyrażają zależności (IV.2.2a) lub (IV.2.2b):
k=
1

(IV.2.2a)
k=
2

(IV.2.2b)
lub
k n =R H

1 1
−
22 n 2

,
n = 3,4,5,...
(IV.2.3)
gdzie:
stała Rydberga – RH = 109677,58 cm-1
Znanych jest 6 serii linii widmowych, których linie opisuje uogólniony wzór Rydberga:
k = R∞ Z 2

1 1
−
n21 n 22
n2 = n1+1, n1 = const dla danej serii i 1 ≤ n1 ≤ 6
–4–

(IV.2.4)
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
SERIA
ROK
n1
ZAKRES
Lymana
Balmera
Paschena
1906
1885
1908
1
2
3
UV
VIS+UV
IR
przed teorią
Bohra
po teorii Bohra
Bracketta
Pfunda
Humpkreysa
1922
1924
1952
IR
IR
IR
4
5
6
Tabela IV.2. Serie widmowe atomu wodoru.
Model Bohra przewidział istnienie dalszych serii w podczerwieni zanim zostały praktycznie
wykryte.
Teoria Bohra wyprowadzona dla atomu z jednym elektronem – atomy wodoropodobne.
IV.3. TERMY I ZASADA KOMBINACJI RYDBERGA – RITZA (1908)
k=

RH
2
1
n
−
k =T 1−T 1 , T 1=
RH
n22
RH
, T 2=
2
1
n
df
Tn =

RH
n22
RH
n
2
(IV.3.1)
Wzór (IV.3.1) – pojęcie termu, którego matematyczna postać jest inna dla każdego
pierwiastka.
Położenie dla dowolnego widma (linii) możemy przedstawić jako różnicę dwóch termów:
'
'
k n =T n −T n1
Wzory termów dla atomów innych niż wodór, mają inną postać.
Zasada kombinacji Rydberga – Ritza
Liczby falowe dowolnych linii spektralnych mogą być wyrażone jako różnice odpowiednich
termów. Termy te poprzez kombinacje z innymi termami mogą służyć do obliczania liczb
–5–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
falowych innych linii tego samego widma.
Podsumowanie:
Widma atomowe nie są ciągłe – są liniowe, a więc skwantowane!
IV.4. POSTULATY BOHRA
Teoria Bohra oparta jest na następujących postulatach:
I. Elektron porusza się po orbicie kołowej i podlega prawom fizyki klasycznej
(równowaga zapewniona przez prawo Coulomba i II zasadę dynamiki Newtona).
Siła przyciągająca między ładunkiem a jądrem jest równoważona przez siłę
odśrodkową.
II. Zamiast nieskończonej liczby orbit , które dozwolone są z punktu widzenia
mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla
których orbitalny moment pędu L spełnia warunek:
L = n⋅ħ , n = 1,2,3,...
df
ħ=
h
2
(IV.4.1)
L =∣L∣ – kręt orbitalny

