NiepewnoŹē modelu w polityce makroekonomicznej.

NiepewnoŹē modelu w polityce makroekonomicznej.

Makroekonomia 25
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
NiepewnoÊç modelu w polityce
makroekonomicznej.
Zasada odpornoÊci
Cz´Êç I*
Bohdan K∏os**
W niniejszym opracowaniu podj´to prób´ dokonania
przeglàdu zagadnieƒ zwiàzanych z niepewnoÊcià
w polityce gospodarczej, g∏ównie monetarnej. Przy zaakcentowaniu krytycznej roli niepewnoÊci paradygmatu (niepewnoÊci modelu) w procesach decyzyjnych
analizowane sà mo˝liwoÊci i metody przygotowywania decyzji w taki sposób, aby wypracowana polityka
mog∏a mieç efekt kompensujàcy. Zwraca si´ uwag´ na
relatywnie nowà na gruncie teorii ekonomii (ale intensywnie rozwijanà w naukach technicznych – jako
optymalne i odporne sterowanie1) ide´ odpornoÊci.
Elementy odpornego sterowania – po zebraniu doÊwiadczeƒ oraz wbudowaniu w procedury przygotowywania decyzji funkcjonujàce w instytucjach prowadzàcych polityk´ – mogà ograniczyç konsekwencje
niepewnoÊci modelu.
Opracowanie sk∏ada si´ z dwóch cz´Êci. Pierwsza
poÊwi´cona jest ró˝nym aspektom niepewnoÊci oraz
sposobom jej absorpcji spotykanym w literaturze. Sà to
propozycje dobrze umotywowane z teoretycznego
punktu widzenia, ale abstrahujàce od instytucjonalnych uwarunkowaƒ, w jakich przygotowuje si´ decyzje
(




(KE)


MPG 



(MG)



)




ekstremum  ∑ dyskonto
instrumenty_polityki czas



makroekonomiczne. Niemniej jednak jest to oferta dla
praktyków, jeÊli nie na dziÊ, to na najbli˝sze lata.
W drugiej cz´Êci podejmowana jest próba przeanalizowania praktycznych sposobów rozwiàzywania problemu niepewnoÊci. Z uwagi na ograniczone êród∏a
w wi´kszym stopniu jest to jednak opis stylizowanych
przypadków ni˝ charakterystyka pozwalajàca na wyciàganie ogólniejszych wniosków.
1. Uj´cie akademickie
Dla wprowadzenia w zagadnienie si´gamy po typowy
model polityki gospodarczej (MPG), sk∏adajàcy si´
z ekstremizowanej2 funkcji kryterium (KE) oraz modelu gospodarki (MG). Modele polityki o takiej strukturze
spotykane sà w wielu pracach, g∏ównie nurtu akademickiego. Dlatego – dla zwi´z∏oÊci – omawiane w tej
cz´Êci tekstu uj´cie nazywane b´dzie akademickim opisem problemu decyzyjnego albo polityki gospodarczej.
Struktur´ modelu polityki gospodarczej mo˝na przedstawiç jako:



 Funkcja_ celu





cele_polityki,

 zmienne_celu,


 instrumenty _ polityki, 



wagi _ celów,

 ...


 instrumenty _ polityki,
 zmienne_modelu,
 zmienne_celu


 = Model_gospodarki 
 parametry _ modelu,
 zmienne_modelu 

 ...
* Drugà cz´Êç artyku∏u opublikujemy w nr. 11-12/2004 „Banku i Kredytu”.
** Adres do korespondencji: [email protected]. Niniejsze opracowanie zawiera wy∏àcznie osobiste poglàdy autora, a nie instytucji lub osób, z którymi autor wspó∏pracuje lub wspó∏pracowa∏.
1 Cz´Êç autorów u˝ywa terminologii: Classical Control, Modern Control, Post-Modern Control. Ostatnie okreÊlenie odnosi si´ do nurtu badaƒ nazywanego
tu odpornym sterowaniem. Por. Zhou i in. (1996).













 
2 Spotykany w literaturze anglosaskiej termin ekstremizacja oznacza jednoczesnà
maksymalizacj´ i minimalizacj´. W niniejszym opracowaniu mianem ekstremizacji okreÊla si´ poszukiwanie zarówno pojedynczego ekstremum (minimum
lub maksimum), jak i podwójnego (jednoczesne minimum i maksimum).
26 Makroekonomia
MPG obejmuje dwa zagadnienia. Pierwszym jest
wypracowanie przes∏anek decyzji, tzn. konstrukcja modelu gospodarki MG opisujàcego zwiàzki mi´dzy instrumentami polityki gospodarczej a zmiennymi b´dàcymi jej celem. Model gospodarki wykorzystuje si´ do
prognozowania oraz badania skutków zmian instrumentów. MG reprezentuje zatem zagadnienia b´dàce
przedmiotem makro- i mikroekonomii oraz ekonometrii, statystyki matematycznej, statystyki ekonomicznej.
Drugie zagadnienie – wybranie sekwencji najlepszych
decyzji – opiera si´ na KE, w którym dokonuje si´ pomiaru odchyleƒ zmiennych od ich wartoÊci po˝àdanych, wa˝enia odchyleƒ oraz wartoÊciuje, tzn. okreÊla si´ syntetycznà ocen´ polityki. Ten aspekt zagadnienia jest przedmiotem zainteresowania wielu dzia∏ów nauki, ale nas b´dà interesowaç jedynie odwo∏ania do teorii decyzji. Istotà akademickiego uj´cia MPG jest integracja obu zagadnieƒ.
Z matematycznego punktu widzenia MPG jest zadaniem dynamicznej optymalizacji, a jego rozwiàzanie
mo˝e przybieraç postaç formu∏y jawnie definiujàcej
zwiàzki optymalnych wartoÊci instrumentów z tymi
zmiennymi modelu, które sà celami polityki, np.:
 cele_polityki, 
SL instrumenty_polityki = Regula_polityki  zmienne_celu, 
...



( )
albo ciàgu wartoÊci instrumentów bez analitycznie
okreÊlonej relacji z innymi elementami MPG3. Rozwiàzanie MPG, jako propozycja najlepszej z punktu widzenia KE polityki, czyni ostatecznà decyzj´ niemal formalnoÊcià, zw∏aszcza, gdy ma postaç regu∏y o sk∏adowych interpretowalnych w kategoriach przyczynowo-skutkowych.
Nale˝y jednak podkreÊliç, ˝e êród∏em wiedzy
o skutkach podejmowanych decyzji jest model gospodarki – proponowana polityka dotyczy wi´c modelu,
a gospodarki jedynie w tym zakresie, w jakim model
jest jej adekwatnà charakterystykà. Optymalne rozwiàzanie MPG eksploatuje cechy MG, które nie zawsze
znajdujà odpowiednik w gospodarce. ÂwiadomoÊç tego faktu, ale i dynamiczny charakter MG oraz KE (prognozowanie wartoÊci zmiennych) prowokujà do nieortodoksyjnego rozwiàzania problemu matematycznego. Przyk∏adowo, eliminuje si´ mo˝liwoÊç uzyskania
ciàgu wartoÊci instrumentów, narzucajàc postaç funkcyjnà rozwiàzania. Szczególnie wygodne wydajà si´
funkcje liniowe SL, wià˝àce instrumenty polityki ze
zmiennymi pojawiajàcymi si´ w funkcji celu – w litera3 JeÊli w MG wyst´pujà oczekiwania kierowane w przysz∏oÊç (antycypacyjne),
to rozwiàzania MPG powinny byç uzyskiwane w sposób typowy dla gier dynamicznych, tzn. przy za∏o˝eniu, ˝e optymalna polityka b´dzie wiarygodna lub
nie b´dzie mia∏a takiej cechy. Formalne procedury post´powania sà wówczas
ró˝ne. W dalszej cz´Êci pracy, dopuszczajàc mo˝liwoÊç pojawienia si´ racjonalnych i antycypacyjnych oczekiwaƒ w MG, za∏o˝ymy pe∏nà wiarygodnoÊç decydenta. Sygnalizowany problem jest konsekwencjà bardziej fundamentalnej
dyskusji na temat polityki makroekonomicznej opartej na regu∏ach oraz polityki dyskrecjonalnej. Por. Kydland i in. (1977), Fisher (1992), Meyer (2002).
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
turze nazywa si´ je regu∏ami prostymi. W dalszej cz´Êci
pracy regu∏y, w których optymalizowano jedynie parametry narzucajàc postaç analitycznà rozwiàzania, b´dziemy nazywali regu∏ami efektywnymi. Oprócz regu∏
motywowanych MPG przedmiotem badaƒ sà tak˝e regu∏y proste o arbitralnie przyjmowanych parametrach oraz
regu∏y, które powstajà bez odwo∏ania do MPG (wskazywania postaci KE oraz modelu gospodarki)4.
Wa˝nym przedmiotem dyskusji akademickich jest
zatem konstrukcja regu∏ typu SL, tzn. przynajmniej cz´Êciowa endogenizacja samej polityki. To jest tak, jakby
przedmiotem wyboru decydenta by∏y nie tyle wartoÊci
instrumentów, ile wartoÊci parametrów regu∏y lub same regu∏y. Po taki schemat analizy polityki gospodarczej cz´sto si´ga si´ w akademickich dyskusjach o polityce monetarnej i w toku dalszych rozwa˝aƒ b´dziemy si´ opieraç niemal wy∏àcznie na przyk∏adach z tej
dziedziny. OczywiÊcie, nie ma powodu, by z góry wykluczaç polityk´ fiskalnà z naszkicowanego schematu,
ale dotychczasowy dorobek teoretyczny nie jest zbyt
obfity. Prezentowane dalej idee – mimo jednostronnych przyk∏adów – majà wi´c zastosowanie do ca∏ej
polityki makroekonomicznej.
1.1. Uj´cia czàstkowe – niepewnoÊç sk∏adowych modelu
WàtpliwoÊci, czy modele gospodarki sà na tyle precyzyjne, by zaufaç polityce uzyskanej z rozwiàzania
MPG pojawiajà si´ od dawna. Efektem tych wàtpliwoÊci sà badania – tu nazywane czàstkowymi – nad êród∏ami niepewnoÊci w modelu i ich konsekwencjami
dla ostatecznej decyzji. W tym nurcie badaƒ niepewnoÊç jest uto˝samiana z losowoÊcià, której natura wynika z za∏o˝eƒ upraszczajàcych analiz´. Rozwiàzujàc
MPG, poszukuje si´ polityki (regu∏y), która uwzgl´dnia stochastyczny charakter elementów modelu.
Przedstawimy krótki przeglàd najwa˝niejszych wniosków, traktujàc ten wàtek rozwa˝aƒ jako wprowadzenie do bardziej kompleksowego uj´cia problematyki.
1.1.1. NiepewnoÊç zaburzenia
W zagadnieniach z liniowym modelem gospodarki
i kwadratowà funkcjà celu cz´sto zak∏ada si´ istnienie w MG niepewnoÊci reprezentowanej przez addytywny i nieskorelowany sk∏adnik losowy (tzw. addytywna niepewnoÊç zaburzenia). Stochastyczny charakter MG wymaga modyfikacji kryterium KE. Zwykle minimalizowana jest wi´c oczekiwana (warunkowa) kwadratowa funkcja straty. Taki MPG zalicza si´
4 W literaturze dotyczàcej polityki monetarnej oprócz regu∏ normatywnych poszukuje si´ tak˝e regu∏ opisowych. Szacuje si´ np. równanie, uzale˝niajàce stop´ procentowà od zmiennych uznanych za przes∏anki w procesie decyzyjnym, aby odkryç zasady post´powania banku centralnego w przesz∏oÊci. Por. np. Clarida i in.
(1998). åwiczenie takie wykonywane jest cz´sto, mimo ˝e istniejà argumenty kwestionujàce jego sens. – por. S. G. Hall i in. (1999). Regu∏y o opisowym charakterze
b´dziemy nazywaç regu∏ami empirycznymi lub funkcjami reakcji decydenta.
Makroekonomia 27
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
do klasy kwadratowo-liniowych, bayesowskich problemów decyzyjnych. Dla takich MPG zachodzi zasada równowa˝noÊci warunkom pewnoÊci (ang. certainty equivalence principle). Istot´ zasady ilustruje
nast´pujàcy MPG:
(
)
min E ∑ x 'Qx + u ' Ru
t
t
t
t
 {u} 0 t

