Sprawdzanie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego.

9
K A T E D R A F I Z Y K I S T O S O W A N E J _________________________________________
PRACOWNIA FIZYKI
Ćw. 9. Sprawdzenie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego
Wprowadzenie
Przez bryłę sztywną rozumiemy ciało, które pod wpływem działania sił nie zmienia swego kształtu, tzn. odległość dwóch dowolnych punktów tego ciała pozostaje stała. Każdy ruch tej bryły może
być przedstawiony jako złożenie dwóch ruchów prostych – ruchu postępowego i ruchu obrotowego.
W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała zakreślają takie same tory oraz mają jednakowe
prędkości i przyspieszenia. Dlatego opis takiego ruchu bryły sztywnej sprowadza się do opisu ruchu
punktu materialnego, np. środka masy ciała. Wektor położenia środka masy zdefiniowany jest
wzorem:
r
r ∑ ∆mi ri
rs =
,
(1)
∑ ∆mi
gdzie ciało podzielone jest na n małych części o masach ∆mi i wektorach położenia ri. Gdy liczba
części n zmierza do nieskończoności, wówczas wzór przybiera postać:
r
r ∫ r dm
rs =
.
(2)
dm
∫
Najczęściej spotykanym przypadkiem ruchu obrotowego bryły jest ruch wokół stałej osi obrotu i
do takiej sytuacji zwykle będą odnoszone dalsze rozważania. Wówczas wszystkie punkty ciała
poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej zwanej osią obrotu, zaś promienie
wodzące punktów w takim samym czasie zakreślają jednakowe kąty. Z definicji wielkości
kątowych wynika, że również prędkości kątowe i przyspieszenia kątowe punktów są takie same.
Natomiast prędkości liniowe punktów zależą od ich odległości od osi obrotu.
Rys.1. Wielkości liniowe i kątowe w ruchu obrotowym bryły.
Przez prędkość kątową rozumiemy szybkość zmiany kąta zakreślonego przez promień wodzący
punktu. Jest to wielkość wektorowa o kierunku zgodnym z osią obrotu:
1
ω=
r
r
dα
.
dt
(3)
Gdy prędkość kątowa nie jest stała w czasie, to szybkość jej zmiany opisuje przyspieszenie kątowe,
czyli stosunek zmiany prędkości kątowej do czasu tej zmiany:
r
r dω
ε=
.
(4)
dt
Związki pomiędzy wielkościami liniowymi i wielkościami kątowymi określają równania:
r r r
v = ω× r ,
(5)
r r
r
as = ω × r ,
(6)
gdzie: v – prędkość liniowa punktu; as – przyspieszenie styczne punktu.
Do opisu dynamiki bryły sztywnej wprowadzamy nowe pojęcia. Aby spowodować ruch
obrotowy bryły potrzebna jest siła, ale istotna jest nie tylko jej wartość, lecz także kierunek
działania i punkt przyłożenia. Na przykład siła równoległa do osi obrotu nie spowoduje zmiany w
ruch bryły. Moment siły F względem osi obrotu definiowany jest jako iloczyn wektorowy wektora
wodzącego punktu przyłożenia siły i tej siły F:
r r r
M = r×F .
(7)
M = r ·sinφ·F = r⊥ ·F ,
(8)
Wartość momentu siły wynosi:
gdzie r⊥ jest ramieniem siły równym odległości prostej działania siły od osi obrotu (rys. 2).
Rys. 2. Moment siły M jest prostopadły do siły F i jej wektora wodzącego r.
W ruchu obrotowym bryły ważną rolę odgrywa rozmieszczenie masy wokół osi obrotu, co jest
określane przez moment bezwładności. Dla układu punktów materialnych o masach ∆mi leżących w
różnych odległościach ri od osi obrotu moment bezwładności I jest równy:
I = ∑ ∆m i ⋅ ri 2 .
(9)
W przypadku ciała sztywnego, które charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy, ciało
dzielimy na nieskończenie małe części i sumowanie zastępujemy całkowaniem:
I = ∫ r 2 dm
.
