PODSTAWY LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

PODSTAWY LINIOWEJ
TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
•
Przestrzenne zadanie brzegowe teorii
sprężystości
•
Metody rozwiązywania zadań brzegowych
teorii sprężystości
•
Rozwiązanie płaskiego zadania brzegowego
teorii sprężystości w naprężeniach
•
Rozwiązanie płaskiego osiowosymetrycznego
zadania brzegowego teorii sprężystości w
przemieszczeniach
•
Naprężenia kontaktowe
Przestrzenne zadanie brzegowe teorii sprężystości
Klasyczna, liniowa teoria sprężystości jest mechaniką ciała (ośrodka)
odkształcalnego, opierająca się na następujących założeniach:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ciało jest wypełnione w sposób ciągły materią zarówno przed, jak i po
odkształceniu (kontinuum materialne).
Ośrodek ciągły jest fizycznie jednorodny i izotropowy.
Przemieszczenia i odkształcenia pojawiają się w chwili przyłożenia
obciążeń wywołujących naprężenia.
Istnieje naturalny beznapięciowy (beznaprężeniowy) stan ciała, do
którego powraca ono zawsze po odciążeniu.
Odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe.
Ośrodek ciągły (materiał) zachowuje się zgodnie z prawem Hooke’a.
Funkcje określające naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia są
ciągłe i różniczkowalne.
Przestrzenne zadanie brzegowej teorii sprężystości
można sformułować w następujący sposób:
Dane jest ciało liniowo sprężyste o dowolnym kształcie i wymiarach ( rys. 10.1 )
Rys. 10.1
Przyjmujemy, że pozostaje ono w spoczynku. Znany jest sposób podparcia ciała i jego
własności sprężyste. Określone są siły powierzchniowe q i masowe X ( objętościowe Xρ )
działające na rozważane ciało. Poszukujemy natomiast wektorowego pola przemieszczeń
oraz tensorowych pól stanu naprężenia i odkształcenia w tym ciele. Innymi słowy, trzeba
znaleźć piętnaście funkcji współrzędnych punktu w ciele nieodkształconym.
Poszukiwane funkcje:
σij = ( xk )
(i, j , k = 1,2,3)
( 10.1 )
ui ( xk )
(i, k = 1,2,3)
( 10.2 )
εij (ik )
(i, j , k = 1,2,3)
( 10.3 )
lub w notacji inżynierskiej:
σ x ( x, y , z )
τ xy ( x, y, z )
σ y ( x, y , z )
τ yz ( x, y, z )
σ z ( x, y , z )
τ zx ( x, y, z )
( 10.4 )
u ( x, y , z )
v ( x, y , z )
( 10.5 )
w( x, y , z )
ε x ( x, y , z )
γ xy ( x, y, z )
ε y ( x, y , z )
γ yz ( x, y, z )
ε z ( x, y , z )
γ zx ( x, y, z )
( 10.6 )
Do znalezienia tych funkcji należy zastosować piętnaście podstawowych równań teorii
sprężystości, które zostały wcześniej wprowadzone. Tworzą one trzy grupy zależności:
A.
Równania wewnętrznej równowagi lokalnej
Są to trzy warunki Naviera, w których uwzględniono postulat Boltzmana, zwany
także warunkiem Cauchy’ego
σ ji , j + X iρ = 0
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
( 10.7 )
σij = σ ji
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
( 10.8 )
albo w notacji inżynierskiej:
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx
+
+
+ Xρ = 0
∂x
∂z
∂y
∂τ xy
∂x
+
∂σ y
∂y
+
∂τ zy
∂z
+ Yρ = 0
( 10.9 )
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z
+
+
+ Zρ = 0
∂y
∂x
∂z
τ xy = τ yx
τ yz = τ zy
τ zx = τ xz
( 10.10 )
B.
Związki geometryczne.
Wyróżnia się dwa rodzaje związków geometrycznych:
B1.
Zależność między składowymi stanu odkształcenia i przemieszczeniami,
czyli sześć związków Cauchy’ego.
ε ij =
(
1
ui , j + u j , i
2
)
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
εij = ε ji
( 10.11 )
( 10.12 )
albo w notacji inżynierskiej:
εx =
∂u
,
∂x
γ xy =
∂v
,
∂y
εz =
γ yz =
∂v ∂w
+
,
∂
∂z
y
εy =
∂u ∂v
+ ,
∂y ∂x
∂w
,
∂z
γ zx =
∂w ∂u
+ ,
∂x ∂z
( 10.13 )
B2.
Warunki ciągłości ( nierozdzielności ) odkształceń de Saint – Venanta,
których jest także sześć:
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
eikm e jlnε kl ,mn = 0
(k = 1,2,3; l = 1,2,3)
(m = 1,2,3; n = 1,2,3)
( 10.14 )
albo w notacji inżynierskiej:
∂ 2ε x
∂y
2
+
∂ 2ε y
∂x
2
=
∂ 2 γ xy
∂x∂y
,
∂ 2ε y
∂z
2
+
∂ 2ε z
∂y
2
=
∂ 2 γ yz
∂y∂z
,
∂ 2ε z
∂x
2
+
∂ 2ε x
∂z 2
∂ 2 γ zx
=
∂z∂x
∂ 2ε x
∂ ⎛ ∂γ xy ∂γ zx ∂γ yz ⎞
⎟⎟ = 2
⎜⎜
+
−
∂y∂z
∂x ⎝ ∂z
∂y
∂x ⎠
∂ 2ε y
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xy ∂γ zx ⎞
⎜
⎟=2
+
−
∂y ⎜⎝ ∂x
∂z
∂y ⎟⎠
∂z∂x
∂ ⎛ ∂γ zx ∂γ yz ∂γ xy ⎞
∂ 2ε z
⎜⎜
⎟⎟ = 2
+
−
∂z ⎝ ∂y
∂x
∂z ⎠
∂x∂y
( 10.15 )
C.
Związki fizyczne
Jest to uogólnione prawo Hooke’a, które może mieć dwojaką postać:
C1.
Sześć funkcji określających składowe stanu odkształcenia w zależności
od składowych stanu naprężenia:
ε ij =
1+ ν
ν
σij − σ kk δij
E
E
(i, j , k = 1,2,3)
( 10.16 )
albo w notacji inżynierskiej:
γ xy =
τ xy
G
,
[
(
)]
εx =
1
σx − ν σ y + σz
E
εy =
1
σ y − ν(σ z + σ x )
E
εz =
1
σz − ν σx + σ y
E
γ yz =
[
]
[
τ yz
G
(
,
)]
γ zx =
( 10.17 )
τ zx
G
C2.
