Here

Transkrypt

Here

Rozprawa doktorska
Formalizm Fedosova kwantowania przez deformację
w teorii pól Yanga-Millsa na nieprzemiennej
czasoprzestrzeni i w nieprzemiennej teorii grawitacji
mgr inż. Michał Dobrski
Promotor
Prof. dr hab. Maciej Przanowski
Łódź, rok 2010
Spis treści
Wprowadzenie
1
1 Lokalny rachunek różniczkowy nad algebrą Fedosova
3
1.1
Trywializacja skwantowanej algebry funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Rachunek różniczkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Konstrukcja Fedosova a teoria odwzorowania Seiberga-Wittena
13
2.1
Odwzorowanie Seiberga-Wittena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Trywializacja skwantowanej wiązki endomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Odwzorowanie Seiberga-Wittena jako ∗-równoważność . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Modele teorii pola grawitacyjnego na nieprzemiennych czasoprzestrzeniach 25
3.1
Działanie Einsteina-Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1.1
Zdeformowane działania i równania pola . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1.2
Poprawki do metryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2
Działanie Palatiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3
Dyskusja wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.3.1
Struktura zdeformowanych działań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.2
Struktura zdeformowanych równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.3
Związek z odwzorowaniem Seiberga-Wittena . . . . . . . . . . . . . . .
36
A Konstrukcja Fedosova
39
A.1 Kwantowanie przez deformację wiązki endomorfizmów . . . . . . . . . . . . . .
39
A.2 Równoważności ∗-iloczynów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
A.3 Funkcjonał śladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
ii
Podziękowania
Chciałbym wyrazić wdzięczność osobom, od których otrzymałem pomoc przygotowując niniejszą pracę. Po pierwsze bardzo serdecznie dziękuję Panu Profesorowi Maciejowi Przanowskiemu
za wszystko czego mogłem się od niego i przy nim nauczyć oraz za cierpliwość i życzliwość.
Kolegom – Jaromirowi Tośkowi, Sebastianowi Formańskiemu, Michałowi Wasiakowi i Adamowi
Chudeckiemu – dziękuję za to, czego mnie nauczyli i co pomogli mi zrozumieć. Bardzo wiele
zawdzięczam także Rodzinie. Mojej drogiej Żonie dziękuję za wsparcie i pomoc w sprawach
związanych z codziennością; Mamie i Tacie – za wszystko to, za co syn może dziękować rodzicom, a przy tej okazji w sposób szczególny za uwagę, którą poświęcali mojej edukacji; Rodzicom
Żony – za wszelką pomoc. Wszystkim osobom, które okazały mi rozmaitego rodzaju wsparcie
– w tym Siostrze, Bratu, mojemu synowi Wojtkowi – dziękuję bardzo!
iii
Wprowadzenie
W 1999 roku Nathan Seiberg i Edward Witten opublikowali pracę [1], w której rozważając
różne regularyzacje pewnego szczególnego modelu teorii strun, zbudowali zdeformowaną (poprzez wykorzystanie ∗-iloczynu Moyala) wersję teorii Yanga-Millsa i wykazali, że istnieje odpowiedniość między polami zdeformowanymi a obiektami klasycznymi. Odpowiedniość ta szybko
zyskała miano odwzorowania Seiberga-Wittena i stała się przyczyną rosnącego zainteresowania1 teoriami pola na „nieprzemiennych czasoprzestrzeniach”, w których owa nieprzemienność
opisywana jest przy użyciu ∗-iloczynów.
Głównym celem niniejszej rozprawy jest zbadanie możliwości geometryzacji teorii opartych
o formalizm ∗-iloczynów i odwzorowanie Seiberga-Wittena. Motywacją dla podjęcia tego typu rozważań jest przekonanie, że czymkolwiek by nie była „nieprzemienna teoria grawitacji”,
powinna ona uwzględniać podstawową symetrię klasycznej teorii Einsteina – pełną niezmienniczość na transformacje układów odniesienia. Wśród dostępnych w literaturze sformułowań,
wyrażających nieprzemienność czasoprzestrzeni przez ∗-iloczyn funkcji, dominuje podejście wychodzące z mnożenia Moyala, a tym samym odsuwające na bok problem symetrii zadawanej
przez transformacje dyfeomorfizmów. Wiąże się to z ograniczeniem „parametrów nieprzemienności” θij do wielkości stałych (co naturalnie samo w sobie jest żądaniem niegeometrycznym).
W celu przezwyciężenia tych problemów skorzystamy z możliwości jakie daje całkowicie geometryczna konstrukcja ∗-iloczynu Fedosova [2, 3], wraz z towarzyszącą jej teorią ∗-równoważności.
Zauważmy jednak, że samo przejście od mnożenia Moyala do iloczynu Fedosova nie rozwiązuje
automatycznie wszystkich trudności, gdyż nadal nie wiemy czym powinny być obiekty „nieprzemiennej geometrii” – pola wektorowe, koneksje, ich krzywizny itp. Problem ten można
częściowo rozwiązać stosując eleganckie uogólnienie konstrukcji Fedosova – kwantowanie przez
deformację wiązki endomorfizmów.
Praca podzielona jest na trzy rozdziały i dodatek. Autor pozwala sobie zasugerować, aby
1
W czerwcu 2010 roku, w bazie Scopus odnaleźć mogliśmy 430 cytowań pracy [1].
1
Wprowadzenie
lekturę rozpocząć właśnie od dodatku, który zawiera zwięzły opis konstrukcji Fedosova. Ustalamy tam szereg definicji, twierdzeń i oznaczeń, które przewijają się w pozostałych częściach
rozprawy. Sam formalizm Fedosova przedstawiony jest w sposób bardzo zbliżony do oryginalnego sformułowania [3], pomijamy jednak niektóre uogólnienia, z których nie korzystamy,
a które mogłyby zaciemniać obraz teorii. Rozdział pierwszy (oparty o artykuł [4]) można nieco
przewrotnie nazwać zapisem pouczającej porażki. Jest on bowiem poświęcony próbie konstrukcji rachunku różniczkowego nad algebrą funkcji z ∗-iloczynem Fedosova. Otrzymany rezultat,
będący pierwszym jawnym przykładem rachunku różniczkowego nad algebrą Fedosova, jest jednak wynikiem lokalnym i niekowariantnym. Wprowadzone różniczkowania okazują się jednak
przydatne w rozdziale drugim (bazującym na pracy [5]). Zawiera on w pewnym sensie centralny rezultat niniejszej pracy, a mianowicie zależność (2.13). Pokazuje ona w jaki sposób lokalne
i zależne od wyboru współrzędnych odwzorowania Seiberga-Wittena są konsekwencją istnienia oraz własności globalnej geometrycznej struktury – kwantowania przez deformację wiązki
endomorfizmów. Uzbrojeni w tę wiedzę przechodzimy do rozdziału trzeciego, w którym przystępujemy do budowy zdeformowanej teorii pola grawitacyjnego w próżni. Wyciągając wnioski
z poprzednich części, stosujemy zupełnie nowe podejście, polegające na zapisaniu klasycznych
działań teorii Einsteina w postaci całek z cięć pewnej wiązki endomorfizmów. Zastępujemy
mnożenie endomorfizmów przez odpowiedni ∗-iloczyn Fedosova, zaś całkę – przez zdeformowany funkcjonał śladu. Ponieważ jest to procedura całkowicie geometryczna, zatem otrzymujemy
w pełni kowariantne poprawki do działania i równań pola. Analizujemy je i dla prostszych modeli podajemy poprawki do metryki wynikające z procedury deformacyjnej. Dzięki wynikom
rozdziału drugiego pokazujemy, w jaki sposób zdeformowane działania mogą być rozumiane w
języku odwzorowań Seiberga-Wittena.
Na zakończenie kilka uwag dotyczących podstawowych oznaczeń i konwencji. Wielkość h
w całej rozprawie oznacza parametr deformacji, którego nie utożsamiamy ze stałą Plancka. W
rozdziale pierwszym, drugim oraz w dodatku podnosimy i opuszczamy indeksy przy użyciu formy symplektycznej (por. przypis 1 w dodatku). W rozdziale trzecim indeksy są przemieszczane
metryką. Wielkość n oznacza połowę wymiaru rozmaitości bazowej tzn. dim M = 2n.
2
Rozdział 1
Lokalny rachunek różniczkowy nad algebrą
Fedosova
Celem tego rozdziału jest skonstruowanie przykładu rachunku różniczkowego nad algebrą funkcji na rozmaitości symplektycznej z ∗-iloczynem Fedosova1 . Istnienie rachunku różniczkowego
nad dowolną algebrą jest faktem dobrze znanym [6, 7], a zaprezentowane poniżej rozumowanie,
opublikowane w pracy [4], inspirowane jest standardowymi metodami algebraicznymi geometrii nieprzemiennej [7, 8, 9] i klasycznym podręcznikiem [10]. Budując nasz przykład, będziemy
chcieli osiągnąć rezultat, który zachowuje jak najwięcej cech zwykłej algebry Cartana, a jednocześnie może być rozumiany jako deformacja tejże algebry. W tym celu wprowadzimy zestaw
komutujących różniczkowań algebry Fedosova, który otrzymamy dzięki izomorfizmowi trywializacyjnemu. Konsekwencją takiego podejścia będzie lokalność całej konstrukcji. W kolejnym
rozdziale przekonamy się jednak, że nawet owe lokalne różniczkowania mogą być pomocne przy
badaniu związku między teorią odwzorowania Seiberga-Wittena a formalizmem Fedosova.
Zbliżone rozważania dotyczące rachunku różniczkowego nad algebrą Fedosova pojawiają się
w pracy [11]. Główna różnica polega na tym, że w [11] istnienie elementów λi spełniających lemat 1.2 jest postulowane, podczas gdy w niniejszym ujęciu są one konstruowane z izomorfizmu
trywializacyjnego. Umożliwia to podanie konkretnych wzorów na różniczkowania będące odpowiednikami
∂
.
∂xi
Deformacja algebry form różniczkowych przy użyciu technik Fedosova była
także rozważana w [12] z wykorzystaniem metod geometrii superrozmaitości. Otrzymany rezultat nie zachowuje jednak struktury algebry z N-gradacją. W [13] zbiór cięć wiązki wektorowej
traktowano jako moduł, którego elementy mogą być z lewej strony mnożone przez cięcia wiązki
1
W sensie opisanym w uwadze A.5
3
1.1 Trywializacja skwantowanej algebry funkcji
Rozdział 1
endomorfizmów, a z prawej przez funkcje na rozmaitości. Sformułowano deformację Fedosova
tej struktury, trudno jednak wskazać, w jaki sposób konstrukcja ta mogłaby zostać doposażona
w kompatybilny iloczyn tensorowy, iloczyn zewnętrzny i operację różniczkowania. Warto wreszcie wymienić niedawną pracę [14], gdzie podjęto próbę zbudowania deformacji algebry Cartana
na rozmaitości symplektycznej. Użyto jednej z najbardziej podstawowych technik, tzn. analizę
kompleksów kohomologii Hochschilda. Zbudowano deformację do potęgi h2 włącznie, jednak
z ograniczeniem zwykłej reguły Leibniza wyłącznie do h1 , przy założeniu, że rozmaitość dopuszcza pewną płaską koneksję w wiązce stycznej, oraz bez gwarancji, że konstrukcja może być
rozszerzona na wyższe potęgi h.
W obrębie niniejszego rozdziału rozważamy wyłącznie ∗-iloczyn funkcji. Symbole ∗, D i r
oznaczają zatem obiekty opisane w uwadze A.5 jako ∗S , DS i rS .
1.1
Trywializacja skwantowanej algebry funkcji
Zajmiemy się wpierw wyznaczeniem konkretnej postaci izomorfizmu, o którym mowa w twierdzeniu A.10. Niech O ⊂ M będzie otoczeniem, na którym wprowadzamy współrzędne Darboux
xi . Koneksja abelowa, zapisana lokalnie, przyjmuje postać
D =d+
S
i
[ωij y i dxj + 1/2Γijk y i y j dxk + r, · ],
h
Rozważmy lokalną homotopię koneksji symplektycznych ∂ S(t) o współczynnikach GSijk (t) spełS
niających GSijk (0) = Γijk oraz GSijk (1) = 0. Generuje ona homotopię koneksji abelowych
Dt = d +
i
i
[ωij y i dxj + 1/2GSijk (t)y i y j dxk + r(t), · ] = d + [γ(t), · ],
h
h
spełniającą D0 = D i D1 = d − δ = DT (w sensie uwagi A.6).
Zgodnie z twierdzeniem A.8 aby ustanowić izomorfizm między WD a WDT potrzebujeS
my hamiltonianu spełniającego równanie Dt H(t) = γ̇(t). Czyniąc użytek z twierdzenia A.4,
S
otrzymujemy2 H(t) = −Qt δ −1 γ̇(t). Ponieważ d/dt komutuje z δ −1 oraz pozostajemy przy
standardowej normalizacji δ −1 r = 0, zatem
S
1
H(t) = − Qt (ĠSijk (t)y i y j y k ),
6
S
co oznacza, że spełniony jest warunek deg(H(t)) 3. Wszystkie założenia twierdzenia A.8
są zatem spełnione. Aby dostać jawną postać określonego przez to twierdzenie izomorfizmu,
2
Por. uwaga A.9.
4
1.1 Trywializacja skwantowanej algebry funkcji
Rozdział 1
S
potrzebujemy jawnej postaci H(t). Używając metody iteracyjnej w zależności (A.6) możemy
S
obliczyć H(t) aż do stopnia 5
S
1 S(t)
1
H(t) = − ĠSijk (t)y i y j y k − ∂i ĠSjkl (t)y i y j y k y l +
6
24
1 S(t) S(t) S
1 S
i j k l m
−
∂ ∂j Ġklm (t)y y y y y − Rijpk (t)ĠS plm (t)y i y j y k y l y m +
120 i
80
S
1
+ h2 Rijkl (t)ĠS ijk (t)y l + . . .
32
S
(1.1)
S
gdzie Rijkl (t) jest homotopią tensorów krzywizny odpowiadającą ∂ S(t) . Niech T : WD → WDT
S
oznacza izomorfizm odpowiadający H(t), otrzymany na mocy twierdzenia A.8. Będziemy go
nazywać lokalną trywializacją algebry WD do WDT . Używając (1.1) przy iteracyjnym rozwiąS
zywaniu równania (A.9) możemy obliczyć T do potęgi h2