(10)
Momenty bezwładności wybranych brył regularnych względem ich osi symetrii zestawione są w
tabeli 1.
2
Tabela 1. Momenty bezwładności niektórych brył sztywnych względem osi przechodzącej przez środek masy.
Ciało sztywne
Oś obrotu
Moment bezwładności Io
Kula o promieniu R
Oś przechodząca przez środek
2
mR 2
5
Walec o promieniu R
Podłużna oś symetrii
1
mR 2
2
Walec o promieniu R i
długości L
Oś prostopadła do podłużnej osi
symetrii
m2 R 2 m2 L2
+
4
12
Obręcz o promieniu R
Oś obręczy
mR 2
Cienki pręt o długości L
Symetralna, prostopadła do pręta
1
mL2
12
Związek pomiędzy momentem bezwładności Io względem osi przechodzącej przez środek masy
a momentem bezwładności I względem innej równoległej do niej osi określa twierdzenie Steinera:
I = Io + m·d2 ,
(11)
gdzie: m – masa ciała, d – odległość między dwiema osiami.
Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu. Osie, względem
bezwładności przybiera wartości ekstremalne nazywa sie głównymi osiami
odpowiadające im momenty – głównymi momentami bezwładności (jak w tabeli
gdy oś obrotu jest wybrana dowolnie (np. skośnie do głównej osi bezwładności)
komplikacji. Moment bezwładności nie jest wówczas wielkością skalarną,
tensorową wyrażaną za pomocą macierzy.
których moment
bezwładności, a
1). W przypadku
to sytuacja ulega
lecz wielkością
Moment pędu punktu materialnego o masie mi i wektorze wodzącym ri poruszającego sie z
prędkością vi względem osi obrotu odległej o r określany jest wzorem:
r r
r
Li = ri × mi ⋅ vi .
(12)
W ruchu punktu po okręgu (wektor vi jest prostopadły do wektora ri) wektor momentu pędu jest
skierowany zgodnie z osią obrotu, zaś jego wartość jest równa:
Li=ri·mi·vi = mi·ri2·ω .
(13)
Dla obracającej się bryły moment pędu jest sumą momentów pędu wszystkich jej punktów materialnych, na które została podzielona (kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej ω jest taki sam):
L = ∑ Li = ∑ mi ri 2 ω = ω∑ mi ri 2 = ω ⋅ I ,
(14)
co można zapisać:
r
r
L = I ⋅ω .
(15)
Zatem moment pędu bryły L równa się iloczynowi jego momentu bezwładności I i prędkości
kątowej ω .
Zależność powyższa jest słuszna gdy ciało obraca się względem jednej ze swoich osi głównych,
bo wówczas moment bezwładności jest skalarem, a wektory L i ω są równoległe. Dla osi ukośnych
na ogół mamy do czynienia z tensorem bezwładności i nierównoległością wektorów L i ω.
O skutkach działania sił w ruchu postępowym możemy wnioskować posługując sie drugą zasadą
dynamiki Newtona: F = m·a .
W ruch obrotowym posługując sie uprzednio zdefiniowanymi pojęciami można wykazać, że
druga zasada dynamiki przyjmuje postać:
3
r
r
M = I ⋅ε ,
(16)
co oznacza, że moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentu
bezwładności bryły i jej przyspieszenia kątowego.
Stosując poniższe przekształcenie:
r
r
r
r
dω d(I ⋅ ω) dL
r
M = I ⋅ε = I ⋅
=
=
,
dt
dt
dt
(17)
otrzymujemy inną postać drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego
r
r dL
M=
.
dt
(18)
Związek ten jest słuszny dla ruchu swobodnego ciała sztywnego. Podczas ruchu wokół stałej osi
obrotu na ruch bryły wpływa tylko składowa momentu siły równoległa do osi obrotu (Mz),
natomiast składowa prostopadła do osi (Mxy) usiłuje obrócić (zmienić kierunek) osi obrotu. Wynika
z tego postać drugiej zasady dynamiki dla ruchu wokół stałej osi obrotu:
Mz =
dLz
.
dt
(19)
Moment sił działających na ciało liczony względem stałej osi obrotu (Mz) jest równy szybkości
zmian momentu pędu ciała liczonego względem tej samej osi obrotu (Lz).
