Zadania z przedmiotu Geometria i topologia, III semestr seria 5 1

Zadania z przedmiotu
Geometria i topologia, III semestr
seria 5
1. Czy cześć
wspólna dwóch podprzestrzeni spójnych euklidesowej przestrzeni E n , n > 1 jest
,
zawsze podprzestrzenia, spójna?
,
2. Udowodnić, że przestrzeń R2 z metryka, kolejowa, jest spójna.
3. Czy dla punktu p ∈ R2 podprzestrzeń R2 \ {p} przestrzeni R2 z metryka, kolejowa, jest spójna?
4. Mówimy, że podzbiór A rozcina spójna, przestrzeń metryczna, M , jeśli podprzestzreń M \ A
nie jest spójna. Podać przyklad spójnej przestrzeni metrycznej, która, rozcina pewien zbiór
dwuelementowy, ale nie rozcina żaden zbiór jednoelementowy.
5. Podać przyklad spójnej przestrzeni metrycznej, która, rozcina pewien zbiór jednoelementowy
i każdy zbiór trzyelementowy.
6. Wyznaczyć spójne skladowe nastepuj
acych
podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej R2 :
,
,
(1) {(0, n) | n ∈ Z},
(2) {(0, x) | x ∈ Q},
(3) {(x, y) | xy = 1},
(4) {(x, y) | x2 + x = 0},
(5) {(x, y) | x, y ∈ Q},
(6) {(x, 0) | x 6= 0},
(7) {(x, y) | x2 + y 2 6= 1},
(8) {(x, y) | xy 6= 0}.
7. Ile elementów może mieć przeliczalna spójna przestrzeń metryczna?
8. Wykazać, że twierdzenie Baire’a nie jest prawdziwe w dowolnych przestzreniach metrycznych
(niezupelnych).
9. Wykazać, że kostka Hilberta jest przestrzenia, zwarta,
10. Wykazać, że iloczyn kartezjański dwóch przestrzeni metrycznych zupelnych jest przestrzenia,
zupelna.,
11. Niech (Mi , ρi ) bed
, a, przestrzeniami metrycznymi zupelnymi dla i = 1, 2, 3, . . . . Wykazać, że
przestrzeń M = M1 × M2 × M3 × . . . z metryka,
∞
X
1 ρi (xi , yi )
ρ(x, y) =
2i 1 + ρi (xi , yi )
i=1
jest zupelna.
12. Czy istnieje przestrzeń metryczna zwarta izometryczna ze swa, wlaściwa, podprzestrzenia?
,