S
2
T (Q(f )) = QT (f ) + h QT 
1 lp ∂f
ω
24
∂xp
Z 1 S
∂ Γijk (τ ) d
0
∂xl
dt
S
Γijk (τ )dτ +
S
1
∂2f S S
1
∂3f
− ω lp p k Γijk Γijl −
Γijk
i
j
k
16
∂x ∂x
24 ∂x ∂x ∂x
(1.2)
!
+ O(h3 )
(1.3)
S
dla dowolnego f ∈ C ∞ (M)[[h]]. Izomorfizm T jest zależny od wyboru homotopii ∂ S(t) . Jednak
S
dla homotopii postaci GSijk (t) = g(t)Γijk (g : [0, 1] → R, g(0) = 0, g(1) = 1) wynik nie zależy
(przynajmniej do potęgi h2 ) od wyboru funkcji g. W takim przypadku

S
2
T (Q(f )) = QT (f ) − h QT 
S
1 lp ∂f ∂ Γijk S ijk
ω
Γ +
48
∂xp ∂xl
S
∂2f S S
∂3f
1
1
+ ω lp p k Γijk Γijl +
Γijk
i
j
k
16
∂x ∂x
24 ∂x ∂x ∂x
(1.4)
!
+ O(h3 )
(1.5)
oraz

S
T
−1
S
1
∂f ∂ Γijk S ijk
(Q0 (f )) = Q(f ) + h Q  ω lp p
Γ +
48
∂x ∂xl
2
S
1
∂2f S S
1
∂3f
+ ω lp p k Γijk Γijl +
Γijk
i
j
k
16
∂x ∂x
24 ∂x ∂x ∂x
!
+ O(h3 )
(1.6)
Powyższej formy izomorfizmu trywializacyjnego użyjemy przy konstrukcji lokalnego rachunku
różniczkowego nad algebrą Fedosova.
5
1.2 Rachunek różniczkowy
1.2
Rozdział 1
Rachunek różniczkowy
W zaprezentowanej poniżej konstrukcji wychodzimy od podstawowych idei Madore’a i współpracowników [8, 7], a następnie podążamy znaną ścieżką klasycznej konstrukcji algebry Cartana
[10].
Przypomnijmy algebraiczną definicję rachunku różniczkowego nad algebrą K0 [8, 9].
Definicja 1.1. Łączną, zespoloną algebrę K z jednością i mnożeniem ∧ nazywamy rachunkiem
różniczkowym nad algebrą K0 , jeśli zachowuje ona strukturę N-gradacji
1. K =
M
Km ,
m0
2. Kk ∧ Kl ⊂ Kk+l
oraz jest wyposażona w zgodne z tą strukturą nilpotentne różniczkowanie d : K → K
3. dKl ⊂ Kl+1 ,
4. d(η ∧ ξ) = (dη) ∧ ξ + (−1)l η ∧ dξ
dla dowolnego η ∈ Kl oraz ξ ∈ K,
5. d2 = 0.
Ustalmy otoczenie O ⊂ M, dla którego możemy wprowadzić współrzędne Darboux xi i
skonstruować izomorfizm trywializacyjny. Niech Λ0 = A oznacza zwykłą algebrę funkcji na O
oraz niech Λ0∗ = A∗ będzie algebrą szeregów formalnych otrzymaną z konstrukcji Fedosova.
Podstawowa trudność z jaką musimy się zmierzyć polega na tym, że zbiór różniczkowań algebry A∗ , który oznaczać będziemy jako Der(A∗ ), nie tworzy w naturalny sposób A∗ -modułu
(ani lewo-, ani prawostronnego). Jest to zasadnicza różnica w stosunku do zbioru Der(A),
który jest obustronnym A-modułem. Skorzystamy z opisanego w [8, 7] sposobu wprowadzania rachunku różniczkowego nad algebrą nieprzemienną. Kluczowy pomysł podejścia Madore’a
polega na wybraniu pewnego zbioru X = {X1 , . . . , X2n } składającego się z 2n różniczkowań
Xi ∈ Der(A∗ ) i będącego analogonem reperu w klasycznej geometrii różniczkowej. Użyjemy
różniczkowań postaci
Xi =
i
[λi ∗, · ],
h
(1.7)
gdzie [ · ∗, · ] oznacza komutator ze względu na ∗-iloczyn Fedosova. Wielkości λi ustalimy jako
S
λi := ωij Q−1 T −1 QT xj .
6
(1.8)
Rozdział 1
Wykorzystując (1.6) znajdujemy, że
S
h2 ∂ Γjkl S jkl
λi = ωij x −
Γ + O(h3 )
48 ∂xi
j
Różniczkowanie Xi działając na f ∈ A∗ daje

 S

S
S

S
1 ls ∂f ∂  ∂ Γmjk mjk 
∂f
1 ls ∂ 2 f ∂(Γmjk Γmjl )
2
−h
+
Xi (f ) =
ω
Γ
+ ω
 48
∂xi
∂xs ∂xi
∂xl
16
∂xs ∂xk
∂xi

