układ piekarni

BADANIA OPERACYJNE
Zagadnienie transportowe
dr Adam Sojda
[email protected]
http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx
Pokój A405
Zagadnienie transportowe
Założenia:
Pewien jednorodny towar należy dostarczyć od m dostawców { D1,..,Dm} do
n odbiorców {O1,…,On}. Znane są koszty jednostkowe cij transportu od i-tego
dostawcy do j-tego odbiorcy. Znany jest również popyt aj u j-tego odbiorcy
jak i podaż bi u i-tego dostawcy.
Własności zadania transportowego:
n zadanie nie jest sprzeczne
n funkcja celu jest ograniczona
n jeśli wszystkie wielkości popytu i podaży są liczbami całkowitymi, to
rozwiązanie optymalne jest również całkowite.
Metody rozwiązywania zadania transportowego można podzielić na dwie
fazy:
n wyznaczenie wstępnego planu przewozowego – metoda kąta północnozachodniego, metoda minimalnego elementu, metoda VAM
n poprawienie otrzymanego rozwiązania – metoda potencjałów
dr Adam SOJDA
2
Zagadnienie transportowe
Zagadnienie nazywamy zbilansowanym, jeśli łączna podaż
wszystkich dostawców jest równa łącznemu zapotrzebowaniu
wszystkich odbiorców.
Każde zadanie można zbilansować poprzez wprowadzenie
fikcyjnego dostawcy bądź odbiorcy – w zależności od potrzeb. Koszty
na nowych trasach przyjmuje się równe zero.
Rozwiązując zadanie transportowe posługujemy się zmiennymi
bazowymi, każde rozwiązanie bazowe składa się z n + m – 1 tras.
Poprzez linię rozumieć będziemy wiersz albo kolumnę.
dr Adam SOJDA
3
Zagadnienie transportowe
Zadanie 1.
Firma zajmująca się transportem dostała zamówienie na przewóz mąki z
młynów do piekarń. Tabela podaje wielkości zmagazynowanej w młynach
mąki, zamówienia z poszczególnych piekarni jak i również koszty
jednostkowe transportu. Firma zgodziła się przewieźć towar za 500 zł.
Określić ile firma może zarobić na tym zamówieniu. Wyznaczyć trasy
przewozu towaru.
Koszty jednostkowe transportu [zł/t]
Piekarnie
Młyny
Zapas [t]
P1
P2
P3
M1
9
4
6
15
M2
8
7
1
25
M3
2
3
5
35
Popyt [t]
20
30
25
dr Adam SOJDA
4
Zagadnienie transportowe – program liniowy zadania zbilansowanego
Oznaczenia:
xij – ilość towaru dostarczonego z i-tego młyna do j-tej piekarni
Cel: minimalizacja kosztów:
9x11 + 4 x12 + 6x13 + 8x21 + 7x22 + 1x23 + 2x31 + 3x32 + 5x33 à min
Ograniczenia:
Zapas:
x11 + x12 + x13 = 15
x21 + x22 + x23 = 25
x31 + x32 + x33 = 35
Zamówienie:
x11 + x21 + x31 = 20
x12 + x22 + x32 = 30
x13 + x23 + x33 = 25
xij ≥ 0
dr Adam SOJDA
5
Zagadnienie transportowe – metoda kąta północno - zachodniego
Dla danego zadania zbilansowanego wyznaczamy przewóz na trasie
wysuniętej najdalej na północny –zachód. Wielkość przewozu na tej trasie
jest mniejszą z dwóch liczb: zaktualizowanej wielkości popytu oraz podaży.
Po wyznaczeniu przewozu należy dokonać aktualizacji wielkości popytu i
podaży. Co najmniej jedna z tych wielkości będzie równa 0. Linię, którą
wskazuje 0 uzupełniamy 0, gdyż nie będzie już więcej przewozów na tych
trasach. Jeśli dwie linie wypełniono zerami, to należy kreślić trasę z
przewozem zdegenerowanym, czyli równym 0. Jest nią ta trasa, która leży
najbliżej wyznaczonej oraz koszt przewozu na niej jest najmniejszy.