KL x t +1 = Ax t + But + C ε t +1 ,
ε ~ IID(0, I )
 t +1

( )
gdzie: macierze wag Q i R charakteryzujà, odpowiednio, wzgl´dne straty decydenta wynikajàce z odchylenia wektora zmiennych x od ich wartoÊci po˝àdanych
(tu zera) oraz zmian wektora instrumentów u; zebrane
w macierz A parametry charakteryzujà efekty inercyjne, a w macierz B – wp∏yw instrumentów u na zmienne x; macierz C definiuje kowariancj´ zaburzenia losowego ε5. Optymalnym rozwiàzaniem KL jest liniowa
funkcja zmiennych x, tzn.:
ut=Fxt,
gdzie: F – macierz parametrów6 i F nie zmienia si´, gdy
C ≡ 0. Polityka wyznaczona z wersji deterministycznej
MPG oraz z wersji z niepewnoÊcià zaburzenia sà to˝same. Pojawienie si´ addytywnej niepewnoÊci zaburzenia w modelu gospodarki nie wymaga modyfikacji samej polityki, ale sprawia, ˝e jej efekty sà – Êrednio rzecz
bioràc – gorsze7.
Zasada równowa˝noÊci ujawnia si´ jedynie w stosunku do polityki optymalnej w zadaniu klasy KL. JeÊli wyznaczona regu∏a jest jedynie efektywna, to istnienie addytywnej niepewnoÊci nie mo˝e byç pomini´te. Zasada równowa˝noÊci traci swojà aktualnoÊç
tak˝e wtedy, gdy sk∏adnik losowy ε wykazuje autokorelacj´. Odstàpienie od wygodnego analitycznie za∏o˝enia o niezale˝noÊci rozk∏adu ε otwiera pole do analiz natury zaburzenia, jego uporczywoÊci, ale potrzeba
brania pod uwag´ tego przypadku dostrzegana jest od
niedawna8.
1.1.2. Multiplikatywna niepewnoÊç parametrów
Istnienie addytywnego losowego zaburzenia ε w modelu MG jest – z analitycznego punktu widzenia –
wzgl´dnie prostym przypadkiem. Do wi´kszych komplikacji prowadzi uznanie parametrów modelu za losowe. W literaturze przypadek taki nazywany jest mul5 W dalszej cz´Êci pracy pomijamy formalne aspekty problemów matematycznych, np. warunki, jakie muszà spe∏niaç macierze B, A, Q i R, aby istnia∏o jednoznaczne rozwiàzanie zadania optymalizacji dynamicznej. Systematyczny
wyk∏ad prezentuje np. Ljungqvist i in. (2000).
6 W dalszej cz´Êci opracowania F oznaczaç b´dzie zarówno samà regu∏´, jak
i jej parametry.
7 Formalny dowód istnienia równowa˝noÊci podaje np. Ljungqvist i in.
(2000), rozdz. 5.
8 Por. Srour (2002), Walsh (2003).
tiplikatywnà niepewnoÊcià parametrów. S∏ynna zasada konserwatyzmu sformu∏owana przez Brainarda
(1967) odnosi si´ do sytuacji, gdy niepewne w modelu
sà parametry charakteryzujàce bezpoÊredni wp∏yw instrumentów na zmienne modelu (w zadaniu KL wartoÊci B sà losowe). Zasada sprowadza si´ do spostrze˝enia, ˝e wzrost wariancji (niepewnoÊci) parametrów B
prowadzi do zmniejszenia absolutnej wartoÊci parametrów regu∏y F. Przy mniejszych wartoÊciach bezwzgl´dnych F reakcje instrumentu (stopy procentowej) na pojawiajàce si´ zaburzenia stajà si´ s∏absze ni˝
w warunkach braku niepewnoÊci. Zasada Brainarda
proponuje optymalnà polityk´, która uwzgl´dnia fakt
nieprecyzyjnej wiedzy o cz´Êci parametrów modelu.
Gdy jednak niepewnoÊç dotyczy parametrów charakteryzujàcych w modelu MG efekty inercyjne (tzn. gdy parametry A w zadaniu KL sà losowe) , „optymalna” polityka mo˝e stanowiç przeciwieƒstwo propozycji Brainarda9. JeÊli wyst´puje jednoczeÊnie niepewnoÊç parametrów A i B, tym bardziej nie mo˝na wyprowadziç ogólniejszych wniosków.
1.1.3. NiepewnoÊç danych
Oprócz addytywnej niepewnoÊci zaburzenia oraz multiplikatywnej niepewnoÊci parametrów badano tak˝e
konsekwencje niepewnoÊci danych10. Zaproponowana
powy˝ej postaç zadania KL ignoruje fakt, ˝e dane o gospodarce (zmienne x) dotyczàce chwili t w praktyce nie
sà jeszcze w chwili t znane i trzeba je zastàpiç szacunkami. Choçby z tego powodu dane sà obarczone niepewnoÊcià. Dodatkowo, istnieje te˝ grupa zmiennych,
których kwantyfikacja jest dyskusyjna. Luka popytowa,
naturalna stopa bezrobocia, NAIRU (itp.) sà poj´ciami
ch´tnie wykorzystywanymi w analizach teoretycznych
i badaniach empirycznych, ale ich treÊç i sposób pomiaru jest dyskusyjny. WàtpliwoÊç, czy – z uwagi choçby na niejednoznacznoÊç definicji – nie by∏oby bezpieczniejsze ca∏kowite pomini´cie tej grupy zmiennych
w problemach decyzyjnych, okaza∏a si´ jednak nieuzasadniona. W przypadkach przebadanych np. przez Orphanidesa (1998) oraz Estrella i in. (1999) – gdy losowe
sà tylko wybrane typy danych (luka popytowa, NAIRU)
– ujawni∏o si´ zjawisko analogiczne do zasady konserwatyzmu Brainarda.
1.2. Uj´cie kompleksowe – niepewnoÊç modelu
Wi´kszoÊç zacytowanych wniosków uzyskiwano analitycznie dla bardzo prostych modeli MG, tzn. mode9 AgresywnoÊç polityki przy niepewnej dynamice jest najcz´Êciej spotykanym
wnioskiem; w paragrafie 1.4.1 (tabela 2) przedstawiany jest przyk∏ad MPG,
w którym niepewnoÊç dynamiki nie przek∏ada si´ ani na konserwatywne, ani
agresywne reakcje instrumentu.
10 Por. Orphanides (1998), Estrella i in. (1999). Szerszy przeglàd prezentuje
Walsh (2003).
28 Makroekonomia
li, które nie opisujà realnie istniejàcej gospodarki11.
JeÊli modele by∏y bardziej skomplikowane (w szczególnoÊci gdy by∏y to modele empiryczne), si´gano po
techniki symulacji i metody numeryczne, co tym bardziej ogranicza∏o wnioski jedynie do przebadanego
wariantu12. Czàstkowe badania wià˝àce niepewnoÊç
z poszczególnymi elementami modelu nie obejmujà
jednak wszystkiego, co wydaje si´ tu interesujàce. JeÊli
niepewne mogà byç parametry i dane, to równie dobrze mo˝na zakwestionowaç ca∏y model, który – z definicji – jest tylko uproszczonym obrazem wybranych
cech rzeczywistoÊci. Dlatego szerzej rozumiana niepewnoÊç – niepewnoÊç modelu, paradygmatu – wydaje si´ interesujàca.
Termin niepewnoÊç modelu obejmuje coÊ wi´cej
ni˝ parametry i dane. Przyk∏adowo, mo˝na budowaç
modele opierajàc si´ na konkurencyjnych (wykluczajàcych) paradygmatach ekonomii. Dla tego samego paradygmatu proponuje si´ ró˝ne (niezagnie˝d˝one) sposoby matematycznego sformu∏owania i ró˝ne sposoby
przeprowadzenia badania statystycznego. Przy tym samym paradygmacie oraz sposobie wpisania teorii w estymowany (kalibrowany) model pozostajà wàtpliwoÊci
dotyczàce np. sposobu modelowania procesów dostosowaƒ, rozk∏adów opóênieƒ. Nawet wtedy, gdy pos∏ugujemy si´ narz´dziami sformalizowanymi rygorystycznie pozostaje przestrzeƒ do rozstrzygni´ç motywowanych doÊwiadczeniem lub przekonaniami badacza. Warto podkreÊliç, ˝e sens terminu paradygmat nie
jest ograniczany jedynie do teorii ekonomicznych wyjaÊniajàcych przyczynowo-skutkowà struktur´ (paradygmat sensu stricto). Dylemat: modele strukturalne
kontra modele astrukturalne (VAR), modele estymowane czy kalibrowane, to tak˝e sk∏adnik niepewnoÊci modelu. U˝ywajàc terminu niepewnoÊç modelu (paradygmatu), podkreÊlamy istnienie wàtpliwoÊci, które nie
mogà byç przypisane do konkretnego elementu modelu.
1.2.1. NiepewnoÊç paradygmatu – przyk∏ad zadania KL
O potrzebie zaj´cia si´ niepewnoÊcià modelu Êwiadczy
przebieg dyskusji na temat polityki monetarnej w Polsce, w
której, naszym zdaniem, nadmiernà wag´ przywiàzywano
w niej do preferencji decydenta (wskazujàc ustawowe definicje celu polityki monetarnej), pomijajàc rol´ modelu (wyników empirycznych badaƒ nad êród∏ami inflacji w Polsce). Taki sposób argumentacji nie trafia∏ jednak w sedno
zagadnienia. Ilustruje to analiza rozwiàzania MPG, w którym decydent minimalizuje Êrednià wa˝onà wariancji odchyleƒ inflacji od za∏o˝onego celu (πt – π*) oraz poziomu
aktywnoÊci gospodarczej (luki popytowej yt). Wag´ przy11 ZasadnoÊç cz´Êci wniosków czytelnik mo˝e zweryfikowaç analizujàc tabel´ 2, w której zebrano postaci optymalnych regu∏ polityki monetarnej w warunkach niepewnoÊci przypisanej do ró˝nych komponentów prostego modelu
gospodarki.
12 Obszerniejszy przeglàd badaƒ przestawiajà np. K∏os (2003), Walsh (2003).
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
k∏adanà do ka˝dego z celów okreÊla parametr λ. Zale˝noÊci
mi´dzy instrumentem polityki monetarnej ut oraz inflacjà
i poziomem aktywnoÊci gospodarczej charakteryzuje model
gospodarki sk∏adajàcy si´ z krzywej Phillipsa oraz krzywej
IS. Pomijamy tu prezentowane wczeÊniej czàstkowe uj´cia
niepewnoÊci (parametrów, danych, zaburzenia), nie ma tak˝e kosztów zmian instrumentu13:
(
) (
)
(
)
( )
λ Var π t − π * + 1 − λ Var yt → min
u

π t = π t −1 + α yt −1
MO 
yt = ρ yt −1 − ξ ut −1 − u * ,

α, ρ, ξ > 0, λ ∈ 0, 1
( )
( )
Optymalnym rozwiàzaniem problemu decyzyjnego MO jest liniowa regu∏a uzale˝niajàca ró˝nice mi´dzy
stopà procentowà i jej wartoÊcià w warunkach równowagi (u*) od zmiennych wyst´pujàcych w minimalizowanej funkcji straty:
(
)
(
)

