Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego stopy procentowej
Transkrypt
Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego stopy procentowej
Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego stopy procentowej Trigger Swap Andrzej Konieczek BRE Bank 16 maja 2008 Wst˛ep Trigger Swap – charakterystyka instrumentu Model Brace-Gatarek-Musiela ˛ Implementacja Kalibracja Wyniki Problemy Potrzebne umiej˛etności Wst˛ep Dlaczego wycena instrumentów pochodnych jest trudnym problemem? I I I I I I I Nie można precyzyjnie określić prawa, które rzadzi ˛ rynkiem – rynek ulega ciagłej ˛ ewolucji Mamy do dyspozycji tylko jedna˛ realizacj˛e "doświadczenia" Ceny instrumentów pochodnych zaburzone sa˛ premia˛ za ryzyko kredytowe, niepłynność, użyteczność danej transakcji, podaż/popyt Zależność cen instrumentów pochodnych od parametrów nieobserwowalnych i niemożliwych do wyimplikowania z innych instrumentów Rynek jest niezupełny Bazuje na zaawansowanych metodach matematycznych (procesy stochastyczne, równania różniczkowe, metody numeryczne, statystyka) Konieczność doboru metod numerycznych pod katem ˛ efektywnej implementacji Wst˛ep I Wycena za pomoca˛ fundamentów I I I I Parametry modelu estymowane na podstawie danych historycznych i prognoz ekonomicznych/statystycznych Możliwość realizacji zysków z niedopasowania cen instrumentów pochodnych i właściwości statystycznych instrumentu podstawowego – możliwość arbitrażu statystycznego Wyniki moga˛ si˛e znacznie różnić w zależności od zakresu dat szeregów czasowych, cz˛estotliwości próbkowania, typu danych (ceny kupna, sprzedaży, zamkni˛ecia), użytego modelu – ryzyko arbitrażu natychmiastowego Wycena wzgl˛edna I I I Informacja o dynamice instrumentu podstawowego estymowana jest na podstawie cen innych instrumentów pochodnych Przy odpowiedniej kalibracji zbliżone ceny w różnych modelach Wymagana duża płynność podstawowych instrumentów pochodnych Trigger Swap – struktura wypłaty I W kolejnych okresach odsetkowych strona A płaci stronie B - do momentu przekroczenia bariery H przez stawk˛e referencyjna˛ LIBOR 6M odsetki wg stawki referencyjnej LIBOR 6M+1% - po przekroczeniu bariery H = 6% przez stawk˛e referencyjna˛ odsetki wg stawki stałej 5% I W zamian strona B płaci stronie A odsetki wg stawki LIBOR 6M L+1% 6 ? L L+1% L+1% 6 6 ? L @ I @ uderzona ? L bariera 5% 6 5% 6 ? L ? L Trigger Swap – struktura wypłaty I W kolejnych okresach odsetkowych strona A płaci stronie B - do momentu przekroczenia bariery H przez stawk˛e referencyjna˛ LIBOR 6M odsetki wg stawki referencyjnej LIBOR 6M+1% - po przekroczeniu bariery H = 6% przez stawk˛e referencyjna˛ odsetki wg stawki stałej 5% I W zamian strona B płaci stronie A odsetki wg stawki LIBOR 6M 1% 6 1% 6 5% 6 5% 6 ? L ? L 1% 6 I @ @ uderzona bariera Trigger Swap – własności I Wypłata w znacznym stopniu zależy od I I I prawdopodobieństwa uderzenia w barier˛e korelacji pomi˛edzy stopa˛ forward LIBOR i stopa˛ forward IRS ⇒ instrument wrażliwy na korelacj˛e stóp forward LIBOR ⇒ model wielofaktorowy ⇒ Monte Carlo Opcja barierowa, nieciagła ˛ wypłata ⇒ problemy numeryczne przy liczeniu wrażliwości Model Brace-Gatarek-Musiela ˛ Struktura czasowa 0 = T0 < T1 < · · · < TN+1 , Ti+1 − Ti = δ 1 B(t, Tn ) Ln (t) = −1 δ B(t, Tn+1 ) n dLn (t) ρin (t) σn (t) σi (t) δ Li (t) = ∑ dt + σn (t) dWtn Ln (t) 1 + δ L (t) i i=η(t) gdzie η(t) : Tη(t)−1 ≤ t < Tη(t) d < W·i , W·j >t = ρij (t) dt Numeraire (spot LIBOR measure) η(t)−1 B(t) = B(t, η(t)) ∑ i=0 (1 + δ Li (Ti )) (SDE) Implementacja Funkcja chwilowej zmienności (przedziałami stała) k σ̄ t ≤ Ti σi (t) = i i−η(t)+1 i = 1, . . . , N 0 t > Ti Funkcja chwilowej korelacji ρij (t) = ρij = e−β |Ti −Tj | β i, j = 1, . . . , N, β >0 Implementacja Dyskretyzacja równania (SDE) – schemat Eulera 0 = t0 < · · · < tK , {T0 , . . . , TN+1 } ⊆ {t0 , . . . , tK } Ŷn (t) = ln(L̂n (t)) 1 B(0, Tn ) Ŷn (0) = ln(L̂n (0)), L̂n (0) = −1 δ B(0, Tn+1 ) √ 1 2 Ŷn (tk+1 ) = Ŷn (tk )+ µ̂n (tk ) − σn (tk ) (tk+1 −tk )+σn (tk ) tk+1 − tk AZk 2 n µ̂n (t) = ρin (t) σn (t) σi (t) δ L̂i (t) 1 + δ L̂i (t) i=η(t) ∑ A : AAT = [ρij ] β Zk = [Zk1 , . . . , ZkN ]T , Zki ∼ N(0, 1), i.i.d. Wycena " PVt = B(t)E N+1 ∑ k=1 # XTk Ft B(Tk ) k−1 XTk = ak Lk−1 (Tk−1 ) + bk δ ∏ 11{Li (Ti )<H} i=0 Dla m = 1, . . . , M symulujemy trajektorie zgodnie z przyj˛eta˛ dyskretyzacja˛ – indeks (m) oznacza m-ta˛ realizacj˛e procesu (L̂1 (t), . . . , L̂N (t)) (m) (m) L̂0 (T0 ) L̂1 (T0 ) . . . (m) L̂1 (T1 ) . . . .. . (m) L̂N (T0 ) (m) L̂N (T1 ) .. . (m) L̂N (TN ) (m) M N+1 X̂ Tk ˆ 0 = B̂(0) 1 ∑ ∑ PV M m=1 k=1 B̂(m) (Tk ) Kalibracja Założenia kalibracji I Instrumenty do kalibracji powinny odzwierciedlać jak najlepiej ryzyko instrumentu wycenianego I Ceny instrumentów wybranych do kalibracji powinny być bliskie cenom otrzymywanym w modelu Dynamika instrumentów podstawowych w modelu (w naszym przypadku stóp forward LIBOR) ma zachować sens ekonomiczny i statystyczny I I I I struktura terminowa zmienności i korelacji ma być zbliżona do statystycznej jednorodność w czasie (przyszła zmienność i korelacje prognozowane przez model maja˛ być zbliżone do dzisiejszych) Stabilność, ciagłość ˛ – małe zmiany parametrów wejściowych do kalibracji powinny implikować małe zmiany parametrów modelu Kalibracja Cap – seria nast˛epujacych ˛ po sobie capletów Caplet – opcja waniliowa na stop˛e procentowa˛ Wypłata z capleta : cn (K, Tn , sn , kn ) = E (Ln (Tn ) − K)+ δ w chwili Tn+1 B(0) (Ln (Tn ) − K)+ δ F0 = B(Tn+1 ) δ B(0, Tn+1 ) [Ln (t)N(d1 ) − KN(d2 )] ln(Ln (0)/K) ± 21 v2Tn Tn √ vTn Tn s s Z 1 Tn 2 1 n−1 2 vTn = σn (t)dt = kn ∑ σ̄n−i (Ti+1 − Ti ) Tn 0 Tn i=0 d1,2 = sn = (σ̄1 , . . . , σ̄n ) Kalibracja Niech vmkt eda˛ zmiennościami capletów (zmienności implikowane, Ti b˛ forward-forward volatility) o cenie wykonania Ki i czasie trwania Ti dla i = 1, . . . , N, do których b˛edziemy kalibrować model. Etap I Zakładamy ki = 1, i = 1, . . . , N s∗N = arg min σ̄1 ,...,σ̄N N ∑ w2i vTi (σ̄1 , . . . , σ̄i ) − vmkt Ti 2 i=1 s∗N = (σ̄1∗ , . . . , σ̄N∗ ) s 1 i−1 2 vTi (σ̄1 , . . . , σ̄i ) = ∑ σ̄i−l (Tl+1 − Tl ) Ti l=0 wi – wagi dobierane w zależności od wymagań co do kalibracji (wi = vega – minimalizacja odległości średniokwadratowej