Znów należy wyznaczyć przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północnyzachód. W ten sposób zostają uzupełnione wielkości przewozu na
wszystkich trasach
dr Adam SOJDA
6
Zagadnienie transportowe – metoda kąta północno - zachodniego
Wyznaczenie trasy przewozów:
Rozwiązanie P1
P2
P3
M1
15
0
0
0
15
M2
5
20
0
20
0
25
M3
0
10
25
35
0
0
20
5
30
0
25
0
Wyznaczenie początkowego kosztu:
9x15+8x5+7x20+3x10+5x25 = 470
dr Adam SOJDA
7
Zagadnienie transportowe – metoda potencjałów
Dla i-tego dostawcy wprowadzamy zmienną ui , dla j-tego odbiorcy zmienną vj . Dla
rozwiązań bazowych, czyli tras, na których ustalono przewóz wyznaczany układ
n + m – 1 równań o postaci:
ui + vj + cij = 0
Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczamy jedno z nich. Na
podstawie tego rozwiązania wyliczamy wskaźniki optymalności:
eij = ui + vj + cij
Warunek optymalności: jeśli wszystkie współczynniki eij są nieujemne otrzymane
rozwiązanie jest optymalne. Jeśli liczba wskaźników równych 0 jest większa niż
n + m -1, wówczas istnieje rozwiązanie alternatywne.
Warunek następnego kroku: najmniejsza (ujemna) wartość wskaźnika eij
wskazuje na trasę, gdzie należy wprowadzić nowy przewóz. Dokonując przemieszczeń
towaru na poszczególnych trasach (analizujemy tylko nową trasę i trasy bazowe)
możemy stwierdzić, że na pewnych trasach wzrasta przewóz, na pewnych przewóz
maleje. Najmniejsza wielkość przewozu na trasach o przewozach malejących jest
maksymalną o jaką korygowane są wielkości przewozów. Co najmniej jeden z
obecnych przewozów jest równy zero. Jeśli na więcej niż jednej trasie znikł przewóz
należy wprowadzić przewozy bazowe zdegenerowane.
dr Adam SOJDA
8
Zagadnienie transportowe – metoda potencjałów
Wyznaczenie trasy przewozów:
Rozw. I
P1 v1 P2 v2
15
0
0
15
M2 u2
5
20
0
25
M3 u3
0
10
25
35
20
30
25
Rozwiązujemy układ równań:
ui + vj + cij = 0
u1 = – 9
u 2 + v1 + 8 = 0
u2 = – 8
u 2 + v2 + 7 = 0
u 3 + v2 + 3 = 0
u 3 + v3 + 5 = 0
dr Adam SOJDA
P1
P2
P3
M1
9
4
66
-9
M2
8
7
11
-8
M3
2
3
55
-4
P3 v3
M1 u1
u 1 + v1 + 9 = 0
Koszty
v1 = 0
v2 = 1
u3 = – 4
v3 = -1
0
Rozw. II
P1
1
-1
P2
P3
M1
15
0
0
15
M2
5
0
20
25
M3
0
30
5
35
20
30
25
Wyznaczamy wskaźniki eij
eij
P1
P2
P3
M1
0
-4
-4
M2
0
0
-8
M3
-2
0
0
9
Zagadnienie transportowe – metoda potencjałów
Wyznaczenie trasy przewozów:
Rozw. II
P1 v1 P2 v2
15
0
0
15
M2 u2
5
0
20
25
M3 u3
0
30
5
35
20
30
25
Rozwiązujemy układ równań:
ui + vj + cij = 0
u1 = – 9
u 2 + v1 + 8 = 0
u2 = – 8
v1 = 0
