Lista 6 - wmiRepo

Topologia 2015
Lista 6
(1) Sprawdzić, że podzbiory spójne prostej euklidesowej musza być wypukle,
‘
czyli sa wszelkiego rodzaju przedzialami (z końcami lub bez, ograniczonymi
‘
lub nie).
(2) Sprawdzić, że klasyczne twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich przez przez funkcje ciagla f : [a, b] → R jest bezpośrednia, konse‘ ‘ ‘
kwencja, faktu, że obraz ciagly przestrzeni spójnej jest przestrzenia spójna.
‘
‘
‘
(3) Korzystajac
, ze spójności przedzialu euklidesowego [0, 1], udowodnić, że
każda funkcja ciagla f : [0, 1] → [0, 1] ma punkt staly, tzn. taki punkt
‘
x, że f (x) = x.
(4) Podaj przyklad funkcji nieciaglej f : R → R, która przeksztalca podzbiory
‘
spójne na spójne.
(5) Pokaż, że przestrzeń X nie jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
funkcja cia̧gla f z X na przestrzeń dyskretna {0, 1} .
‘
(6) Udowodnić,że każda niejednopunktowa przestrzeń normalna spójna ma moc
≥ c (skorzystać z Lematu Urysohna).
(7) Zapoznać sie z przykladem przeliczalnej i spójnej przestrzeni Hausdorffa
‘
[Engelking, Sieklucki, str. 376]
(8) Czy przekrój zstepujacego ciagu przestrzeni spójnych musi być przestrzenia
‘
‘
‘
‘
spójna?
‘
(9) Sprawdzić spójność i lukowa̧ spójność oraz znaleźć skladowe i lukowe skladowe
przestrzeni podanych na Liście 1, zad. 3, 4 i na Liście 2, zad. 8.
(10) Czy plaszczyzna euklidesowa bez przeliczalnej ilości punktów jest lukowo
spójna?
(11) Czy jeśli z plaszczyzny euklidesowej usuniemy punkty o obu wspólrzednych
,
niewymiernych, to otrzymamy podprzestrzeń spójna?
,
(12) Mówimy, że zbiór A ⊂ X rozspaja przestrzeń spójna, X (na n > 1 skladowych),
gdy podprzestrzeń X \ A ma n skladowych. Pokazać, że jeśli h : X → Y
jest homeomorfizmem i A rozspaja X na n skladowych, to h(A) rozspaja
Y na n skladowych.
Badaja̧c zbiory rozspajaja̧ce, sprawdzić które litery alfabetu nie sa̧ homeomorficzne.
(13) Uzasadnij, że brzeg niepustego podzbioru otwartego, który nie jest gesty
w
,
przestrzeni spójnej X, rozspaja X.
(14) Badaja̧c skladowe lub lukowe skladowe sprawdzić, czy wśród nastȩpuja̧cych
podprzestrzeni
sa̧ przestrzenie homeomorficzne:
plaszczyzny euklidesowej
(a) X1 = (x, y) : y = sin x1 , x 6= 0
(b) X2 = X1 ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]}
(c) X3 = (x, y) : y = sin x1 , x > 0 ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]}
(d) X4 = (x, y) : y = sin x1 , x < 0
(e) X5 = X4 ∪ {(0, −1), (0, 1)}
(f) X6 = X4 ∪ {(0, 0)}
(g) X7 = X1 ∪ {(0, −1)}
(h) X8 = suma pȩku prostych przechodza̧cych przez (0, 0) o wspólczynnikach
kierunkowych wymiernych
(i) X9 = suma pȩku prostych przechodza̧cych przez (0, 0) o wspólczynnikach
ka̧towych niewymiernych
1
2
S∞
(15) Zbadać spójność podprzestrzeni X = n=1 (Sn ∪ In ) plaszczyzny euklidesowej, gdzie Sn = {( n1 cos t, n1 sin t) ∈ R2 : π2 ≤ t ≤ 2π}, In = {( n1 , y) ∈ R2 :
0 ≤ y ≤ 1}.
(16) Niech dane bȩdzie pokrycie przestrzeni spójnej X zbiorami otwartymi Gt ⊂
X, t ∈ T . Udowodnij, że każda para punktów a, b ∈ X daje siȩ pola̧czyć
skończonym lańcuchem zlożonym ze zbiorów Gt , tj. istnieja̧ wskaźniki t1 , . . . , tn
takie, że a ∈ Gt1 , Gt1 ∩ Gt2 6= ∅, . . . , Gtn−1 ∩ Gtn 6= ∅, b ∈ Gtn .
Wskazówka: dowieść, że zbiór wszystkich punktów z X, które dadza̧ siȩ
pola̧czyć z a lańcuchem jest domkniȩto-otwarty w X.
Wywnioskować sta̧d, że jeśli (X, ρ) jest przestrzenia̧ metryczna̧ spójna̧,
to
(*) dla dowolnych a, b ∈ X i dla każdego > 0 istnieja̧ punkty x1 , . . . , xn ∈
X takie, że a = x1 , b = xn oraz ρ(xi , xi+1 ) < dla i = 1, . . . , n − 1.