ALGEBRA LINIOWA 2 Egzamin na ocen˛e celuj ˛ac ˛a, czerwiec 2011

ALGEBRA LINIOWA 2 Egzamin na ocen˛e celuj ˛ac ˛a, czerwiec 2011

ALGEBRA LINIOWA 2
Egzamin na ocene¾ celujac
¾ a,
¾ czerwiec 2011
1. Pokazać, ze
¾ a na R taka, iz· uk÷
ad funkcji
· istnieje funkcja f ciag÷
ff (x
n) : n 2 Ng
jest liniowo niezalezny
· w przestrzeni C (R)?
Rozwiazanie.
¾
Niech wykres funkcji f ma postać jak na rysunku poniz·ej.
y 1.0
0.5
-2
-0.1 0.1
-1
1
2
x
Oczywiście funkcja f jest ciag÷
¾ a na R: Pokaz·emy, z·e rodzina funkcji fn (x) = f (x n) ; gdzie
n 2 N; jest liniowo niezalez·na. Rozwaz·my kombinacje¾ liniowa¾ funkcji f1 ; f2 ; : : : ; fk
1 f1
(x) +
2 f2
(x) + : : : +
k fk
(x)
0:
Przyjmujac
¾ x = 1 otrzymamy
1 f1
wiec
¾
0; : : : ;
1
(1) +
2 f2
(1) + : : : +
k fk
(1) =
1
1+
2
0 + ::: +
k
0 = 0;
= 0: Przyjmujac
¾ nastepnie
¾
x = 2; x = 3; : : : ; x = k; otrzymamy kolejno 2 = 0; 3 =
·e funkcje f1 ; f2 ; : : : ; fk sa¾ liniowo niezalez·ne w przestrzeni C (R):
k = 0:To oznacza, z
2. Jaka¾ postać maja¾ przekszta÷
cenia liniowe L : R3 ! R3 ; które odwzorowuja¾ pierwszy oktant
uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
na siebie?
Wskazówka. Najpierw zauwaz·yć, z·e wystarczy określić wartości przekszta÷
cenia liniowego L
na wektorach bazy ~e1 = (1; 0; 0) ; ~e2 = (0; 1; 0) ; ~e3 = (0; 0; 1) : Nastepnie
¾
pokazać, z·e warunek
L (~ei ) = ai~vi dla 0 6 i 6 3;
gdzie ai > 0; a ciag
¾ (~v1 ; ~v2 ; ~v3 ) jest permutacja¾wektorów ~e1 ; ~e2 ; ~e3 ; jest konieczny i wystarczajacy
¾
na to, aby przekszta÷
cenie L przeprowadza÷
o pierwszy oktant na siebie.
3. Uzasadnić, ze
· w przestrzeni C[0; 2 ] zachodzi równość
lin 1; sin2 x; sin4 x; sin6 x; : : : = lin f1; cos 2x; cos 4x; cos 6x; : : :g :
Wskazówka. Pokazać, z·e kaz·da¾ funkcje¾ generujac
¾ a¾ przestrzeń z lewej strony równości moz·na
zapisać, jako kombinacje¾ liniowa¾ funkcji generujacych
¾
przestrzeń z prawej strony oraz odwrotnie. Obliczenia moz·na skrócić, gdy wykorzystamy wzory Eulera
sin x =
eix
e
2i
ix
;
cos x =
eix + e
2
ix
oraz wzór Movre’a
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx:
:
4. Kostka¾ w przestrzeni R6 nazywamy zbiór
(x1 ; x2 ; : : : ; x6 ) 2 R6 : 0 6 xi 6 1 dla 1 6 i 6 6 :
Dla 0 6 k 6 5 wyznaczyć liczby ścian k -wymiarowych tej kostki.
Rozwiazanie.
¾
Rozwia¾z·emy od razu ogólniejszy problem, tj. wyznaczymy liczby ścian wszystkich wymiarów kostki w przestrzeni Rn : Niech k bedzie
¾
ustalona¾liczba¾ze zbioru f0; 1; : : : ; n 1g :
Przyk÷
adowa ściana k -wymiarowa kostki n -wymiarowej ma postać
f(1; 0; p1 ; 0; p2 ; 1; : : : ; 1; 0; 0; 0; pk )g ;
w której k wspó÷
rzednych
¾
p1 ; p2 ; : : : ; pk zmienia sie¾ z zakresie od 0 do 1; a pozosta÷
e sa¾ równe
0 lub 1: Wyznaczymy liczbe¾ ścian tej postaci. Najpierw wskazujemy k miejsc w ciagu
¾ n elementowym, gdzie umieścimy parametry p1 ; p2 ; : : : ; pk : Moz·na to zrobić na nk sposobów.
Nastepnie
¾
wype÷
niamy pozosta÷
e n k miejsc zerami lub jedynkami. Moz·na to zrobić na 2n k
sposobów. Zatem liczba ścian k -wymiarowych kostki n -wymiarowej wyraz·a sie¾ wzorem
n n k
2 :
k
Kostka 6 -wymiarowa ma zatem:
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
26 = 64 ściany 0 -wymiarowe,
25 = 192 ściany 1 -wymiarowe,
24 = 240 ścian 2 -wymiarowych,
23 = 160 ścian 3 -wymiarowych,
22 = 60 ścian 4 -wymiarowych,
21 = 12 ścian 5 -wymiarowych.