S

3
mjk
1
∂ f
∂Γ
+
24 ∂xm ∂xj ∂xk ∂xi 
+ O(h3 ) (1.9)
Najistotniejsze właściwości „reperu” X są konsekwencją następującego lematu.
Lemat 1.2. Zależności komutacyjne dla λi mają postać
i
[λi ∗, λj ] = −ωij .
h
(1.10)
Dowód. Prostym rachunkiem obliczamy
S
S
i
i
[λi ∗, λj ] = [ωik Q−1 T −1 QT xk ∗, ωjl Q−1 T −1 QT xl ] =
h
h
i −1 S −1
= ωik ωjl Q T [QT xk ◦, QT xl ] = ωik ω kl ωjl = −ωij .
h
Wniosek 1.3. Dla dowolnego Xi , Xj ∈ X zachodzi Xi Xj = Xj Xi .
Dowód. Korzystając z lematu 1.2 oraz tożsamości Jacobiego dostajemy dla f ∈ A∗
Xi Xj f = −
1
1
1
[λi ∗, [λj ∗, f ]] = 2 [f ∗, [λi ∗, λj ]] + 2 [λj ∗, [f ∗, λi ]] =
h2
h
h
1
− 2 [λj ∗, [λi ∗, f ]] = Xj Xi f.
h
Niech T∗k (X ) oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem C, której elementami są odwzorowania z X k (k-krotnego iloczynu kartezjańskiego X × X × · · · × X ) w A∗ . T∗k (X ) posiada
naturalną strukturę obustronnego A∗ -modułu zadaną relacjami
(f ∗ η)(Xi1 , . . . , Xik ) = f ∗ η(Xi1 , . . . , Xik ),
(η ∗ f )(Xi1 , . . . , Xik )
= η(Xi1 , . . . , Xik ) ∗ f
7
Rozdział 1
dla f ∈ A∗ , η ∈ T∗k (X ) oraz Xi1 , . . . , Xik ∈ X .
Dla T ∈ T∗k (X ) oraz S ∈ T∗l (X ) iloczyn tensorowy T ⊗∗ S ∈ T∗k+l (X ) definiujemy jako
(T ⊗∗ S)(Xi1 , . . . , Xik+l ) := T (Xi1 , . . . , Xik ) ∗ S(Xik+1 , . . . , Xik+l ).
Twierdzenie 1.4. Iloczyn ⊗∗ posiada następujące właściwości
(S1 + S2 ) ⊗∗ T = S1 ⊗∗ T + S2 ⊗∗ T,
T ⊗∗ (S1 + S2 ) = T ⊗∗ S1 + T ⊗∗ S2 ,
(f ∗ S) ⊗∗ T = f ∗ (S ⊗∗ T ),
S ⊗∗ (T ∗ f ) = (S ⊗∗ T ) ∗ f,
(S ∗ f ) ⊗∗ T = S ⊗∗ (f ∗ T ),
(S ⊗∗ T ) ⊗∗ U = S ⊗∗ (T ⊗∗ U )
dla S1 , S2 , S, T, U należących do pewnego (niekoniecznie tego samego) T∗k (X ) oraz f ∈ A∗ .
Dowód jest bezpośrednią konsekwencją własności ∗-iloczynu Fedosova.
Wprowadzamy różniczkę zewnętrzną dla f ∈ A∗ jako odwzorowanie d∗ f ∈ T∗1 (X ) zdefiniowane poprzez
d∗ f (Xi ) := Xi (f ).
Można łatwo zaobserwować, że d∗ spełnia regułę Leibniza
d∗ (f ∗ g) = (d∗ f ) ∗ g + f ∗ d∗ g.
Nasz wybór X umożliwia wprowadzenie „koreperu” Θ = {θ1 , . . . , θn } składającego się z
θj ∈ T∗1 (X ) zdefiniowanych jako
θj := d∗ (ω jk λk ) = d∗ (Q−1 T −1 Q0 xj )
Z lematu 1.2 dostajemy, że
θj (Xi ) = Xi (ω jk λk ) = −ω jk ωik = δ ji .
W konsekwencji wnioskujemy, że θj komutuje z dowolnym f ∈ A∗
f ∗ θj = θj ∗ f.
Niech Bk oznacza zbiór wszystkich k-krotnych iloczynów θi1 ⊗∗ · · · ⊗∗ θik (B1 = Θ).
8
(1.11)
Rozdział 1
Twierdzenie 1.5. Bk generuje A∗ -moduł T∗k (X ) w sposób wolny.
Dowód. Dla dowolnego T ∈ T∗k (X ) mamy
T = T (Xi1 , . . . , Xik ) ∗ θi1 ⊗∗ · · · ⊗∗ θik ,
(1.12)
a ponadto równanie ri1 ...ik ∗θi1 ⊗∗ · · ·⊗∗ θik = 0 implikuje rj1 ...jk = 0, co otrzymujemy obliczając
lewą stronę w działaniu na (Xj1 , . . . , Xjk ).
Wnioskujemy zatem, że Bk jest A∗ -bazą modułu T∗k (X ).
Budując nasz rachunek różniczkowy, ustalamy Λ1∗ = T∗1 (X ). Właściwości X powodują,
że konstrukcja Λk∗ dla k > 1 może przebiegać analogicznie do konstrukcji Λk . Zaprezentowane
poniżej podejście jest oparte na klasycznym podręczniku [10], a pominięte dowody są identyczne
z tymi, które można tam odnaleźć.
Element η ∈ T∗k (X ) nazywamy alternującym jeśli
η(Xi1 , . . . , Xip , . . . , Xiq , . . . , Xik ) =
−η(Xi1 , . . . , Xiq , . . . , Xip , . . . , Xik )
dla dowolnych 1 ¬ p < q ¬ k. Podzbiór zbioru T∗k (X ) złożony ze wszystkich elementów
alternujących η ∈ T∗k (X ) jest obustronnym podmodułem T∗k (X ). Ustalamy ten podmoduł jako
Λk∗ . Jeżeli iq = ip dla pewnych q 6= p wówczas η(Xi1 , . . . , Xik ) = 0. Wyciągamy stąd wniosek,
że Λk∗ znika dla k > 2n.
Do zdefiniowania iloczynu zewnętrznego potrzebujemy rzutowania z T∗k (X ) na Λk∗ . Wybierzemy je w standardowy sposób. Dla T ∈ T∗k (X ) niech
Alt(T )(Xi1 , . . . , Xik ) :=
1 X
sgn(σ)T (Xiσ(1) , . . . , Xiσ(k) ),
k! σ∈S
k
gdzie Sk oznacza grupę permutacji zbioru {1, . . . , k}, zaś sgn(σ) = 1 dla permutacji parzystych
oraz sgn(σ) = −1 dla nieparzystych.
Twierdzenie 1.6. Operacja Alt posiada następujące własności
Alt(T ) ∈ Λk∗ ,
Alt(f ∗ T + S ∗ g) = f ∗ Alt(T ) + Alt(S) ∗ g,
Alt(η) = η,
Alt(Alt(T )) = Alt(T )
dla dowolnych T, S ∈ T∗k (X ), η ∈ Λk∗ oraz f, g ∈ A∗ .
9
(1.13)
Rozdział 1
Drugi z powyższych wzorów można łatwo uzyskać wykorzystując definicję Alt, zaś pozostałe
są udowodnione w [10]. Dla η ∈ Λk∗ i ξ ∈ Λl∗ ich iloczyn zewnętrzny η ∧∗ ξ ∈ Λk+l
określamy
∗
jako
η ∧∗ ξ :=
(k + l)!
Alt(η ⊗∗ ξ).
k!l!
Twierdzenie 1.7. Iloczyn ∧∗ posiada własności
(ξ1 + ξ2 ) ∧∗ η = ξ1 ∧∗ η + ξ2 ∧∗ η,
η ∧∗ (ξ1 + ξ2 ) = η ∧∗ ξ1 + η ∧∗ ξ1 ,
(f ∗ η) ∧∗ ξ = f ∗ (η ∧∗ ξ),
η ∧∗ (ξ ∗ f ) = (η ∧∗ ξ) ∗ f,
(η ∗ f ) ∧∗ ξ = η ∧∗ (f ∗ ξ),
(η ∧∗ ξ) ∧∗ ζ = η ∧∗ (ξ ∧∗ ζ),
dla dowolnych η ∈ Λk∗ , ξ, ξ1 , ξ2 ∈ Λl∗ oraz f ∈ A∗ .
Wszystkie, oprócz ostatniej, z powyższych zależności są prostymi konsekwencjami twierdzeń 1.4 i 1.6. Dowód łączności ∧∗ jest bardziej skomplikowany i przebiega w trzech etapach. Po pierwsze, należy zaobserwować, że dla T ∈ T∗k (X ), S ∈ T∗l (X ), Alt(S) = 0 zachodzi
Alt(T ⊗∗ S) = 0 = Alt(S ⊗∗ T ). Kolejny krok polega na stwierdzeniu, że
Alt(Alt(η ⊗∗ ξ) ⊗∗ ζ) = Alt(η ⊗∗ ξ ⊗∗ ζ) =
= Alt(η ⊗∗ Alt(ξ ⊗∗ ζ)),
(1.14)
dla η, ξ, ζ należących do pewnego (niekoniecznie tego samego) Λk∗ . Ostatecznie dowodzi się
równości
(k + l + m)!
Alt(η ⊗∗ ξ ⊗∗ ζ) = η ∧∗ (ξ ∧∗ ζ),
k!l!m!
dla dowolnych η ∈ Λk∗ , ξ ∈ Λl∗ , ζ ∈ Λm
∗ . Nieprzemienność ∗-iloczynu Fedosova nie odgrywa roli
(η ∧∗ ξ) ∧∗ ζ =
w żadnym z powyższych kroków. Główne znaczenie mają tutaj własności grup permutacji oraz
twierdzenia 1.4 and 1.6. Pominięte szczegóły dowodu odnaleźć można w [10].
Twierdzenie 1.7 usprawiedliwia rozszerzenie iloczynu zewnętrznego na 0-formy. Dla
f ∈ Λ0∗ = A∗ oraz η ∈ Λk∗ ustalamy f ∧∗ η := f ∗ η i η ∧∗ f := η ∗ f .
Zauważmy, że w ogólności nie możemy dostać związku analogicznego do η ∧ ξ = (−1)kl ξ ∧ η.
Jednak ze względu na zależność (1.11) zachodzi wzór
θi ∧∗ θj = −θj ∧∗ θi ,
10
(1.15)
Rozdział 1
dla dowolnych θi , θj ∈ Θ, a w ogólniejszej postaci
θi1 ∧∗ θi2 ∧∗ · · · ∧∗ θik = sgn(σ)θiσ(1) ∧∗ θiσ(2) ∧∗ · · · ∧∗ θiσ(k) ,
(1.16)
dla σ ∈ Sk oraz θi1 , . . . , θik ∈ Θ.
Korzystając z lematu 1.5 oraz z zależności (1.13), (1.14), dowolny element η ∈ Λk∗ można
przedstawić w postaci
1
η(Xi1 , . . . , Xik ) ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik .
k!
Po zastosowaniu (1.16) upraszczamy powyższy związek do
η=
η=
X
η(Xi1 , . . . , Xik ) ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik .
1¬i1 <···<ik ¬n
Można dowieść A∗ -liniowej niezależności zbioru Ck := {θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik : 1 ¬ i1 < · · · < ik ¬ n}.
Wyciągamy stąd wniosek, że Ck jest A∗ -bazą Λk∗ oraz, że
!
dim(Λk∗ )
2n
.
k
=
Ponadto, wzór (1.16) zapewnia, że
1
1
ηi1 ...ik ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik = η[i1 ...ik ] ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik .
k!
k!
Co więcej, dowolny element η ∈ Λk∗ może być zapisany w sposób jednoznaczy w postaci
η=
1
ηi ...i ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik
k! 1 k
o ile zażądamy całkowitej antysymetryczności ηi1 ...ik .
Zauważmy wreszcie, że dla dowolnych form η =
1
k! ηi1 ...ik
∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik oraz ξ = l!1 ξj1 ...jl ∗
θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl ich iloczyn zewnętrzny zapisać można w postaci
η ∧∗ ξ =
1
ηi ...i ∗ ξj1 ...jl ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ∧∗ θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl .
k!l! 1 k
Jesteśmy gotowi, aby rozszerzyć działanie d∗ na formy wyższego stopnia. Określmy
d∗
1
ηi ...i ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik
k! 1 k
Przypuśćmy, że
1
k! ηi1 ...ik
:=
1
Xj (ηi1 ...ik ) ∗ θj ∧∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik .
k!
∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik =
1
k! η̃i1 ...ik
(1.17)
∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik . Zastępując Xj (ηi1 ...ik )
przez X[j (ηi1 ...ik ] ) w (1.17) oraz korzystając z faktu, że η[i1 ...ik ] = η̃[i1 ...ik ] dostajemy
d∗
1
ηi ...i ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik
k! 1 k
= d∗
1
η̃i ...i ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ,
k! 1 k
a zatem działanie różniczki d∗ jest poprawnie określone. Ponadto, powyższa definicja d∗ jest
zgodna z definicją dla 0-form, gdyż d∗ f = (d∗ f )(Xj ) ∗ θj = Xj (f ) ∗ θj dla f ∈ A∗ .
11
Rozdział 1
Twierdzenie 1.8. Różniczka zewnętrzna d∗ posiada następujące własności
1. d∗ d∗ = 0,
2. d∗ (η ∧∗ ξ) = (d∗ η) ∧∗ ξ + (−1)k η ∧∗ (d∗ ξ) dla η ∈ Λk∗ oraz ξ ∈ Λl∗ .
Dowód. Stosując wniosek 1.3 oraz wzór (1.15) obliczamy
d∗ d∗ η =
=−
1
Xk (Xj (ηi1 ...ik )) ∗ θk ∧∗ θj ∧∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik =
k!
1
Xj (Xk (ηi1 ...ik )) ∗ θj ∧∗ θk ∧∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik = −d∗ d∗ η = 0.
k!
Regułę Leibniza uzasadnić można następująco
d∗ (η ∧∗ ξ) = d∗
1
ηi ...i ∗ ξj1 ...jl ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ∧∗ θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl
k!l! 1 k
=
1
Xj (ηi1 ...ik ) ∗ ξj1 ...jl ∗ θj ∧∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ∧∗ θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl +
k!l!
1
+
ηi ...i ∗ Xj (ξj1 ...jl ) ∗ θj ∧∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ∧∗ θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl =
k!l! 1 k
1
Xj (ηi1 ...ik ) ∗ ξj1 ...jl ∗ θj ∧∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ∧∗ θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl +
k!l!
1
ηi ...i ∗ Xj (ξj1 ...jl ) ∗ θi1 ∧∗ · · · ∧∗ θik ∧∗ θj ∧∗ θj1 ∧∗ · · · ∧∗ θjl =
+(−1)k
k!l! 1 k
= (d∗ η) ∧∗ ξ + (−1)k η ∧∗ (d∗ ξ).
=
Ostatecznym wnioskiem z powyższych rozważań jest stwierdzenie, że Λ∗ =
z iloczynem ∧∗ i różniczkowaniem d∗ tworzy rachunek różniczkowy nad