Sześć funkcji określających składowe stanu naprężenia w zależności
od składowych stanu odkształcenia.
σij = 2Gεij +
2ν G
ε kk δij
1 − 2ν
(i = 1,2,3; j = 1,2,3; k = 1,2,3)
( 10.18 )
albo w notacji inżynierskiej:
σx =
E ⎡
ν
⎤
ε
+
ε
+
ε
+
ε
x
x
y
z
⎥⎦
1 + ν ⎢⎣
1 − 2ν
σy =
E ⎡
ν
⎤
ε
+
ε
+
ε
+
ε
y
x
y
z
⎥⎦
1 + ν ⎢⎣
1 − 2ν
σz =
E
1 +ν
(
(
τ xy = Gγ xy
τ yz = Gγ yz
τ zx = Gγ zx
)
)
ν
⎡
⎤
ε
ε
ε
ε
+
+
+
(
)
y
z ⎥
⎢ z 1 − 2ν x
⎣
⎦
( 10.19 )
W dynamicznym zadaniu brzegowym teorii sprężystości poszukiwane
funkcje ( 10.1 ), ( 10.2 ) i ( 10.3 ) albo ( 10.4 ),( 10.5 ) i ( 10.6 ) są dodatkowo zależne od
czasu t. W równaniach równowagi wewnętrznej należy uwzględnić siły bezwładności
d’Alemberta przyłożone do infinitezymalnego prostopadłościanu. Formuły
( 10.7 ) albo ( 10.9 ), w których prawe strony są odpowiednio równe :
..
ρ ui = ρ
∂ 2 ui
∂t
(i = 1,2,3)
2
albo
ρ
∂ 2u
∂t
2
,
ρ
∂ 2v
∂t
2
,
ρ
∂ 2w
∂t
2
,
stają się dynamicznymi równaniami ośrodka ( ciała ) odkształcalnego.
Metody rozwiązywania zadań brzegowych
teorii sprężystości
Poszukiwane funkcje ( 10.1 ), ( 10.2 ) i ( 10.3 ) albo ( 10.4 ),( 10.5 ) i ( 10.6 ) muszą być tak
dobrane, aby spełniały podstawowe równania teorii sprężystości A, B i C oraz warunki
brzegowe, a w przypadku zadania dynamicznego także warunki początkowe.
Rozwiązanie w naprężeniach polega na tym, że w pierwszej kolejności wyznacza
się sześć funkcji określających składowe stanu naprężenia σij ( xk ) (i, j , k = 1,2,3)
albo σ x ( x, y, z ),
σ y ( x, y, z ),
σ z ( x, y, z ),
τ xy ( x, y, z ),
τ yz ( x, y, z ),
τ zx ( x, y, z ).
Należy w tym celu tak przekształcić podstawowe równania teorii sprężystości, aby uzyskać
układ równań różniczkowych ze względu na naprężenia. Trzy pierwsze równania tego
układu stanowią lokalne warunki równowagi wewnętrznej A. Aby uzyskać pozostałe
równania, należy składowe stanu odkształcenia, wyrażone przez składowe stanu
naprężenia w zależnościach C1, wprowadzić do warunków ciągłości odkształceń B2.
Po dokonaniu tej operacji i po przekształceniach, w trakcie których stosuje się również
równania równowagi lokalnej, otrzymujemy warunki nierozdzielności odkształceń
wyrażone przez naprężenia. Jest to sześć równań Beltramiego - Michella >>>
Sześć równań Beltramiego – Michella:
σij , kk +
ν
1
σ kk ,ij = − X i , j + X j ,i −
δij X k , k
1+ ν
1− ν
(
)
(i, j , k = 1,2,3)
( 10.20 )
albo w notacji inżynierskiej:
ν ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞
3 ∂ 2σ śr
∂X
∇ σx +
+
+
+
ρ
+
2
ρ=0
⎟
⎜
1 + ν ∂x 2 1 − ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂x
2
2
∇ =
∂2
+
∂2
+
∂2
-
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
oznacza operator
harmoniczny Laplace’a
zwany laplasjanem.
Czytaj „ nabla dwa”.
( 10.22 )
3 ∂ 2σ śr
ν ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞
∂Y
∇ σy +
+
+
+
ρ
+
2
ρ=0
⎜
⎟
2
1 + ν ∂y
1 − ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂y
2
ν ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞
3 ∂ 2σ śr
∂Z
∇ σz +
+
+
ρ
+
+
2
ρ=0
⎟
⎜
1 + ν ∂z 2
1 − ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂z
2
∇ τ xy
3 ∂ 2σ śr ∂Y
∂X
ρ=0
ρ+
+
+
1 + ν ∂x∂y ∂x
∂y
2
3 ∂ 2σ śr ∂Y
∂X
+
+
ρ+
ρ=0
1 + ν ∂y∂z ∂y
∂z
2
3 ∂ 2σ śr ∂X
∂Z
ρ+
+
+
ρ=0
1 + ν ∂z∂x
∂x
∂z
2
∇ τ yz
∇ τ xy
( 10.21 )
Poszukiwanych sześć funkcji σij ( xk ) (i, j , k = 1,2,3) albo
σ y ( x, y, z ), σ z ( x, y, z ), τ xy ( x, y, z ), τ yz ( x, y, z ), τ zx ( x, y, z ),
σ x ( x, y, z ),
musi spełniać równania równowagi wewnętrznej A, równania Beltramiego – Michella oraz
warunki brzegowe:
qni = σ ji α jn
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
( 10.23 )
albo w notacji inżynierskiej:
qnx = σ x cos( xn ) + τ yx cos( yn ) + τ zx cos( zn )
qny = τ xy cos( xn) + σ y cos( yn) + τ zy cos( zn )
( 10.24 )
qnz = τ xz cos( xn ) + τ yz cos( yn ) + σ z cos( zn )
W tym przypadku n jest normalną do powierzchni zew. ciała w rozważanym
punkcie, której kierunek wyznaczają α ij ( j = 1,2,3) albo cos( xn ), cos( yn ), cos( zn ).