cen capletów) Kalibracja Etap II Ten etap możemy pominać ˛ jeżeli chcemy uzyskać model jednorodny w czasie. Dobieramy współczynniki ki tak, aby dokładnie dopasować ceny (zmienności implikowane) capletów ki = vmkt Ti vTi (σ̄1∗ , . . . , σ̄N∗ ) Kalibracja Etap III Estymacja parametru β dla macierzy korelacji może przebiegać na jeden z dwóch sposobów w zależności od danych wejściowych a) Wejściowa macierz korelacji [ρijinput ] jest macierza˛ korelacji chwilowych (otrzymana˛ np. z estymacji z szeregu historycznego stóp forward LIBOR) β ∗ = arg min β N ∑ i,j=1 ρij − ρijinput β 2 Kalibracja b) Wejściowa macierz korelacji [ρijinput ] jest macierza˛ korelacji terminowych E Li (T̄) − E[Li (T̄)] Lj (T̄) − E[Lj (T̄) input ρij = q 2 q 2 E Li (T̄) − E[Li (T̄)] E Lj (T̄) − E[Lj (T̄)] T̄ = min{Ti , Tj } Kalibracja β ∗ = arg min β nR N ∑ ρ̄ij − ρijinput β 2 i,j=1 T̄ 0 ρij (t)σi (t)σj (t)dt o −1 β r ρ̄ij ≈ r = o o nR nR T̄ 2 T̄ 2 exp 0 σi (t)dt − 1 exp 0 σj (t)dt − 1 exp o n η(T̄)−1 β exp ∑k=0 ρij σ̄i−k σ̄j−k (Tk+1 − Tk ) − 1 r r n o n o η(T̄)−1 2 η(T̄)−1 2 (Tk+1 − Tk ) − 1 exp ∑k=0 σ̄i−k (Tk+1 − Tk ) − 1 exp ∑k=0 σ̄j−k Wyniki Bład ˛ obliczeń I statystyczny I I I skończona próbka rz˛edu √1M q 1 (i) − Ȳ)2 możemy oszacować s.e. = √1M M−1 (Y ∑M i=1 metody redukcji wariancji niedoskonałość generatora liczb pseudolosowych dyskretyzacja procesu I I skończony krok dyskretyzacji trudny do oszacowania ekstrapolacja bład ˛ zaokragleń ˛ numerycznych trudny do kontrolowania Hedging I w modelu (in-model) parametr hedgowany jest jednym z parametrów stochastycznych modelu (np. stopy forward LIBOR) I poza modelem (out-of-model) parametr hedgowany jest jednym z ustalonych parametrów wejściowych do modelu (np. zmienność, korelacja) Wrażliwości ∆i = ˆ 0 (Li (0) + ε) − PV ˆ 0 (Li (0) − ε) ∂ PV(Li (0)) PV ≈ ∂ Li (0) 2ε Problemy I Rozkład lognormalny I Problem wielowymiarowy (macierz korelacji niepełnego rz˛edu, problem źle uwarunkowany) I Duża złożoność obliczeniowa I Niestabilność kalibracji I Niedopasowanie modelu I Nadparametryzacja modelu I Bład ˛ MC I Interpolacja DF I Ryzyko operacyjne Potrzebne umiej˛etności I Teoretyczne I I I I Ekonomiczne I I I I Zrozumienie podstaw teoretycznych matematyki finansowej Umiej˛etność wyprowadzania formuł, aproksymacji Metody numeryczne Zrozumienie zasad działania rynku Zrozumienie własności wycenianego instrumentu Zrozumienie własności używanych modeli Informatyczne/Techniczne I I I J˛ezyki programowania (C++ najpopularniejszy) Techniki programowania (wzorce, struktury danych) Znajomość software’u/hardware’u (Excel, bazy danych, architektura komputera) A. Brace, D. Gatarek, ˛ M. Musiela, The Market Model of Interest Rate Dynamics. Mathematical Finance Vol. 7, No. 2002-01, 1997 D. Brigo, F. Mercurio, Interest Rates Models Theory and Practice. Springer, 2001 P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer, 2004 P. E. Kloeden, E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, 1992 M. Musiela, M. Rutkowski, Continuous-Time Term Structure Models: Forward Measure Approach. Finance and Stochastics, 4, 1997