Geometria analityczna przestrzeni

ALGEBRA LINIOWA 1
Specjalna lista zadań*
Uwaga. Lista zawiera tylko zadania "z gwiazdką" - znacznie trudniejsze i nietypowe. Jest ona przeznaczona dla studentów
pragnących głębiej zastanowić się nad tematyką kursu. Lista jest przygotowana również z myślą o tych osobach, które zamierzają ubiegać się w przyszłości o ocenę celującą 5,5 z kursu ALGEBRA LINIOWA 1, ALGEBRA Z GEOMETRIĄ
ANALITCZNĄ lub innych kursów o podobnej tematyce. Prezentowane tu zadania pojawiły się na egzaminach na ocenę
celującą organizowanych od roku 1995.
5. Geometria przestrzeni R 3
5.1*
Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że środkowe trójkąta przecinają
się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 1 licząc od
wierzchołków.
(Ćw. 5.1.8e*)
5.2*
Środkiem ciężkości trójkąta nazywamy punkt, w którym przecinają się jego
środkowe. Uzasadnić, że odcinek łączący wierzchołki czworościanu ze środkami
ciężkości przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie, który dzieli te
odcinki w stosunku 3 : 1 licząc od wierzchołków.
(cel-18a-4a)
5.3*
Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami w R 3 . Uzasadnić tożsamość
5.4*
5.5*
5.6*
→ → →
→
→
→
3( u 2 + v 2 + w 2 ) =
→ →2 → →2
u −w + v −w +
→ → →2
u + v +w +
→ →2
w− u .
(cel-03-4)
Na sferze o promieniu 1 znajdują się punkty P 1 , P 2 , ..., P 2002 .
Uzasadnić, że suma kwadratów odległości wszystkich par punktów
P i , P j , dla 1 ≤ i < j ≤ 2002 , nie przekracza liczby (2002) 2 .
Przy jakim rozmieszczeniu punktów wartość (2002) 2 jest osiągnięta?
(ce1-13-4)
Do każdej ściany dowolnego czworościanu wystawiono wektor prostopadły
o długości równej polu tej ściany, skierowany na zewnątrz. Udowodnić, że
suma tych wektorów jest wektorem zerowym.
(cel-02-1)
Korzystając z rachunku wektorowego
wyznaczyć cosinus kąta dwuściennego
między sąsiednimi ścianami dwudziestościanu foremnego.
Wskazówka. W rozwiązaniu można wykorzystać równość
cos 72 o =
5 −1
.
4
Jak
ją uzasadnić w oparciu o liczby zespolone?
Rysynek wykonano wykorzystując
pakiet Mathematica.
(ce1-7-4)

→ 
→
5.7*

→
Wektory OA, OB oraz OC spełniają warunek

→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
→ →
OA × OB + OB × OC + OC × OA = O .
Pokazać, że punkty A, B, C są współliniowe.


5.8* Określić liczbę rozwiązań układu równań 


→→ →
wektorów a , b , c ∈ R 3 .
→ →
x × y =
→ →
y × z =
→ →
z × x =
→
a
→
b
→
c
(ce1-12-4)
w zależności od
(ce1-5-3)
→→→ →
5.9* Niech a , b , c , d będą dowolnymi wektorami w R 3 . Uzasadnić tożsamość
→ → → →
→ → → →
a c a d
→ → → → = ( a × b ) ( c × d ).
b c b d
5.10* Cztery punkty poruszają się w przestrzeni R 3 po prostych ze stałymi prędkościami. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n taką, że jeżeli w chwilach
t = 1, t = 2, ... , t = n punkty były współpłaszczyznowe, to w dowolnej
chwili także będą współpłaszczyznowe.
(ce1-4-3)
(ce1-6-3)
5.11* Punkt porusza się w przestrzeni R 3 w ten sposób, że współrzędne jego położenia
w chwili t są wielomianami zmiennej t stopnia nie większego niż 2 . Pokazać,
że tor punktu jest zawarty w pewnej płaszczyźnie.
(cel-19-4)
→ → →
5.12* Równoległościan rozpięty na wektorach u , v , w ma objętość V . Podać
objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach
→ → → → → →
u × v , u × w, v × w .
(ce1-11-4)
5.13* Wewnątrz czworościanu ABCD wybrano punkt O . Udowodnić równość

