Przeksztacenie Abela w mat.ub. na ycie

1. Przekształcenie Abela w matematyce ubezpieczeń na Ŝycie
Wyprowadźmy tzw. Przekształcenie Abela ( sumowanie przez części [ang. summation by
parts]), które jest stosowane przy wyprowadzaniu niektórych wzorów w matematyce
ubezpieczeń na Ŝycie. W większości podręczników, w których znajdują się wzory otrzymane
za pomocą Przekształcenia Abela, jest tylko wspomniane, Ŝe wzór został zastosowany. Istotne
jest jego poznanie i zrozumienie, aby dowody wzorów nie były problemowe.
Wzór na sumowanie przez części moŜna otrzymać w następujący sposób:
1=1
n
n
∑ g ( x) f ( x) = ∑ f ( x) g ( x)
n
x =2
n
x =2
n −1
x =1
x =2
x =1
n
∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x) f ( x) = −∑ f ( x + 1) g ( x + 1) + ∑ f ( x + 1) g ( x)
n
x =1
n
n
n
x =1
x =1
∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x) f ( x) + g (1) f (1) = f ( x + 1) g ( x + 1) − ∑ f ( x + 1) g ( x + 1) + ∑ f ( x + 1) g ( x)
x =1
n
∑ g ( x)∆f ( x) =
x =1
x =1
n
f ( x + 1) g ( x + 1) − g (1) f (1) − ∑ ∆g ( x) f ( x + 1)
x =1
Ostatni wiersz traktowany jest jako wzór na sumowanie przez części.
Dojdziemy do tego samego wyniku w inny sposób:
n
n
n
∑ g( x)∆f ( x) = g (1) f (2) − g (1) f (1) + ∑ g( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x) f ( x) =
x =1
x =2
x =2
n −1
n
= g (1) f (2) − g (1) f (1) + ∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x + 1) f ( x + 1) =
x =2
x =1
n
n
x =1
x =1
n
= − g (1)(1) + ∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x + 1) f ( x + 1) + g ( x + 1) f ( x + 1) =
= g ( x + 1) f ( x + 1) − g (1)(1) + ∑ ∆g ( x) f ( x + 1) .
x =1
(i) Przykładowe zastosowanie Przekształcenia Abela w wyprowadzaniu wzorów.
Udowodnimy wzór na jednorazową składkę netto renty na całe Ŝycie. Mamy :
••
∞
a x = ∑ v k ⋅k p x
.
k =0
Dowód:
Wartość aktualna ciągu wypłat w rencie na całe Ŝycie z góry wynosi:
••
Y = 1 + v + v 2 + ... + v k = a k +1 .
••
Stosując oznaczenia z Przekształcenia Abela oznaczmy: g ( x) = a k +1 ,
∆f ( x)= k p x ⋅ q[x ]+ k = k p x − k +1 p x , f ( x) =− k p x ,
1 − v k + 2 1 − v k +1
∆g ( x) = g ( x + 1) − g ( x) =
−
= v k +1 . Zgodnie z przekształceniem Abela
1− v
1− v
otrzymujemy :
∞
∞
∞
••
1 − v k +1
∞
ax =
⋅ (− k p x ) 0 + ∑ v k +1 ⋅k +1 p x = 0 + 1 + ∑ v k +1 ⋅k +1 p x = ∑ v k ⋅k p x .
1− v
x =0
k =0
k =0