π
y
 ut − u* = f πt − π* + f y t ,

2

 π −α λ + 4 1 − λ λ + α λ
,
TR f =
2 1− λ ξ


f y = ρ

ξ
( )
( ) ( )
( )
Analizujàc MO i TR zauwa˝amy, ˝e wzrost λ prowadzi do przyk∏adania coraz mniejszej wagi do utrzymania poziomu aktywnoÊci gospodarczej. Jednak nawet wtedy, gdy waga zmiennej y w funkcji starty zbiega do zera (λ →1), zmienna ta pozostaje aktywnym elementem regu∏y TR, a wi´c nadal jest przes∏ankà racjonalnych decyzji. Rola luki w procesie decyzyjnym wynika z za∏o˝onej postaci modelu gospodarki.
Spotykana w literaturze tendencja do analiz regu∏y
w oderwaniu od modelu gospodarki, a nawet uto˝samiania parametrów (f π, f y) z preferencjami (λ) prowadzi do nadmiernych uproszczeƒ analizy14. JeÊli np.
kwestionowana jest polityka stopy procentowej zbyt
s∏abo (mocno) reagujàca na wielkoÊç luki popytowej, to
argumenty odwo∏ujàce si´ wy∏àcznie do preferencji (λ)
sà wàtpliwe – w TR parametr f y nie zale˝y od λ. Fakt,
˝e luka determinuje optymalnà polityk´ stopy procentowej, wynika z paradygmatu modelu – istotà sporu jest
tak˝e model.
1.2.2. Metodologiczne aspekty niepewnoÊci modelu
W kontekÊcie niepewnoÊci modelu wa˝nym zagadnieniem staje si´ metoda modelowania. W ekonomii istnieje wiele konkurencyjnych paradygmatów, a prowadzone badania empiryczne nie pozwoli∏y na sformu∏owanie odpowiedzi na pytanie, która z idei (teorii) najlepiej t∏umaczy to, co si´ dzieje w naszym otoczeniu.
13 Model i jego rozwiàzanie cytujemy za Orphanides (1998).
14 Por. np. Czy˝ewska (2001); przyk∏ady takiej interpretacji podaje tak˝e Wojtyna (2003).
Makroekonomia 29
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
Tabela 1 Klasyfikacja modeli i ich charakterystyki
Modele teoretyczne
Modele empiryczne
Cecha
modelu
modele
„czysto”
teoretyczne
stosowane
modele
teoretyczne
modele
hybrydowe
stosowane
modele
empiryczne
modele
„czysto”
empiryczne
Zwiàzki
z obserwowalnà
rzeczywistoÊcià
Orientacja na stylizowane fakty lub ca∏kowite pomijanie obserwowalnych obiektów,
zdarzeƒ oraz ich horyzontu czasowego.
Cechy modelu sà
wnioskami wyprowadzanymi w sposób
Êcis∏y z za∏o˝eƒ (aksjomatów).
Orientacja na stylizowane fakty.
Próby ∏àczenia informacji zaczerpni´tych
z próby ze stylizowanymi faktami i wiedzà a priori.
Zasadniczym (ale
nie jedynym)
êród∏em informacji
jest materia∏
empiryczny.
Cechy modelu sà determinowane za∏o˝eniami (aksjomatami).
Cechy modelu wynikajà – przynajmniej
cz´Êciowo – z na∏o˝onych i nieweryfikowanych ograniczeƒ
oraz za∏o˝eƒ.
Dominujàcà rola materia∏u statystycznego
cz´sto w ramach
przyj´tego wzorca zale˝noÊci (modelu teoretycznego).
Restrykcje identyfikujàce parametry podlegajà (przynajmniej
cz´Êciowej) weryfikacji. Endogo- i egzogenicznoÊç zmiennych
mogà byç testowane.
Arbitralnie za∏o˝one
znaki parametrów
(wartoÊci minimalne
lub (i) maksymalne),
nie podlegajà weryfikacji.
Formalna analiza poprawnoÊci wnioskowania (np. zastosowania twierdzeƒ i faktów analizy matematycznej, regu∏ logiki
formalnej).
Kalibracja (narzucone
wartoÊci parametrów,
dobrane metodami
eksperymentalnymi,
zaczerpni´te z innych
badaƒ itp.)
Formalna analiza poprawnoÊci wnioskowania.
Cz´Êç parametrów ma
kalibrowane wartoÊci,
pozosta∏e sà estymowane warunkowo,
tak˝e metodami bayesowskimi.
Dla podzbioru estymowanych parametrów stosuje si´ takie
metody, jak dla modeli empirycznych.
Badanie zgodnoÊci
z danymi.
Wi´kszoÊç parametrów jest estymowana. Cz´Êç parametrów
podlega restrykcjom.
Sposób
uwiarygodnienia
modelu
Ewentualne badanie
zgodnoÊci wniosków
z przyj´tym paradygmatem.
åwiczenia numeryczne potwierdzajàce
zdolnoÊç modelu do
odtwarzania stylizowanych faktów.
Typowe zastosowanie
Rozwój teorii ekonomii.
Rozwój teorii ekonomii (ilustracja dzia∏ania wersji „czysto”
teoretycznej), wnioski
o charakterze jakoÊciowym wspomagajà
polityk´ gospodarczà.
Interpretacja ekonomiczna postaci strukturalnej i koƒcowej,
prognozy ex ante i ex
post, analizy mno˝nikowe.
Wspomaganie polityki gospodarczej (prognozy, scenariusze,
analizy polityki gospodarczej).
Interpretacja ekonomiczna postaci strukturalnej i koƒcowej,
prognozy ex ante i ex
post, analizy mno˝nikowe.
Weryfikacja teorii
ekonomicznych,
wspomaganie polityki gospodarczej, analizy kontrfaktualne,
êród∏o stylizowanych
faktów.
Kryteria
klasyfikujàce
metodyki
modelowania
Kima i Pagana1
Zale˝à od przyj´tych
za∏o˝eƒ (aksjomatów)
modelu.
Zwykle istnieje rozwiàzanie stacjonarne;
dynamika modelu
wynika z optymalizacji dynamicznej. Zak∏ada si´ pe∏ny dost´p do informacji,
a zmienne egzogeniczne sà procesami
stochastycznymi.
Zale˝à od przyj´tych
za∏o˝eƒ. Zwykle istnieje rozwiàzanie stacjonarne. Oczekiwania sà zgodne z modelem, dynamika estymowana (mo˝e wynikaç z przyj´tego paradygmatu).
Rozwiàzanie d∏ugookresowe okreÊlajà
dane. Oczekiwania
zale˝ne od za∏o˝eƒ
(cz´Êciowo determinowane danymi). Dynamika modelu estymowana, zmienne egzogeniczne warunkowe lub procesy.
Przyk∏ady
Modele z podr´czników makro i mikroekonomii: Solowa,
Diamonda,
Ramsey’a, równowagi
ogólnej, itp.
Wyniki badaƒ empirycznych motywowanych modelami „czysto” teoretycznymi.
Cz´Êç dynamicznych
modeli stochastycznej
równowagi ogólnej,
QUEST
Wi´kszoÊç modeli
stosowanych w instytucjach paƒstwowych
i komercyjnych. Interlink, Multimod,
NiGEM, AWM, BOF-5, QPM, MANAGE,
MBA, MSMI itp.
Modele VAR z analizà funkcji reakcji2,
SVAR, klasyczne modele ekonometryczne
(strukturalne i postaci
zredukowanej).
Rola i charakter
wiedzy a priori
Sposób uzyskania
wartoÊci
parametrów
modelu
Diagnostyka
modelu
Metody statystyczne
(formalna diagnostyka,
w tym zgodnoÊç z danymi), interpretacja
ekonomiczna (stosowana do parametrów
postaci strukturalnej).
Próbuje si´
zminimalizowaç
wp∏yw za∏o˝eƒ
a priori na cechy
modelu. Nak∏adane
ograniczenia sà
bezpoÊrednio lub
poÊrednio
weryfikowane.
Wszystkie parametry
sà estymowane.
Metody statystyczne
(formalna
diagnostyka, w tym
zgodnoÊç z danymi),
interpretacja
ekonomiczna
(stosowana do
parametrów postaci
strukturalnej).
Interpretacja
ekonomiczna
Opis obiektu,
weryfikacja teorii
ekonomicznych,
êród∏o
stylizowanych
faktów. Kryterium
wyboru dla
konkurencyjnych
modeli
teoretycznych.
Rozwiàzanie
d∏ugookresowe
okreÊlajà dane (jeÊli
istniejà).
Oczekiwania sà
determinowane
przesz∏oÊcià.
Dynamika modelu
estymowana.
Zmienne
egzogeniczne mogà
byç procesem
autoregresyjnym.
Modele VAR (bez
analizy funkcji
reakcji)2
30 Makroekonomia
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
Tabela 1 cd Klasyfikacja modeli i ich charakterystyki
Uwagi
Zagwarantowana wewn´trzna spójnoÊç
i zgodnoÊç z paradygmatem (definiuje paradygmat). Mo˝liwa
niezgodnoÊç z otaczajàcà rzeczywistoÊcià
(w obserwowalnym
horyzoncie).
Stosowane testy formalne majà jedynie
warunkowy charakter
(sà miarodajne tylko,
gdy elementy narzucone sà trafne). Z formalnego punktu widzenia
mo˝na je uznaç za niepoprawne.
Obraz „rzeczywistej"
gospodarki cz´sto
bez próby
wyjaÊnienia.
Mo˝liwe
sprzecznoÊci z
teorià. Ograniczone
mo˝liwoÊci
stosowania przy
wspomaganiu
polityki
gospodarczej.
1 Kim
i Pagan (1995) proponujà nast´pujàce kryteria klasyfikacji modeli: (a) istnienie rozwiàzania stacjonarnego, (b) zakres informacji dost´pnych dla podmiotów,
(c) êród∏o dynamiki modelu, (d) natura zmiennych egzogenicznych.
2 Przyj´cie kolejnoÊci równaƒ w modelu VAR oraz generowanie zaburzeƒ z dekompozycjà Cholesky’ego sà nieweryfikowalnymi restrykcjami, które zwykle majà
wp∏yw na uzyskiwane rezultaty.
èród∏o: opracowanie w∏asne.
Jednà z przyczyn jest problem identyfikacji, który sprawia, ˝e istniejàca próba statystyczna, bez dodatkowych
za∏o˝eƒ, zwykle dostarcza argumentów popierajàcych
wi´cej ni˝ jeden sposób interpretacji zdarzeƒ. KoniecznoÊç wykorzystania wiedzy a priori, a dok∏adniej sposób, w jaki to jest czynione, sta∏o si´ przyczynà dyskusji
i powstania konkurencyjnych metodyk badaƒ, w tym
modelowania empirycznego. Analizujàc istniejàce modele gospodarek zauwa˝amy, ˝e niepewnoÊç modelu ma
êród∏o nie tylko w teoriach ekonomicznych (niepewnoÊç
paradygmatu sensu stricto), ale tak˝e w samych metodach budowy modeli, konkurencyjnych metodach prowadzenia badaƒ empirycznych, wnioskowania statystycznego itp. Przyjmujàc jako kryterium sposób i stopieƒ uwzgl´dnienia wiedzy a priori, mo˝na zdefiniowaç
kilka klas modeli. Preferujemy klasyfikacj´ wyró˝niajàcà: modele czysto empiryczne, stosowane modele empiryczne, modele hybrydowe, stosowane modele teoretyczne i modele czysto teoretyczne. W tabeli 1 zestawiono charakterystyki wymienionych klas modeli.
Rygorystyczne stosowanie zasad wnioskowania statystycznego (estymacji parametrów i diagnozowania) charakteryzuje jedynie modele czysto empiryczne. Ich u˝ytecznoÊç jest zwykle ograniczona, bowiem bardziej opisujà, ni˝ wyjaÊniajà rzeczywistoÊç. Elementy wnioskowania
ekonometrycznego spotyka si´ przy budowie stosowanych modeli empirycznych i modeli hybrydowych.
W ˝adnym z przypadków nie mo˝na ju˝ mówiç o proceduralnej racjonalizacji modelu poprzez rygorystycznie zastosowanà metod´ badaƒ statystycznych lub ekonometrycznych – wnioskowanie statystyczne prowadzone jest
tu jedynie warunkowo. Dodatkowo zauwa˝amy tendencj´
do przechodzenia do modeli z coraz wi´kszym udzia∏em
nieweryfikowalnej wiedzy a priori (kalibrowanych).
Ró˝norodnoÊç modeli tego samego zjawiska jest
faktem, a za pomocà formalnych metod i kryteriów selekcji modeli nie mo˝na wybraç „w∏aÊciwego”. Kryteria te
sà bowiem specyficzne dla ka˝dej klasy modeli i mogà co
najwy˝ej u∏atwiç budowanie rankingu modeli w ramach tej
samej klasy. Próba rozwiàzania dylematu niepewnoÊci mo-
delu w sposób formalny, np. poprzez analiz´ poprawnoÊci
zastosowanej metody budowy, nie jest wi´c skuteczna.
1.2.3. Badania empiryczne i teoretyczne studia porównawcze
Posiadanie kilku konkurencyjnych modeli tego samego
obiektu prowokowa∏o próby opracowania polityki, której skutecznoÊç nie by∏aby ograniczona do jednego modelu. Poszukiwano zatem regu∏y polityki odpornej na
niepewnoÊç modelu. Sugesti´ podj´cia takich poszukiwaƒ przypisuje si´ McCallumowi, a badania prowadzono, m. in. w bankach centralnych USA, Kanady oraz EBC15.
Chocia˝ du˝a cz´Êç eksperymentów wydaje si´ mieç charakter ad hoc, omówimy fragmenty, koncentrujàc si´ na
aspektach metodycznych, tzn. kryteriach u˝ywanych do
budowy regu∏ niewra˝liwych na specyfik´ modelu.
Levin i in. (1999), dysponujàc czterema empirycznymi modelami gospodarki USA, poszukiwali regu∏
prostych (efektywnych) rozwiàzujàc dla ka˝dego z modeli problem decyzyjny banku centralnego:
(LWW)
(
)
( )
()
( )
S F | λ, Φ j = λVar x t + (1 − λ)Var π t → min
F ∈Φj