Λ0∗
L
k
k0 Λ∗
razem
= A∗ .
Zaprezentowana konstrukcja jest niewątpliwie lokalna oraz zależna od wyboru konkretnych
współrzędnych Darboux. Z drugiej strony jej zaletą jest fakt, że może być traktowana jako
deformacja zwykłego rachunku różniczkowego i to w dwojaki sposób. Poprawki określające
różniczkowania Xi znikają bowiem, zarówno gdy przechodzimy do h = 0, jak i w przypadku,
S
gdy ∗-iloczyn redukuje się do mnożenia Moyala, czyli dla Γijk ≡ 0.
12
Rozdział 2
Związek między konstrukcją Fedosova a teorią
odwzorowania Seiberga-Wittena
W niniejszym rozdziale zajmiemy się związkiem, jaki zachodzi między konstrukcją kwantowania przez deformację wiązki endomorfizmów, a teorią odwzorowania Seiberga-Wittena. Zasadniczy rezultat otrzymany tutaj streszczamy następująco: odwzorowanie Seiberga-Wittena można rozumieć jako lokalną trywializację kwantowania przez deformację wiązki endomorfizmów.
Pierwszą konsekwencją takiego podejścia będzie inny sposób traktowania owego odwzorowania.
Przestaje ono być obiektem, który musi być w jakiś pomysłowy sposób wyznaczony z równań
Seiberga-Wittena, a staje się wielkością, która spełniając te równania, może zostać zdefiniowana i obliczona przy użyciu iteracyjnych procedur Fedosova. Kolejny wniosek wynika z definicji
trywializacji, która jest lokalnym izomorfizmem między pewną globalną konstrukcją, a lokalnym obiektem prototypowym dla tej konstrukcji. Wobec tego, naturalnym staje się przejście
od rozważań wyrażonych przy użyciu lokalnego izomorfizmu i lokalnego ∗-iloczynu, do teorii
określonej wyłącznie przez globalny ∗-iloczyn endomorfizmów. Takie rozumowanie zaprowadzi
nas do opisanych w kolejnym rozdziale globalnych deformacji próżniowych równań Einsteina.
2.1
Odwzorowanie Seiberga-Wittena
Podsumujmy podstawowe informacje dotyczące równań i odwzorowania Seiberga - Wittena.
W pracy [1] Seiberg i Witten rozważali dwie regularyzacje pewnego wariantu teorii strun.
Z jednej strony otrzymano zwykłą teorię Yanga-Millsa, w której reguła transformacji potencjału
13
2.1 Odwzorowanie Seiberga-Wittena
Rozdział 2
cechowania zadana jest na poziomie infinitezymalnym przez
A0i = Ai +
∂χ
+ i[χ, Ai ].
∂xi
(2.1)
W drugim przypadku reguła transformacji przyjęła postać
Ab0i = Abi +
b
∂χ
bi − iA
bi ∗T χ
b
b ∗T A
+ iχ
∂xi
(2.2)
gdzie ∗T należy rozumieć jako modyfikację iloczynu macierzowego, polegającą na zastąpieniu
zwykłego mnożenia elementów macierzy przez iloczyn Moyala ∗T . Teorię taką nazwano nieprzemienną teorią Yanga-Millsa1 . Oba sformułowania powinny być równoważne, co wyrażono
b
wprowadzając odwzorowania2 Abi (A) = Ai + O(h) oraz χ(χ,
A) = χ + O(h), które wstawione
do (2.2) określają związek między zwykłą, a nieprzemienną teorią Yanga-Millsa
Abi (A0 ) = Abi (A) +
∂
b
b
b
A).
χ(χ,
A) + iχ(χ,
A) ∗T Abi (A) − iAbi (A) ∗T χ(χ,
∂xi
(2.3)
Seiberg i Witten pokazali, że powyższe równania (równania Seiberga-Wittena) posiadają rozb
b
wiązania i podali postać A(A)
i χ(χ,
A) (odwzorowania Seiberga-Wittena) do pierwszej potęgi
h. Przez kolejne lata równania Seiberga-Wittena przyciągały wielu autorów, którzy badali ich
rozwiązania ([15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23] wraz z obszerną bibliografią tamże) oraz stosowali
je do sformułowania rozmaitych teorii pola. Można powiedzieć, że z biegiem czasu „strunowe”
pochodzenie równań (2.3) uległo w pewnym stopniu zatarciu, a bardziej wyraziste stało się
podejście, które traktuje je jako swego rodzaju postulat, mniej lub bardziej niezależny od teorii
strun.
Przedstawione w poniższym rozdziale rozumowanie jest zainspirowane pracą [24], gdzie po
raz pierwszy wskazano na związek między równoważnościami ∗-iloczynów, a odwzorowaniem
Seiberga-Wittena dla najprostszego cechowania abelowego. Główny pomysł polegał tutaj na
skonstruowaniu równoważności między pewnym wyjściowym ∗-iloczynem Kontsevicha [25, 26],
zadanym przez formę symplektyczną ωij , a ∗-iloczynem powstałym na skutek zaburzenia formy
0 = ω + F i wykazaniu, że owa równoważność spełnia
symplektycznej przez krzywiznę3 ωij
ij
ij
równania analogiczne do (2.3). Dalsze poszukiwana w tym kierunku doprowadziły do rozszerzenia konstrukcji na cechowania nieabelowe [27]. Wydaje się jednak, że zaproponowane w
1
Aby uniknąć nieporozumień, ustalmy następującą konwencję dotyczącą nazewnictwa. Teorię (2.1) będzie-
my nazywać zwykłą teorią Yanga-Millsa, ewentualnie mówiąc o jej abelowym, bądź nieabelowym cechowaniu.
Określenie nieprzemienna zarezerwujemy dla teorii (2.2).
2
b
Zależność A(A)
(odpowiednio χ
b(χ, A)) oznacza w tym przypadku, że wartość Ab w danym punkcie może
zależeć również od wszystkich pochodnych A (odpowiednio A oraz χ) w tym punkcie.
3
Forma ω 0 pozostaje zamknięta, gdyż w cechowaniu abelowym tożsamości Bianchiego redukują się do dF = 0.
14
2.2 Trywializacja skwantowanej wiązki endomorfizmów
Rozdział 2
tym przypadku rozwiązanie nie jest w pełni satysfakcjonujące. Po pierwsze oparte jest ono
o nie całkowicie przejrzysty pomysł rozszerzenia iloczynu Kontsevicha na wiązkę endomorfizmów. Po drugie, autorzy formułują główny rezultat w formie przypuszczenia, a nie ścisłego
dowodu (por. koniec części 4.2 w [27]). W naszych rozważaniach zachowamy podstawową ideę,
polegającą na traktowaniu odwzorowania Seiberga-Wittena jako równoważności ∗-iloczynów.
Będziemy jednak ową równoważność budować w zasadniczo odmienny sposób, między inaczej
ustalonymi ∗-iloczynami oraz przy wykorzystaniu formalizmu Fedosova dla wiązki endomorfizmów. Otrzymamy w ten sposób konstrukcję, która pozostaje w mocy dla dowolnego rodzaju
cechowania.
2.2
Trywializacja skwantowanej wiązki endomorfizmów
W pierwszym rozdziale rozważaliśmy trywializację ∗-iloczynu Fedosova funkcji do iloczynu
Moyala. Teraz zajmiemy się trywializacją ∗-iloczynu Fedosova endomorfizmów do ∗-iloczynu
Fedosova funkcji. Wstępne spostrzeżenia zapiszemy w postaci dwóch uwag.
Uwaga 2.1. Konstrukcja Fedosova jest sformułowana w sposób, który podkreśla pełną współzmienniczość wszystkich użytych w niej obiektów. Z tej przyczyny endomorfizmy zapisywane
są po prostu jako odwzorowania, bez podkreślania ich macierzowego charakteru. Przypuśćmy
teraz, że dla O ⊂ M ustalamy w wiązce E|O pewien reper e = [e1 , . . . , ek ], który zapisujemy jako wiersz, posiadający w kolejnych kolumnach pola wektorowe, które w każdym punkcie
x ∈ O rozpinają Ex . Cięciu s ∈ C ∞ (E|O ) odpowiada wówczas wektor kolumnowy shei , w którego wierszach znajdują się funkcje s1 , ..., sk będące współrzędnymi s w reperze e, tzn. s = eshei .
Analogicznie przez Bhei oznaczymy macierz odpowiadającą endomorfizmowi B w reperze e.
Transformacji reperu ẽ = eg −1 , gdzie g jest macierzą, odpowiada transformacja współrzędnych
wektora shẽi = gshei oraz transformacja macierzy Bhẽi = gBhei g −1 .
Powyższe spostrzeżenia w naturalny sposób przenoszą się na wiązkę W ⊗ Λ. Przypuśćmy, że
mamy pewne cięcie a tej wiązki. Lokalnie, w reperze e, jest ono reprezentowane przez macierz
ahei o wyrazach będących cięciami4 WS ⊗ Λ. Po transformacji reperu macierz ta transformuje
się według reguły ahẽi = gahei g −1 = g◦ahei ◦g −1 , gdyż g nie zależy od y. W konstrukcji Fedosova
mamy także do czynienia z kowariantnymi odwzorowaniami przekształcającymi cięcia W ⊗ Λ.
Ich lokalna postać również zależy od wyboru reperu. A zatem jeśli koneksję abelową zapiszemy
4
Por. uwaga A.5.
15
Rozdział 2
lokalnie jako
Dhei = −δ + ∂hei +
i
[r , · ]
h hei
Dhẽi = −δ + ∂hẽi +
i
[r , · ]
h hẽi
oraz
wówczas
Dhẽi (g ◦ ahei ◦ g −1 ) = g ◦ Dhei (ahei )) ◦ g −1
a w konsekwencji
Qhẽi (g ◦ ahei ◦ g −1 ) = g ◦ Qhei (ahei )) ◦ g −1 .
Podobnie, jeśli przez Tt oznaczymy izomorfizm a(0) 7→ a(t) opisany w twierdzeniu A.8, wówczas
zachodzi zależność
Tt hẽi (g ◦ ahẽi ◦ g −1 ) = g ◦ Tt hei (ahei ) ◦ g −1 .
(2.4)
Uwaga 2.2. Rozważmy konstrukcję Fedosova dla dowolnej koneksji symplektycznej ∂ S , płaskiej koneksji ∂ E oraz µ ≡ 0. W takim przypadku rekurencja (A.5) określająca r rozpoczyna się
S
od r0 = 1/4 Rijkl y i y j dxk ∧ dxl . Jest to oczywiście to samo cięcie, które określa punkt początkowy rekurencji pojawiającej się w konstrukcji Fedosova dla funkcji i definiującej rS . Działanie
∂ na r0 wyraża się wyłącznie przez ∂ S , gdyż r0 określone jest przez endomorfizmy centralne. A
zatem r1 = r0 + δ −1 ∂r0 + hi r0 ◦ r0 będzie takie samo jak rS1 powstające przy obliczaniu rS .
Przez indukcyjne użycie powyższych argumentów dochodzimy do wniosku, że w rozważanym
przypadku r = rS . Jeśli na dodatek ustalimy lokalnie pewien reper e w ten sposób aby ΓE ≡ 0,
wówczas Dhei = DS , a co za tym idzie Qhei = QS . Oznacza to, że dla macierzy bhei = Qhei (ahei )
jej elementy zadane są poprzez bhei IJ = QS (ahei IJ ). Stąd zaś płynie wniosek, że w tak ustalonym reperze, ∗-iloczyn endomorfizmów sprowadza się do iloczynu macierzy, w którym zwykłe
mnożenie elementów zastąpione zostało przez ∗-iloczyn Fedosova funkcji. Obiekty związane
z ową szczególną macierzową reprezentacją powyższego ∗-iloczynu endomorfizmów będziemy
oznaczać tymi samymi symbolami co analogiczne obiekty w konstrukcji Fedosova dla funkcji
tzn. ∗S , DS , WDS itd.
Przejdźmy do analizy izomorfizmów, z których utworzymy odwzorowanie Seiberga-Wittena.
Niech D będzie koneksją abelową pochodzącą z twierdzenia A.2. Ustalmy reper e w E i wybierzE
E
my pewną homotopię współczynników koneksji GΓhei, 0 (t) spełniającą warunki GΓhei, 0 (0) = ΓEhei
E
Γ ,0
oraz Ghei
(1) = 0. (Indeksy umieszczone przy G oznaczają zatem odpowiedni reper, oraz
punkty: początkowy i końcowy homotopii wyrażone w tym reperze). Ustalmy także homotopię
16
Rozdział 2
E