Obracające się ciało posiada energię kinetyczną ruchu obrotowego nawet wówczas gdy
środek masy ciała się nie przemieszcza. Można ją wyznaczyć sumując energie kinetyczne
poszczególnych punktów bryły (Ei):
1
1
1
E k = ∑ Ei = ∑ mi vi2 = ∑ mi ri 2ω 2 = ω 2 ∑ mi ri 2 = ω 2 I ,
(20)
2
2
2
Ek =
1
I ⋅ ω2 .
2
(21)
Zatem energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły jest równa połowie iloczynu jej momentu
bezwładności i kwadratu prędkości kątowej.
Z uwagi na to, że pomiędzy wielkościami liniowymi i kątowymi opisującymi ruch postępowy
prostoliniowy i ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi istnieje pewna analogia, warto
zestawić je w tabeli 2.
Tabela 2. Porównanie opisu ruchu prostoliniowego i ruchu obrotowego
Ruch prostoliniowy
Droga liniowa
s
Prędkość liniowa
v=
Przyspieszenie liniowe
ds
dt
dv
a=
dt
Ruch obrotowy
Droga kątowa
α
Prędkość kątowa
ω=
Przyspieszenie kątowe
dα
dt
dω
ε=
dt
Masa
m
Moment bezwładności
I = ∑ ∆m i ⋅ ri 2
P ęd
Siła
p = m·v
F
r
r
r dp
F = ma =
dt
1
E k = mv 2
2
Moment pędu
L = I·ω
Moment siły
r r r
M = r × Fr
II zas. dynamiki
Energia kinetyczna
II zas. dynamiki
Energia kinetyczna
4
r
r dL
M = Iε =
dt
1
E k = Iω 2
2
Metoda pomiaru
Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie teoretycznych zależności wynikających z
zastosowania drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego. Powiązane wielkości występują w
ruchu obrotowym i związanym z nim ruchu postępowym. Z uwagi na to, że najlepiej jest sprawdzać
zależności liniowe, zostaną one najpierw wyprowadzone.
Przyrządem wykorzystywanym w ćwiczeniu jest wahadło Oberbecka (rys. 3), którego główną
część stanowi obracający się wokół stałej poziomej osi walec z krzyżakiem złożonym z prętów
prostopadłych do osi obrotu. Do prętów krzyżaka można mocować obciążniki dobierając dowolnie
ich odległość od osi obrotu, przez co zmienia się moment bezwładności krzyżaka I. Na walec o
promieniu r nawinięta jest nić. Do drugiego końca nici przerzuconej przez bloczek przyczepiony
jest ciężarek o masie m, który wprawia w ruch obrotowy krzyżak. Zastosowanie dwóch
fotokomórek pozwala dokładnie mierzyć czas ruchu ciężarka na drodze s między fotokomórkami.
6
2
5
4
3
2
1
Rys. 3. Wahadło Oberbecka: 1 – milisekundomierz; 2 – fotokomórks; 3 – obciążniki krzyżaka;
4 – krzyżak; 5 – nić; 6 – ciężarek.
Ciężarek (6) porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową równą
zero. W tej sytuacji s = a·t2/2, co po przekształceniu daje zależność
t2 =
2
⋅s .
a
(22)
Zatem przy ustalonych parametrach krzyżaka i ustalonej masie ciężarka kwadrat czasu ruchu
ciężarka jest liniową funkcją przebytej drogi.
5
Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona
(23)
m·a = m·g – F ,
gdzie: F - siła naciągu nici. Siła ta poprzez nić nawiniętą na walec działa stycznie do jego obwodu
wytwarzając moment siły wprawiający w ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony cały krzyżak.
