trening matematyczny zestaw 4 rozwiązania i wskazówki

TRENING MATEMATYCZNY ZESTAW 4
ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI
1. Udowodnij, że jeśli suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to ich iloczyn jest
liczbą parzystą.
ROZWIĄZANIE:
Jeśli suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to jedna z nich musi być liczbą
parzystą. Stąd mamy natychmiast parzystość iloczynu.
2. Liczby mieszkańców (w przybliżeniu) Polski, Czech i Słowacji są w stosunku 390:103:54.
Różnica liczb mieszkańców w Czechach i Słowacji jest równa 4,9 mln osób. Ilu
mieszkańców jest w każdym z tych krajów?
ROZWIĄZANIE:
x – liczba mieszkańców Czech
y – liczba mieszkańców Słowacji
x 103
=
y 54
x-y=4,9 mln
Otrzymujemy, że x = 10,3 mln
y = 5,4 mln
z - liczba mieszkańców Polski
z 390
=
x 103
x = 10,3 mln
Otrzymujemy z = 39 mln.
Odp. Polska liczy 39 mln mieszkańców, Czechy 10,3mln, a Słowacja 5,4 mln.
II sposób rozwiązania
Polska = 390x
Czechy = 103x
Słowacja = 54x
103x-54x=4,9 mln
x = 0,1 mln
3. Z portu w Suezie, przy południowym wejściu do Kanału Sueskiego, wypłynęły jednocześnie,
w tym samym kierunku, prom wycieczkowy i statek towarowy. Prom płynął z prędkością
10km/h , a statek towarowy – 24km/h . Po upływie godziny statek przybił do brzegu. Po
pewnym czasie ruszył w dalszą drogę i dogonił prom w ciągu 1,5 godziny. Oblicz, ile czasu
trwał postój statku.
ROZWIĄZANIE:
1 + 1,5 = 2,5 [h]
2,5 ⋅24 = 60 [km]
60 : 10 = 6 [h]
6 – 2,5 = 3,5 [h]
Odp. 3,5 h.
4. W pewnej szkole średnia wieku uczniów i nauczycieli wynosi 18 lat, przy czym średnia
wieku uczniów to 15 lat, zaśśrednia wieku nauczycieli to 36 lat. Ile razy więcej jest w tej
szkole uczniów niż nauczycieli?
ROZWIĄZANIE:
x – liczba uczniów, y – liczba nauczycieli
Ułożenie równania:
18x + 18y = 15x + 36y
Przekształcenie równania do postaci x = 6y
Odpowiedź: Liczba uczniów jest 6 razy większa od liczbynauczycieli.
5. Do liczby 72 dopisz po jednej cyfrze na końcu i na początku tak, aby otrzymać liczbę
czterocyfrową podzielną przez 72. Podaj wszystkie możliwe liczby spełniające ten warunek
oraz uzasadnienie odpowiedzi.
ROZWIĄZANIE:
Oznaczamy brakujące cyfry liczby czterocyfrowej przez x i y.
Liczba x72y dzieli się przez 72, gdy dzieli się przez 8i przez 9.
Liczba dzieli się przez 8, gdy trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8. Zatem y
może być równe 0 lub 8.
Liczba dzieli się przez 9, gdy suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9.
Zatem 9/(x + 7 + 2 + 0).
Ponieważ x ≠0, wiec x = 9.
Rozwalając analogicznie przypadek, gdy y = 8,otrzymujemy x = 1.
Otrzymaliśmy dwie liczby spełniające warunki zadania: 9720 i 1728.
6. Stara legenda głosi, że czeska królewna Libusza obiecała oddać swąrękę temu z trzech
ubiegającychsię o nią rycerzy, który rozwiążenastępujące zadanie: Ile brzoskwińmieści
koszyk, z którego połowę całej zawartości i jedną brzoskwinię oddam pierwszemu
rycerzowi, zaś drugiemu połowęcałej reszty i jedna brzoskwinię, wreszcie trzeciemu połowę
pozostałychi trzy ostatnie brzoskwinie? Oblicz, ile brzoskwińbyło w koszyku królewny
Libuszy.
ROZWIĄZANIE:
I rycerz otrzymał
1
x+ 1
2
(
(
)
1 1
x−1 +1
2 2
II rycerz otrzymał
)
1 1
1
x−1 +3
2 4
2
III rycerz otrzymał
(
brzoskwiń, gdzie x oznacza liczbę brzoskwiń w koszyku
)
(
)
1
1 1
1 1
1
x+ 1+
x−1 +1+
x−1
+ 3=x
2
2 2
2 4
2
Rozwiązanie równania: x = 30
Odpowiedź: W koszyku królewny Libuszy było 30 brzoskwiń.