L = r × p ,
p = m⋅v
Jest to tzw. postulat kwantowy.
III. Całkowita energia na danej orbicie stacjonarnej jest stała:
E=const
A zatem Bohr przyjął, że elektron nie traci energii!
IV. Przy przejsciu elektronu z jednej orbity na drugą atom wysyła promieniowanie.
E2→ E1 < E2
–6–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
 E 2− E 1 – częstość wyemitowanego
h
promieniowania
f 21 =
Rys.IV.5. Promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z orbity wyższej na niższą.
Postulat analogiczny do postulatu Einsteina!
Bazując na tych postulatach można wyprowadzić wzór Rydberga.
IV.5. WYPROWADZENIE WZORU RYDBERGA.
F e =F o
F c =k
'
Ze 2
2
r
mv
F o=
r
2
Rys. IV.6. Elektron krążący po orbicie wokół jądra atomu.
1
4 0
układ (SI)
k'=
1
układ (Gaussa)
założenie: k'=1
Ze 2 mv 2
=
, z czego i ze wzoru (IV.5.3) wynika, że
2
r
r
–7–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
2
r=
L=nħ
Ze
2
mv
(IV.5.4)
(IV.5.1)
v=
L=mvr
nħ
mr
(IV.5.3)
(IV.5.2)
A zatem:
2
r n=
ħ
2
⋅n
2
Ze ⋅m
n = 1,2,3,
(IV.5.5)
r 1 : r 2 : r 3 : ...=1: 4 : 9: ...
z wzoru (IV.5.5) możemy wyliczyć promień wodoru na pierwszej orbicie (w stanie
podstawowym) – promień Bohra:
r 1=5,3 ⋅10−9 cm
Z (IV.5.3) i (IV.5.5) wynika, że prędkość na n-tej orbicie wynosi:
2
Ze 1
v n=
⋅
ħ n
(IV.5.6)
Z wzoru (IV.5.6) możemy wyliczyć, że:
v 1=2 ⋅10
8
cm
< 1% c
s
A zatem jak widać, nie ma efektu relatywistycznego.
v k~
1
, czyli
n
v 1 : v 2 : v3 =1 :
1 1
:
2 3
Jak wynika z powyższych obliczeń, największą prędkość uzyskuje elektron na 1 orbicie.
Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej Ek i potencjalnej Ep:
E= E k E p
–8–
(IV.5.7)
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
2
Ek=
E p=∫
2
mv Ze
=
2
2r
2
Ze
Ze
2 dr=−
r
r
E=−
Ze
2r
(IV.5.8)
2
(IV.5.9)
2
(IV.5.10)
Z zależności (IV.5.7) – (IV.5.10) wynika, że:
E=−E k
Czyli, że energia całkowita elektronu jest ujemna, a więc elektron jest związany.
2
E n=
4
 
−Z e
1
2 ⋅
2
2ħ
n
(IV.5.11)
En – całkowita energia elektronu na n–tej orbicie.
Z zależności (IV.5.11) można obliczyć E 1=−13,6 eV
związany jest elektron na pierwszej powłoce.
, stąd wynika, że najsilniej
E 1=−13,6 eV – taką energię trzeba dostarczyć ,aby oderwać elektron z 1 orbity
(zjonizować atom wodoru w stanie podstawowym).
4
2
 
me Z
1
E n =−
2 ⋅
2
2ħ
n
Rys.IV.7. Przejście między stanami E2 – E1.
–9–
(IV.5.12)
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.IV.8. Drabina poziomów energetycznych.
Znając energię dowolnego poziomu energetycznego, możemy wyznaczyć częstość f:

E 2 −E 1 me 4 Z 2 1 1
f 21 =
=
−
h
4 ħ3 n21 n 22

(IV.5.13)
Wprowadzamy liczbę falową k daną wzorem (IV.2.2a):
1 f
k= =
λ c
(IV.5.14)
Po podstawieniu częstości danej wzorem (IV.5.13) do wzoru (IV.5.14) otrzymujemy:
k= R∞ Z
df
2
R ∞=

1 1
2− 2
n1 n 2

(IV.5.15)
4
me
3
4 ℏ c
Po wstawieniu wartości liczbowych można wyliczyć, że:
R∞ =109737,3128 cm−1
Wzór (IV.5.15) określa położenie dowolnej linii. Dla Z=1 jest on zgodny ze wzorem
Rytberga.
– 10 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
R H =109677,58 cm −1
R∞ ≃R H ± 0,05 %
Teoria Bohra jest w stanie wyjaśnić położenie linii w tych wszystkich 6 seriach widmowych
wodoru. Potwierdziła bardzo dokładnie położenie linii widmowych w znanych 3 seriach
oraz przewidziała istnienie 3 kolejnych. Każda seria odpowiada przejściu elektronu z
dowolnej powłoki n2 = (n1 + n) na powłokę n1.
IV.6. POPRAWKA NA SKOŃCZONĄ MASĘ JĄDRA, M≠ ∞
W rzeczywistości, w atomie wodoropodobnym, oba ciała jądro i elektron poruszają się
wokół środka masy CM.
Rys.IV.9. Schematyczne przedstawienie środka masy w układzie jądro – elektron (nie w skali). Masa jądra
atomowego M jest skończona i wynosi niecałe 200 me, im lżejsze jądro atomowe tym większe przesunięcie
środka ciężkości CM w stronę elektronu. M – masa elektronu, r – odległość elektronu od jądra atomowego, x
– odległość środka ciężkości atomu od środka jądra atomowego.
Można pokazać, że kręt elektronu w takim przypadku (tzn. gdy masa elektronu jest
skończona) wynosi:
L=