Ściana elementarnego czworościanu ( patrz obok )
prostopadła do n jest fragmentem powierzchni
ciała, na który działa obciążenie powierzchniowe
q( x, y, z ) o składowych qni ( i = 1, 2, 3 )
albo qnx, qny, qnz. Pozostałe trzy wzajemnie
prostopadłe ściany,na których występują
naprężenia, znajdują się już wewnątrz ciała.
Warunki brzegowe wiążą znane powierzchniowe
obciążenia zewnętrzne ze stanem naprężenia
wewnątrz ciała.
Przy okazji omawiania warunków brzegowych warto przytoczyć
zasadę de Saint – Venanta, która brzmi:
Różne, ale statycznie równoważne układy sił, przyłożone na niewielkiej części
powierzchni ciała, wywołują w punktach dostatecznie oddalonych od strefy działania
obciążenia praktycznie jednakowe stany naprężenia. Przez dostateczne oddalenie od strefy
działania obciążenia należy rozumieć odległość rzędu porównywalnego z liniowymi
wymiarami powierzchni, na którą działa układ sił zewnętrznych.
Zasada ta umożliwia modyfikację i upraszczanie warunków brzegowych. Wynika z
niej również, że stan naprężenia w pobliżu miejsca przyłożenia obciążenia powinien być
przedmiotem odrębnej analizy. Wiąże się to z naprężeniami stykowymi.
Rozwiązanie w przemieszczeniach polega na tym, że w pierwszej kolejności
wyznacza się trzy funkcje określające przemieszczenia ui x j (i, j = 1,2,3) albo u ( x, y , z ),
v( x, y , z ), w( x, y , z ). Należy w związku z tym przekształcić podstawowe równania teorii
sprężystości, aby uzyskać układ równań różniczkowych ze względu na przemieszczenia. W
tym celu składowe stanu odkształcenia wyrażone przez przemieszczenia zgodne z
zależnościami B1 wprowadzamy do uogólnionego prawa Hooke’a ( C2 ). Uzyskamy składowe
stanu naprężenia wyrażone przez przemieszczenia, które różniczkujemy i wstawiamy do
warunków równowagi wewnętrznej A. Po przekształceniach otrzymamy warunki równowagi
wewnętrznej wyrażone w przemieszczeniach, czyli trzy równania Naviera – Lamego :
( )
Gui , jj + (λ + G ) u j , ji + X i = 0
(i, j , k = 1,2,3)
( 10.25 )
albo w notacji inżynierskiej:
(λ + G ) ∂ϑ + G∇ 2u + ρX
=0
∂x
(λ + G ) ∂ϑ + G∇ 2v + ρY = 0
∂y
(λ + G ) ∂ϑ + G∇ 2 w + ρZ = 0
∂z
gdzie: ϑ = ε x + ε y + ε z =
∂u ∂v ∂w
+ +
;
∂x ∂y ∂z
( 10.26 )
λ=
2ν G
- stała Lamego
1 − 2ν
( )
(i, j = 1,2,3) albo u ( x, y, z ), v( x, y, z ), w( x, y, z ) muszą
Funkcje ui x j
spełniać układ równań różniczkowych cząstkowych Naviera – Lamego ( 10.25 ) lub ( 10.26 )
oraz warunki brzegowe. Są to warunki naprężeniowe ( 10.23 ) albo ( 10.24 ), które należy
również podać w przemieszczeniach. Aby uzyskać odpowiednie formuły, wystarczy w
naprężeniowych warunkach brzegowych ( 10.23 ) albo ( 10.24 ) składowe stanu naprężenia
wyrazić przez przemieszczenia, w analogiczny do stosowanego przy wyprowadzeniu równań
Naviera -Lamego. Mogą to być również przemieszczeniowe warunki brzegowe określające
przemieszczenia ui x j (i, j = 1,2,3) albo u ( x, y , z ), v( x, y , z ), w( x, y , z ) na części lub
na całym brzegu.
( )
Rozwiązanie przestrzennego zadnia brzegowego teorii sprężystości wprost, tzn.
przez całkowanie układu cząstkowych równań różniczkowych jest bardzo trudne. Dlatego
stosuje się różne sposoby ułatwiające uzyskanie choćby przybliżonego rozwiązania.
Wprowadza się w tym celu uproszczone modele geometryczne ciała liniowo – sprężystego,
takie jak pręt, tarcza, płyta czy powłoka. Stosuje się przybliżone metody rozwiązywania
równań różniczkowych. Korzysta się także z przybliżonych metod numerycznych
rozwiązywania zadań teorii sprężystości, takich jak metoda różnic skończonych, metoda
elementów skończonych czy metoda elementów brzegowych. Metody te noszą nazwę metod
macierzowych lub komputerowych, ponieważ opierają się na rachunku macierzowym i są
przystosowane do obliczeń za pomocą komputera.
ROZWIĄZANIE PŁASKIEGO ZADANIA
BRZEGOWEGO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W
NAPRĘŻENIACH.
Wyróżnić trzeba dwa przypadki tego zadania, a mianowicie płaski stan naprężenia
lub odkształcenia. Poszukuje się odpowiednio funkcji σ x ( x, y ), σ y ( x, y ), τ xy ( x, y ) lub
ε x ( x, y ), ε y ( x, y ), γ xy ( x, y ). Rozważymy szczegółowo pierwszy przypadek, który
zilustrowano na rys. 10.2, przedstawiającym tarcze przenoszącą obciążenia zewnętrzne q( x, y )
i utwierdzoną na części brzegu.