Ponieważ F = m(g – a), więc dla ruchu obrotowego równanie (16) możemy zapisać w postaci:
m·(g – a)·r = I·ε ,
(24)
gdzie: m – masa ciężarka; a - przyspieszenie liniowe ciężarka równe przyspieszeniu liniowemu
dowolnego punktu na obwodzie walca; r – promień walca; I – moment bezwładności całego
krzyżaka; ε - przyspieszenie kątowe krzyżaka
Uwzględniając związek przyspieszenia kątowego z liniowym (ε = a/r), oraz występujące tarcie
(opory ruchu - T), otrzymujemy:
m·(g – a)·r – T·r = I·a/r .
(25)
(I/r2 +m)·a = m·g – T .
(26)
Po przekształceniu:
2
Z uwagi na fakt, że w wykorzystywanym przyrządzie m << I/r , wzór (26) otrzymuje postać:
a·I/r2 = m·g – T .
(27)
Moment bezwładności całego krzyżaka jest równy:
(28)
I = I1 + 4·I2 ,
gdzie: I1 - moment bezwładności prętów i walca z nawijaną nicią (stały); I2 - moment bezwładności
jednego walcowego obciążnika krzyżaka.
Uwzględniając wzór z tabeli 1 i wzór Steinera, I2 jest równe:
 m R 2 m L2 
d 
I 2 =  2 + 2  + m2   ,
12 
2
 4
2
(29)
gdzie: R – promień walcowego obciążnika; m2 – masa walcowego obciążnika; L – długość walcowego obciążnika; d – odległość między środkami dwóch przeciwległych walcowych obciążników.
Zatem moment bezwładności całego krzyżaka jest równy:
I = I1 + m2 R 2 +
m 2 L2
+ m2 d 2 .
3
(30)
Uwzględniając fakt, że suma trzech pierwszych składników we wzorze (31) jest stała dla danego
przyrządu (= Io ), a tylko czwarty zależy od położenia obciążników, możemy napisać:
I = Io + m2·d2 .
(31)
I 0 + m2 d 2
= mg − T
r2
(32)
Zatem równanie (27) przyjmie postać:
a
Przyspieszenie a wyznaczone jest z ruchu jednostajnie przyspieszonego ciężarka (a=2s/t2), przez co
w kolejnych przekształceniach uzyskuje się zależności:
2 s I 0 + m2 d 2
⋅
= mg − T ,
t2
r2
6
(33)
t2 =
2Ios
2m2 s
+
⋅d 2
2
2
(mg − T)r
(mg − T)r
(34)
Dla stałych wartości drogi s i masy m, oraz zakładając stałą wartość oporów ruchu, wartości
ułamków mają stałą wartość, co można oznaczyć:
A=
2Io s
= const
(mg − T)r 2
B=
,
2m2 s
= const .
(mg − T)r 2
(35)
Zatem równanie (34) będące wynikiem analizy ruchu obrotowego z wykorzystaniem wahadła
Oberbecka przyjmie postać:
t2 = A + B · d2
(36)
Wynika z niego, że kwadrat czasu ruchu ciężarka jest liniową funkcją kwadratu odległości
pomiędzy środkami przeciwległych walcowych obciążników krzyżaka. Wykresem tej zależności
jest linia prosta.
Inną zależność dla ruchu obrotowego wiążącą czas ruchu t z masą ciężarka m uzyskamy z równania (34), jeśli ustalimy odległość d między środkami obciążników krzyżaka i drogę ciężarka s:
1
r2g
r 2T
=
⋅
m
−
.
t 2 2 s(I o + m2 d 2 )
2 s(I o + m2 d 2 )
(37)
Przy stałych wartościach d i s ułamki maja stałą wartość, co można oznaczyć:
r2g
C=
= const ,
2 s(I o + m2 d 2 )
r 2T
D=
= const .
2 s(I o + m2 d 2 )
(38)
Zatem równanie (37) przyjmie postać:
1
= C⋅m− D
t2
(39)
Wynika z niego, że odwrotność kwadratu czasu trwania ruchu ciężarka jest liniową funkcją jego
masy.
Wykonanie ćwiczenia
Ćwiczenie składa się z trzech części. Prowadzący określa które części należy wykonać.
a) Sprawdzenie, czy ruch ciężarka jest jednostajnie przyspieszony (słuszność wzoru
t2=2s/a)
1. Ustawić obciążniki krzyżaka (3) w przybliżeniu w środkowym położeniu prętów (wszystkie w
tej samej odległości od środka krzyżaka) i zmierzyć odległość między środkami dwóch
przeciwległych obciążników (d).