mM 2
⋅r ⋅= mr 2 
mM
1
m
1
M

mr 2 
(IV.6.1)
A zatem możemy stosować wszystkie wyprowadzone wcześniej wzory, tyle ze za masę
wstawiamy tzw. masę zredukowaną μ.
– 11 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
df
=
mM
mM
(IV.6.2)
Uwzględniając to, że jądro ma skończoną masę, wzór Rydberga ma poniższą postać:
k= RM Z
2

1 1
2− 2
n1 n 2

(IV.6.3)
4
e
RM =
3
4 e ℏ
(IV.6.4)
RM – stała Rytberga dla atomów ze skończoną wartością masy jądra.
IV.7. DOŚWIADCZENIE FRANCKA- HERTZA (1914)
Eksperymentalne potwierdzenie punktu IV.6.
Doświadczenie Francka – Hertza dotyczy zderzania się elektronów z dowolnymi atomami
metali (np. rtęci).
Jeżeli poszczególne poziomy energetyczne w atomie są skwantowane, to poziomy całego
atomu powinny być skwantowane (suma).
Rys.IV.10. Ilustracja doświadczenia Francka – Hertza. Bańka została wypełniona atomami Hg. S – siatka
(aby elektrony z katody K mogły przelecieć do anody A) służąca jako dodatkowa elektroda. Pomiędzy siatką
– 12 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
S a anodą A – potencjał hamujący V'.
Rys.IV.11. Wykres niebieski – jeżeli stany atomów są skwantowane możliwe jest tylko pokazanie
odpowiedniej dawki energii (ukazuje jak zmieniałoby się natężenie gdyby w bańce była próżnia i elektrony
nie zderzały się z atomami Hg, lub też gdyby te zderzenia były sprężyste). Wykres czerwony – ilustruje
rzeczywisty przebieg zależności (przy zderzeniach niesprężystych część energii jest przekazywana przez
elektrony atomom rtęci.)
E k ≠ ∆ E 10
E k =eV
∆ E k = ∆ E 10
eV 1=∆ E 10
eV 2=∆ E 20
V 1=4,9 eV
Rys.IV.12. Schemat poziomów energetycznych układu skwantowanego.
–
W charakterystyce i – V obserwujemy skoki (piki) związane ze wzbudzeniem atomów
Hg do coraz wyższych potencjałów energetycznych
–
doświadczenie pokazuje w sposób jakościowy oraz ilościowy (można wyliczyć), że
atom jest układem skwantowanym
Przy napięciu V1 wzbudzenie do E1, przy V2 wzbudzenie do E2.
– 13 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Jeżeli znamy napięcie pierwszego piku
V 1=4,9 eV  , to możemy obliczyć częstość f1:
eV 1=hf 1 →
A ponieważ
f 1=
f 1=
c
, to możemy obliczyć długość fali λ1:
1
hc
1=
eV 1
Z teorii dostajemy
1=2530 Å UV 
Z doświadczenia Francka – Hertza 1FH =2537 Å
A zatem
eV 1
h
∆
≈0,3%

Doświadczenie to potwierdza słuszność teorii Bohra.
– 14 –