współczynników normalizacyjnych m(t) taką, że m(0) = µ i m(1) = 0. Homotopie GΓhei, 0 (t)
oraz m(t) generują na mocy twierdzenia A.2 rodzinę koneksji abelowych Dt = d + hi [γ(t), · ],
dla której D0 = D oraz D1 hei = DS . Wykorzystując twierdzenie A.4 z warunkiem Dt H = γ̇
E
możemy znaleźć hamiltonian jako5 H(t) = −Qt (δ −1 γ̇). Wiemy jednak, że γ̇ = −ihĠΓhei, 0 + ṙ,
oraz że d/dt komutuje z δ −1 . Stąd
E
E
δ −1 γ̇ = −ihδ −1 ĠΓhei, 0 + δ −1 ṙ = −ihĠΓhei,j0 y j + ṁ
i w konsekwencji
E
H(t) = Qt (ihĠΓhei,j0 y j − ṁ).
(2.5)
E
Zauważmy, że H(t) jest C-cięciem jako wynik działania C-operatora na C-cięcie ihĠΓhei,j0 y j − ṁ.
E
Rodzinę izomorfizmów generowaną przez hamiltonian (2.5) oznaczymy symbolem Tt Γhei, 0 . Dla
E
Γ ,0
t = 1 będziemy pisać po prostu Thei
.
Przypuśćmy teraz, że każdemu reperowi e przypisujemy homotopię współczynników koneksji Ghei (t) taką, że Ghei (0) = ΓEhei oraz Ghei (1) = 0. Dla reperu ẽ = eg −1 ustalmy relację wiążącą
E g −1 +gdg −1 , 0
Tt gΓ
hẽi
E
oraz Tt Γhei, 0 . Wykorzystując (2.4) obliczamy
E g −1 +gdg −1 , 0
Tt gΓ
hẽi
E
(ahẽi ) = g ◦ Tt Γhei, g
= g◦
−1 dg
E
−1
Tt Γhei, g dg
(ahei ) ◦ g −1
ΓE , 0
Tt−1 hei
E
Tt Γhei, 0 (ahei )
◦ g −1 .
(2.6)
Łatwo zaobserwować, że dla t = 1 odwzorowanie
g◦
ΓE , g −1 dg
Thei
E
Γ ,0
T −1 hei (·)
◦ g −1
przekształca macierze należące do WDS związane z reperem e na macierze należące do WDS
związane z reperem ẽ. Przy użyciu U (t) zdefiniowanego w (A.10) można przepisać (2.6) dla
t = 1 w postaci
gΓ
Thẽi
E g −1 +gdg −1 , 0
ΓE , g −1 dg
(ahẽi ) = g ◦ U −1 hei
E
ΓE , 0
E
ΓE , 0
E
Γ ,g
gdzie U = U (1). Przyjmując oznaczenie Vhei (g, ΓE ) = U −1 hei ◦ Uhei
gΓ
Thẽi
E g −1 +gdg −1 , 0
E
−1 dg
Por. uwaga A.9.
17
−1 dg
◦ g −1 ,
◦ g −1 dostajemy
Γ ,0
−1
(ahẽi ) = Vhei
(g, ΓE ) ◦ Thei
(ahei ) ◦ Vhei (g, ΓE ).
Zasadnicze znaczenie dla naszej konstrukcji ma następujący lemat.
5
E
Γ ,0
Γ ,0
Γ ,g
◦ Uhei
◦ Thei
(ahei ) ◦ U −1 hei ◦ Uhei
(2.7)
Rozdział 2
Lemat 2.3. Vhei (g, ΓE ) jest płaskim cięciem należącym do WDS .
Dowód. Chcemy pokazać, że6 DS V (g, ΓE ) = 0. Obliczymy w tym celu V −1 (g, ΓE )◦DS V (g, ΓE ).
V
−1
E
E
(g, Γ ) ◦ DS V (g, Γ ) = g ◦ U
E
−1
−1 Γ , g dg
= g ◦ U −1
+U
^
D =d+
ΓE , g −1 dg
E
−1
−1 Γ , g dg
E, 0
Przeanalizujmy najpierw wyraz U Γ
◦U
◦ DS U −1
ΓE , 0
◦ DS U
E, 0
◦ UΓ
◦ DS U
ΓE , 0
E
−1 Γ , 0
◦ DS U −1
ΓE , g −1 dg
◦U
ΓE , 0
ΓE , g −1 dg
◦ UΓ
◦g
−1
E , g −1 dg
◦ g −1 + g ◦ DS g −1
(2.8)
. Zdefiniujmy w tym celu koneksję
i ^
E
ΓE , 0
[γ, · ] = DS + [U Γ , 0 ◦ DS U −1
,·],
h
dla
^
γ = γS − ihU Γ
E, 0
◦ DS U −1
ΓE , 0
= UΓ
ΓE , 0
◦ γ ◦ UΓ
E, 0
◦ γS ◦ U −1
ΓE , 0
− ihU Γ
ΓE , 0
◦ dU Γ
E, 0
◦ dU −1
ΓE , 0
.
(2.9)
Z lematu A.12 wynika, że
γS = U −1
E, 0
− ihU −1
E, 0
,
(2.10)
gdzie γ określa naszą wyjściową koneksję abelową D = d + hi [γ, · ]. Wstawiając (2.10) do (2.9)
^
otrzymujemy γ = γ, co pozwala przepisać (2.9) w postaci
UΓ
E, 0
◦ DS U −1
ΓE , 0
=
i
(γ − γS ).
h
Używając tej zależności w (2.8) dostajemy
V
−1
E
E
(g, Γ ) ◦ DS V (g, Γ ) = g ◦ U −1
+U
ΓE , g −1 dg
E
−1
−1 Γ , g dg
◦
i
E
−1
(γ − γS ) ◦ U Γ , g dg
h
◦ DS U
ΓE , g −1 dg
◦ g −1 + g ◦ DS g −1 .
Obliczając działanie DS = d + hi [γS , · ] możemy powyższą zależność przekształcić do postaci
V −1 (g, ΓE ) ◦ DS V (g, ΓE ) = g ◦ U −1
ΓE , g −1 dg
E , g −1 dg
◦ DU Γ
i
(γ − γS ) ◦ g −1
h
+
+g ◦ DS g −1 .
6
Wszystkie rachunki przeprowadzone będą w reperze e. W związku z powyższym, w obrębie niniejszego
dowodu pomijamy indeks
hei .
18
Rozdział 2
Niech γg−1 dg oznacza γS przetransformowane z reperu ẽ do e. Z lematu A.12 obliczamy
U −1
ΓE , g −1 dg
◦ DU Γ
E , g −1 dg
=
i
(γ −1 − γ).
h g dg
Stąd
V −1 (g, ΓE ) ◦ DS V (g, ΓE ) = g ◦
i
γg−1 dg − γS ◦ g −1 + g ◦ DS g −1 .
h
S
Wiemy jednak, że z jednej strony γS = ωij y i dxj + 1/2Γijk y i y j dxk + rS , zaś z drugiej γg−1 dg =
S
ωij y i dxj + 1/2Γijk y i y j dxk − ihg −1 dg + rg−1 dg . Powtarzając argumentację zawartą w uwadze
2.2 stwierdzamy, że rS = rg−1 dg . Zatem
V −1 (g, ΓE ) ◦ DS V (g, ΓE ) = dg ◦ g −1 + g ◦ DS g −1 .
Ponadto DS g −1 = dg −1 ponieważ γS wyraża się przez endomorfizmy centralne oraz g −1 nie
zależy od y i . Ostatecznie dostajemy V −1 (g, ΓE ) ◦ DS V (g, ΓE ) = 0 co daje nam żądany rezultat
DS V (g, ΓE ) = 0.
Powyższy lemat umożliwia przetransportowanie związku (2.7) do C ∞ (End(E))[[h]]. Niech
E
E
Γ ,0
Γ
Mhei
(Bhei ) := Q−1
S (Thei (Qhei (Bhei )))
(2.11)
E
Γ jest po prostu równoważnością ∗-iloczynów
dla dowolnego lokalnego cięcia B. Zauważmy, że Mhei
generowanych przez D oraz DS . Zdefiniujmy
ΓE , g −1 dg
−1
−1
E
−1
gbhei g, ΓE := Q−1
hei
S (Vhei (g, Γ )) = QS (g ◦ U
E
Γ ,0
).
◦ Uhei
(2.12)
Przy takich oznaczeniach (2.7) implikuje
E g −1 +gdg −1
gΓ
Mhẽi
E
−1
Γ
(Bhẽi ) = gbhei g, ΓE ∗S Mhei
(Bhei ) ∗S gbhei
g, ΓE ,
(2.13)
która to zależność stanowi zasadniczy rezultat niniejszego rozdziału. Nietrudno także spostrzec,
że gb spełnia zależności analogiczne do „warunków zgodności” opisanych m.in. w [17, 28]. Przy
naszych oznaczeniach przyjmują one postać
gbhei (g 0 g, ΓE ) = gbhẽi (g 0 , gΓE g −1 + gdg −1 ) ∗S gbhei (g, ΓE ).
19
(2.14)
2.3 Odwzorowanie Seiberga-Wittena jako ∗-równoważność
2.3
Rozdział 2
Odwzorowanie Seiberga-Wittena jako ∗-równoważność
Mamy już przygotowane wszystkie składniki potrzebne do opisania związku między odwzorowaniem Seiberga-Wittena a formalizmem Fedosova. Podążając ścieżką wytyczoną przez Jurčo
i Schuppa [24] zdefiniujmy (dla pewnych ustalonych współrzędnych Darboux) „nieprzemienne
b jako
współczynniki koneksji” Γ
b i (ΓE ) :=
Γ
hei
i ΓE
Mhei (ωij xj ) − λi ,
h
(2.15)
b umożliwi nam
gdzie λi są określone wzorem (1.8). Jak się przekonamy, powyższa definicja Γ
skonstruowanie poprawnie transformującej się krzywizny, która spełniać będzie tożsamości
Bianchiego. Korzystając z zależności (2.13) oraz pamiętając, że Xi =
i
∗S
h [λi ,
· ], obliczamy
regułę transformacyjną
i gΓE g−1 +gdg−1
(ωij xj ) − λi
Mhẽi
h
i
−1
ΓE
=
gbhei g, ΓE ∗S Mhei
(ωij xj ) ∗S gbhei
g, ΓE − λi
h
i ΓE
−1
Mhei (ωij xj ) − λi ∗S gbhei
g, ΓE
= gbhei g, ΓE ∗S
h
i
−1
E
+ gbhei g, Γ ∗S [λi ∗,S gbhei
g, ΓE ]
h
b i (ΓE ) ∗S gb−1 g, ΓE
= gbhei g, ΓE ∗S Γ
hei
hei
b i (gΓE g −1 + gdg −1 )
Γ
hẽi =
−1
+gbhei g, ΓE ∗S Xi gbhei
g, ΓE
.
(2.16)
S
Otrzymaliśmy zależność, która dla ∗S będącego iloczynem Moyala (tzn. dla Γijk ≡ 0), sprowadza się do dobrze znanych równań Seiberga-Wittena7 . Zauważmy, że w przeciwieństwie do
oryginalnego sformułowania, nie musimy powyższych równań rozwiązywać. W naszym ujęciu
b i gb mogą zostać obliczone przy użyciu rekurencyjnych procedur formalizmu Fedosowielkości Γ
va. Podkreślmy także, że cała konstrukcja pozostaje w mocy dla dowolnego rodzaju cechowania.
b nie będą należeć do wyjściowej grupy
W ogólności należy się jednak liczyć z możliwością, że gb i Γ
lub algebry Liego. Jest to sytuacja dobrze znana w klasycznej teorii odwzorowania SeibergaWittena [29, 17].
Idąc dalej, zdefiniujmy lokalną „nieprzemienną krzywiznę” w standardowy sposób
∗S b
b
b
b
b
R
ij hei := Xi (Γj hei ) − Xj (Γi hei ) + [Γi hei , Γj hei ].
7
Równania (2.3) zapisane są w sposób infinitezymalny na poziomie algebry Liego, zaś (2.16) jest równoważną
zależnością na poziomie grupy.
20
Rozdział 2
Prostym rachunkiem możemy sprawdzić, że
1
h2
1
= − 2
h
b
R
ij hei = −
E
E
Γ
Γ
[Mhei
(ωik xk ) ∗,S Mhei
(ωjl xl )] − [λi ∗,S λj ]
Γ
Mhei
[ωik xk ∗, ωjl xl ] + ωij ,
E
gdzie wykorzystaliśmy lemat 1.2 oraz fakt, że M jest równoważnością między ∗ (∗-iloczynem
w C ∞ (End(E))[[h]] generowanym przez ∂ E i ∂ S ) a ∗S . Z powyższego związku natychmiast
dostajemy regułę transformacji8
−1
b
b
bhei ∗S R
bhei
R
ij hẽi = g
ij hei ∗S g
ponieważ ωij jest stałe we współrzędnych Darboux.
W celu uzupełnienia naszej teorii o „nieprzemienne tożsamości Bianchiego” określmy
∗S b
b
b
b
b
D
i hei Rjk hei := Xi (Rjk hei ) + [Γi hei , Rjk hei ].
Łatwo obliczyć, że związek
b R
b
D
[i jk] ≡ 0
(2.17)
jest czysto algebraiczną konsekwencją tożsamości Jacobiego oraz własności Xi Xj = Xj Xi . Ten
sam rezultat można uzyskać poprzez zantysymetryzowanie zależności
b
b
D
i hei Rjk hei = −
i
ΓE
l ∗
m ∗
p
M
[ω
x
,
[ω
x
,
ω
x
]]
.
jm
il
kp
hei
h3
Podanie jawnej postaci wzorów określających nieprzemienną teorię Yanga-Millsa wymaga
ΓE , 0
E
Γ ,0
wyznaczenia jawnej postaci Thei
, U −1 hei
E
Γ ,g
oraz Uhei
−1 dg
. Jest to zadanie co do zasady proste,
choć w praktyce polega na dość żmudnych rachunkach. Sprowadzają się one do rekurencyjnego
stosowania wzorów (A.5), (A.6), (A.9) i (A.10) dla znanych warunków początkowych. W efekcie
dostajemy (od tej pory będziemy pomijać indeks określający reper)
T
ΓE , 0
j
j
(Q(ωij x )) = QS ωij x −
h
+ ĠΓr
E, 0
ihΓEi
(η), GΓi
h2
+ ω pr
2
E, 0
Z 1
0
i
E
ĠΓp , 0 (τ ),
Z τ
(η) ΓE , 0
0
∂(i Ġ r) (η)
E
(η) − ΓEi dη − Rri
(τ ) dτ + h2 µ5i
o
0n
h2 S
E
E
+ Γpri
ĠΓp , 0 (τ ), GΓr , 0 (τ ) − ΓEr dτ
2
1
o
h2 pr n E E
+ ω
Γp , Rri (0) + O(h3 )
4
Z
8
b
Można ją również wyprowadzić bezpośrednio z definicji R.
21
(2.18)
Rozdział 2
oraz
Z τ
Z h E
i
E
E
ih pr 1
E
(η)
E
E
b
∂(i ĠΓr) , 0 (η) + ĠΓr , 0 (η), GΓi , 0 (η) − ΓEi dη
ĠΓp , 0 (τ ),
Γi (Γ ) = Γi + ω
2
0
0
Z 0n
o
E
−Rri
(τ ) dτ + ihµ5i +
ih S pr
Γ i
2
E, 0
ĠΓp
1
E, 0
(τ ), GΓr
(τ ) − ΓEr dτ
S
+
ih pr E E
ih ∂ Γjkl S jkl
ω
Γp , Rri (0) +
Γ + O(h2 ),
4
48 ∂xi
n
o
(2.19)
gdzie { ·, · } oznacza antykomutator, RE (t) jest homotopią krzywizn generowaną przez GΓ
ponadto
(t)
∂i Bj
=
∂
B
∂xi j
−
S
Γk
wchodzące w skład µ jako µ =
ΓE , 0
(t), Bj ] oraz
ji Bk + [G i
2
i
· · · + h µ5i y + · · · . (Mając
E, 0
(t),
µ5i oznacza wyrazy stopnia piątego
na względzie uproszczenie rachunków
ograniczono się do przypadku deg m(t), deg µ 4). Ustalając homotopię G(t) w naturalnej i
najprostszej postaci GΓ
E, 0
(t) = f (t)ΓE , dla f : [0, 1] → R, f (0) = 1, f (1) = 0, otrzymujemy