+
x
=
Π
F
x
C
F
ε
 t
t −1
t

2
Var ∆ut ≤ k

()
( )
w którym Π (F) i C (F) sà macierzami parametrów postaci zredukowanej modelu16. Dodatkowy warunek
ogranicza wariancj´ zmian instrumentu u (tu stopy procentowej), sta∏a k jest (w przybli˝eniu) historycznà wariancjà, zbiór Φj charakteryzuje klas´ regu∏y (postaç
analitycznà, zmienne wyst´pujàce w regule, maksymalne opóênienia, wartoÊci parametrów), pozosta∏e oznacze15 Gerdesmeier, Motto i Pill (2002); Levin i in. (1999), Levin i in. (2001), Levin i in. (2003), Cote i in. (2002), patrz tak˝e Bray i in. (1995).
16 W cytowanym opracowaniu poszukiwano regu∏ dla modeli z racjonalnymi
i antycypacyjnymi oczekiwaniami. W pierwszym kroku znajdowano rozwiàzanie zlinearyzowanej wersji modelu przy danej regule F∈Φj. Rozwiàzanie takie mo˝na zapisaç jako uk∏ad równaƒ ró˝nicowych rz´du pierwszego – w literaturze angloj´zycznej u˝ywany jest wówczas termin companion form.
Szczegó∏y procedury opisujà Levin i in. (1999), s. 272 i nast.
Makroekonomia 31
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
nia – jak poprzednio. WartoÊç funkcji S (F|λ, Φj) pozwala
na ocen´ efektywnoÊci regu∏ w ró˝nych modelach, ocen´
ró˝nych klas regu∏ definiowanych przez Φj przy ró˝nych
preferencjach decydenta (wartoÊciach λ)17. Zauwa˝my, ˝e
odpowiednie definiowanie zbioru Φj jest równoznaczne
z narzuceniem dodatkowych ograniczeƒ na regu∏´.
W omawianym badaniu pozwoli∏o to testowaç cechy wielu regu∏ efektywnych, w tym tak˝e regu∏, których konstrukcja nie opiera∏a si´ na paradygmacie sensu strico modelu.
Czàstkowe wnioski uzyskane przez Levina i in. (1999,
2001, 2003) sà interesujàce. Okaza∏o si´, m.in., ˝e bardziej
skomplikowane regu∏y (wi´cej zmiennych, d∏u˝sze opóênienia) wykazujà wi´kszà wra˝liwoÊç na niepewnoÊç modelu. Regu∏y przyrostowe charakteryzujà si´ wi´kszà odpornoÊcià na zmiany specyfikacji (z wyjàtkiem typu oczekiwaƒ). Regu∏y antycypacyjne (budowane na prognozach
zmiennych) wydajà si´ przereklamowanie. ¸atwiej zbudowaç regu∏´ odpornà, gdy celem polityki jest nie tylko inflacja, ale równie˝ aktywnoÊç gospodarcza itd. Choç generalny wniosek potwierdza, ˝e odpornoÊç regu∏y mo˝e byç
uzyskana dla grupy konkretnych, testowanych modeli (tu:
gospodarki USA), to Meyer (2002) w pracach Levina i in.
znajduje uzasadnienie u˝ycia w polityce monetarnej regu∏
prostych o arbitralnie dobranych parametrach (Taylora).
Uwa˝niej zagadnienie „niewra˝liwoÊci regu∏y na ró˝nic w modelach” analizowali Gerdesmeier i in. (2002).
W badaniu tym – tak˝e dotyczàcym polityki banku centralnego – rozwa˝ane by∏y dwa konkurencyjne modele inflacji wyprowadzane z dwóch ró˝nych szkó∏ myÊli ekonomicznej. Pierwszy model uznawa∏ – w uproszczeniu –
nierównowag´ w sferze monetarnej za êród∏o inflacji (P*);
drugi wskazywa∏ na podstawowà rol´ luki popytowej
(Ogap). W obu modelach pojawia∏y si´ te same zmienne,
dzi´ki czemu mo˝na je uznaç za szczególne przypadki
modelu bardziej ogólnego. Za∏o˝ono jednak, ˝e istniejàce
kryteria selekcji modeli nie pozwalajà odrzuciç ˝adnego
z nich. Jest to wi´c przypadek dwóch ró˝nych paradygmatów sensu stricto. Polityki (regu∏y) stopy procentowej poszukiwano, u˝ywajàc zestawu kalibrowanych parametrów i dla zachowania wi´kszego podobieƒstwa modeli
wspólne parametry strukturalne obu modeli mia∏y te same wartoÊci. Dysponujàc dwoma modelami, decydent
(bank centralny) powinien rozwiàzaç dwa zadania:
( ) (
)
S Fi = E x ′Qx → min
Fi




yt


1− λ 0 00






π
t


0 λ 0 0
Q = 
, xt = 
m−p 
 0 0 0 0
GMP 
t 




 m−p 
 0 0 0 0 

t −1 


x t +1 = A i x t + B iut + ε i ,t +1
i = Ogap, P *

(
(
(
)
{
)
)
}
17 Autorzy w pracy z 1999 r. nie sformalizowali zasad konstrukcji regu∏y odpornej. Analizujàc istot´ dokonywanego wyboru, mo˝na tu doszukiwaç si´ zarówno elementów bayesowskiego kryterium, jak i minimaksowego. To ostatnie szerzej analizujemy w dalszej cz´Êci.
gdzie: (m – p) – zasób realnego pieniàdza, inne symbole – jak poprzednio. GMP ma dwa rozwiàzania, o znanej ju˝ strukturze: ut, i = Fi xt.
Regu∏y te sta∏y si´ punktem odniesienia w kolejnych eksperymentach, w których wyznaczano – stosujàc ró˝ne kryteria – typy polityk dajàce zadowalajàce
efekty bez wzgl´du na model. W pierwszym z przebadanych przypadków optymalizacja opiera∏a si´ na wa˝onej funkcji straty, tzn. rozwiàzywano zadanie o postaci:
() (
(BKE)
)
S f = E x ′Hx → min,
f


 x ogap 
 gQ
0 
H = 

, x = 
(
)
0
1
−
g
Q

 x p* 



ε ogap ,t +1 
A ogap 0 
 B ogap 


 x t +1 =  0 A  x t +  B ut +  ε
 p*,t +1 

 p* 
p* 


u = Fx ,
F = f,f
t
 t
[ ]
Rozwiàzanie BKE zale˝y od dodatkowego parametru g, który – u˝ywajàc terminologii bayesowskiej – jest
subiektywnym prawdopodobieƒstwem a priori modelu. Pojawia si´ tu wi´c nowy problem – okreÊlenie g.
Pozostajàc w tym samym nurcie rozumowania,
wa˝eniu mo˝na poddaç modele gospodarki, równie˝
opierajàc si´ na subiektywnym prawdopodobieƒstwie
a priori g. Taki problem decyzyjny ma postaç:
(
(BMG)
)
min E x ′Qx
 F
x = gA
ogap + 1 − g Ap* x t
 t +1

+ gBogap + 1 − g Bp* ut

+ gεogap ,t +1 + 1 − g εp*,t +1

(
(
(
( ) )
( ) )
( ) )
Dodatkowo, przy jednorodnych problemach decyzyjnych mo˝na tak˝e wa˝yç parametrem g regu∏y wyznaczone z (GMP). OczywiÊcie, mimo u˝ycia tej samej
wartoÊci g w ogólnym przypadku uzyskamy ró˝ne rodzaje polityki i ró˝ne ich efekty.
1.3. Konsekwentnie bayesowskie uj´cie niepewnoÊci
Tak jak alternatywà dla klasycznej statystyki jest wariant bayesowski, tak w przypadku MPG proponuje si´
konsekwentnie bayesowskie podejÊcie zarówno do poszukiwania zwiàzków mi´dzy celami a instrumentami,
jak i wyboru najlepszej decyzji18. Poszukuje si´ wówczas nie „prawdziwego modelu”, ale warunkowego rozk∏adu zmiennych b´dàcych przedmiotem zainteresowania (np. inflacji). Rozk∏ad taki ma uwzgl´dniç wiedz´
a priori (w tym subiektywne opinie badacza lub (i) decydenta), weryfikowanà w zdyscyplinowany sposób
przez dost´pny materia∏ statystyczny. Przy danych preferencjach (funkcji celu) oraz wyznaczonym rozk∏adzie
a posteriori zmiennych celu opracowanie optymalnej
18 Zwracamy uwag´ na fakt, ˝e u˝ywane do tej pory odwo∏anie do bayesowskich ram analizy odnosi∏o si´ do aspektów teorio-decyzyjnych (funkcji KE)
lub mia∏o charakter ad hoc – pojawia∏ si´ jedynie rozk∏ad a priori, nie a posteriori, którego konstrukcji metodologia bayesowska poÊwi´ca wiele uwagi.
32 Makroekonomia
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
decyzji staje si´ zagadnieniem czysto technicznym. Co
wi´cej, poniewa˝ nie wszystkie typy niepewnoÊci mogà
byç uwzgl´dnione za pomocà metod zaprezentowanych
do tej pory, metodyka bayesowska – uznajàca wszystkie
elementy modelu za losowe – ma zdecydowanà przewag´, a przynajmniej tak uwa˝ajà jej zwolennicy. Struktura konsekwentnie bayesowskiego opisu problemu decyzyjnego mo˝ne byç zaprezentowana nast´pujàco 19.
Dany jest zbiór P rozwa˝anych decyzji (rodzajów
polityk), z których jedna musi byç podj´ta. Decydent
dysponuje zbiorem informacji d (realizacjà zmiennych
losowych d ∈D), które mo˝e wykorzystaç do wyznaczenia ekonomicznych skutków proponowanych decyzji,
majàc dany model gospodarki m. Efekty zastosowania
polityki (podj´tej decyzji) p wartoÊciuje si´ zgodnie
z funkcjà l(p,θ), gdzie θ ∈Θ reprezentuje wszystkie
czynniki, które mogà oddzia∏ywaç na skutki decyzji.
NiepewnoÊç co do wartoÊci θ przek∏ada si´ na niepewnoÊç wartoÊciowania polityki. Zak∏adajàc, ˝e decydent
minimalizuje oczekiwane straty, a warunkowy rozk∏ad
θ dany jest przez µ (θ|d,m), zadanie wartoÊciowania polityki p sprowadza si´ do wyznaczenia oczekiwanej
straty:
[( )
] ( )(
)
E l p, θ |d, m = ∫ l p, θ µ θ |d, m dθ
Θ
OczywiÊcie, optymalnà decyzjà jest wybór takiej p,
która minimalizuje oczekiwane straty:
( )(
)
min ∫ l p, θ µ θ |d, m dθ
p ∈P
Θ
W proponowanym uj´ciu optymalna decyzja zale˝y od rozk∏adu µ(θ|d,m), a nie tylko dwóch pierwszych
momentów, jak w zadaniach prezentowanych w podrozdziale 1.1. Dla analiz bayesowskich wa˝ne jest tak˝e
spostrze˝enie, ˝e θ jest tu zmiennà losowà i niepewnoÊç θ jest opisana rozk∏adem a posteriori µ(θ|d,m).
Klasyczne podejÊcie do wnioskowania statystycznego
zak∏ada, ˝e podzbiór θ obejmujàcy parametry (strukturalne) jest „pewny”, ale jedynie oceny nie sà „pewne”,
tzn. niepewnoÊç dotyczàca parametrów wynika tylko
z niedok∏adnoÊci estymacji.
Do tej pory zak∏adaliÊmy, ˝e model gospodarki m
jest dany. Uzyskana polityka nie obejmowa∏a zatem dyskutowanej niepewnoÊci modelu. Dlatego obecnie przyjmujemy, ˝e m jest elementem wi´kszego zbioru modeli
M, a rozk∏ad a posteriori θ jest warunkowy jedynie wzgl´dem d. WartoÊciowania polityki p dokonujemy, liczàc:
[( ) ] ( ) ( )
E l p, θ |d = ∫ l p, θ µ θ|d dθ
( ) ( )
MA
µ θ|d =
(
∑
m∈M
)
µ m |d =
(
Θ
(
)(
µ θ|m, d µ m |d
)
µ d |m µ(m)
µ(d)
(
)
)
∝ µ d |m µ(m)
19 Bayesowskie uj´cie prezentujmy za Brock i in. (2003), por. tak˝e Osiewalski (2002), Sims (2002).
Rozk∏ad µ(d|m) mo˝na uznaç za funkcj´ wiarygodnoÊci modelu m, a µ(m) jest rozk∏adem a priori modelu. Opisana równaniem (MA) procedura eliminowania z rozwa˝aƒ (losowych) modeli m ∈ M, nosi w literaturze nazw´ bayesowskiego uÊredniania modeli20.
Dysponujàc wi´c klasà modeli M, z których ka˝dy ma
wyznaczone prawdopodobieƒstwo µ(m|d), uzyskujemy
rozk∏ad determinujàcy θ. Pozwala to na wyznaczenie
optymalnej decyzji, w której bierze si´ pod uwag´ ca∏oÊç zidentyfikowanej niepewnoÊci, w tym niepewnoÊç
modelu.
Niezwykle elegancki, kompleksowy i zwarty opis
pe∏nej procedury decyzyjnej kontrastuje z problemami aplikacyjnymi. W opracowaniach dotyczàcych
konsekwentnie bayesowskiego podejÊcia spotyka si´
wi´c sugestie, ˝e wi´ksza cz´Êç pracy jest tu jeszcze
do wykonania. Choç przyk∏ady zastosowaƒ podawane
w literaturze (zw∏aszcza konstrukcja zbioru modeli M)
– naszym odczuciu – raczej zniech´cajà do si´gania
po powy˝sze idee, mo˝liwoÊci wydajà si´ trudne do
przecenienia.
1.4. Ryzyko i niepewnoÊç w interpretacji F. Knighta
Dotychczas zak∏adaliÊmy, ˝e niepewnoÊç mo˝na jednoznacznie opisaç rozk∏adem prawdopodobieƒstwa.
Istniejà jednak badacze i praktycy, którzy – za F. Knightem oraz J. M. Keynesem – rozró˝niajà ryzyko od
niepewnoÊci. Gdy mo˝liwe jest skonstruowanie rozk∏adu prawdopodobieƒstwa, mamy do czynienia
z (kwantyfikowalnym) ryzykiem. O niepewnoÊci mówimy wtedy, gdy nieokreÊlonoÊç zdarzeƒ ma takà natur´, ˝e opisanie jej formalnà miarà (nawet w kategoriach subiektywnych) nie jest mo˝liwe. Takie przypadki nazywa si´ niepewnoÊcià w sensie Knighta21.
JeÊli zatem w teorio-decyzyjnym aspekcie procesu
poszukiwania optymalnej polityki pojawia si´ niepewnoÊç w sensie Knighta, to minimalizacja oczekiwanej funkcji celu musi byç zastàpiona innym kryterium – jawne lub ukryte odwo∏anie si´ do aksjomatyki oczekiwanej u˝ytecznoÊci nie jest mo˝liwe. Teoria
decyzji jako jednà z mo˝liwoÊci sugeruje wówczas
kryterium minimaksowe22. Wydaje si´ zatem, ˝e dopóki mamy do czynienia z ryzykiem, dopóty metody
(quasi-) bayesowskie sà rozwiàzaniem problemu,
a techniki proponowane dla niepewnoÊci w sensie
Knighta sà ich uzupe∏nieniem. Jednak uwa˝niejsza
analiza dyskusji o niepewnoÊci oraz jej wp∏ywie na
zachowania podmiotów w skali mikro i makro pokazuje, ˝e decyzje minimaksowe sà uznawane – przy20 Przyk∏ady wykorzystania tej techniki podajà np. Jacobson i in. (2002),
Brock i in. (2003).
21 W dalszej cz´Êci pracy b´dziemy stosowaç konwencj´, ˝e ryzyko i niepewnoÊç w sensie Knighta sà przypadkami niepewnoÊci (bez dodatkowego okreÊlenia).
22 Por. np. Woodword i in. (1997), Cagliarini i in. (2000).
Makroekonomia 33
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
Tabela 2 Regu∏y polityki w zadaniu von zur Muehlena
Za∏o˝enia wspólne
NiepewnoÊç Knighta
Ryzyko
(regu∏a minimaksowa)
(regu∏a bayesowska)
Niepewna sta∏a (niepewnoÊç zaburzenia)
at, bt – znane
e1 + e 2 
−1 
ut =
at zt −1 +

