Automatyka i robotyka 0.5cm Wykład 8

Automatyka i robotyka
Wykład 8 - Regulator PID
Wojciech Paszke
Instytut Sterowania i Systemów
Informatycznych,
Uniwersytet Zielonogórski
1 z 29
Plan wykładu
regulator PID
2 z 29
Kompensator wyprzedzająco-opóźniający
Transmitancja kompensatora (α > 1, T1 > T2 )
K (s) =
3 z 29
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
(1 + αT1 s)(1 + α−1 T2 s)
Kompensator wyprzedzająco-opóźniający
T1 = 10, T2 = 1 , α = 5
Bode Diagram
Magnitude (dB)
0
−5
−10
−15
60
Phase (deg)
30
0
−30
−60
−3
10
4 z 29
−2
10
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Kompensator wyprzedzająco-opóźniający
Własności
• maksymalne opóźnienie
φ = tg−1
1−α
√
2 α
= tg−1
• maksymalne wyprzedzenie
φ = − tg
−1
1−α
√
2 α
= − tg
−4
4.4721
−1
= −41.8103[deg ]
−4
4.4721
= 41.8103[deg ]
• wzmocnienie
−20 log(α) = −13.9794[dB]
5 z 29
Regulator PID
Transmitancja regulatora
K (s) = Kp +
lub
K (s) = K 1 +
Ki
+ Kd s
s
1
+ Td s
Ti s
lub
1
K (s) = K 1 +
τi s
6 z 29
1 + τd s
1 + τγd s
!
Regulator PID
Transmitancja regulatora
Ki
+ Kd s
s
K
Ki KKdi s 2 + Kpi s + 1
K (s) =Kp +
=
s
Ki (τ s + 1)
=
s
7 z 29
τ
αs
+1
Regulator PID
Ki = 2, , α = 10
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
40
30
20
10
0
90
Phase (deg)
45
0
−45
−90
−2
10
8 z 29
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
regulator PID
regulator PID jako połączenie PI i PD
bp +
CPI (s) = K
bi
K
, regulator PI
s
CPD (s) = K p + K d s regulator PD
CPID (s) =CPI (s)CPD (s) =
b
b p + Ki
K
s
!
bi K
b
= Kp Kp + K
d + Kp K d +
=Kp +
9 z 29
Ki
+ Kd s
s
K p +K d s
bi K p
K
s
regulator PID
Równoległy PID
K (s) = K 1 +
1
+ τd s
τi s
Jeżeli τi > 4τd to
K (s) = K (α + τd s) 1 +
1
ατi s
= KPD (s)KPI (s)
gdzie
1±
α=
10 z 29
q
1 − 4 ττdi
2
>0
Wpływ części całkującej
Dla Ti 6= 0 i Td = 0 otrzymujemy
• wzmocnienie ∀ω
s
1
1 +
= 1+ 1 >1
jωTi ω 2 Ti2
• przesunięcie fazowe ∀ω
1
∠ 1+
jωTi
= tg
−1
−1
ωTi
<0
Oznacza to, iż
• zmniejszamy PM i GM, czyli zwiększamy oscylacje
11 z 29
Wpływ części różniczkującej
Dla Td 6= 0 i Ti = 0 otrzymujemy
• wzmocnienie ∀ω
|1 + jωTd | =
q
1 + ω 2 Td2 > 1
• przesunięcie fazowe ∀ω
∠ (1 + jωTd ) = tg
−1
ωTd
1
π
∈ [0, ] > 0
2
Oznacza to, iż
• zwiększamy PM, czyli zmniejszamy oscylacje
12 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
• L - opóźnienie odpowiedzi
• R- nachylenie odpowiedzi układu (największe możliwe nachylenie)
13 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Metoda Metoda Ziegler’a-Nichols’a
• regulator P:
K=
1
RL
• regulator PI:
K = 0.9
RL
Ti = 3.3L
• regulator PID
K = 1.2
RL
Ti = 2L
Td = 0.5L
14 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Metoda Ziegler’a-Nichols’a 2
Algorytm (układ zamknięty)
• Ustaw Ki = Kd = 0
• Zwiększaj Kp aż do wystąpinia niegasnących oscylacji na wyjściu
• Zanotuj Kc i ωc czyli wzmocnienie przy którym wystąpiły oscylacje
niegasnące i ich pulsację
• Wyznacz parametry regulatora ze wzorów
Kp = 0.6Kc , Kd =
15 z 29
Kp π
Kp ωc
, Ki =
4ωc
π
Dobór parametrów regulatora PID
Metoda Zigler-Nichols’a
• regulator P:
K = 0.5Kc
• regulator PI:
K = 0.45Kc
Ti = 0.833T
• regulator PID
K = 0.6Kc
Ti = 0.5T
Td = 0.125T
gdzie T - okres drgań niegasnących
16 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Przykład
Transmitancja obiektu
G (s) =
6
6
= 3
2
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
s + 6s + 11s + 6
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego
D(s) = s 3 + 6s 2 + 11s + 6(K + 1)
Z kryterium Routh’a otrzymujemy Kc = 10 i ωc = 3.317 czyli
T = 2π
ωc = 1.895
17 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Przykład
• regulator P:
K =5
• regulator PI:
K = 4.5
Ti = 1.57
• regulator PID
K =6
Ti = 0.947
Td = 0.237
18 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Przykład
Step Response
1.8
regulator P
regulator PI
regulator PID
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
19 z 29
0
5
10
15
Time (sec)
20
25
30
Dobór parametrów regulatora PID
Metoda Ziegler-Nichols’a 2 - przykład
Dany jest obiekt
G (s) =
s(s 2
400
+ 30s + 200)
a jego charakterystyka to
• bieguny układu zamkniętego = {−4.2 ± 0.93j, −21.59}
• ωgc = 1.95 [rad/sec]
• GM=23 [dB]
• PM=73 [deg]
• POS=0
20 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Wykres linii pierwiastkowych
Root Locus
15
Imaginary Axis
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−15
Kc = 14, ωc = 14[rad/sec]
21 z 29
−10
Real Axis
−5
0
Dobór parametrów regulatora PID
Odpowiedź skokowa
Step Response
1.6
bez regulatora
z regulatorem PID
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
Wynik obliczeń: Kp = 9, Kd = 0.5, Ki = 40
22 z 29
2
2.5
Dobór parametrów regulatora PID
Charakterystyka częstotliwościowa
Bode Diagram
100
bez regulatora
z regulatorem PID
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
Phase (deg)
−150
−90
−135
−180
−225
−270
−1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Wynik regulacji: POS=60%, Ts = 1.2[sec], ωgc = 11[rad/sec],
PM=25[deg], ess ' 0
23 z 29
Dobór parametrów regulatora PID
Metoda analityczna
Fakt: metoda Ziegler-Nichols’a nie pozwala na osiągniecie
zadanych wymagań jakościowych.
• Transmitancja układu otwartego
Ki
Go (s) = Kp + Kd s +
s
G (s)
• Jeśli G (s) jest typu n to typ Go (s) jest n + 1
• Ki może być znalezione z wymagań na błąd w stanie ustalonym,
ponieważ
Kn+1 = s n Ki G (s)|s=0 =
gdzie Kn+1 jest stałą uchybu
24 z 29
1
ess
Dobór parametrów regulatora PID
Metoda analityczna
• Fakty (układ zamknięty vs. układ otwarty)
ωn ' ωgc
ζ = f (PM)
• dla znanego Ki (|G (jωgc )| = 1 i θ(ωgc ) = −180o + PM)
!
Kp + jωgc Kd +
Ki
jωgc
G (jωgc ) = 1e jθ(ωgc )
czyli
Kp + jωgc Kd =
1e jθ(ωgc )
Ki
+j
= R + jX
G (jωgc )
ωgc
• Ostatecznie Kp = R i Kd = ωX
gc
25 z 29
Metoda analityczna-przykład
Dany jest obiekt
G (s) =
s(s 2
400
+ 30s + 200)
a wymagania jakościowe regulacji to
• przeregulowanie POS= 10%
• czas regulacji Ts = 2[sec]
• essramp ¬ 10% - błąd w stanie ustalonym dla sygnału liniowo
narastającego
26 z 29
Metoda analityczna-przykład
• G (s) jest typu 1 a więc liczymy stałą uchybu K2
K2 = sKi G (s)|s=0 = 2Ki =
1
= 10 → Ki = 5
0.1
• dla zadanych POS i Ts możemy wyznaczyć dla układu zamkniętego
ζ =p
− ln(POS/100)
4.6
' 4[rad/sec]
' 0.6ωn '
2
2
ζT
(π + ln (POS/100))
s
• dlatego ωgc = 4[rad/sec] oraz
2ζ
PM = tg−1 q
' 60[deg ]
p
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
27 z 29
Metoda analityczna-przykład
Rozwiązanie: Ki = 5, Kp = 2.02, Kd = 0.52
Bode Diagram
100
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
−150
−45
bez regulatora
z regulatorem PID
Phase (deg)
−90
−135
−180
−225
−270
−1
10
28 z 29
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Metoda analityczna-przykład
Step Response
1.4
bez regulatora
z regulatorem PID
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
29 z 29
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6