VII. CZĄSTKI I FALE

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
VII.
CZĄSTKI I FALE
VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924)
De Broglie wysunął postulat fal materii – tzn. małym cząstkom przypisał fale.
Światło wykazuje zjawisko dyfrakcyjne.
Rys.VII.1.Światło padające na przeszkodę D ze szczeliną o szerokości d. Na ekranie E widać obraz
szczeliny. Gdy d jest znacznie dłuższa od λ to obserwujemy dyfrakcję.
Rys.VII.2. Obrazy dyfrakcyjne dla różnych szczelin.
–1–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Promieniowanie elektromagnetyczne ma charakter dualny.
Hipoteza:
Być może cząstki zachowują sie jak fale – fale materii (de Broglie'a).
De Broglie przypisał falą długość i częstość.
λ=
h
p
(VII.1.1)
gdzie:
p – pęd cząstki
f =
E
h
(VII.1.2)
(λ, f) – wielkości falowe
(p, E) – wielkości korpuskularne (cząstkowe)
2
2
2
2
E = c p  m0 c
4
(VII.1.3)
De Broglie przypisał cząstce falę opisaną funkcją (4):
Ψ  x ,t  = exp
[
−i  Et− p x
ℏ
]
(VII.1.4)
VII.2. DOŚWIADCZALNA WERYFIKACJA HIPOTEZY
W optyce efekty dyfrakcyjne obserwujemy, gdy λ ≥ d, gdzie d to średnica przeszkody.
Dyfrakcja fal materii powinna być obserwowana przy podobnych warunkach.
a) Obiekt makroskopowy – cząstki kurzu o promieniu r i gęstości ρ, poruszające się z
prędkością v
r =10−6 m
ρ = 10
g
cm3
–2–

 Ag = 10,5
g
cm3

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
v =1
m
s
p = mv =
 p = mv bo v ≪ c
3
g⋅cm
 r 3 ρv ≃ 4⋅10−11
4
s
Ze wzoru (VII.1.1) otrzymujemy, że:
=
Ponieważ
h
−16
≃ 1,6⋅10 cm
p
r H1 ≃ 10−8 cm , to:
H
 ≪ r1
Wniosek:
Fal de Broglie'a nie możemy obserwować dla cząstek takich jak cząstka kurzu.
b) Elektrony o energii Ek, poruszające się z prędkością v.
E k = 10eV , v  1 % c
2
Ek =
1
p
2
, stąd:
mv =
2
2m
p =  2mE k ≈1,7⋅10
−19
g⋅cm
s
Z wzoru (VII.1.1) możemy obliczyć, że długość fali λ jest równa:
=
h
−8
≈4⋅10 cm
p
H
czyli  ≥ r 1
A zatem gdybyśmy rozpraszali elektrony na atomach, byłby spełniony warunek
dyfrakcyjny.
–3–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Potwierdzenia hipotezy de Broglie'a można szukać rozpraszając elektrony na ciałach
krystalicznych. Są to różnego rodzaju minerały, metale. Atomy są w nich uporządkowane
w regularny sposób.
Doświadczenie Davisona- Germera (1927)
Rys.VII.3. Schematyczne przedstawienie zjawiska rozpraszania elektronów na sieci krystalicznej. D –
detektor, K – katoda, a – odległość pomiędzy atomami w sieci (jest charakterystyczna dla danej sieci
krystalicznej).
Rys.VII.4.
Doświadczenia potwierdziły prawdziwość hipotezy de Broglie'a
Otrzymano liczbowe wartości długości fali materii λfm i energii kinetycznej Ek:
 fm =
h
= 1,67 Å ,
p
–4–
E k = 54eV
(VII.2.1)
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Warunek dyfrakcji dla fal (warunek Bragga):
n  = dsin  ,
n=1,2,3 ,...
(VII.2.2)
Z powyższego wzoru można obliczyć, że długość fali λ1 wynosi:
1 = 1,65 Å
A zatem jak widać z (VII.2.1) i otrzymanego wyniku dla λ1:
 ~1%
1 =  fm
Podobne doświadczenie do przeprowadzonego przez Davisona i Germera wykonał
Thomson. Różnica była taka, że badał promieniowanie po przejściu przez próbkę (a nie
odbite) – obrazy dyfrakcyjne w transmisji.
W ten sposób została jednoznacznie potwierdzona słuszność hipotezy de Broglie'a. Na jej
podstawie można dokonać interpretacji drugiego postulatu Bohra.
VII.3. INTERPRETACJA REGUŁY KWANTOWANIA BOHRA (L=nħ)
df
L = mvr = pr
(VII.3.1)
gdy r prostopadłe do v
h

(VII.3.2)
hr

(VII.3.3)
L = nℏ
(VII.3.4)
p=
Z zależności (VII.3.1) i (VII.3.2) wynika, że:
L=
Ze wzorów (VII.3.) i (VII.3.4) otrzymujemy, że:
–5–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
hr
= nℏ

2  r n = n ,
(VII.3.5)
n = 1,2 ,3 ,....
(VII.3.6)
Z (VII.3.6) wzoru wynika, że na n-tej orbicie mieści się n długości fali λ.
Rys.VII.5. Czwarta orbita – 4 długości fali. W interpretacji de Broglie'a elektronowi na orbicie odpowiada fala
stojąca.
VII.4. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA (1927)
Zasada nieoznaczoności:
– mówi o tym, że niepewność zawsze będzie częścią każdego przewidywania
dokonanego przez naukę. Dla niektórych problemów nie da się dokładnie wyliczyć, co się
stanie w przyszłości.
– jest kuriozalna z punktu widzenia fizyki klasycznej
– stosuje się do mechaniki kwantowej
– postuluje, że istnieje granica poznawalności
– dotyczy wielkości komplementarnych, czyli wielkości, które nie komutują ze sobą (ich
komutator jest różny od 0, patrz: IX.3).
Przykłady zasady nieoznaczoności dla różnych par komplementarnych:
a) położenie r = x , y , z  i pęd p = p x , p y , p z 
Zapis wektorowy:
–6–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
ℏ
2
r⋅ p ≥
(VII.4.1)
Zapis skalarny:
 x⋅ p x ≥
ℏ
2
(VII.4.2a)
 y⋅ p y ≥
ℏ
2
(VII.4.2b)
 z⋅ p z ≥
ℏ
2
(VII.4.2c)
Wzory (VII.4.1) i (VII.4.2a,b,c) to zasada nieoznaczoności Heisenberga zastosowana
do wektorów położenia i pędu.
∆ x – dokładność określenia położenia
∆ p – dokładność określenia pędu
We współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy:
x ≥
ℏ
2  px
(VII.4.3a)
Oraz we współrzędnych biegunowych:
⋅ L ≥ ћ
(VII.4.3b)
b) Energia E i czas t
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla tej pary komplementarnej wyraża wzór
(VII.4.4):
 E⋅t ≥ ħ
(VII.4.4)
Czas życia danego stanu (τ) – maksymalny czas w jakim możemy mierzyć dany stan, im τ
–7–
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
mniejsze tym mniej dokładnie poznajemy energię tego stanu. Nazywamy to rozmyciem
stanu.
–8–