TEORIA GIER – 4 Gry o sumie zerowej. Twierdzenie o minimaksie

TEORIA GIER – 4
Gry o sumie zerowej. Twierdzenie o minimaksie.
Zadania, o ile nie jest powiedziane inaczej, dotycza֒ gier macierzowych (czyli o sumie zerowej).
ZD1. Prosze֒ spróbować wygrać z komputerem w Quaak:
www.bewersdorff-online.de/quaak/quaak_e.htm
ZD2. Vuko i Jadran bawia֒ sie֒ w wojne֒ . Dysponuja֒ odpowiednio v i j oddzialami, które moga֒ wyslać
do 2 baz. Rozmieszczenie oddzialów może być dowolnie, ale oddzialów nie można dzielić i wszystkie
oddzialy musza֒ być wyslane do baz. Baza po rozegranej bitwie należy do tego, kto w bazie ma wie֒ cej
oddzialów.
(a) Zalóżmy, że j = 3, v = 2, na pocza֒tku wszystkie bazy należa֒ do Jadrana, a jeżeli w bazie
sily obu stron sa֒ równe, to Jadran utrzymuje baze֒ . Vuko wygrywa cala֒ wojne֒ , gdy zdobe֒ dzie
przynajmniej jedna֒ baze֒ , w przeciwnym wypadku wygrywa Jadran. Celem zawodników jest
wygrać wojne֒ . Przedstaw te֒ gre w postaci macierzowej. Jak wg Państwa powinien grać Jadran?
Jak powinien grać Vuko?
(b) Zalóżmy, że v = j = 2, na pocza֒tku bazy sa֒ niczyje, a jeżeli w bazie sily obu stron sa֒ równe, to
baza pozostaje niezdobyta. Celem graczy jest zdobycie jak najwie֒ kszej liczby baz. Przedstaw
gre֒ w postaci normalnej. Czy można ja֒ przedstawić jako gre֒ o sumie zerowej?
(c) Zalóżmy, że v = j = 2, na pocza֒tku wszystkie bazy należa֒ do Jadrana, a jeżeli w bazie sily
obu stron sa֒ równe, to Jadran utrzymuje baze֒ . Celem obu graczy jest posiadanie po bitwie jak
najwie֒ kszej liczby baz. Przedstaw gre֒ w postaci normalnej. Czy można ja֒ przedstawić jako
gre֒ o sumie zerowej?
Na wykladzie zagramy w gre֒ rankingowa֒, prawie taka֒ jak w (c), tylko bazy be֒ da֒ 3, a Vuko i Jadran
be֒ da֒ mieli po 4 oddzialy.
ZD3. W podanej grze wyznacz:
(a) min w1 (C, s2 )
X Y Z U
A 0 4 -7 -1
B -4 0 5 -2
C 7 -5 0 8
D 1 2 -8 0
s2 ∈S2
(b) max w1 (s1 , Y )
s1 ∈S1
(c) max min w1 (s1 , s2 )
s1 ∈S1 s2 ∈S2
(d) min max w1 (s1 , s2 )
s2 ∈S2 s1 ∈S1
(e) Czy w tej grze B1 = −4?
ZD4.
(a) Zalóżmy, że gracz 2 ma strategie֒ daja֒ca֒ mu zawsze wyplate֒ przynajmniej 13, przy dowolnej
strategii przeciwnika. Jakie z tego wynika oszacowanie na B2 ?
(b) Zalóżmy, że gracz 2 ma strategie֒ σ2 , dla której w1 (σ1 , σ2 ) 6 3, dla wszystkich σ ∈ M1 . Jakie
z tego wynika oszacowanie na B1 ?
(c) Zalóżmy, że y ∈ R i gracz 2 ma strategie֒ σ2 , dla której w1 (s1 , σ2 ) 6 y, dla wszystkich s1 ∈ S1 .
Jakie z tego wynika oszacowanie na B1 ?
(d) Zalóżmy, że gracz 2 ma strategie֒ daja֒ca֒ mu zawsze wyplate֒ przynajmniej 13, przy dowolnej
strategii przeciwnika. Jakie z tego wynika oszacowanie na B1 ?
ZD5. Zalóżmy, że poziom bezpieczeństwa gracza drugiego w grze macierzowej G wynosi 5. Wyznacz:
(a) sup inf w1 (σ1 , σ2 ), (b) val (G), (c) inf
sup w2 (σ1 , σ2 ).
σ1 ∈M1 σ2 ∈M2
σ1 ∈M1 σ2 ∈M2
t1 t2 t3 t4 t5
a1 0 -2 2 2 2
a2 1 0 -1 2 2
a3 2 2 0 -1 2
a4 -2 -2 1 0 3
a5 -2 -2 -2 1 -3
ZD6. Uzasadnij, że w podanej grze
(a) B1 > 0,
(b) B1 6 1.
ZD7. Zalóżmy, że B1 = −2, S1 = {A, B, C}, S2 = {X, Y, Z} oraz dla pewnej strategii σ1 ∈ M1 :
w1 (σ1 , X) = w1 (σ1 , Y ) = −2, w1 (σ1 , Z) = 1. Wycia֒gnij jak najwie֒ cej informacji o strategiach optymalnych obu graczy.
1
2
ZD8. Dana jest pewna gra macierzowa G, w której S1 = {A, B, C, D},
S2 = {E, F }, a zależność wyplat gracza drugiego od strategii jego i
czystych strategii przeciwnika zostala przedstawiona na rysunku. Wyznacz:
(a)
(b)
inf
max w2 (s1 , σ2 ),
σ2 ∈M2 s1 ∈S1
inf
sup w2 (σ1 , σ2 ),
σ2 ∈M2 σ1 ∈M1
(c)
sup
inf w2 (σ1 , σ2 ).
σ1 ∈M1 σ2 ∈M2
ZD9. Oto gra, w która֒ graliśmy na wykladzie. Wyznaczyliśmy już jej
7
9
4
wartość 13
oraz strategie֒ optymalna֒ gracza 2: σ2 = 13
L + 13
P . Znajdź
strategie֒ optymalna֒ gracza 1.
L P
G 2 -3
S -1 4
D 3 -5
ZD10. Rozważmy gre֒ macierzowa֒, a ∈ R, σ1 ∈ M1 i σ2 ∈ M2 . Uzasadnij poniższe wlasności (o
których byla mowa na wykladzie i z których be֒ dziemy wielokrotnie korzystać). i oznacza numer
dowolnego gracza.
(a) Jeżeli wi (σ1 , s) > a dla wszystkich s ∈ S2 , to wi (σ1 , σ) > a dla wszystkich σ ∈ M2 .
(b) Jeżeli wi (s, σ2 ) > a dla wszystkich s ∈ S1 , to wi (σ, σ2 ) > a dla wszystkich σ ∈ M1 .
(c) Analogiczne do powyższych wlasności zachodza֒, gdy zmienimy > na 6, lub na >, lub na <,
lub na =.
(d) inf wi (σ1 , σ2 ) = min wi (σ1 , s).
σ2 ∈M2
s∈S2
(e) Korzystaja֒c z poprzedniego podpunktu, uzasadnij, że w grze macierzowej
sup w2 (σ1 , σ2 ) = max w2 (σ1 , s).
σ2 ∈M2
s∈S2