Rys.10.2
Podstawowe równania teorii sprężystości przedstawiają się następująco: >>>
σ z ≠ 0, ponieważ
Płaskie zadania teorii sprężystości
Płaski stan odkształcenia
Płaski stan naprężenia
F0
y
ny
n
nx
h
h
p0
a)
x
⎡σ x τ xy
[Tσ ] = ⎢⎢τ yx σ y
⎢⎣ 0
0
σ z ≠ 0, ponieważ
1
0⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥⎦
σz =
E
1 +ν
b)
⎡
⎢ εx
⎢
1
[ε ] = ⎢ γ yx
⎢2
⎢
⎢ 0
⎢⎣
1
γ xy
2
εy
0
⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
⎥
0⎥
⎥⎦
ν
E ⎡ ν
⎡
⎤
⎤
ε
ε
ε
ε
ε x + ε y )⎥
+
+
+
=
(
)
(
y
z ⎥
⎢ z 1 − 2ν x
⎢
⎣
⎦ 1 + ν ⎣1 − 2ν
⎦
A. Lokalne warunki równowagi
∂σ x ∂τ xy
+
+ Xρ = 0
∂x
∂y
∂τ xy
∂x
+
∂σ y
∂y
( 10.27 )
+ Yρ = 0
B. Związki geometryczne
εx =
lub
∂ 2ε x
∂y
2
∂u
,
∂x
+
εy =
∂ 2ε y
∂x
2
=
∂v
,
∂y
γ xy =
∂u ∂v
+
∂y ∂x
( 10.28 )
∂ 2 γ xy
( 10.29 )
∂x∂y
C. Związki fizyczne
1
ε x = (σ x − νσ y ),
E
lub
σx =
E
1− ν
1
ε y = (σ y − νσ x ),
E
(ε + νε y ),
2 x
σy =
γ xy =
E
1− ν
2
τ xy
( 10.30 )
G
(ε y + νε x ),
τ xy = Gγ xy
( 10.31 )
Rozwiązanie płaskiego zadania brzegowego teorii sprężystości w naprężeniach
opiera się na warunkach równowagi wewnętrznej ( 10.27 ) oraz warunku nierozdzielności
przemieszczeń ( 10.29 ) wyrażonym w naprężeniach. Aby otrzymać to trzecie równanie,
wprowadzimy zależność ( 10.30 ) do ( 10.29 ) po uwzględnieniu , że G =
2
∂2 ⎡ 1
⎤ ∂
σ x − νσ y ⎥ + 2
2 ⎢E
⎦ ∂x
∂y ⎣
(
)
E
2(1 + ν )
∂ 2 ⎡ 2(1 + ν ) ⎤
⎡1
⎤
⎢⎣ E σ y − νσ x ⎥⎦ = ∂x∂y ⎢⎣ E τ xy ⎥⎦
(
)
Po wykonaniu różniczkowania i uporządkowaniu uzyskuje się:
∂ 2σ x
∂y
2
−ν
∂ 2σ y
∂y
2
+
∂ 2σ y
∂x
2
−ν
∂ 2σ x
∂x
2
= 2(1 + ν )
∂ 2 τ xy
∂x∂y
( 10.32 )
Różniczkujemy pierwsze równanie ( 10.27 ) względem x, a drugie względem y, dodajemy
stronami i wyliczamy, co następuje:
2
∂ 2 τ xy
∂x∂y
=−
∂ 2σ x
∂x
2
−
∂ 2σ y
∂y
2
⎛ ∂X ∂Y ⎞
−⎜
+
⎟ρ
⎝ ∂x ∂y ⎠
( 10.33 )
Po wstawieniu wzoru ( 10.33 ) do ( 10.32 ) i po prostych przekształceniach otrzymujemy
równanie Levy’ego:
⎛ ∂X ∂Y ⎞
∇ 2 (σ x + σ y ) = −(1 + ν ) ⎜
+
⎟ρ
⎝ ∂x ∂y ⎠
( 10.34 )
Dla przypadku płaskiego stanu odkształcenia, po analogicznych operacjach, równanie
Levy’ego ma następującą postać:
∇ 2 (σ x + σ y ) = −
1 ⎛ ∂X ∂Y ⎞
+
⎜
⎟ρ
(1 − ν ) ⎝ ∂x ∂y ⎠
( 10.35 )
Jeśli siły masowe X, Y mają wartości stałe, równanie Levy’ego dla płaskiego stanu
naprężenia i odkształcenia jest identyczne
(
)
∇2 σ x + σ y = 0
( 10.36 )
Upoważnia nas to do zajmowania się wyłącznie przypadkiem płaskiego stanu
naprężenia. Poszukiwane funkcje σ x ( x, y ), σ y ( x, y ), τ xy ( x, y ) muszą
spełniać
równania równowagi wewnętrznej ( 10.27 ), równanie Levy’ego ( 10.36 ) oraz
następujące warunki brzegowe:
qnx = σ x cos( x, n ) + τ yx cos( y, n )
qny = τ xy cos( x, n ) + σ y cos( y, n )
( 10.37 )
Rozwiązanie płaskiego zadania teorii sprężystości można uprościć, wprowadzając funkcję
naprężeń Airy’ego ψ ( x, y ), za pomocą której można wyrazić składowe stanu naprężenia
następująco:
σx =
∂ 2ψ
∂y
2
,
σy =
∂ 2ψ
∂x
2
τ xy
,
∂ 2ψ
=−
+ Xρy − Yρx
∂x∂y
( 10.38 )
Łatwo sprawdzić, że jeśli X i Y mają wartości stałe, funkcje ( 10.38 ) spełniają warunki
równowagi ( 10.27 ). Po wstawieniu zależności ( 10.38 ) do równania Levy’ego ( 10.36 ) i
po prostych przekształceniach uzyskuje się równanie biharmoniczne ze względu na funkcję
naprężeń:
∂ 4ψ
∂x
czyli
gdzie:
4
+2
∂ 4ψ
2
∂x ∂y
2
+
∂ 4ψ
∂y
4
=0
∇ 2∇ 2 ψ = ∇ 4 ψ = 0
2 ⎞⎛ 2
2 ⎞
⎛ ∂2
∂
∂
∂
∇ ∇ = ∇ = ⎜ 2 + 2 ⎟⎜ 2 + 2 ⎟
⎜ ∂x
∂y ⎟⎠⎜⎝ ∂x
∂y ⎟⎠
⎝
2
2
4
( 10.39 )
( 10.40 )
( 10.41 )
Funkcja naprężeń ψ( x, y ) musi być tak dobrana, aby spełniała równanie biharmoniczne,
a składowe stanu naprężenia przez nią wyrażone spełniały warunki brzegowe.
Przykład 10.1 >>>
PRZYKŁAD 10.1
Płaska tarcza o grubości równej 1 jest zamocowana i obciążona w sposób pokazany na rys. 4.
Dane: γ, p – ciężar jednostki objętości materiału tarczy, kąt α.
Poszukujemy rozwiązania w postaci wielomianu trzeciego stopnia
ψ ( x, y ) = ax3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3
( 10.42 )
Funkcja ta może być funkcją naprężeń, ponieważ spełnia równanie biharmoniczne.
Składowe stanu naprężenia wyrażają następująco:
σ x = 2cx + 6dy
σ y = 6ax + 2by
( 10.43 )
τ xy = −2bx − 2cy + px
Stałe a, b, c, d oblicza się z warunków brzegowych.