2 
bt 
e1 < 0 < e 2
[
]
e ~ IID(e, σ )
ut =
−1
at zt −1 + e
bt
2
t
Niepewna dynamika
bt – znane
at – podlega
niepewnoÊci
−1  a1 + a2 

zt −1
bt  2 
0 < a1 < a2
ut =
ut =
−1
bt
[a z
+e
t t −1
]
at ~ IID(a, σ ),et ~ IID(e, σ 2 ),
2
a
Niepewny mno˝nik bezpoÊredni
at – znane
bt – podlega
niepewnoÊci
 −2 at 
ut = 
 zt −1
 b1 + b2 
0 < at < 1,
ut =
−at
b + σ b2 b
zt −1 −
b e + σ eb
σ b2 + b 2
bt ~ IID(b, σ ), et ~ IID(e, σ 2 ),
2
b
E(bt – E bt )(et – E et ) = σ be
0 < b1 < b2
èród∏o: opracowanie w∏asne na podstawie von zur Muehlen (1982/2001), Svensson (2000).
najmniej przez cz´Êç autorów – za propozycj´ konkurencyjnà23.
wià˝àce instrument u z celem z, a skutki polityki wartoÊciowane sà statycznà funkcjà kwadratowà S (.), tzn.:
(MPG2)
1.4.1. Idea odpornoÊci – przyk∏ad uj´cia czàstkowego
Problemem niepewnoÊci o bardziej fundamentalnym
charakterze, jako jeden z pierwszych, zainteresowa∏ si´
P. von zur Muehlen (1982/2002). Jego analiza, aczkolwiek opiera si´ na bardzo prostym modelu, wcià˝ wydaje si´ dobrym wprowadzeniem w zagadnienie odpornoÊci. Model von zur Muehlena ma jedno równanie
23 Istnieje spór dotyczàcy decyzji opartych na aksjomatyce oczekiwanej u˝ytecznoÊci Savage’a (nazywanych tu bayesowskim KE). Dyskusyjna jest kwestia, czy zauwa˝one paradoksy (np. Ellsberga) sà podstawà do odrzucenia tego wzorca i zastàpienia innym opisanym aksjomatycznie schematem racjonalnych decyzji, w którym lepiej odzwierciedlona jest ludzka awersja do niepewnoÊci oraz niejednoznacznoÊci. Proponowane przez Gilboa i Schmeidlera konkurencyjne aksjomaty prowadzà w∏aÊnie do minimaksowych decyzji. Zdaniem Sargenta, teorio-decyzyjna aksjomatyka Gilboa-Schmeidlera jest w∏aÊnie
opisem niepewnoÊci w sensie Knighta. Por. np. Hansen i in. (2000), Brock i in.
(2003), Cagliarini i in. (2000).
(
)
(KE2) S at , bt ,ut , et = z t2

(MG2) z t = at y t −1 + btut + et
gdzie: a, b, e sà parametrami, których mo˝e dotyczyç
niepewnoÊç. Przyjmujàc za∏o˝enia dotyczàce natury a,
b, e, uzyskamy mo˝liwoÊç czàstkowej analizy niepewnoÊci – tak jak w podrozdziale 1.1. W najprostszej sytuacji a i b sà znane, a niepewnoÊç skupia si´ w wyrazie
wolnym (zaburzeniu) e. Przy braku rozk∏adu e decydent musi okreÊliç wartoÊci graniczne, tzn.:
−∞ < e1 < 0 < e2 < ∞ i e1 < et < e2. O tym, jakie b´dzie
zaburzenie et, decyduje natura, przy danej polityce decydenta.
Przyjmujàc powy˝szà metodyk´, zauwa˝amy, ˝e
funkcja straty KE2 uzyskuje najwi´ksze wartoÊci, gdy
natura dobiera et tak, aby pierwsze dwa czynniki pra-
Tabela 3 Charakterystyka polityk niewra˝liwych na niepewnoÊç paradygmatu sensu stricto
Zmienne i
Charakterystyka
Regu∏a
BKE
Regu∏a
BMG
Regu∏a
MM
Regu∏a
optymalna
w modelu Ogap
Regu∏a
optymalna
w modelu P*
7,358
WartoÊci parametrów regu∏y
yt
9,572
8,541
7,554
10,051
∆pt
9,481
9,091
8,760
10,512
(m - p)t
9,525
8,344
14,987
0
15,386
-8,190
-6,659
-12,014
0
-12,118
(m - p)t-1
8,472
EfektywnoÊç regu∏y
Strata w OGAP
7,096
7,226
8,844
6,309
9,210
Strata w P*
9,456
9,459
8,844
12,673
8,836
Ârednia strata
8,276
8,343
8,844
9,491
9,023
Maksymalna strata
9,456
9,459
8,844
12,673
9,210
èród∏o: Gerdesmeier, Motto i Pill (2002).
34 Makroekonomia
wej strony MG2 mia∏y taki sam znak jak zaburzenie et. Korzystajàc z tego spostrze˝enia, mo˝na zaproponowaç polityk´ niewra˝liwà na kaprysy natury, tzn. powodujàcà strat´,
której maksymalna wielkoÊç nie zale˝y od et – takà regu∏´
przedstawiono w tabela 2. Tabela 2 zawiera tak˝e inne warianty powstajàce przy zastosowaniu zaproponowanej metodyki oraz – dla porównania – regu∏y polityki optymalnej
powstajàce z klasycznego rozwiàzania problemu MPG224.
1.4.2. Idea odpornoÊci – przyk∏ad niepewnoÊci paradygmatu sensu stricto
W cytowanym ju˝ studium Gerdesmeiera i in. (2002)
oprócz metod wyboru regu∏y majàcych zadowalajàce
cechy bez wzgl´du na paradygmat i mieszczàcych si´
w ramach quasi-bayesowskich przebadano tak˝e przypadek wyboru polityki (regu∏y) obliczonej nie tyle na
minimalizacj´ Êredniej straty, ile na minimalizacj´ straty w przypadku najbardziej niesprzyjajàcym („prawdziwym” modelem jest model konkurencyjny). Rozwiàzywanym zadaniem by∏ wi´c MPG o postaci:
(MM)
()
() ()
}
min maxWi F
i
 F

Wi F = x ′ F Q x F ,

i = Ogap,P*
()
{
W tabeli 3 zestawiono charakterystyki regu∏ uzyskanych z rozwiàzania problemów GMP, BKE, BMG (omawianych w podrozdziale 1.2.3) oraz MM. Obliczenia wykonano dla arbitralnie przyj´tych wartoÊci parametrów strukturalnych modeli, wag funkcji celu oraz prawdopodobieƒstw
a priori. Jest to zatem bardziej ilustracja ni˝ próba sformu∏owania wniosków. Poniewa˝ w cytowanych problemach
decyzyjnych nie penalizowano zmian instrumentów, regu∏y implikujà bardzo du˝à zmiennoÊç stopy procentowej.
Analiza powy˝szych wyników, nasuwa przypuszczenie o nieefektywnoÊci polityki budowanej wed∏ug minimaksowego kryterium wyboru – np. macierzy wyp∏at25 – o ile
wyklucza si´ decyzje motywowane wi´cej ni˝ jednym modelem. Mówiàc j´zykiem teorii gier, wyboru dokonuje si´ wówczas wed∏ug zestawu strategii prostych, pomijajàc mieszane.
1.5. Odporne sterowanie
Ekonomia nie jest – oczywiÊcie – jedynà dziedzinà,
w której zauwa˝ono istnienie problemu niepewnoÊci
modelu. W naukach technicznych istnieje nurt badaƒ
zajmujàcy si´ analizà i sterowaniem skomplikowanymi
obiektami fizycznymi (np. loty kosmiczne) lub procesami (np. chemicznymi), na który z uwagà patrzà ekonomiÊci. Tak jak wczeÊniej dziedzina optymalnego sterowania by∏a êród∏em rozwiàzaƒ (poj´ç, technik itp.), które coraz cz´Êciej spotykamy w literaturze ekonomicznej
(operator opóêniania, równanie Eulera itd.), tak w obec24 Prezentowane przyk∏ady regu∏ minimaksowych mo˝na uzyskaç zak∏adajàc
rozk∏ad równomierny elementów podlegajàcych niepewnoÊci, co redukuje
przyk∏ad do klasy quasi-bayesowskich.
25 Rozwiàzanie takie sugeruje np. K. Šmidtkowa (2003).
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
nie rozwijanej dziedzinie odpornego sterowania równie˝ mo˝na znaleêç wiele u˝ytecznych idei.
1.5.1. NiepewnoÊç strukturalna i astrukturalna
Z∏o˝one obiekty fizyczne modelowane sà m.in. poprzez
analiz´ dop∏ywajàcych do nich impulsów i reakcji
obiektów na impulsy. Modelowe charakterystyki reakcji obiektu na impulsy nie sà dok∏adne, przybli˝ajà jedynie istniejàce zwiàzki – immanentnym zjawiskiem
jest tutaj b∏àd. Poj´cie niepewnoÊci odnoszone jest zatem do b∏´du, ró˝nicy mi´dzy modelowym opisem zjawiska oraz rzeczywistoÊcià, a wszelkie sposoby wykorzystane do wyra˝ania tych b∏´dów nazywa si´ reprezentacjà niepewnoÊci26. Reprezentacja ta zmienia si´
w zale˝noÊci od wiedzy o êród∏ach powstawania ró˝nic
(np. elementach obiektu fizycznego wytwarzajàcych
b∏´dy) oraz mo˝liwoÊciach operacjonalizacji tej wiedzy. W typowej sytuacji u˝ywa si´ nie tyle pojedynczego modelu obiektu, ile odpowiednio sparametryzowanego zbioru modeli. Klasyfikacja metod reprezentacji
niepewnoÊci prowadzi do dwóch przypadków: niepewnoÊci strukturalnej i niepewnoÊci astrukturalnej.
Dla zilustrowania ró˝nicy si´gnijmy po liniowy
model MG27:
Dx t +1 = Ax t + But + εt +1
gdzie, jak poprzednio, x jest wektorem zmiennych endogenicznych modelu, u – wektorem instrumentów, ε – wektorem niezale˝nych zaburzeƒ losowych o zerowej wartoÊci
oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Decydent poszukuje polityki zapisanej w postaci liniowej regu∏y instrumentu u, tzn.: ut = Fxt. Zak∏ada si´, ˝e F ma cech´ stabilizowania modelu. Traktujàc F jak dane, postaç zredukowanà modelu mo˝na zapisaç (po ewentualnej eliminacji zmiennych
antycypacyjnych, co wymaga dodatkowych za∏o˝eƒ) jako:
x t +1 = Πx t + Cεt +1,
Macierz ∏ jest funkcjà poszukiwanej regu∏y F stabilizujàcej model, tzn. ∏ ma mniejsze od jedynki wartoÊci
w∏asne – jest to kryterium stabilnoÊci dla systemów dyskretnych28. NiepewnoÊç jest reprezentowana przez ma26 Por. Zhou i in. (1998), s. 129 i nast´pne.
27 Por. np. Tetlow i in. (2001), Doyle i in. (1990). U˝ywajàc terminologii odpornego sterowania charakterystycznej dla cytowanej literatury, MG by∏by
modelem przestrzeni stanów, x – wektorem zmiennych stanu itd. Kosztem
nieco mniejszej precyzji poprzestaniemy na terminologii charakterystycznej
dla podr´cznikowej ekonometrii i makroekonomii.
28 Warunek ten oznacza, ˝e MG – bez zastosowania regu∏y F – mo˝e charakteryzowaç si´ zachowaniami eksplozyjnymi. W naukach technicznych niestabilnoÊç systemu jest jednà z przyczyn poszukiwania „sterownika” (F). Co wi´cej, projektowanie obiektów fizycznych oraz systemów ich sterowania pozwala rozwa˝aç spektrum: stabilny obiekt i zredukowane sterowanie, niestabilny obiekt i skomplikowane systemy sterowania. W zastosowaniach ekonomicznych powstaje problem, czy
rzeczywiÊcie gospodarka (zak∏adajàc, ˝e model trafnie odzwierciedla t´ cech´) nie
jest w stanie funkcjonowaç bez permanentnej interwencji instrumentami polityki
fiskalnej i monetarnej w reakcji na praktycznie ka˝de zaburzenie. Fakt, ˝e wiele nawet bardzo prostych modeli spotykanych w literaturze ma niestabilne wartoÊci
w∏asne, nasuwa przypuszczenie, i˝ coraz wi´cej autorów uznaje, i˝ (np.) ramy instytucjonalne wspó∏czesnej gospodarki czynià jà coraz wra˝liwszà na zaburzenia.
Makroekonomia 35
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
cierz ∆Π, obejmujàcà wszystkie (mieszczàce si´ w takiej
postaci) formy b∏´dów. Powstajà wówczas dwa przypadki:
(
x t +1
)
(NS) Π + ∆Π x + Cε
t
t +1