2. Wybrać wartość ciężarka (6) i zmierzyć jego masę (m).
3. Rozsunąć fotokomórki (2) w skrajne położenia ustalając maksymalną drogę ruchu ciężarka (6).
Odczytać drogę z liniału umieszczonego na kolumnie przyrządu.
4. Zmierzyć kilkakrotnie czas ruchu ciężarka między fotokomórkami z wykorzystaniem
sekundomierza (1).
5. Przesuwając fotokomórkę górną o 2 – 3 cm do dołu i powtarzać pomiary kilkakrotnie. W ten
sposób wykonuje się pomiary dla ok. 10 wartości drogi s.
6. Sporządzić wykres t2 = f(s). Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów obliczyć
parametry A i B otrzymanej prostej (y = Ax+B) oraz niepewności ∆A i ∆B. Wyznaczyć
współczynnik korelacji R2. Wyznaczyć przyspieszenie ruchu (A = 2/a).
7
Tabela pomiarowa:
m [g]
d [cm]
s [cm]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
tśr [s]
b) Sprawdzenie słuszności równania t2 = A + B·d2
1. Ustawić odległość s między fotokomórkami.
2. Wybrać masę m ciężarka i zmierzyć ją.
3. Ustawić obciążniki krzyżaka (3) w skrajnych położeniach na prętach (wszystkie w tej samej
odległości od środka krzyżaka). Zmierzyć odległość między środkami dwóch przeciwległych
obciążników (d).
4. Zmierzyć kilkakrotnie czas t ruchu ciężarka między fotokomórkami z wykorzystaniem
sekundomierza (1).
5. Przybliżyć obciążniki o około 2-3 cm i powtarzać pomiary z punktów 3 i 4. W ten sposób
wykonuje się pomiary dla ok. 10 wartości d.
6. Sporządzić wykres t2 = f(d2). Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów obliczyć
parametry A i B otrzymanej prostej (y = Ax+B) oraz niepewności ∆A i ∆B. Wyznaczyć
współczynnik korelacji R2.
Tabela pomiarowa:
m [g]
s [cm]
d [cm]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
tśr [s]
8
c) Sprawdzenie słuszności równania: 1/t2 = C·m - D
1. Ustawić odległość s między fotokomórkami.
2. Ustawić obciążniki krzyżaka (3) w przybliżeniu w środkowym położeniu prętów (wszystkie w
tej samej odległości od środka krzyżaka) i zmierzyć odległości środków przeciwległych
obciążników.
3. Zmierzyć masę m pojedynczego ciężarka.
4. Zmierzyć kilkakrotnie czas t ruchu ciężarka między fotokomórkami z wykorzystaniem
sekundomierza (1).
5. Zwiększyć masę m o jeden obciążnik (o uprzednio zmierzonej masie). Do tabeli wpisać
całkowitą masę m ciężarków.
6. Powtarzać pomiary z punktu 4.
7. Powtarzać pomiary ze zwiększającą się masą ciężarka aż do wykorzystania wszystkich
obciążników.
8. Sporządzić wykres 1/t2 = f(m). Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów obliczyć
parametry A i B otrzymanej prostej (y = Ax+B) oraz niepewności ∆A i ∆B. Wyznaczyć
współczynnik korelacji R2.
Tabela pomiarowa:
d [cm]
s [cm]
m [g]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
tśr [s]
Zagadnienia do kolokwium:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej.
Wielkości kinematyczne służące do opisu ruchu po prostej i po okręgu.
Moment siły, moment bezwładności, moment pędu.
Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego bryły.
Porównanie opisu ruchu prostoliniowego i ruchu obrotowego.
Wahadło Oberbecka. Wyprowadzenie zależności t2 = A + B·d2.
Bibliografia
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
2003, tom 1.
2. J. Orear, Fizyka, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, tom 1.
3. J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla Inżynierów, WNT, Warszawa 2008, tom 1.
9