Rys.10.3
WARUNKI BRZEGOWE >>>
WARUNKI BRZEGOWE:
- na ścianie pionowej
τ xy = 0,
1.
x = 0,
2.
x = 0,
σ x = −q = γy
- na ścianie pochyłej
y
3.
qnx = 0,
= −tgα,
x
y
4.
qny = 0,
= −tgα,
x
σ x cos( xn) + τ xy cos( yn ) = 0
τ xy cos( xn) + σ y cos( yn) = 0
gdzie:
⎛π
⎞
cos( xn ) = cos⎜ − α ⎟ = sin α,
⎝2
⎠
Z warunku 1
− 2cy = 0
c=0
Z warunku 2
1
6dy = γy
d= γ
6
cos( yn ) = cos(α )
dalej >>>
Z warunku 3
1
6 ⋅ γy sin α − (2b − p )x cos α = 0
6
y sin α
γ
= 2b − p
x cos α
− γtg 2α = 2b − p
1
1
b = − γtg 2α + p
2
2
Z warunku 4
(xγtg 2α − px + px)sin α + (6ax − yγtg 2α + py )cos α = 0
γtg 3α + 6a −
y 2
y
γtg α + p = 0
x
x
γtg 3α + 6a + γtg 3α − ptgα = 0
a=
1
1
ptgα − γtg 3α = 0
6
3
Po wstawieniu stałych a, b, c, d do formuł ( 10.43 ) otrzymuje się ostateczne rozwiązanie:
σ x = γy,
(
)
(
)
σ y = x p − 2 γtg 2α tgα + p − γtg 2α y = 0,
( 10.44 )
τ xy = γtg 2 αx
Po wstawieniu y = - h = const otrzymujemy:
σ x = − γy - wartość stała
(
)
(
)
σ y = x p − 2 γtg 2α tgα − p − γtg 2α h = 0 - funkcja liniowa x
τ xy = xγtg 2α - funkcja liniowa x
( 10.45 )
Opierając się na formułach ( 10.45 ), można sporządzić wykresy składowych stanu
naprężenia dla h = const ( rys. 10.4 )
Formuły ( 10.44 ) są błędne w pobliżu
miejsca utwierdzenia, ponieważ nie są tam
spełnione warunki brzegowe.
Rys. 10.4
ROZWIĄZANIE PŁASKIEGO
OSIOWOSYMETRYCZNEGO ZADANIA BRZEGOWEGO
TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W PRZEMIESZCZENIACH.
Pierścień o promieniu wewnętrznym a i zewnętrznym b oraz grubości 1 wykonany jest z
materiału o znanych stałych sprężystych ν, E oraz gęstości ρ. Na powierzchni wewnętrznej i
zewnętrznej pierścienia, który wiruje ze stałą prędkością kątową ω, działa promieniowe
obciążenie powierzchniowe pa i pb ( rys. 10.5 )
Tak sformułowane płaskie osiowosymetryczne,
dynamiczne zadanie brzegowe teorii sprężystości
wygodniej będzie rozwiązywać w biegunowym
układzie
współrzędnych.
Wymaga
to
wyprowadzenia odpowiednich podstawowych
równań teorii sprężystości.
Rys. 10.5
Wytniemy z rozważanego krążka segment ograniczony dwiema powierzchniami walcowymi o
promieniu r i r + dr oraz dwoma płaszczyznami przechodzącymi przez oś obrotu, które tworzą
kąt dwuścienny dϕ ( rys. 10.6 )
Rys. 10.6
Ze względu na symetrię, w dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez oś obrotu naprężenie
styczne musi być równe zeru, a wiec jest to płaszczyzna główna stanu naprężenia. Występuje
w niej naprężenie σt zwane obwodowym. Na powierzchniach walcowych występują zatem
również tylko naprężenia normalne, zwane promieniowymi, równe odpowiednio σr oraz
σr + dσr. Obydwa naprężenia główne σt i σr zależą wyłącznie od promienia r.
Zgodnie z zasadą d’ Alemberta, przyłożymy do segmentu siłę bezwładności równą
iloczynowi masy rdϕdrρ i przyspieszenia dośrodkowego ω2r, zwróconą od środka na
zewnątrz. Segment obciążony siłami powierzchniowymi oraz siłą bezwładności pozostaje w
równowadze, a więc suma rzutów tych sił na symetryczny kierunek promieniowy musi być
równa zeru:
dϕ
ω2 r 2ρdrdϕ + (σ r + dσ r )(r + dr ) dϕ − σ r rdϕ − 2σt dr sin
=0
2
dϕ dϕ
≈
Po uwzględnieniu, że sin
oraz odrzuceniu małych wyższego rzędu otrzymujemy
2
2
równanie równowagi wewnętrznej A:
dσ r
( 10.46 )
r − σt = −ρω2 r 2
dr
Ze względu na osiową symetrię dowolny punkt tarczy dozna przemieszczenia u w kierunku
promieniowym. Ponieważ u jest funkcją r, wiec dwa punkty odległe od siebie o dr
przemieszczą się odpowiednio o u i u + du. Wynikają z tego następujące związki
geometryczne B:
du
2π(r + u ) − 2πr u
ε r = , εt =
=
( 10.47 )
dr
2πr
r
σr +
Odkształcenie promieniowe εr i obwodowe εt zależy tylko od r. Są to odkształcenia główne.
Po wyrugowaniu przemieszczenia u z zależności ( 10.47 ) otrzymamy warunek
nierozdzielności odkształceń:
dε
dε
du
( 10.48 )
u = εt r ,
ε r = εt + t rt
= εt + t r ,
dr
dr
dr
Związki fizyczne C będą miały następującą postać:
εr =
1
[σ r − νσt ]
E
εt =
1
[σt − νσ r ]
E
lub
σr =
σt =
E
1− ν
E
2
[ε r + νε t ]
1− ν
2
[εt + νε r ]
( 10.49 )
( 10.50 )
Poszukujemy zatem pięciu funkcji σr( r ), σt( r ), εr( r ), εt( r ) i u( r ), które spełniają równania
A, B, C oraz warunki brzegowe.
Rozwiązanie płaskiego osiowosymetrycznego, dynamicznego zadania teorii sprężystości w
przemieszczeniach będzie polegało na znalezieniu w pierwszej kolejności u( r ).