= lub
 (NAS) Πx + Cε + ∆Π x = Πx + w
t
t +1
t
t
t +1

(
)
NS opisuje sytuacj´, w której niepewnoÊç zosta∏a
przypisana do konkretnych elementów modelu – jest to
niepewnoÊç strukturalna. W wariancie NAS niepewnoÊç, gdziekolwiek ma swoje êród∏o, traktowana jest
jak sk∏adnik addytywnego zaburzenia w. Sytuacja taka
nazywana jest astrukturalnà niepewnoÊcià. Dalsze rozwa˝ania dotyczà jedynie przypadku niepewnoÊci
astrukturalnej29.
Zaproponowana na poczàtku opracowania postaç
MPG pozwala na definiowanie znacznie szerszej klasy
zadaƒ, ni˝ to mo˝e wynikaç z podanych wczeÊniej przyk∏adów. Poszukujàc bardziej generalnej definicji KE
przyjmijmy, ˝e zmienne w stosunku, do których definiuje si´ cele polityki (zmienne celu) zebrano w wektor o:
ot = M x x t + M uut = Mxt
i
M = M x + M uK
a w ka˝dej chwili t wartoÊç funkcji celu dana jest przez:
zt = Qot = QMxt = Hxt
Powy˝szy zapis pozwala uniknàç definiowania
dodatkowych systemów wag w funkcji celu – tu sà one
uwzgl´dnione w macierzach M oraz Q. Nazywajàc, dla
zwi´z∏oÊci, wektor z wektorem strat, wielkoÊç ca∏kowitej straty b´dziemy mierzyli normà wektora. Ró˝nicowanie norm pozwala na precyzyjniejsze okreÊlenie
wra˝liwoÊci decydenta na straty.
1.5.2. Problem decyzyjny przy niepewnoÊci astrukturalnej
Niech Φ oznacza zbiór liniowych regu∏ F stabilizujàcych system. Problem decyzyjny przybiera postaç:
extremum z
p1
 F ∈Φ , ..

RC  w p 2 ≤ η + w 0′w 0
η ≥ 0

x 0 = w 0
( )
Pierwsza z u˝ytych norm (p1) okreÊla sposób pomiaru strat (wra˝liwoÊç decydenta na straty); druga (p2)
mierzy wielkoÊç zaburzenia (wra˝liwoÊç decydenta na
niepewnoÊç). Dla zadania RC definiowana jest funkcja
transferu30 G, uzale˝niajàca wielkoÊç ponoszonych
strat (z) od ujawniajàcych si´ b∏´dów (w). W przypadku
czasu dyskretnego funkcja ta jest dana przez:
(TF)
i
(
Gzw okreÊla, jaki jest wp∏yw mierzonych normà p2 b∏´dów na wielkoÊç strat mierzonych normà p1. Stàd w cytowanych êród∏ach du˝o miejsca poÊwi´ca si´ badaniu
cech tej funkcji, a dok∏adniej jej normy. Typ indukowanej normy funkcji transferu pozwala klasyfikowaç zadania. Przyk∏adowo, norma H2 wià˝e si´ z zagadnieniami klasy KL; interesujàce nas obecnie przypadki odpornoÊci odwo∏ujà si´ do normy H∞. Nowym elementem
w prezentowanej aparaturze jest parametr η, ograniczajàcy skal´ b∏´du. Sformu∏owana wczeÊniej uwaga, i˝
przedmiotem rozwa˝aƒ jest nie tyle pojedynczy model,
ile odpowiednio sparametryzowany zbiór modeli,
w tym momencie nabiera treÊci. Parametr η, którego
wartoÊç ustala decydent zgodnie ze swoimi preferencjami (potrzebà odpornoÊci), definiuje ten zbiór. Najbardziej charakterystyczny wariant zadania, nazywany
problemem H∞, ma postaç 31:
(Hinf )
∞

max ∑ z t′z t
min
F ∈Φ
w
t =0

 ∞
2
∑ w t′w t ≤ η
t = 0
ηU ≥ η > 0


Jego rozwiàzaniem jest stabilizujàca gospodark´
(model) regu∏a ut = Fxt (regu∏a optymalna w sensie H∞)
oraz graniczna wartoÊç ηU równa normie H∞ funkcji
transferu Gzw. W praktyce poszukuje si´ tak˝e rozwiàzania suboptymalnego, które gwarantuje jedynie, ˝e
norma zaburzenia nie przekracza za∏o˝onej wartoÊci η.
1.6. OdpornoÊç w sensie Hansena-Sargenta
Minimaksowe kryterium optymalizacji (ekstremizacji)
funkcji KE mo˝na interpretowaç w kategoriach dwuosobowej gry dynamicznej o sumie zerowej32. Polityka
optymalna przy bayesowskim KE zapewnia minimalizacj´ przeci´tnych (oczekiwanych) strat wynikajàcych
z odchyleƒ od za∏o˝onych celów, natomiast kryterium
minimaksowe dobiera polityk´, która zapewnia najmniejszà mo˝liwà strat´ w najgorszych dopuszczonych
w analizie warunkach. „Z∏oÊliwa” natura dobiera najbardziej dokuczliwe zaburzenia (modelu zaburzony),
a polityka ma byç tak skonstruowana, aby uodporniç
gospodark´ (zmienne celu) na t´ sytuacj´.
1.6.1. Podstawy teoretyczne
Popularyzowana przez Hansena i Sargenta (2004) koncepcja procesu decyzyjnego33 opartego na idei odpor-
)
zt = Gzw w t ≡ H I − ΠL w t
 x t +1 

=
 zt 
Π I  x t 



H 0  w t +1 
Lx t +1 = x t
29 Wariant niepewnoÊci strukturalnej analizujà Onatski i in. (2000), Tetlow
i in. (2001), Zhou i in. (1996).
30 Termin transfer function w polskim piÊmiennictwie technicznym t∏umaczony jest jako transmitancja.
31 Postaç problemu cytujemy za Hansen i in. (2004) oraz Tetlow i in. (2001);
por. tak˝e Sargent (1999).
32 Por. np. Stroogovel (1998).
33 W gruncie rzeczy cytowani autorzy proponujà nowy paradygmat teorii ekonomii uznajàc, ˝e charakteryzowane dalej problemy optymalizacyjne dotyczà
podmiotów gospodarczych, co oznacza nowà interpretacj´ równowagi i racjonalnoÊci zachowaƒ w skali mikro i makro.
36 Makroekonomia
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
noÊci przy astrukturalnej niepewnoÊci (uto˝samianej
z niepewnoÊcià w sensie Knighta) sugeruje budow´ pojedynczego modelu aproksymacyjnego (referencyjnego)
i otoczenie go „ob∏okiem” wersji konkurencyjnych. Jednym z modeli le˝àcych w „ob∏oku” jest ten, który powinien braç pod uwag´ decydent („prawdziwy”). Ob∏ok
konkurencyjnych modeli jest jednak ograniczony, jego
„wielkoÊç” interpretuje si´ jako maksymalny, dopuszczalny b∏àd specyfikacji modelu referencyjnego.
W przeciwieƒstwie do konsekwentnie bayesowskiego
uj´cia, w którym konieczne jest posiadanie wi´kszego
zbioru modeli (por. zbiór modeli M z podrozdzia∏u 1.3)
oraz ich rozk∏adów, tu pojawia si´ tylko jeden model.
W jego otoczeniu znajduje si´ nieskoƒczona liczba konkurencyjnych modeli i ˝aden nie ma okreÊlonego rozk∏adu a priori. W takim przypadku naturalne jest wykorzystanie minimaksowego kryterium przy ustalaniu decyzji. Dok∏adniej, zwiàzek mi´dzy instrumentami a celami b´dzie si´ opiera∏ na tym z modeli le˝àcym w zdefiniowanym wczeÊniej otoczeniu, który wskazuje na
najgorsze konsekwencje z punktu przyj´tej funkcji celu. W sformu∏owaniu bliskim cytowanym autorom,
problem decyzyjny przybiera postaç:
∞

max Ex 0 ∑ βt x t′ Qx t + ut′ Rut
min
u
w
t =0

0 < β ≤ 1

x t +1 = Ax t + But + C w t +1 + εt +1 ,

εt ~ IID(0, I )

∞
E x ∑ βt +1w t′+1w t +1 ≤ η ,
0

t =0

≥
η
η≥0
U

(
(HSO)
(
)
)
t =0
mo˝na interpretowaç jako miar´ wzgl´dnej entropii, która
wyznacza skal´ b∏´du specyfikacji modelu34. Parametr ηU
ogranicza poziom niepewnoÊci (b∏´du specyfikacji), dla
którego mo˝liwe jest jeszcze poszukiwanie odpornej polityki. Podstawà dalszych rozwa˝aƒ jest jednak wariant powstajàcy po w∏àczeniu ograniczenia do funkcji celu, tzn.35:
∞

max E x 0 ∑ βt x t′ Qx t + ut′Rut − θ β w t′+1w t +1 ,
min
w
t =0
 u
0 < θ ≤ θ < ∞
L

x = Ax + Bu + C w + ε ,
t
t
t +1
t +1
 t +1
 εt ~ IID(0,I)

)
)
Teraz rol´ parametru η, definiujàcego granice niepewnoÊci, przejmuje parametr θ, pe∏niàcy funkcj´
mno˝nika Lagrange’a. Dla θ →∞ zadanie HS redukuje si´
34 Por. Hansen i in. (2004) rozdzia∏ 2.
35 Por. Giordani i in. (2002), Hansen i in. (2004).
( )
~ IID 0, I
gdzie:
x–t|t – najlepsza prognoza wektora zmiennych mo–
–
–
delu xt, u – wektor instrumentów, A1, A2, B – macierze
–
parametrów, C – macierz okreÊlajàca kowariancj´ losowego zaburzenia.
Zamiast pe∏nego MP0 decydent dysponuje jedynie
ocenami macierzy parametrów (które oznaczamy odpowiednio: A, B, C). Zwykle te˝ w chwili t nie sà dost´pne wartoÊci zmiennych x – zast´pujemy je prognozami
budowanymi zgodnie z wiedzà dost´pnà w chwili t
(xt|t). Model decydenta jest wi´c budowany jako:
Majàc na uwadze postaç MP0, zauwa˝amy jednak, ˝e:
w t +1
(
t
1 + A2 )
A
= (A1 + A 2 )

t +1
(HS)