u 2 + v3 + 1 = 0
v3 = 7
u 3 + v2 + 3 = 0
v2 = 9
u 3 + v3 + 5 = 0
dr Adam SOJDA
u3 = – 12
P1
P2
P3
M1
9
4
66
-9
M2
8
7
11
-8
M3
2
3
55
-12
0
9
7
P3 v3
M1 u1
u 1 + v1 + 9 = 0
Koszty
Rozw. III
P1
P2
P3
M1
15
0
0
15
M2
0
0
25
25
M3
5
30
0*
35
20
30
25
Wyznaczamy wskaźniki eij
eij
P1
P2
P3
M1
0
4
4
M2
0
8
0
M3
-10
0
0
10
Zagadnienie transportowe – metoda potencjałów
Wyznaczenie trasy przewozów:
Rozw. III
P1 v1 P2 v2
15
0
0
15
M2 u2
0
0
25
25
M3 u3
5
30
0*
35
20
30
25
Rozwiązujemy układ równań:
ui + vj + cij = 0
u1 = -7
u 2 + v3 + 1 = 0
u2 = 4
v1 = -2
u 3 + v2 + 3 = 0
v2 = -3
dr Adam SOJDA
u3 = 0
P2
P3
M1
9
4
66
-7
M2
8
7
11
4
M3
2
3
55
0
-2
-3
-5
Rozw. IV
P1
P2
P3
M1
0
15
0
15
M2
0
0
25
25
M3
20
15
0*
35
20
30
25
Wyznaczamy wskaźniki eij
u 3 + v1 + 2 = 0
u 3 + v3 + 5 = 0
P1
P3 v3
M1 u1
u 1 + v1 + 9 = 0
Koszty
v3 = -5
eij
P1
P2
P3
M1
0
-6
-6
M2
10
8
0
M3
0
0
0
11
Zagadnienie transportowe – metoda potencjałów
Wyznaczenie trasy przewozów:
Rozw. IV
P1 v1 P2 v2
0
15
0
15
M2 u2
0
0
25
25
M3 u3
20
15
0*
35
20
30
25
Rozwiązujemy układ równań:
ui + vj + cij = 0
u1 = -1
u 2 + v3 + 1 = 0
u2 = 4
v1 = -2
u 3 + v2 + 3 = 0
v2 = -3
dr Adam SOJDA
u3 = 0
P2
P3
M1
9
4
66
-1
M2
8
7
11
4
M3
2
3
55
0
-2
-3
-5
Otrzymane rozwiązanie jest
optymalne, istnieje rozwiązanie
alternatywne.
Koszt = 170
Wyznaczamy wskaźniki eij
u 3 + v1 + 2 = 0
u 3 + v3 + 5 = 0
P1
P3 v3
M1 u1
u 1 + v2 + 4 = 0
Koszty
v3 = -5
eij
P1
P2
P3
M1
6
0
0
M2
10
8
0
M3
0
0
0
12
Zagadnienie transportowe – metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Ustalamy przewóz na trasie, gdzie znajduje się najmniejszy koszt. Następnie
wyznaczamy przewozy na linii, gdzie wartości zaktualizowane są równe zero.
Czynność powtarzamy do momentu, gdy przewozy na wszystkich trasach
będą ustalone.
Piekarnie
Młyny
P2
P3
M1
9
4
6
15
M2
8
7
1
25
M3
2
3
5
35
Popyt
20
30
25
P1
Piekarnie
P2
P3
M1
0
15
0
15
0
M2
M3
0
20
0
15
25
0*
0
35
15
0
Popyt
20
0
30
15
0
0
Młyny
dr Adam SOJDA
Zapas
P1
Zapas
13
Zagadnienie transportowe – metoda VAM
Dla każdej linii znajdujemy bezwzględną wartość różnicy pomiędzy dwoma
najmniejszymi kosztami jednostkowymi. Spośród tras leżących w linii
odpowiadającej największej różnicy wybieramy ten, który ma najniższy koszt
jednostkowy.
Piekarnie
Młyny
Piekarnie
P2
Zapas
P1
P2
P3
M1
9
4
6
15
M2
8
7
1
25
M3
2
3
5
35
Popyt
20
30
25
P1
Piekarnie
P2
P3
Zapas
Młyny
M1
2
5
M1
0
15
0
15
0
M2
M3
6
1
M2
M3
0
20
0
15
25
0*
0
15
0
Popyt
0
30
0
0
Młyny
Popyt
P1
6
7
dr Adam SOJDA
1
P3
4
Zapas
14