→

→

→

→ →
V OBCD ⋅ OA + V OCDA ⋅ OB+V OABD ⋅ OC + V OABC ⋅ OD = 0 ,
gdzie V XYZT oznacza objętość czworościanu o wierzchołkach X, Y, Z, T .
(cel-16-4)
5.14* Napisać równanie prostej, która przecina trzy parami skośne proste
l1 :
l2 :
l3 :
y−1
z−1
=
2
3
y
x
z
=1=2
−1
y+1
x+1
−2
=
= z −2
2
1
x−1
1
=
.
Ile jest takich prostych.
(ce1-4-4)
5.15* W R 3 dane są proste skośne k i l . Znaleźć zbiór środków odcinków o końcach
K i L położonych odpowiednio na prostych k i l .
(cel-15-4)
→ → →
5.16* W przestrzeni R 3 dane są niewspółpłaszczyznowe wektory p , q , r .
Znaleźć wersor, który tworzy z nimi jednakowe kąty.
(ce1-10-4)
5.17* W przestrzeni R 3 dany jest sześciokąt foremny ABCDEF . Odległości
wierzchołków A, B, C sześciokąta od pewnej płaszczyzny są równe
odpowiednio 1, 2, 5 . Obliczyć odległości pozostałych wierzchołków
sześciokąta od tej płaszczyzny.
(cel-17-4)
5.18* Wiadomo, że punkty A = ( 0, 0, 0 ) , C = ( 0, 0, 3 ) są końcami jednej
z przekątnych sześcianu ABCDA B C D . Ponadto wiadomo, że wierzchołek
B sześcianu należy do płaszczyzny xOz . Wyznaczyć współrzędne pozostałych
wierzchołków tego sześcianu.
(cel-18-4)
→
→
→
→
→
→
5.19* Dane są proste l 1 : r = r 1 + t v 1 , l 2 : r = r 2 + t v 2 , gdzie t ∈ R , przy czym
→ → →
v 1 × v 2 ≠ 0 . Uzasadnić, że odległość między tymi prostymi wyraża się wzorem
→ → → →
( r1 − r2 , v1 , v2 )
d=
→ →
v1 × v2
.
(ce1-9-4)
→
5.20* Snajper strzela z punktu P = ( 5, 5, 5 ) w kierunku wektora v = (−4, −3, −7 ) .
Zbadać, czy trafi on w czworościan o wierzchołkach
A = ( 1, 6, 0 ), B = ( 0, 1, −2 ), C = ( 3, 2, −3 ), D = ( 0, 0, 0 ).
Odpowiedź uzasadnić.
(ce1-5-4)
5.21* Płaszczyzny pierwszego oktantu współrzędnych są zwierciadłami. Promień świetlny
wychodzi z punktu A = ( 2, 4, 8 ) i po odbiciu od zwierciadeł x = 0 , y = 0
i z = 0 dociera do punktu B = ( 4, 6, 2 ) . Wyznaczyć punkty odbić promienia
od tych zwierciadeł.
(ce1-1-2)
5.22* Punkt A = ( 3, 8, 1 ) obrócono o kąt a) α =
2π
;
3
b) α =
π
3
wokół prostej
l : x = y = z . Znaleźć obraz tego punktu.
(ce1-3-3)
5.23* Kwadratowa płyta, której bok ma długość a ,
jest zawieszona poziomo na czterech
pionowych linach o długości l . Obliczyć,
o ile podniesie się płyta po jej obrocie o kąt
0 < ϕ ≤ π wokół pionowej osi symetrii.
Jakie warunki powinny liczby a i l ,
aby taki obrót był możliwy?
l
(ce1-8-1)
Rysunek wykonała
Małgorzata Jurlewicz
IZ/INF/SI
2004/2005
ϕ
a
.
5.24* Czy możliwe jest ułożenie
ołówków przedstawione poniżej?
Odpowiedź uzasadnić korzystając
z geometrii analitycznej w R 3 .
(cel-14-4)
Rysunek wykonał
Michał Bryłka
IZ/INF/PPI
2003/2004
Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas
październik 2007