x t +1 = Ax t|t + But + Cε t +1
∞
(
x t +1 = A1 x t + A 2 x t|t + But + C ε t +1
(MPO) ε
(MR) A = (A
W stosunku do prezentowanych wczeÊniej zadaƒ nowym elementem sà jawnie specyfikowane dyskonto β oraz
modyfikacja funkcji celu, tak aby oprócz niepewnoÊci w sensie Knighta uwzgl´dniç jednoczesne wyst´powanie ryzyka
(losowy ε). Hansen i Sargent przekonujà, ˝e wyra˝enie:
∑w ′
do klasycznego zadania KL w warunkach braku niepewnoÊci (z warunkami równowa˝nych takiemu stanowi),
a wi´c bez uwzgl´dniania zasady odpornoÊci; mniejsze
wartoÊci θ czynià decydenta coraz bardziej wra˝liwym na
niepewnoÊç, tzn. zainteresowanie cechà odpornoÊci staje
si´ wi´ksze. Jednak po przekroczeniu θL, natura zainteresowana maksymalizacjà mo˝e ustaliç straty na dowolnym
poziomie, czyniàc poszukiwanie polityki odpornej bezowocnym. Kwestia doboru parametru θ jest zatem istotna,
w ogólnym przypadku, regu∏a odporna zale˝y od θ.
Poszukujàc czytelniejszej interpretacji zaburzenia
w, Walsh (2003) proponuje zapisanie modelu gospodarki odpowiadajàcego jej rzeczywistym cechom w postaci:
(MR)
(
x t +1 = Ax t|t + But + C εt +1 + w t +1
gdzie:
(
)
(1) Cw t +1 = A1 x t − x t|t +
[(
)
(2)
+
(3)
+ A x t|t − x t|t
(
) (
)
) ]
A − A x t|t + B − B ut + C − C εt +1 +
(
)
Pierwszy z cz∏onów (1) zaburzenia Walsh interpretuje jako niedoskona∏oÊç informacji, drugi (2) jest b∏´dem specyfikacji modelu, ostatni (3) charakteryzuje
b∏´dy prognozowania. OczywiÊcie, powy˝sza dekompozycja zaburzenia w jest jedynie przyk∏adem. Blok
Cwt+1 nie ogranicza si´ do analogii addytywnego zaburzenia charakterystycznego dla zadaƒ klasy KL. Zale˝y
tak˝e od przesz∏ych wartoÊci zmiennych x, co pozwala
aproksymowaç szerokà klas´ b∏´dów specyfikacji modelu. Decydent, majàc do dyspozycji jedynie model
MR, ma te˝ ÊwiadomoÊç, ˝e pope∏nia wiele b∏´dów, ale
ich skala i charakter nie sà znane – stàd odwo∏anie do niepewnoÊci w sensie Knighta. Model MR (MP1 dla w = 0)
jest nazywany modelem aproksymujàcym (referencyjnym). Zgodnie z notacjà Hansena i Sargenta, nie odró˝nia
si´ zmiennych stanu od ich prognoz, stàd w oryginalnym
zadaniu HS b∏´dy prognoz nie wyst´pujà.
Makroekonomia 37
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
W praktyce nie wiemy, jak wyglàda model odpowiadajàcy rzeczywistym cechom gospodarki. Dlatego
norma w nie mierzy „odleg∏oÊci” mi´dzy modelami
aproksymujàcym a prawdziwym. Parametry η lub θ
wyznaczajà jedynie granic´ dopuszczalnej ró˝nicy.
Dalsze post´powanie – przynajmniej, gdy koncentrujemy si´ na idei, a nie technikach numerycznych – wyglàda nast´pujàco. Przy danym θ poszukuje si´ najdotkliwszego zaburzenia; zaburzenie to wyznacza jako liniowà funkcjà wt+1 = Kxt|t. Dysponujàc takim K, MW
zmienia si´ w model charakteryzujàcy najgorszy (dopuszczalny w warunkach brzegowych) przypadek:
(
)
x t +1 = A + CK x t|t + But + Cεt +1
Wypracowanie decyzji minimalizujàcej strat´ jest ju˝
standardowe – elementy niepewnoÊci zosta∏y ju˝ usuni´te poprzez dobór K – rozwiàzaniem jest teraz macierz F
parametrów regu∏y. W dalszym ciàgu rozwa˝aƒ zaniedbamy rozró˝nienie mi´dzy zmiennymi x a ich prognozami –
oprzemy si´ zatem na oryginalnej wersji problemu HS.
1.6.2. Regu∏y odporne w studium Gerdesmeiera, Motto i Pilla
Ilustracjà propozycji Hansena i Sargenta sà wyniki poszukiwaƒ regu∏y dla modeli zaczerpni´tych z pracy Gerdesmeiera i in. (2002). Dla modelu P* oraz Ogap wyznaczono regu∏y przy ró˝nych wartoÊciach parametru θ, w tym
dla granicznej wielkoÊci uzyskanej z rozwiàzania problemu Hinf. Dla porównania w tabeli 4 powtórzono tak˝e
postaci regu∏ optymalnych przy braku niepewnoÊci.
Obliczenia wykonano korzystajàc z algorytmu proponowanego przez Giordiniego i Soderlinda oraz in˝ynierskiej aplikacji pakietu MATLAB36. Pierwszy z algoryt36 Korzystano z aplikacji µ-Analysis and Synthesis Toolbox MATLABa. Poniewa˝ autorzy oprogramowania przyj´li specyficzne konwencje, zastosowanie
ka˝dego wymaga∏o przedefiniowania postaci problemu decyzyjnego (np.
umieszczenia lub eliminacji instrumentów w funkcji celu). Znaczenie mia∏o tak˝e oparcie procedur obliczeniowych MATLABa na algorytmach dla problemów
ciàg∏ych z transformacjà do postaci dyskretnej. Zaproponowany przez Giordiniego i in. (2002) algorytm znajduje minimax w zadaniu (HS), bez rozwiàzania
pozostawiajàc kwesti´ stabilnoÊci – implementacje algorytmu sygnalizujà jedynie ewentualnà niestabilnoÊç systemu, zamiast poszukiwaç ekstremum w zbiorze regu∏ zapewniajàcych stabilnoÊç modeli ograniczanych przez µ.
mów opiera si´ na technice mno˝ników Lagrange’a
i nie pozwala na okreÊlenie granicznej wartoÊci parametru θ. Aplikacja MATLABa – jawnie stosujàca rozwiàzania wypracowane przez teori´ Η∞ – proponuje algorytmy spe∏niajàce za∏o˝enia odpornego sterowania
(stabilnoÊç modelu po zastosowaniu regu∏y, wst´pna
kontrola warunków koniecznych istnienia rozwiàzania, poszukiwanie minimum normy Η∞ funkcji transferu (kresu górnego η) itp.).
Zarówno dane zamieszczone w tabeli 4, jak te˝ wyniki eksperymentów prowadzonych przez innych autorów pozwalajà przypuszczaç, ˝e zastosowanie idei odpornego sterowania prowadzi do przeciwieƒstwa omawianej wczeÊniej zasady konserwatyzmu Brainarda37.
Wyraênie widaç, ˝e im wi´ksza niepewnoÊç (tu rosnàca wraz ze spadkiem θ), tym bardziej agresywna powinna byç polityka. Eksperymentalnie ustalono, ˝e – w warunkach zdefiniowanych przez HS – nie mo˝na wyznaczyç takich θogap i θp*, by uzyskaç jednakowà dla obu
modeli regu∏´ F (θ). Wynik ten jest oczywiÊcie specyficzny dla badanych modeli. Warto jednak zwróciç
uwag´ na ró˝nic´ akcentów. Levin i in. oraz Gerdesmier i in. poszukiwali regu∏y „z∏otego Êrodka”. Zgodnie z przedstawionà wczeÊniej ideà Hansena i Sargenta, modele Ogap i P* tworzà dwa osobne zagadnienia.
Sà dwoma referencyjnymi modelami i dla ka˝dego
z nich wyznaczane jest otoczenie, w którym poszukiwane sà modele wykazujàce najbardziej dokuczliwe zaburzenie. Dla takich modeli konstruowane sà regu∏y
optymalne w sensie Η∞ lub regu∏y suboptymalne (nazywane te˝ odpornymi). Dlatego na uzyskane wyniki
nale˝y patrzeç uwzgl´dniajàc t´ ró˝nic´. OczywiÊcie
wszystkie szacunki majà wy∏àcznie charakter ilustracji.
1.6.3. Dobór stopnia odpornoÊci – prawdopodobieƒstwo b∏´du
detekcji modelu
Samo sformu∏owanie problemu HS oraz zamieszczone
w poprzednim podrozdziale wyniki obliczeƒ potwier37 Por. np. Tetlow i in. (2001), Onatski i in. (1999).
Tabela 4 Przyk∏ady regu∏ stopy procentowej przy astrukturalnej niepewnoÊci
Typ regu∏y →
Optymalna w
Optymalna
Ogap
w P*
(1)
(2)
(3)
yt
10,05
7,36
∆pt
Zmienne
Charakterystyki regu∏y
Optymalna
Odporna
Odporna
Odporna
Odporna
w Ogap
w P*
w Ogap
w P*
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
18,99
2,55
12,31
5,37
11,03
6,49
11,63
Η∞ w Ogap
Optymalna
Η∞ w P*
10,51
8,47
99,89
26,27
33,21
15,67
20,41
(m - p)t
0,00
15,39
0,00
52,34
0,00
30,80
0,00
22,20
(m - p)t-1
0,00
-12,12
0,00
-44,05
0,00
-25,18
0,00
-17,82
16,25
∞
∞
13,01
10,76
14,75
11,85
18,5
η = ||GZW || ∝
0
0
3,61
3,28
_
_
_
_
p(θ)
_
_
< 0,003
< 0,046
≈0,100
≈0,100
≈0,250
≈0,250
θ
èród∏o: obliczenia w∏asne z wykorzystaniem algorytmów: Giordaniego i Soderlinda (regu∏y 5-8) oraz aplikacji µ-Analysis and Synthesis Toolbox MATLABa
(regu∏y 3, 4). Regu∏y optymalne (1-2) zaczerpni´to z Gerdesmier i in. (2002). Patrz tak˝e przypis 36.
38 Makroekonomia
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
dzajà, ˝e regu∏a odporna zale˝y od arbitralnie przyj´tej
wartoÊci θ. Narzuca si´ zatem pomys∏ wykorzystania
wartoÊci granicznej definiowanej przez norm´ Η∞
funkcji transformacji. Jednak – zauwa˝ajàc, ˝e odpornoÊç jest cechà kosztownà – bardziej zasadne wydaje
si´ oszcz´dne skalibrowanie parametru θ (η). Propozycja rozwiàzania tego problemu opiera si´ na spostrze˝eniu, i˝ trudno pomyliç si´, gdy modele referencyjny
oraz kraƒcowy (zaburzony) ró˝nià si´ znacznie. Problemem sà jednak przypadki, gdy ró˝nice w modelach sà
„niezauwa˝alnie”. Dlatego poszukiwany parametr θ powinien byç tak dobrany, by prawdopodobieƒstwo pomylenia modeli by∏o du˝e. Hansen i in. (2004) proponujà oszacowanie bayesowskiego prawdopodobieƒstwa
b∏´du detekcji modeli. Uwa˝ny czytelnik zwróci∏ zapewne uwag´ na niekonsekwencj´ zdefiniowania problemu HS – przy niepewnoÊci w sensie Knighta zaburzenie deformujàce model powinno pozostaç nielosowe. W zadaniu HS zaburzenie rozbite jest jednak na
dwie sk∏adowe: nielosowy b∏àd specyfikacji modelu
w oraz klasyczny losowy sk∏adnik ε. Statystyczna metoda szacowania prawdopodobieƒstwa korzysta z losowoÊci sk∏adnika proponujàc skonstruowanie testu ilorazu funkcji wiarygodnoÊci.
Bierzemy pod uwag´ dwa modele: referencyjny
(A) oraz kraƒcowy (B). Z modelem kraƒcowym zwiàzane jest najbardziej dokuczliwe zaburzenie w, którego
wielkoÊç zale˝y od dyskutowanego parametru θ. Teoretycznie mo˝liwe jest pope∏nienie dwóch b∏´dów: wybór modelu A zamiast (lepszego) B oraz wybór B zamiast (lepszego) A. Dla próby o liczebnoÊci T, przy dodatkowych za∏o˝eniach dotyczàcych natury ε, mo˝na
wyznaczyç funkcj´ wiarygodnoÊci ka˝dego z modeli38.
Oznaczajàc przez Lij wartoÊç funkcji wiarygodnoÊci
modelu j, gdy dane generuje model i, zauwa˝amy, ˝e
wartoÊç wspó∏czynnika:
ri ≡ logLii − logLij
i ≠ j,
b´dzie dodatnia, gdy dane generuje model i. JeÊli model
A generuje dane, to prawdopodobieƒstwo b∏´dnego
wyboru mo˝na wyznaczyç zliczajàc przypadki niedodatnich wartoÊci rA:
{
}
(
pA = P b∏àd|A = cz´stoÊç rA ≤ 0
)
Analogicznie definiuje si´ prawdopodobieƒstwo
pope∏nienia drugiego z b∏´dów. Zak∏adajàc jednakowe,
równe 0,5, prawdopodobieƒstwa a priori modeli A i B,
uzyskujemy bayesowskie prawdopodobieƒstwo b∏´du
detekcji modeli:
()
p θ = 0, 5 pA + 0, 5 pB
Hansen i Sargent proponujà wyznaczenie wartoÊci
p(θ) dla za∏o˝onego przedzia∏u zmiennoÊci θ, a nast´pnie wybór takiego θ, dla którego prawdopodobieƒstwo
b∏´du jest wi´ksze od za∏o˝onej progowej wartoÊci.
Przy danych modelach: referencyjnym i zaburzonym,
wyznaczanie prawdopodobieƒstwa p(θ) mo˝e si´ opieraç na technikach symulacji stochastycznych. Przyk∏adowà implementacj´ procedury symulowania p(θ)
mo˝na znaleêç w zestawie aplikacji Gaussa i MATCABe,
udost´pnionych przez Giordaniego i Soderlinda. Wykres 1 przedstawia wynik takich symulacji dla modelu
P* i Ogap. Szacunki wykonano u˝ywajàc 5000 replikacji dla próby liczàcej 30 obserwacji.