Wstawiamy związki geometryczne ( 10.47 ) do prawa Hooke’a ( 10.50 )
σr =
u⎤
⎡ du
+
ν
r ⎥⎦
1 − ν 2 ⎣⎢ dr
σt =
du ⎤
⎡u
+
ν
dr ⎥⎦
1 − ν 2 ⎣⎢ r
E
( 10.51 )
E
Składowe stanu naprężenia wyrażone przez przemieszczenie zależnością ( 10.51 )
wprowadzamy do równania równowagi lokalnej ( 10.46 )
u⎤
E
d ⎡ du
u⎤
E
⎡ du
+
ν
+
ν
r
−
+
r ⎥⎦ 1 − ν 2 dr ⎣⎢ dr
r ⎥⎦ 1 − ν 2
1 − ν 2 ⎢⎣ dr
E
du ⎤
⎡u
2 2
+
ν
=
−
ρω
r
⎢⎣ r
⎥
dr ⎦
1 − ν2
Po obustronnym pomnożeniu przez
i wykonaniu różniczkowania otrzymamy:
E
du
u d 2u
1 − ν2
du
u u
du
+ν + 2 r+ν
−ν − −ν
=−
ρω2 r 2
dr
r dr
dr
r r
dr
E
Po uproszczeniu i obustronnym podzieleniu przez r równanie równowagi lokalnej względem
przemieszczenia u( r ) będzie miało postać:
d 2u
1 du u
1 − ν2 2
+
− 2 =−
ρω r
2
r
dr
E
dr
r
( 10.52 )
Lewa strona równania ( 10.52 ) może być zapisana jeszcze krócej
1 − ν2 2
d ⎡1 d
⎤
(ur )⎥ = −
ρω r
dr ⎣⎢ r dr
E
⎦
( 10.53 )
Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymamy:
1 − ν2 2 r3
C
ρω
+ C1r + 2
u=−
E
8
r
( 10.54 )
Stałe C1 i C2 należy wyliczyć z warunków brzegowych. Znajomość u( r ) umożliwia
wyznaczenie na podstawie zależności ( 10.51 ) składowych stanu naprężenia:
naprężenia promieniowego - σr( r ) i naprężenia obwodowego - σt( r )
naprężenie promieniowe
naprężenie obwodowe
1 ⎤ ρω2
⎡
2
(
)
(
)
(
)
+
ν
+
−
ν
σr =
−
3
+
ν
C
1
C
1
r
1
2
8
1 − ν 2 ⎣⎢
r 2 ⎥⎦
E
1 ⎤ ρω2
⎡
2
(
)
(
)
(
)
+
ν
+
−
ν
σt =
C
1
C
1
−
1
+
3
ν
r
1
2
8
1 − ν 2 ⎢⎣
r 2 ⎥⎦
E
( 10.55 )
W przypadku rury grubościennej ( rys. 10.7 ) ω = 0, a
warunki brzegowe można sformułować następująco:
dla r = a, σr = -pa; dla r = b, σr = -pb, czyli
1⎤
⎡
(
)
(
)
+
ν
+
−
ν
C
C
= − pa
1
1
2
2⎢ 1
2⎥
a ⎦
1− ν ⎣
E
1⎤
⎡
(
)
(
)
+
ν
+
−
ν
C
C
= − pb
1
1
2
2⎢ 1
2⎥
b ⎦
1− ν ⎣
E
Rys.10.7
Wyliczone z tych równań stałe wynoszą:
1 − ν pa a 2 − pbb 2
C1 =
E
b2 − a 2
1 + ν a 2b 2
( pa − pb )
C2 =
E b2 − a 2
Po wstawieniu stałych C1 i C2 do zależności ( 10.55 ) oraz
( 10.54 ) otrzymujemy wzory na naprężenia i przemieszczenia w rurze:
NAPRĘŻENIA I PRZEMIESZCZENIA W RURZE GRUBOŚCIENNEJ
σtr =
pa a 2 − pbb 2
b2 − a 2
m
a 2b 2 pa − pb
r 2 b2 − a 2
1 − ν pa a 2 − pbb 2
1 + ν a 2b 2 pa − pb
u=
r+
2
2
E
E
r b2 − a 2
b −a
Warto zauważyć, że
więc ε x = −
σ r + σt = 2
pa a 2 − pbb 2
2
b −a
2
( 10.56 )
( 10.57 )
nie zależy od r, a
ν
(σ r + σt ) jest wartością stałą. Innymi słowy, grubość
E
rozważanego krążka zmienia się we wszystkich jego miejscach jednakowo i
dlatego rurę grubościenną można traktować jako zbiór płaskich tarcz.
Przykład 10.2. >>>
PRZYKŁAD 10.2
Zbiornik wysokociśnieniowy stanowi długa rura grubościenna
( rys. 10.8 ) o wymiarach a = 2 cm, b = 3 cm, l =100 cm.
1.
Wyznaczyć nadciśnienie p panujące wewnątrz zbiornika,
jeśli wiadomo, że wywołuje ono na zewnątrz powierzchni
cylindra odkształcenie względne w kierunku tworzącej
εx =10-4. Moduł sprężystości E = 2 ⋅ 105 MPa, a
współczynnik Poissona ν = 0,3.
2.
Narysować wykresy σr, σt, σx.
3.
Obliczyć wg hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych
maksymalne naprężenie redukowane w ścianach zbiornika.
Rozwiązanie >>>
Naprężenia i przemieszczenie w krążkach wirujących >>>
Rys.10.8
Stan naprężenia w rurze grubościennej z dnem jest określony
następującymi wzorami:
a 2 p ⎛⎜ b 2 ⎞⎟
1− 2
σr = 2
2⎜
b − a ⎝ r ⎟⎠
( 10.58 )
a 2 p ⎜⎛ b 2 ⎞⎟
1+ 2
σt = 2
2⎜
b − a ⎝ r ⎟⎠
( 10.59 )
σx =
a2
2
b −a
2
p
( 10.60 )
To ostatnie wyrażenie otrzymuje się z warunku, że suma rzutów na oś x sił działających na
część zbiornika, odciętą dowolną płaszczyzną prostopadłą do tej osi, musi być równa zeru.
εx =
1
[σ x − νσt ]
E
naprężenie normalne w przekroju
prostopadłym do osi x.
