trening matematyczny zestaw 6 rozwiązania i wskazówki
Transkrypt
trening matematyczny zestaw 6 rozwiązania i wskazówki
TRENING MATEMATYCZNY ZESTAW 6 ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI 1. Udowodnij, że jeśli suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to ich iloczyn jest liczbą parzystą. ROZWIĄZANIE: Jeśli suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to jedna z nich musi być liczbą parzystą. Stąd mamy natychmiast parzystość iloczynu. 2. Liczby mieszkańców (w przybliżeniu) Polski, Czech i Słowacji są w stosunku 390:103:54. Różnica liczb mieszkańców w Czechach i Słowacji jest równa 4,9 mln osób. Ilu mieszkańców jest w każdym z tych krajów? ROZWIĄZANIE: x – liczba mieszkańców Czech y – liczba mieszkańców Słowacji x 103 = y 54 x-y=4,9 mln Otrzymujemy, że x = 10,3 mln y = 5,4 mln z - liczba mieszkańców Polski z 390 = x 103 x = 10,3 mln Otrzymujemy z = 39 mln. Odp. Polska liczy 39 mln mieszkańców, Czechy 10,3mln, a Słowacja 5,4 mln. II sposób rozwiązania Polska = 390x Czechy = 103x Słowacja = 54x 103x=54x=4,9 mln x = 0,1 mln 3. Z portu w Suezie, przy południowym wejściu do Kanału Sueskiego, wypłynęły jednocześnie, w tym samym kierunku, prom wycieczkowy i statek towarowy. Prom płynął z prędkością 10km/h , a statek towarowy – 24km/h . Po upływie godziny statek przybił do brzegu. Po pewnym czasie ruszył w dalszą drogę i dogonił prom w ciągu 1,5 godziny. Oblicz, ile czasu trwał postój statku. ROZWIĄZANIE: 1 + 1,5 = 2,5 [h] 2,5 ⋅24 = 60 [km] 60 : 10 = 6 [h] 6 – 2,5 = 3,5 [h] Odp. 3,5 h. 4. W pewnej szkole średnia wieku uczniów i nauczycieli wynosi 18 lat, przy czym średnia wieku uczniów to 15 lat, zaśśrednia wieku nauczycieli to 36 lat. Ile razy więcej jest w tej szkole uczniów niż nauczycieli? ROZWIĄZANIE: x – liczba uczniów, y – liczba nauczycieli Ułożenie równania: 18x + 18y = 15x + 36y Przekształcenie równania do postaci x = 6y Odpowiedź: Liczba uczniów jest 6 razy większa od liczbynauczycieli. 5. Do liczby 72 dopisz po jednej cyfrze na końcu i na początku tak, aby otrzymać liczbę czterocyfrową podzielną przez 72. Podaj wszystkie możliwe liczby spełniające ten warunek oraz uzasadnienie odpowiedzi. ROZWIĄZANIE: Oznaczamy brakujące cyfry liczby czterocyfrowej przez x i y. Liczba x72y dzieli się przez 72, gdy dzieli się przez 8i przez 9. Liczba dzieli się przez 8, gdy trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8. Zatem y może być równe 0 lub 8. Liczba dzieli się przez 9, gdy suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Zatem 9/(x + 7 + 2 + 0). Ponieważ x ≠0, wiec x = 9. Rozwalając analogicznie przypadek, gdy y = 8,otrzymujemy x = 1. Otrzymaliśmy dwie liczby spełniające warunki zadania: 9720 i 1728. 6. Stara legenda głosi, że czeska królewna Libusza obiecała oddać swąrękę temu z trzech ubiegającychsię o nią rycerzy, który rozwiążenastępujące zadanie: Ile brzoskwińmieści koszyk, z którego połowę całej zawartości i jedną brzoskwinię oddam pierwszemu rycerzowi, zaś drugiemu połowęcałej reszty i jedna brzoskwinię, wreszcie trzeciemu połowę pozostałychi trzy ostatnie brzoskwinie? Oblicz, ile brzoskwińbyło w koszyku królewny Libuszy. ROZWIĄZANIE: I rycerz otrzymał 1 x+ 1 2 ( ( ) 1 1 x−1 +1 2 2 II rycerz otrzymał ) 1 1 1 x−1 +3 2 4 2 III rycerz otrzymał ( brzoskwiń, gdzie x oznacza liczbę brzoskwiń w koszyku ) ( ) 1 1 1 1 1 1 x+ 1+ x−1 +1+ x−1 + 3=x 2 2 2 2 4 2 Rozwiązanie równania: x = 30 Odpowiedź: W koszyku królewny Libuszy było 30 brzoskwiń.