Z wykresów, jak te˝ danych zamieszczonych w tabeli 4 wynika, ˝e prawdopodobieƒstwo pomylenia modelu referencyjnego oraz zaburzonego dla granicznych
wartoÊci parametru θ jest bardzo ma∏e (dla modeli Ogap
i P*, odpowiednio, mniej ni˝ 0,003 i 0,05). Nie ma wi´c
uzasadnienia polityka uodparniajàca na zdarzenia tak
∏atwe do identyfikacji. W tabeli 4 przedstawiono wyniki szacunków regu∏, gdy prawdopodobieƒstwo pope∏nienia b∏´du wynosi 0,10 i 0,25.
i, j = A, B
1.7. Uwagi koƒcowe
38 Szczegó∏y przedstawiajà Hansen i in. (2004) rozdz. 8.
Podsumowujàc dotychczasowe rozwa˝ania, zwracamy
uwag´ na ró˝nic´ mi´dzy ryzykiem a niepewnoÊcià
Wykres 1 Prawdopodobieƒstwo detekcji b∏´du w modelach Ogap i P*
0,5
Model OGAP
0,5
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0,0
-0,08 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0
-1
θ
Prawdopodobieƒstwo
Prawdopodobieƒstwo
0,4
0,4
0,35
Model P*
0,45
0,45
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0,0
-0,1 -0,09-0,08 -0,07 -0,06-0,05-0,04-0,03-0,02 -0,01 0
-1
θ
èród∏o: opracowanie w∏asne przy wykorzystaniu oprogramowania Giordaniego i Soderlinda.
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
w sensie Knighta. Je˝eli decydent stoi przed ryzykiem,
decyzja mo˝e opieraç si´ na minimalizacji warunkowej
oczekiwanej funkcji straty (maksymalizacji funkcji u˝ytecznoÊci decydenta). Bayesowskie ramy wnioskowania i (lub) podejmowania decyzji pozwolà sformu∏owaç
regu∏´ (lub konkretnà decyzj´) minimalizujàcà Êrednie
(oczekiwane) straty w badanym okresie. Je˝eli niepewnoÊç nie daje si´ kwantyfikowaç, teoria decyzji proponuje kryteria minimaksowe i odpornoÊç na najbardziej
niesprzyjajàce okolicznoÊci. Nale˝y si´ jednak zastanowiç nad argumentacjà Hansena i Sargenta, dla których kryterium minimaksowe jest Êwiadomym wyborem decydentów ceniàcych bezpieczeƒstwo (odpornoÊç). W takiej sytuacji zasada odpornoÊci staje si´
konkurencjà dla bayesowskich ram decyzyjnych,
a zdarzenia o niskim prawdopodobieƒstwie wa˝nà
przes∏ankà decyzji.
NiepewnoÊç modelu jest konsekwencjà ograniczonoÊci naszej wiedzy. Polityka bioràca to pod uwag´ tak˝e mo˝e byç konstruowana w ramach bayesowskich lub
Makroekonomia 39
z wykorzystaniem zasady odpornoÊci. Koncepcja bayesowskiego uÊredniania modeli oraz techniki ad hoc –
tak jak zadania (BKE) i (BMG) w studium Gerdesmeiera i in. (2001) – wymagajà wiedzy o rozk∏adach (prawdopodobieƒstwach) a priori modeli. JeÊli niepewnoÊç
(ryzyko) nie daje si´ ograniczyç do konkretnych elementów modelu, to bardziej naturalne wydaje si´ odwo∏anie do zasady odpornoÊci. Poszukiwanie regu∏y
odpornej w wàskim zbiorze modeli empirycznych – jak
w cyklu prac Levina i in. (1999, 2001, 2003) – uznajemy za technik´ ad hoc. Kompleksowym uj´ciem problemu wydaje si´ jednak podejÊcie Hansena i Sargenta.
Niejako z definicji model uznaje si´ w nim za êle wyspecyfikowany, a wyznaczana regu∏a bierze pod uwag´
taki jego wariant, który mo˝e mieç najbardziej destrukcyjny wp∏yw na prowadzonà polityk´. Wczesny etap
rozwoju tej koncepcji – podstawowa praca cytowanych
autorów jest dopiero w przygotowaniu, a wi´kszoÊç
opracowaƒ ma status materia∏ów dyskusyjnych – nie
pozwala jednak na jednoznacznà ocen´.
Literatura
1. N. Acocella (2002): Zasady polityki gospodarczej. Warszawa PWN.
2. Bank of England (1999): Economic Models at the Bank of England.
3. M. Blix, P. Sellin (1998): Uncertainty Bands for Inflation Forecasts, Sveriges Riksbank.
4. W.C. Brainard (1967): Uncertainty and the Effectiveness of Policy. „American Economic Review”, 57.
5. J. Bray, S. Hall, A. Kuleshow, J. Nixon, P. Westaway (1995): The Interfaces Between Policy Makers, Market and
Modellers in the Design of Economic Policy. An Intermodel Comparison. „Economic Journal”, 107.
6. W. Brock, S. Durlaf, K. West (2003): Policy Evaluation in Uncertain Economic Environment. Brookings Papers
of Economic Activity.
7. A. Cagliarini, A. Heath (2000): Monetary Policy-Making in the Knightian Uncertainty. Research Department Reserve Bank of Australia, Research Discussion Paper 2000-10.
8. R. Clarida (1998): Monetary Policy Rules in Practice: Some International Evidences. „European Economic Review”, 42.
9. D. Cote, J. Kuszczak, J-P. Lam, Y. Liu, P. St-Amant (2002): The Performance and Robustness of Simple Monetary Policy Rules. Bank of Canada.
10. W. Czy˝ewska (2001): Podejmowanie decyzji gospodarczych przy wielorakoÊci celów. Optymalna polityka banku centralnego. „Studia i Prace” ZBSE GUS, Zeszyt 275.
11. A. Estrella, F.S. Mishkin (1999): Rethinking the role of NAIRU in Monetary Policy. W: J. Taylor (red.): Monetary Policy Rules. NBER, Chicago.
12. P. Fisher (1992): Rational Expectations in Macroeconomic Models. Kluwer Academic Press.
13. D. Gerdesmeier, R. Motto, H. Pill (2002): Paradigm Uncertainty and the Role of Monetary Developments in the
Monetary Policy Rules. EBC.
14. P. Giordani, P. Soderlind (2002): Solution of Macromodels with Hansen-Sargent Robust Policies. Summary and
some Extensions. Stockholm School of Economics, CEPR.
15. S.G. Hall, S.G.B. Henry, G. Willians (1999): Modelling Policy Rules, Fully Model-Based Approach. Centre of
Economic Forecasting. London Business School Discussion Paper 14-99.
16. L.P. Hansen, T. Sargent (2004): Misspecification in Recursive Macroeconomic Theory. University of Chicago,
New York University and Hoover Institution, Luty 2004, r´kopis.
17. L.P. Hansen, T. Sargent (2000): Wanting Robustness in Macroeconomics. Stanford University, r´kopis.
18. T. Jacobson, S. Karlsson (2002): Finding Good Predictors for Inflation: A Bayesian Model Averaging Approach.
Sveriges Riksbank Working Paper Series, 138.
40 Makroekonomia
BANK I KREDYT p a ê d z i e r n i k 2 0 0 4
19. K. Kasa (1998): Model Uncertainty, Robust Policies, and the Value of Commitment. Research Department Federal Reserve Bank of San Francisco.
20. J. Kilponen (2003): A Positive Theory of Monetary Policy and Robust Control. Bank of Finland Discussion Paper 8/2003.
21. K. Kim, A.R. Pagan (1995): The Econometric Analysis of Calibrated Macroeconomic Models. W: M. H. Pesaran,
M.R. Wickens (red.): Handbook of Applied Econometrics, Macroeconomics. Blackwell, Oxford.
22. B. K∏os (2003): Regu∏y stopy procentowej w warunkach niepewnoÊci. „Ekonomia”, 9.
23. R. Kokszczyƒski (2004): Wspó∏czesna polityka pieni´˝na w Polsce. PWE.
24. F.E. Kydland, E.C. Prescott (1977): Rules Rather then Discretion: The Inconsistency of Optimal Plans. „Journal
of Political Economy”, 85.
25. A.T. Levin, J.C. Williams, V. Wieland (1999): Robustness of Simple Monetary Policy Rules under Model Uncertainty. W: J. Taylor (red.) (1999): Monetary Policy Rules. NBER, Chicago.
26. A.T. Levin, J.C. Williams, V. Wieland (2001): The Performance of Forecast-Based Monetary Policy Rules under
Model Uncertainty. Board of Governors FED.
27. A.T. Levin, J.C. Williams (2003): Robust Monetary Policy with Competing Reference Models, „Journal of Monetary Economics”, 50.
28. L. Ljungqvist, T.J. Sargent (2000): Recursive Macroeconomic Theory. MIT Press.
29. A. Onatski, J. Stock (2000): Robust Monetary Policy under Uncertainty in a Small Model of the U. S. Economy.
NBER Working Paper 7490.
30. A. Onatski, N. Williams (2002): Modeling Model Uncertainty. EBC Working Paper 169.
31. A. Orphanides (1998): Monetary Policy Evaluation with Noisy Information. Board of Governors FED.
32. A. Orphanides, R.F. Porter, D. Reifschneider, R. Tetlow, F. Finan (1999): Errors in the Measurement of the Output Gap and the Design of Monetary Policy. Board of Governors FED.
33. J. Osiewalski (2001): Ekonometria bayesowska w zastosowaniach. WAE Kraków.
34. A. Pagan (2003): Report on Modelling and Forecasting at the Bank of England. Bank of England.
35. T. Sargent (1999): Comment on Policy Rules for Open Economy by L. Ball. W: J. Taylor (red.) Monetary Policy
Rules. NBER Business Cycle Series vol. 31.
36. Ch.A. Sims (1988): Uncertainty in Macroeconomics. Uncertainty Across Models. „The American Economic Review”, 78.
37. Ch.A. Sims (1998) Projecting Policy Effects With Statistical Models, Prepared for Presentation at the Latin American Meetings of the Econometric Society. San Jose, Costa Rica, 2-5 sierpnia 1988 r.
38. Ch.A. Sims (2001): Pitfalls of Minimax Approach to Model Uncertainty, r´kopis.
39. Ch.A. Sims (2002): The Role of Models and Probabilities in the Monetary Policy Process. Brooking Panel of Economic Activity, Princeton.
40. K. Šmidkowa (2003): Targeting Inflation under Uncertainty. Policy Makers' Perspective. CNB Internal Research
and Policy Note, 2003/2.
41. G. Srour (2002): Inflation Targeting under Uncertainty. Bank of Canada, „Technical Report”, 85.
42. A.A. Stroovogel (1998): The H-inf Control Problem. A State Space Approach. University of Michigan, r´kopis.
43. L.E.O. Svensson (2000): Robust Control Made Simple, r´kopis.
44. R.J. Tetlow, P. von zur Muehlen (2001): Robust Monetary Policy with Misspecified Models: Does Model Uncertainty Always Call for Attenuated Policy? „Journal of Economic Dynamics and Control”, 25.
45. S. Turnovsky (1977): Optimal Control of Linear Systems with Stochastic Coefficient and Additive Disturbances.
W: J. D. Pitchford, S. J. Turnovsky (red.) Applications of Control Theory to Economic Analysis. North-Holland.
46. B. John Taylor (1993): Discretion versus policy rules in practice. Carnegie-Rochester Series on Public Policy, 39.
47. P. von zur Muehlen (1982/2001): Activist vs. Non-Activist Monetary Policy: Optimal Rules under Extreme Uncertainty (A Primer on Robust Control). Board of Governors FED (wznowienie opracowania przygotowanego
w 1982 r.).
48. C. Walsh (2003): Implications of Changing Economic Structures for the Strategy of Monetary Policy, Symposium on Monetary Policy under Uncertainty: Adapting to a Changing Economy, Federal Reserve Bank of Kansas City. Jackson Hole, 28-30 sierpnia 2003, Wyoming.
49. A. Wojtyna (2003): W poszukiwaniu optymalnej regu∏y polityki pieni´˝nej „Studia Ekonomiczne” nr 1-2.
50. T.R. Woodword, R. C. Bishop (1997): How to Decide when Experts Disagree. Uncertainty-Based Choice Rules
in Environmental Policy. „Land Economics” 73, 4.
51. K. Zhou, J. Doyle (1998): Essentials of Robust Control. Prentice Hall.
52. K. Zhou, J. Doyle, K. Glover (1996): Robust and Optimal Control. Prentice Hall.