<<< powrót
dalej >>>
σ x (r = b ) =
Eε x =
a2
2
b −a
2
σ t (r = b ) =
p,
2a 2 p
b2 − a2
a 2 p − 2 a 2νp
b2 − a 2
(
)
Eε x b 2 − a 2 = a 2 p (1 − 2ν )
p=
(
Eε x b 2 − a 2
a 2 (1 − 2ν )
σ r (r = a ) =
σ t (r = a ) =
σx =
pa 2
b2 − a2
pa 2
b2 − a2
a2
2
) = 62,5 MPa
b −a
2
(a 2 − b 2 ) = - p = - 62,5 MPa
a2
(b 2 + a 2 ) = p(b 2 + a 2 ) = 162,5 MPa
a2
p = 50 MPa
σ red = σt − σ r = 225 MPa
<<< powrót
nadciśnienie panujące wew. zbiornika
b2 − a2
max. naprężenie redukowane
w ścianach zbiornika
Wykresy naprężeń>>>
<<< powrót
W przypadku krążka wirującego bez otworu
( rys 10.9 ) a = 0, pa = 0, pb = 0, a warunki
brzegowe sformułować można następująco: dla r =
0 u = 0, dla r = b σr = 0. Pierwszy warunek
brzegowy może być spełniony tylko wówczas, gdy
C2 = 0, w przeciwnym bowiem razie ostatni człon
wyrażenia
( 10.54 )
będzie równy
nieskończoności dla r = 0. Po wyliczeniu C1 i
wstawieniu stałych do wzorów ( 10.55 ) i ( 10.54 )
otrzymujemy :
Rys. 10.9
naprężenia i przemieszczenia
w krążkach wirujących
<<< powrót
(
ρω2
(3 + ν ) b 2 − r 2
σr =
8
)
( 10.61 )
ρω2
(3 + ν )⎛⎜ b 2 − 1 + 3ν r 2 ⎞⎟
σt =
8
3+ ν ⎠
⎝
( 10.62 )
1 − ν 2 ρω2 r ⎛ 3 + ν 2 2 ⎞
u=
b −r ⎟
⎜
8 ⎝ 1+ ν
E
⎠
( 10.63 )
dalej >>>
Jeśli krążek ma otwór ( rys .10.10 ), warunki
brzegowe sa następujące: dla r = a σr = 0 i dla
r = b
σr = 0. Wzory na naprężenia i
przemieszczenia przybierają wtedy formę:
2 2
⎛ 2
ρω2
a
b
2
2 ⎞⎟
⎜
(3 + ν )⎜ b + a − 2 − r ⎟
σr =
8
r
⎝
⎠
( 10.64 )
2 2
⎛ 2
a
b 1 + 3ν 2 ⎞⎟
ρω2
2
⎜
(3 + ν )⎜ b + a + 2 −
σt =
r
⎟
+
ν
8
3
r
⎝
⎠
( 10.65 )
Rys.10.10
(
)
ρω2 (3 + ν ) ⎡ 1 − ν 2 r 3
a 2b 2 ⎤
2
2
+ (1 − ν ) b + a r + (1 + ν )
u=
⎥
⎢−
8E
3
+
ν
r ⎥⎦
⎢⎣
<<< powrót
(
)
( 10.66 )
Przykład 10.3 >>>
PRZYKŁAD 10.3
Na stalowy wał jest nasadzony krążek o stałej grubości. Różnica promieni wału i
otworu δ = 0,005 mm ( rys. 10.11 ). Obliczyć liczbę obrotów na minutę, przy której
wzajemny nacisk wałka i krążka na powierzchni styku zmaleje do zera. Dane :
E = 2 ⋅105 MPa, ν = 0,28, a = 5 cm, b = 40 cm, ρ = 800 kg/m3.
Rys. 10.11
Wzajemny nacisk na powierzchni styku zmaleje do zera, jeśli różnica przemieszczeń
punktów leżących na powierzchni otworu i na powierzchni wałka osiągnie wartość:
(uk )r = a − (u w )r = a = δ
( 10.67 )
Wał traktujemy jako krążek bez otworu.
Dla wirującego nieobciążonego krążka o średnicy 2b z otworem o średnicy 2a, przy r = a,
otrzymamy:
(
3 + ν ) ω2ρ ⎡
a 2b 2 1 − ν 2 3 ⎤
2
2
( 10.68 )
uk =
a ⎥
−
⎢(1 − ν ) a + b a + (1 + ν )
8E
a
3+ν ⎦
⎣
Dla wirującego nieobciążonego krążka o średnicy 2a ( w formule ( 10.63 ) oznaczone
2b ) bez otworu i r = a
(
)
(
1 − ν 2 ) aω 2 ρ ⎛ 3 + ν 2
⎞
uw =
a − a2 ⎟
⎜
( 10.69 )
⎝1+ ν
⎠
Po wstawieniu zależności ( 10.68 ) i ( 10.69 ) do ( 10.67 ) otrzymuje się równanie, z
którego można wyliczyć ω
(3 + ν ) ω2ρ ⎡(1 − ν ) a 2 + b 2 a + (1 + ν ) a 2b 2 − 1 − ν 2 a3 ⎤ − 1 − ν 2 ω2ρ a⎛ 3 + ν a 2 − a 2 ⎞ = δ
⎟
⎜
⎢
⎥
8E
a
3
8
E
1
+
ν
+
ν
⎠
⎝
⎣
⎦
8E
(
(
)
czyli
stąd
(3 + ν )ω2 ab 2ρ = δ
4E
ω=
n=
)
Eδ
2
= 437 s -1
b ρ(3 + ν ) a
30ω
obr
= 4171
π
min
NAPRĘŻENIA KONTAKTOWE
Teorię naprężeń stykowych, czyli kontaktowych
opracował Hertz. Jest to zagadnienie geometrycznie nieliniowe. Na
rysunku 10.12 pokazano dwa stykające się ciała. Mają one wspólną
normalną, wspólną płaszczyznę styczną w punkcie styku i są
wzajemnie dociskane siłami P. Dla ciała 1 min i max promień
krzywizny wynosi r1 i r1’, a stałe sprężyste E1 i ν1. Dla ciała 2
odpowiednie wielkości wynoszą r2 i r2’, a stałe sprężyste E2 i ν2.
Kąt między płaszczyznami największych krzywizn ( czyli
minimalnych promieni krzywizn, r1 i r2 ) jest równy ϕ.