(
E
b i (ΓE ) = ΓE + ih  1 ω jk ΓE , RE + ∂Γi
Γ
i
j
ki
4
∂xk
ih
gb(g, Γ ) = g + g ω jk
4
E
)
S

1 ∂ Γjkl S jkl 
Γ
+ O(h2 ), (2.20a)
+ µ5i +
48 ∂xi
∂g −1 ∂g
∂g
+ ΓEj , g −1 k
j
k
∂x ∂x
∂x
!
+ O(h2 ).
(2.20b)
Po przejściu do konwencji przyjętych w teorii pola i do najczęściej spotykanej postaci iloczynu
Moyala, tzn. dla
ΓE = −iA,
RE = −iF,
b = −iA,
b
Γ
h = −h̃
wzory (2.20) przyjmują postać

S
1
∂Ai
Abi (A) = Ai + h̃ − ω jk Aj , Fki + k
4
∂x
ih̃
gb(g, A) = g − g ω jk
4

1 ∂ Γjkl S jkl 
+ µ5i +
Γ
+ O(h2 ), (2.21a)
48 ∂xi
∂g −1 ∂g
∂g
− i Aj , g −1 k
∂xj ∂xk
∂x
!
+ O(h2 ).
(2.21b)
Przechodząc do infinitezymalnej wersji transformacji cechowania (g = eiχ , gb = eiχb dla małych
b możemy przekształcić (2.21b) do
χ i χ)
h̃
b
χ(χ,
A) = χ + ω jk
4
∂χ
, Ak + O(h2 ).
∂xj
S
(2.22)
Dotarliśmy zatem do zależności, które dla Γijk ≡ 0 and µ5i ≡ 0 redukują się do dobrze znanych
rozwiązań równań Seiberga-Wittena, podanych już w oryginalnej pracy [1].
22
2.4 Podsumowanie
2.4
Rozdział 2
Podsumowanie
Podstawowym rezultatem niniejszego rozdziału jest zależność (2.13), która pozwala rozumieć
odwzorowanie Seiberga-Wittena jako lokalną trywializację skwantowanej wiązki endomorfizmów. Niejako „przy okazji” stworzyliśmy nową metodę konstruowania rozwiązań równań
Seiberga-Wittena z dokładnością do dowolnej potęgi parametru deformacji. Krótko podsumujmy kolejne kroki owej metody.
E
Punktem wyjściowym jest ustalenie homotopii GΓhei, 0 (t) dla każdego możliwego reperu e.
Po pierwsze, znajdujemy homotopię koneksji abelowych poprzez wyliczenie r(t) z (A.5). Następnie musimy wyznaczyć Q(ωij xj ) ze wzoru (A.6). Ponownie wykorzystując (A.6) obliczamy
hamiltonian zadany przez (2.5). Zarówno Q(ωij xj ) jak i H(t) są wykorzystywane w rekurenE
Γ ,0
cji określonej wzorem (A.9), dzięki której dostajemy Thei
(Q(ωij xj )). Ostatecznie rzutujemy
wynik z powrotem na C ∞ (End(E))[[h]] i używamy λi , które wyznaczaliśmy w poprzednim rozb i zdefiniowane zależnością (2.15). Obliczając gb musimy
dziale. W ten sposób otrzymujemy Γ
ΓE , 0
dwukrotnie zastosować wzór (A.10). Najpierw, aby wyznaczyć U −1 hei , a następnie w analoE
Γ ,g
giczny sposób dla Uhei
−1 dg
. W drugim przypadku, musimy użyć hamiltonianu wyliczonego
dla homotopii przypisanej reperowi ẽ = eg −1 . Z (2.12) dostajemy gb.
Otrzymane przez nas zależności można rozumieć jako pewne lokalne uogólnienie równań
Seiberga-Wittena na przypadek ∗-iloczynu Fedosova funkcji. Istotnie, w regule transformacji
(2.16) pojawia się iloczyn ∗S , który jest iloczynem macierzowym z mnożeniem elementów zastąpionym przez ∗-iloczyn Fedosova funkcji. Na poziomie równań, zależności (2.16) są równoważne ze zwykłymi równaniami Seiberga-Wittena przetransportowanymi przy użyciu izomorfizmu
b równania
(1.6) do algebry Fedosova. Podkreślmy jednak, że poprzez sposób zdefiniowania Γ,
(2.16) niosą dużo głębszą informację pokazującą czym są ich rozwiązania i jaki jest ich związek
z kwantowaniem wiązki endomorfizmów.
Niejednoznaczności charakterystyczne dla rozwiązań równań Seiberga-Wittena pojawiają
się w naszym ujęciu na dwa sposoby. Po pierwsze, są one związane z dowolnością wyboru hoE
Γ ,0
motopii Ghei
(t), co w wyraźny sposób ukazuje się w zależnościach (2.18) i (2.19). Po drugie,
istnieją pewne stopnie swobody w samej konstrukcji ∗-iloczynu Fedosova. Częściowo przeanalizowaliśmy niejednoznaczność wynikającą z wyboru czynnika normalizacyjnego µ, nie jest to
jednak jedyna wielkość, którą może ulegać zmianie. Choć w niniejszej pracy pomijamy to zagadnienie, to w ogólności rozważać można koneksje abelowe o dowolnej krzywiźnie będącej
formą centralną, niekoniecznie równą −1/2 ωij dxi ∧ dxj . Podobnie jak dla zmieniającego się
µ, także i w tym przypadku ∗-równoważności zawierać będą pewne dodatkowe wyrazy, które
23
2.4 Podsumowanie
Rozdział 2
w efekcie pojawiają się w (2.20).
Opisana konstrukcja jest niewątpliwie lokalna oraz silnie uzależniona od wyboru współrzędnych Darboux, w czym nie różni się od oryginalnego sformułowania Seiberga-Wittena. Dzięki
wykorzystaniu całkowicie geometrycznej konstrukcji Fedosova, otwiera się jednak przed nami
szansa na takie przeformułowanie nieprzemiennych teorii pola, które będzie całkowicie spełniało
dwa podstawowe żądania – globalności i pełnej współzmienniczości. W stosunkowo najprostszy
sposób zostanie to osiągnięte w kolejnym rozdziale dla przypadku próżniowej teorii Einsteina.
24
Rozdział 3
Pewne modele teorii pola grawitacyjnego na
nieprzemiennych czasoprzestrzeniach
Teoria odwzorowania Seiberga-Wittena jest elementem ogólniejszego trendu, polegającego na
próbach formułowania teorii pola na rozmaicie pojętych „nieprzemiennych czasoprzestrzeniach”. W szczególności istnieje szereg podejść, które bazują na nieprzemienności zadanej przez
pewien ∗-iloczyn funkcji na czasoprzestrzeni. Okazuje się przy tym, że podstawowa trudność
polega na odtworzeniu głównych struktur geometrii różniczkowej (pól wektorowych, tensorów,
form różniczkowych, koneksji) dla nieprzemiennej algebry funkcji. Np. w przypadku algebry
Cartana otrzymuje się wyniki lokalne i czasoprzestrzennie niekowariantne (jak w niniejszej pracy), nakładające ograniczenia na rozmaitość bazową (istnienie globalnej płaskiej koneksji), albo
z istotnie zaburzoną strukturą algebraiczną (brak pełnej reguły Leibniza, brak N-gradacji, brak
nilpotentności różniczki zewnętrznej). Można wobec tego odnieść wrażenie, że droga polegająca
na próbach rekonstrukcji wszystkich kluczowych obiektów „zwykłej” geometrii w reżimie nieprzemiennym jest dość wątpliwa. W obecnym rozdziale zaproponowane zostanie rozumowanie
idące w pewnym sensie w przeciwną stronę. Przeformułujemy działania pola grawitacyjnego w
próżni tak, aby wyrażały się przez jeden obiekt – ślad cięć wiązki endomorfizmów, a następnie
wykorzystamy konstrukcję Fedosova1 i w naturalny sposób przejdziemy do teorii nieprzemiennej. Program, który zamierzamy realizować, można streścić w sposób następujący.
1. Ustalamy czterowymiarową rozmaitość Fedosova M oraz działanie, które prowadzi do
próżniowej ogólnej teorii względności.
1
Kwantowanie przez deformację wiązki endomorfizmów wydaje się być strukturą zupełnie nie wykorzystywaną
w dotychczasowych próbach konstruowania nieprzemiennych teorii pola.
25
Rozdział 3
2. Przepisujemy działanie w ten sposób, aby przyjęło postać (niezdeformowanego) śladu z
cięcia pewnej wiązki endomorfizmów.
3. Zastępujemy iloczyn endomorfizmów przez ∗-iloczyn Fedosova.
4. Zastępujemy całkę po rozmaitości przez funkcjonał śladu trD .
5. Obliczamy wariacje i dostajemy równania pola.
6. Obserwujemy, że kroki 3 oraz 4 połączone z wynikami poprzedniego rozdziału implikują
lokalną równoważność otrzymanej teorii z teorią, w której do odpowiednich endomorfizmów przyłożono odwzorowanie Seiberga-Wittena.
Podczas realizacji kroku 3 napotykać będziemy następującą trudność. Działania w ogólnej
teorii względności zapisywane są przy użyciu formy objętości pochodzącej od tensora metrycz√
nego (lub równoważnie – tetrady) volM = −gdx1 ∧ · · · ∧ dx2n . Z drugiej strony w funkcjonale
śladu trD pojawia się forma objętości generowana przez formę symplektyczną volS =
ωn
n! .
Muszą
one być do siebie proporcjonalne, co umożliwia nam zdefiniowanie funkcji v : M → R poprzez
zależność volM = v volS . Jeśli chcemy aby nasze działania były deformacjami klasycznej teorii
grawitacji, musimy w jakiś sposób wymusić właściwą postać formy objętości dla h0 . Przeanalizujemy dwa rozwiązania. Po pierwsze, możemy jeden z endomorfizmów występujących pod
śladem pomnożyć przez v. Przyjmiemy konwencję, w której dla dowolnego A ∈ C ∞ (End(E))
określamy Ă := vA. Drugi sposób polega na wprowadzeniu endomorfizmu V := 1̆ = v1 (gdzie
1 oznacza endomorfizm jednostkowy) i pomnożeniu przezeń (w sensie ∗-iloczynu Fedosova)
odpowiedniego lagranżjanu.
Zanim przystąpimy do zasadniczej konstrukcji, musimy wspomnieć o podwójnej roli, jaką
będzie odgrywać wiązka styczna T M. Z jednej strony pojawia się ona jako „składowa” wiązki
E, a z drugiej, jako obiekt niosący informację o strukturze symplektycznej i różniczkowaniach
generujących formalizm Fedosova. Owo rozróżnienie nabiera znaczenia w sytuacjach, w których
działamy koneksją ∂ na tensory posiadające indeksy przypisane do obydwu powyższych „kopii”
wiązki stycznej. Zapisując wynik działania ∂, musimy dla indeksów powiązanych ze strukturą
symplektyczną użyć koneksji ∂ S , natomiast dla indeksów dotyczących E zastosować koneksję ∂ E
(która powiązana będzie z koneksją metryczną). Potrzebujemy zatem sposobu na wyróżnianie
0
indeksów przypisanych do E i w tym celu będziemy je oznaczać primem (np. RE a b0 lm ). Powyższą niejednoznaczność można niekiedy usunąć poprzez stosowanie dla endomorfizmów notacji
bezindeksowej. Z takiego podejścia również będziemy korzystać. Od stosowania indeksów pri26
3.1 Działanie Einsteina-Hilberta
Rozdział 3
mowanych będziemy odchodzić po obliczeniu wariacji. Przestają być one wówczas potrzebne,
a mogą się przyczyniać do zaciemnienia ostatecznego rezultatu.
Podkreślmy wreszcie, że w obrębie niniejszego rozdziału podnosimy i opuszczamy indeksy
przy użyciu metryki, a nie formy symplektycznej; h cały czas oznacza parametr formalny,
