Zestawienie wymaganych twierdzeń

D:\materiały\Analiza matematyczna\(tw)Twierdzenia\zestaw_I.doc
2004-sty-03, 15:55
Zestawienie wymaganych twierdzeń (I)
1) Kresy
a) twierdzenie o jedyności kresu górnego (tzn. o prawostronnej
jednoznaczności relacji „być kresem górnym”);
b) twierdzenie o jedyności kresu dolnego;
c) jeśli A ⊂ B , to sup A ≤ sup B i inf A ≥ inf B ;
d) jeśli a jest kresem górnym zbioru A i b jest kresem górnym zbioru B , to
a + b jest kresem górnym zbioru A + B (przy założeniu wykonalności
dodawania);
e) jeśli a jest kresem dolnym zbioru A i b jest kresem dolnym zbioru B , to
a + b jest kresem dolnym zbioru A + B (przy założeniu wykonalności
dodawania);
f)
2) Ciągi i szeregi
a) twierdzenie o jedyności granicy ciągu (tzn. o prawostronnej
jednoznaczności relacji „być granicą ciągu”) (różne przypadki w
zależności od charakteru granicy: liczba rzeczywista lub nieskończoność);
b) twierdzenie o monotoniczności granic ciągów (jeśli u, v są granicami
ciągów a, b odpowiednio i an ≤ bn dla każdego n ∈ N , to u ≤ v );
c) każdy podciąg ciągu zbieżnego do granicy liczbowej lub nieskończonej jest
zbieżny do tej samej granicy;
d) iloczyn ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera jest ciągiem
zbieżnym do zera;
e) twierdzenia o granicy sumy dwóch ciągów (różne przypadki — w
zależności od charakteru granic ciągów: liczby rzeczywiste lub
nieskończoności);
f) twierdzenia o granicy iloczynu dwóch ciągów (różne przypadki — w
zależności od charakteru granic ciągów: liczby rzeczywiste lub
nieskończoności);
g) każdy ciąg zbieżny jest ograniczony;
h) każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego;
i) warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego;
3) Funkcje
a) twierdzenie o monotoniczności granic funkcji;
b) twierdzenie o granicy sumy dwóch funkcji;
c) twierdzenie o granicy iloczynu dwóch funkcji;
d) twierdzenie o granicy iloczynu funkcji ograniczonej przez funkcję
posiadającą granicę 0 w pewnym punkcie;