Przyjmuje się następujące założenia:
1. Stykające się ciała są jednorodne, izotropowe i
liniowosprężyste
2. Powierzchnie zewnętrzne ciał w otoczeniu punktu styku są
gładkie o regularnej krzywiźnie.
Rys. 10.12
3.
Odkształcenia ciał są niewielkie.
4.
Powierzchnia styku w stosunku do powierzchni ciał jest mała.
5.
Na powierzchni styku nie ma naprężeń stycznych, a jedynie
normalne.
Po odkształceniu ciał spowodowanym ich wzajemnym dociśnięciem powstaje obszar
styku w postaci elipsy o osiach a i b ( a > b ), które można obliczyć ze wzorów
gdzie:
a = α3 P
m
n
b = β3 P
m
n
m=
( 10.70 )
4
1 1 1 1
+ '+ + '
r1 r1 r2 r2
n=
,
8
E1E2
3 E2 (1 − ν12 ) + E1 (1 − ν 22 )
przy czym α i β - współczynniki zależne od B/A, przy:
2
A= ,
m
1
B=
2
podane w tablicy >>>
2
2
⎛1 1⎞ ⎛ 1 1⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + 2⎜ 1 − 1 ⎟⎜ 1 − 1 ⎟ cos 2ϕ
⎜ r r' ⎟ ⎜ r r' ⎟
⎜ r r ' ⎟⎜ r r ' ⎟
⎝ 1 1⎠ ⎝ 2 2⎠
⎝ 1 1 ⎠⎝ 2 2 ⎠
Tablica. Wartości α, β, B/A
B/A
α
β
B/A
α
β
0,0000
0,0466
0,1075
0,1974
0,2545
1,000
1,032
1,076
1,148
1,198
1,0000
0,9696
0,9318
0,8791
0,8472
0,8270
0,8310
0,8350
0,8389
0,8428
2,443
2,469
2,494
2,521
2,548
0,5247
0,5217
0,5186
0,5155
0,5124
0,3204
0,3954
0,4795
0,5342
0,5819
1,262
1,345
1,456
1,540
1,607
0,8114
0,7717
0,7218
0,6992
0,6791
0,8468
0,8507
0,8545
0,8584
0,8623
2,576
2,605
2,635
2,666
2,698
0,5093
0,5061
0,5029
0,4996
0,4963
0,6113
0,6521
0,6716
0,6920
0,7126
1,684
1,775
1,826
1,882
1,943
0,6580
0,6359
0,6245
0,6127
0,6006
0,8661
0,8699
0,8737
0,8774
0,8811
2,731
2,765
2,800
2,837
2,874
0,4930
0,4897
0,4863
0,4828
0,4794
cd.>>>
B/A
α
β
B/A
α
β
0,7332
0,7538
0,7579
0,7620
0,7661
2,011
2,087
2,103
2,119
2,136
0,5881
0,5752
0,5726
0,5699
0,5672
0,8849
0,8885
0,8922
0,8958
0,8994
2,914
2,954
2,996
3,040
3,085
0,4759
0,4723
0,4687
0,4650
0,4613
0,7702
0,7743
0,7784
0,7825
0,7866
2,153
2,171
2,189
2,207
2,226
0,5646
0,5618
0,5591
0,5564
0,5536
0,9030
0,9065
0,9100
0,9134
0,9269
3,132
3,181
3,233
3,286
3,526
0,4576
0,438
0,4499
0,4460
0,4297
0,7907
0,7948
0,7988
0,8029
0,8069
2,245
2,265
2,286
2,306
2,328
0,5508
0,5480
0,5452
0,5423
0,5395
0,9428
0,9458
0,9488
0,9517
0,9574
3,899
3,986
4,079
4,178
4,395
0,4076
0,4029
0,3981
0,3932
0,3830
0,8110
0,8150
0,8190
0,8230
2,350
2,372
2,395
2,419
0,5366
0,5336
0,5307
0,5277
0,9705
0,9818
0,9909
0,9937
5,091
6,159
8,062
12,789
0,3551
0,3223
0,2814
0,2232
Rozkład nacisków powierzchniowych na obszarze styku jest elipsoidą ( rys. 10.13 ) o
następującym równaniu:
2
3P
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
p ( x, y ) =
1− ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
2πab
⎝a⎠ ⎝b⎠
2
( 10.71 )
Rys. 10.13
Wartość pmax największego ciśnienia na powierzchni styku dla x = 0 i y = 0 wynosi:
pmax =
3P
2πab
( 10.72 )
Jeśli elementy dociskane są walcami o osiach równoległych, obszar styku jest
prostokątem o szerokości 2b, przy czym:
b=
4 k r1 r2 '
P
π (r1 + r2 )
1 − ν12 1 − ν 22
k=
+
E1
E2
( 10.73 )
Siła docisku na jednostkę
długości wspólnej tworzącej
Rozkład nacisków na obszarze styku jest walcem o przekroju półeliptycznym, a pmax wynosi:
pmax
2P'
=
πb
( 10.74 )
Największe naprężenie redukowane występuje w tak zwanym punkcie
Bielajewa, którego położenie na osi symetrii określa współrzędna zB. Według hipotezy
maksymalnych naprężeń stycznych przy ν = 0,3 dla kołowego obszaru styku ( ściskania
kul ) zB/b = 0,481 i σred/pmax = 0,620,natomiast dla prostokątnego obszaru styku (ściskania
walców ) zB/b = 0,780 i σred/pmax = 0,608 . Według hipotezy energii odkształcenia
postaciowego wielkości te zmieniaja się odpowiednio w przedziale od zB/b = 0,481 i
σred/pmax = 0,620 do zB/b = 0,697 i σred/pmax = 0,567. Wartości naprężenia redukowanego
w punkcie Bielajewa przekraczają często Re, a nawet Rm. Materiał wytrzymuje to,
ponieważ panuje tam stan naprężenia bliski przestrzennemu równomiernemu ściskaniu
( dla takiego stanu naprężenia obydwie hipotezy tracą sens ).
Kryterium nacisku powierzchniowego można sformułować następująco:
pmax ≤ kdH
( 10.75 )
Wartości jednostkowe nacisku dopuszczalnego kdH są znaczne, np. dla stali StOS wynoszą
440 MPa, a dla stali 18G2 nawet 880 MPa, ponieważ stany naprężenia w obszarze styku są
bliskie równomiernemu przestrzennemu ściskaniu.
LITERATURA
Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia
komputerowego. WNT, Warszawa 2000