którego nie utożsamiamy ze stałą Plancka; oraz że we wszystkich rozważanych koneksjach
abelowych przyjmujemy normalizację µ ≡ 0.
3.1
Działanie Einsteina-Hilberta
Zajmijmy się wpierw działaniem Einsteina-Hilberta
Z
SEH =
M
R volM .
(3.1)
Mamy zatem do czynienia z metryką gab o wyznaczniku g, beztorsyjną koneksją Leviego-Civity
0
∇, tensorem Riemanna Ra b0 cd (także w wariancie ze wszystkimi indeksami primowanymi2
0
0
Ra b0 c0 d0 ), tensorem Ricciego Ra0 b0 = Rc a0 c0 b0 oraz skalarem krzywizny R. Wprowadźmy dodat0
0 0
0
0 0
kowo oznaczenia Ra b0 = Ra b0 oraz Ra b c0 d0 = Ra b c0 d0 . Staną się one użyteczne, gdy będziemy
musieli rozróżniać między endomorfizmami R, R oraz skalarem R. Ponadto niech
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
Y ijk l :=ω [ij ω ab] Rk l ab ,
0 0
0 0
0 0
X i j k l :=ω [ab ω cd] Ri j ab Rk l cd = Ri j ab Y abk l ,
√
1
Z := √ ω ij ω kl ∂iS ∂kS ∂jS ∂lS −g.
−g
3.1.1
Zdeformowane działania i równania pola
Równania pola otrzymywać będziemy poprzez wariację metryki, której wpływ na tensor Riemanna zadany jest wzorem
1
δRabcd = g ak (∇c (∇b δgkd + ∇d δgkb − ∇k δgbd ) − ∇d (∇b δgkc + ∇c δgkb − ∇k δgbc )) .
2
Tensor Ricciego jako endomorfizm T M
Działanie (3.1) można łatwo przepisać w postaci
SEH1A =
2
Z
Tr R̆
M
ωn
.
n!
(3.2)
Używamy dokładnie tego samego reperu (np. współrzędnościowego) dla obu rodzajów indeksów, możemy
zatem tworzyć obiekty z indeksami primowanymi z indeksów nieprimowanych i vice versa. Prim jest wyłącznie
oznaczeniem wiążącym dany indeks z wiązką E i koneksją ∂ E .
27
Rozdział 3
Zamierzamy zatem traktować zmodyfikowany tensor Ricciego R̆
a0
b0
jako endomorfizm wiązki
E = T M. Aby zdefiniować ∗-iloczyn endomorfizmów potrzebujemy koneksji w E. Ustalmy
∂ E = ∇. W konsekwencji krzywizna RE jest określona przez tensor Riemanna. Odpowiednią
koneksję abelową oznaczmy symbolem DEH1 . Przy powyższych założeniach, zdeformowana
postać działania (3.2) wyraża się wzorem3
SbEH1A = trDEH1 (R̆) =
Z
2
Tr R̆ + h
M
Z
M
(3.3)
3
0 0
0
R − h2 X k l0 l m0 Rm k0 + h2 s2 R + O(h3 ) volM .
8
=
!
3
ωn
E
E
− ω [ab ω cd] Rab
Rcd
+ s2 R̆ + O(h3 )
8
n!
Wariując metrykę otrzymujemy równania pola
R
ab
" 1
3
− g ab R + h2
2
8
−R
(a
b)kl
k Xl
1
1
b) lk
+ Rkl X lm mk g ab + ∇k ∇(a X l − ∇l ∇l X ak kb
2
2
1
b)mk
+ 2∇k ∇l Rkm Y l(am b)
− g ab ∇k ∇l X km ml − 2∇k ∇l R(am Yl
2
1
− g ab Rs2
2
#
+ Rab s2 + g ab ∇l ∇l s2 − ∇a ∇b s2 + O(h3 ) = 0.
Tensor Ricciego oraz V jako endomorfizmy T M
Pozostańmy przy strukturze ∗-iloczynu wyznaczanej przez DEH1 , zmieńmy natomiast sposób
wymuszania właściwej formy objetości dla h0 . W tym celu działanie (3.1) zapiszmy jako
SEH1B =
Z
Tr RV
M
ωn
.
n!
(3.4)
Deformuje się ono do postaci4
SbEH1B = trDEH1 (R ∗ V )
Z
2
Tr RV + h
=
M
Z
=
M
1
E
E
− ω ab ω cd ∂(a ∂c) R∂(b ∂d) V + 3R[ab
Rcd]
RV + s2 RV
8
!
3
+ O(h )
ωn
n!
3
1
0 0
0
R − h2 X k l0 l m0 Rm k0 − h2 ω ab ω cd ∂bS ∂dS ∂aS ∂cS R + h2 s2 R + O(h3 ) volM .
8
8
(3.5)
3
Wyraz przy h1 znika dzięki związkowi Rklab Rlk = 0. Taka sama sytuacja zachodzi dla pozostałych rozwa-
żanych deformacji działania Einsteina-Hilberta.
4
Wyraz zawierający ∂(a ∂c) R∂(b ∂d) V całkujemy dwukrotnie przez części, wciągamy ślad pod pochodną kowariantną i korzystamy z beztorsyjności ∂ S aby pozbyć się symetryzacji.
28
Rozdział 3
Równania pola przyjmują w tym przypadku postać
R
ab
" 1
3
− g ab R + h2
2
8
−R
(a
b)kl
k Xl
1
1
b) lk
2
2
1
1
b)mk
+ 2∇k ∇l Rkm Y l(am b)
+
2
8
1
1
S S S
+ ∇a ∇b Z − g ab ∇l ∇l Z + g ab ω jk ω lm ∂kS ∂m
∂j ∂l R − g ab Rs2 + Rab s2
2
2
− Rab Z
#
ab
l
a
b
+ g ∇l ∇ s2 − ∇ ∇ s2 + O(h3 ) = 0.
Tensor Riemanna jako endomorfizm T M ⊗ T M
Skalar krzywizny stojący w (3.1) nie musi być interpretowany jako ślad endomorfizmu wyznaczanego przez tensor Ricciego. Zapiszmy działanie Einsteina-Hilberta jako
SEH2A =
Z
Tr R̆
M
ωn
.
n!
(3.6)
W takim ujęciu traktujemy tensor Riemmana jako endomorfizm E = T M ⊗ T M, którego
0 0
0 0
0 0
działanie na l ∈ T M ⊗ T M daje (Rl)a b = Ra b c0 d0 lc d . Koneksję w wiązce E obieramy jako
E = R∇ ⊗ 1 + 1 ⊗ R∇ gdzie R∇
∂ E = ∇ ⊗ 1 + 1 ⊗ ∇. Jej krzywizna zadana jest przez Rab
ab
ab
ab
jest krzywizną ∇ traktowaną jako 2-forma o wartościach w End(T M). Niech DEH2 oznacza
odpowiednią koneksję abelową. Deformacja (3.6) daje działanie
SbEH2A = trDEH2 (R̆) =
Z
Z
Tr R̆ + h2
M
!
ωn
3
E
E
− ω [ab ω cd] Rab
Rcd
+ s2 R̆ + O(h3 )
8
n!
0 0
3 0 0
0
0
0
R − h2 X k l0 l m0 Rm k0 + X k l0 m p0 Rl p k0 m0 + h2 s2 R + O(h3 ) volM ,
4
=
M
dla którego równania pola przyjmują postać
R
ab
" 1
3
− g ab R + h2
2
4
−R
(a
b)kl
k Xl
1
1
b) lk
2
2
1
l(a b)mk
b)mk
+ 2∇k ∇l Rkm Y l(am b) + Rkm X
l
2
1
1
1
b)l
+ ∇k ∇l X k(ab)l + 2∇k ∇l Rmjk(a Y mj + Rlmjk X jl km g ab − g ab Rs2 + Rab s2
2
2
2
#
ab
l
a
b
+ g ∇l ∇ s2 − ∇ ∇ s2 + O(h3 ) = 0.
29
(3.7)
Rozdział 3
Tensor Riemanna oraz V jako endomorfizmy T M ⊗ T M
Analogicznie do przypadku działania (3.4), możemy pozostać przy koneksji abelowej DEH2 i
jednocześnie użyć endomorfizmu V
SEH2B =
Z
Tr RV
M
ωn
,
n!
(3.8)
co prowadzi nas do działania
SbEH2B = trDEH2 (R ∗ V )
Z
2
Tr RV + h
=
M
1
E
E
− ω ab ω cd ∂(a ∂c) R∂(b ∂d) V + 3R[ab
Rcd]
RV + s2 RV
8
!
3
+ O(h )
ωn
n!
1
0 0
3 0 0
0
0
0
R − h2 X k l0 l m0 Rm k0 + X k l0 m p0 Rl p k0 m0 − h2 ω ab ω cd ∂bS ∂dS ∂aS ∂cS R + h2 s2 R
4
8
Z
=
M
+ O(h3 ) volM .
(3.9)
Tym razem z procedury wariacyjnej otrzymujemy
" 1
3
Rab − g ab R + h2
2
4
−R
(a
b)kl
k Xl
1
1
b) lk
2
2
1
b)mk
l(a b)mk
+ 2∇k ∇l Rkm Y l(am b) + Rkm X
l
2
1
1
1
b)l
− Rab Z
+ ∇k ∇l X k(ab)l + 2∇k ∇l Rmjk(a Y mj + Rlmjk X jl km g ab +
2
2
8
1
1
S S S
+ ∇a ∇b Z − g ab ∇l ∇l Z + g ab ω jk ω lm ∂kS ∂m
∂j ∂l R − g ab Rs2 + Rab s2
2
2
#
ab
l
a
b
+ g ∇l ∇ s2 − ∇ ∇ s2 + O(h3 ) = 0.
3.1.2
Poprawki do metryki
We wszystkich rozważanych przypadkach otrzymaliśmy równania pola postaci Gab = Wab +
O(h3 ), gdzie Gab = Rab − 21 Rgab jest tensorem Einsteina, natomiast poprawka Wab jest rzędu
(2 )
h2 tzn. Wab = h2 Wab + O(h3 ). Zbadajmy w jaki sposób wpływa ona na metrykę. W tym celu
zapiszmy gab jako szereg formalny względem h
(0 )
(1 )
(2 )
gab = gab + hgab + h2 gab + . . .
30
Rozdział 3
Odpowiadające gab współczynniki koneksji Leviego-Civity oznaczymy przez
(0 )
(1 )
(2 )
Γabc = Γabc + hΓabc + h2 Γabc + . . .
Stosunkowo łatwo obliczyć, że
(0 )
(0 )
Γabc
=
(1 )
Γabc =
(2 )
Γabc =
(0 )
(0 )
!
1(0 )ak ∂ gkb ∂ gkc ∂ gbc
g
+
−
,
2
∂xc
∂xb
∂xk
(0 ) (1 )
(0 ) (1 )
1(0 )ak (0 ) (1 )
g
∇c gkb + ∇b gkc − ∇k gbc ,
2
(0 )
(0 ) (2 )
(0 ) (2 )
1(0 )ak
(0 )
(1 ) (1 )
(2 )
g
∇c gkb + ∇b gkc − ∇k gbc − g ak gkl Γ lbc ,
2
(0 )
(3.10a)
(3.10b)
(3.10c)
(1 )
(0 )
(2 )
gdzie ∇ oznacza koneksję Leviego-Civity metryki gab . Zauważmy, że Γabc oraz Γabc są wielkościami tensorowymi. Dostajemy stąd, że dla tensora Riemanna
(0 )
(1 )
(2 )
Rabcd = Rabcd + hRabcd + h2 Rabcd + . . .
poprawki mają postać
(1 )
(0 ) (1 )
(2 )
(0 ) (2 )
Rabcd = 2∇[c Γad]b ,
(3.11a)
(1 )
(1 )
Rabcd = 2∇[c Γad]b + 2Γak[c Γkd]b ,
(0 )
(3.11b)
(0 )
zaś Rabcd jest oczywiście tensorem Riemanna metryki gab . Wstawiając powyższe zależności do
równań pola i analizując wyrazy stojące przy potęgach h0 oraz h1 otrzymujemy po uproszczeniach odpowiednio
(0 )
Rab = 0,
(0 )kl
g
(0 )
(0 ) (1 )
(0 ) (0 ) (1 )
(3.12a)
(0 ) (0 ) (1 )
(0 ) (0 ) (1 )
∇k ∇a gbl + ∇k ∇b gal − ∇k ∇l gab − ∇a ∇b gkl
= 0,
(3.12b)
(0 )
gdzie Rab jest zerowym wyrazem w rozwinięciu Rab i jednocześnie tensorem Ricciego metry(0 )
ki gab . Natomiast dla h2 dostajemy
(0 )kl
g
(0 )
(0 ) (2 )
(0 ) (0 ) (2 )
(0 ) (0 ) (2 )
(0 ) (0 ) (2 )
=
(1 )
(1 )
1 (0 ) (2 )
(0 ) (0 )
gab W − 4Γkl[k Γlb]a + 4 g rk ∇[r
= 2Wab −
n−1
(2 )
(2 )
(0 )
(2 )
(1 )
l
(1 )
Γ b]a gkl , (3.12c)
(2 )
gdzie W = g rs Wrs , zaś Wab zadane jest następującymi zależnościami5 :
5
(0 )
W poniższych wzorach podnoszenie i opuszczanie indeksów odbywa się przy pomocy metryki gab .
31
Rozdział 3
– dla SbEH1A
(2 )
Wab
3 (0 ) (0 ) (0 ) lk 1 (0 ) (0 )l (0 ) k
1(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
=−
∇k ∇(a Xb)l − ∇l ∇ Xak b − gab ∇k ∇l X km ml
8
2
2
(0 ) (0 ) (0 )l
!
(3.12d)
(0 ) (0 )
− gab ∇l ∇ s2 + ∇a ∇b s2 ,
– dla SbEH1B
(2 )
Wab
1(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
3 (0 ) (0 ) (0 ) lk 1 (0 ) (0 )l (0 ) k
∇k ∇(a Xb)l − ∇l ∇ Xak b − gab ∇k ∇l X km ml
=−
8
2
2
!
(3.12e)
!
(0 ) (0 )
1 (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 )l (0 )
(0 ) (0 ) (0 )
∇a ∇b Z − gab ∇l ∇ Z − gab ∇l ∇l s2 + ∇a ∇b s2 ,
−
8
– dla SbEH2A
(2 )
Wab = −
(0 )
(0 )
1(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
3 (0 ) (0 ) (0 ) lk 1 (0 ) (0 )l (0 ) k
∇k ∇(a Xb)l − ∇l ∇ Xak b − gab ∇k ∇l X km ml + Rkml(a Xb) mkl
4
2
2
(0 )
(0 ) (0 )
(0 )
1 (0 ) (0 ) (0 )
+ ∇k ∇l X k(ab) l + 2∇k ∇l R mjk(a Yb) lmj
2
(0 ) (0 ) (0 )
(0 )
1 (0 )
(0 )
+ R lmjk X jl km gab
2
!
(3.12f)
(0 ) (0 )
− gab ∇l ∇l s2 + ∇a ∇b s2 ,
– dla SbEH2B
(2 )
Wab = −
(0 )
(0 )
3 (0 ) (0 ) (0 ) lk 1 (0 ) (0 )l (0 ) k
1(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
∇k ∇(a Xb)l − ∇l ∇ Xak b − gab ∇k ∇l X km ml + Rkml(a Xb) mkl
4
2
2
(0 )
(0 ) (0 )
(0 )
1 (0 ) (0 ) (0 )
+ ∇k ∇l X k(ab) l + 2∇k ∇l R mjk(a Yb) lmj
2
(0 )
1 (0 )
(0 )
+ R lmjk X jl km gab
2
!
(3.12g)
!
(0 ) (0 )
1 (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 )l (0 )
(0 ) (0 ) (0 )
−
∇a ∇b Z − gab ∇l ∇ Z − gab ∇l ∇l s2 + ∇a ∇b s2 ,
8
(0 )
(0 )
(0 )
przy czym X ijkl , Y ijkl , Z są wyrazami stojącymi przy h0 w rozwinięciach Xijkl , Yijkl oraz Z,
(0 )
(0 )
wyrażającymi się przez Rijkl oraz gab .
32
3.2 Działanie Palatiniego
3.2
Rozdział 3
Działanie Palatiniego
Przejdźmy teraz do metody Palatiniego. Pod pojęciem tym rozumiemy traktowanie koneksji i tetrady jako oddzielnych zmiennych dynamicznych6 . Mamy zatem do czynienia z wiązką wektorową L, w której cechowanie zadaje grupa SO(3, 1) zachowująca kanoniczną postać
metryki lorentzowskiej7 ηAB . W wiązce L działa kompatybilna z metryką koneksja ∂ L , której współczynniki ΓAB i są antysymetryczne w
AB .
Odpowiednią krzywiznę oznaczamy RABij .
e
e
Wiązkę E wybieramy jako L ⊗ T M. Pole tetrady θAb0 indukuje metrykę ga0 b0 = θAa0 ηAB θBb0
oraz koneksję metryczną (niekoniecznie beztorsyjną) ∇ w T M. Jej współczynniki określone
0
0
są przez Γi j 0 k = θAi ΓABk θBj 0 + θAi
0
Ri
j 0 kl
= θA
i0 R A
Bkl
θB
e
j0 .
0
∂ A
θ j0 .
∂xk
Tensory krzywizny powiązane są zależnością
Jako koneksję w E ustalamy ∂ E = ∂ L ⊗ 1 + 1 ⊗ ∇. Powyższe dane
e
generują koneksję abelową DP .
0
Użyjemy następujących dwóch cięć należących do C ∞ (End(E)): RAB a b0 określonego przez
0
e
0
0
krzywiznę ∂ L (oraz tetradę dzięki której podnieśliśmy indeks a ) i ΘAB a b0 = θAa θBb0 . Punktem
wyjścia będzie działanie Palatiniego zapisane jako8
SP =
Z
Tr R̆ Θ
M
e
ωn
.
n!
(3.13)
E {R , Θ}) = 0 oraz Tr(RE RE {R , Θ}) = 0 otrzymujemy wyjątkowo proste
Dzięki ∂i Θ = 0, Tr(Rab
ab cd
e
e
wyrażenie na zdeformowaną postać działania
SbP = trDP (R̆ ∗ Θ) =
Z
e
M
Tr R Θ + h2 s2 R Θ + O(h3 ) volM
e
(3.14)
e
Obliczając wariację ze względu na δθ dostajemy równania
1
(1 + h2 s2 ) Rab − gab R + O(h3 ) = 0
2
(3.15a)
w sposób oczywisty równoważne (przynajmniej do h2 ) z warunkiem Rab = 0. Dla wariacji pola
6
W oryginalnym sformułowaniu Palatiniego [30, 31] zmiennymi dynamicznymi są beztorsyjna koneksja i
metryka, która w działaniu próżniowym pojawia się wyłącznie jako obiekt zwężający tensor Ricciego do skalara
krzywizny, oraz w formie objętości. Nasze podejście jest analogiczne do stosowanego np. w [32], choć porzucamy
język form różniczkowych na rzecz endomorfizmów i ich śladów.
7
Metryka ηAB służy nam do manipulacji indeksami ABC... związanymi z wiązką L.
8
Funkcja v modyfikująca R jest brana ze względu na metrykę gab indukowaną przez tetradę. Naturalnie,
e
volM oraz forma objętości określona przez wyznacznik θ są dokładnie takie same.
33
3.3 Dyskusja wyników
Rozdział 3
koneksji δΓ otrzymujemy9
e
(1 + h2 s2 )Qabc =
h2 a ∂s2
δ
+ O(h3 )
n − 1 [b ∂xc]
(3.15b)
gdzie Qabc = Γacb − Γabc jest tensorem torsji koneksji ∇. Łatwo obliczyć, że część bezśladowa
tak określonej torsji znika. Równanie (3.15b) oznacza, że dla
(0 )
(1 )
(2 )
Qabc = Qabc + hQabc + h2 Qabc + . . .
(0 )
(1 )
mamy Qabc = Qabc = 0 oraz
(2 )
Qabc =
∂s2
1
.
δa
n − 1 [b ∂xc]
Współczynniki koneksji ∇ określone są wzorem
Γabc
1
= g ak
2
∂gbk
∂gck
∂gbc
+
−
+ Qbkc + Qckb − Qkbc .
c
b
∂x
∂x
∂xj
(1 )
(0 )
Oznacza to, że dla Γabc i Γabc pozostają w mocy zależności (3.10a) oraz (3.10b), natomiast dla
(2 )
Γabc obliczamy
(2 )
Γabc
(0 ) (2 )
(0 ) (2 )
(0 ) (2 )
1(0 )
∂s2 (0 ) (0 ) ∂s2
1
(0 )
(1 ) (1 )
= g ak ∇c gkb + ∇b gkc − ∇k gbc − g ak gkl Γ lbc +
δ ac b − gbc g ak k .
2
2(n − 1)
∂x
∂x
(3.16a)
Poprawki do tensora Riemanna nadal można wyrazić wzorami (3.11), a po wstawieniu ich do
wzoru Rab = 0 przekonujemy się, że dla h0 i h1 słuszne są związki (3.12a) i (3.12b). Natomiast
(2 )
równania zadające gab przyjmują tym razem postać
(0 )kl
g
(0 )
(0 ) (2 )
(0 ) (0 ) (2 )
(0 ) (0 ) (2 )
(0 ) (0 ) (2 )
=
(1 )
(1 )
1 (0 ) (0 )kl(0 ) (0 )
(0 ) (0 )
gab g ∇k ∇l s2 − 4Γkl[k Γlb]a + 4 g rk ∇[r
= 2∇a ∇b s2 +
n−1
(0 ) (0 )
3.3
(1 )
l
(1 )
Γ b]a gkl . (3.16b)
Dyskusja wyników
Zajmijmy się teraz omówieniem uzyskanych rezultatów.
9
Bezpośrednio z wariacji dostajemy
w(Γcab − Γcba ) = δ ca
gdzie w =
√
∂w
− Γdbd w − δ cb
∂xb
∂w
− Γdad w
∂xa
−g(1 + h2 s2 ). Zwężenie powyższego wzoru umożliwia wyrażenie Γdad przez Γdda , co prowadzi do
ostatecznej postaci (3.15b).
34
3.3.1
Rozdział 3
Struktura zdeformowanych działań
Zauważmy wpierw, że otrzymaliśmy kilka nierównoważnych (choć wydaje się, że równoprawnych) deformacji próżniowej teorii Einsteina. Szczególnie dla działania Einsteina-Hilberta trudno wskazać, który model jest tym „właściwym”. Co więcej, rozważone przypadki nie wyczerpują
wszystkich możliwości „przetłumaczenia” całek działań na język śladów cięć wiązki endomorfizmów. Można na przykład inaczej interpretować skalar krzywizny R w działaniu EinsteinaHilberta – jako funkcję10 na M, jako endomorfizm T M postaci R1, gdzie 1 jest endomorfizmem
jednostkowym, lub w jeszcze inny sposób.
Podstawową trudnością, którą napotkaliśmy, była niezgodność form objętości – metrycznej
i symplektycznej. Oba zaproponowane rozwiązania (przedefiniowanie jednego z endomorfizmów
oraz wprowadzenie endomorfizmu V ) wydają się być nieco sztuczne. Można domniemywać, że
jest to powiązane z głębszym problemem, polegającym na traktowaniu struktury rozmaitości
Fedosova jako ustalonego tła, niepodlegającego żadnej dynamice. Być może należałoby również
przebudować samą konstrukcję Fedosova tak, aby metryka była od początku jej immanentną
częścią. Zagadnienia tego typu są interesujące, wykraczają jednak daleko poza ramy niniejszej
skromnej rozprawy.
Zwróćmy wreszcie uwagę, że dzięki symetriom tensora Riemmana w badanych przypadkach znikał urojony wyraz stojący w zdeformowanym działaniu przy h1 . Nie mamy jednak
pewności, czy dzieje się tak również dla kolejnych nieparzystych potęg h, a jest oczywiste, że
urojone wyrazy w działaniu i równaniach pola rodziłyby poważne problemy interpretacyjne.
Rozstrzygnięcie tego problemu wymaga dokładniejszego zbadania funkcjonału śladu trD , co jest
zadaniem trudnym. Wyniki Fedosova [33, 34] wiążące trD (1) z całkami klas charakterystycznych (Cherna dla E oraz Atiyaha-Hirzebrucha dla T M) zdają się jednak sugerować możliwość
otrzymania jakiegoś ogólnego, jawnego wzoru na trD .
3.3.2
Struktura zdeformowanych równań
We wszystkich przypadkach równania określające zdeformowaną metrykę mają tę samą ogólną
(0 )
(1 )
budowę. W potędze h0 mamy dowolną Ricci-płaską metrykę gab . Poprawkę gab stojącą przy h1
można rozumieć jako jej niezdeformowane11 zaburzenie pierwszego rzędu zadane jednorodnymi
10
11
W takim przypadku zatracimy jednak interpretację teorii w duchu odwzorowania Seiberga-Wittena.
Rozumowanie, które prowadzi do (3.12b) jest w zasadzie identyczne ze standardowymi rachunkami doty-
czącymi niewielkich zaburzeń klasycznej próżniowej teorii Einsteina – na przykład w shortwave formalism (por.
[31] §35.13).
35
Rozdział 3
liniowymi równaniami (3.12b). Pierwsze istotne poprawki pojawiają się dla potęgi h2 . Dla
(2 )
działania Einsteina-Hilberta otrzymaliśmy zależności (3.12c), niejednorodnie liniowe w gab , w
których oprócz wyrazów opisujących oddziaływanie z zaburzeniem rzędu pierwszego, pojawia
(0 )
się także wielkość Wab , pochodząca wyłącznie z procedury deformacyjnej, zależna od gab i
zadana wzorami (3.12d) – (3.12g). Jeśli pominiemy klasyczne zaburzenie pierwszego rzędu
(1 )
kładąc gab = 0, wówczas dla działań SbEH1A i SbEH1B nietrudno wskazać szczególne rozwiązanie
równań (3.12c). Ma ono postać
3 (0 )
1
3 (0 )
(0 )
s2 − Xmk km gab
gab = − Xak kb −
8
n−1
16
(3.17)
1 (0 ) 3 (0 )
3 (0 )
1
(0 )
s2 − Z − Xmk km gab
gab = − Xak kb −
8
n−1
8
16
(3.18)
(2 )
dla SbEH1A oraz
(2 )
(0 )
dla SbEH1B , przy czym, tak jak w przypadku wzorów (3.12d) – (3.12g), indeksy przy X są
(0 )
przemieszczane przy użyciu metryki gab . Zauważmy, że różnica między dowolnym innym roz(1 )
wiązaniem z gab = 0 a podanymi powyżej, spełnia jednorodny wariant równań (3.12c), może
(0 )
być zatem interpretowana jako klasyczne zaburzenie metryki gab .
Dla działania Palatiniego otrzymaliśmy związek (3.16b), przy czym obraz teorii uzupełnia
(1 )
torsja, obecna w zależności (3.16a). Podobnie jak w poprzednim przypadku, zadając gab = 0
łatwo odgadnąć szczególne rozwiązanie (3.16b), a mianowicie
1
(0 )
s2 gab .
n−1
(3.19)
∂s2
1
δ ab c .
2(n − 1) ∂x
(3.20)
(2 )
gab = −
Odpowiada mu poprawka do koneksji postaci
(2 )
Γabc = −
(1 )
Także i tym razem dowolne inne rozwiązanie (3.16b) z gab = 0 różni się od (3.19) o klasyczne
(0 )
zaburzenie gab .
3.3.3
Związek z odwzorowaniem Seiberga-Wittena
Wykorzystując wyniki poprzedniego rozdziału oraz zależność (A.11), możemy łatwo podać interpretację zdeformowanych działań w języku odwzorowania Seiberga-Wittena. Jeśli przyjmieS
my płaską koneksję symplektyczną ∂ S oraz ustalimy współrzędne Darboux, w których Γijk ≡ 0,
wówczas odwzorowania M określone wzorem (2.11) są trywializacjami do algebry Moyala, dla
której funkcjonał śladu sprowadza się do całki. Ograniczając się do endomorfizmów o nośniku
36
Rozdział 3
zawierającym się w wybranych współrzędnych oraz traktując M jako odwzorowanie Seibergab (co jest usprawiedliwione zależnościami (2.13)
Wittena poprzez przyjęcie oznaczenia M (B) = B
i (2.14)) możemy, korzystając ze wzoru (A.11), przepisać zdeformowane działania w lokalnej
postaci
SbEH
Z
1A
Tr(R̆) d2n x,
=
SbEH1B =
SbEH2A =
SbEH2B =
SbP =
b
2n
ZR
R2n
Z
b ∗T Vb ) d2n x,
Tr(R
Tr(R̆) d2n x,
b
2n
ZR
2n
ZR
R2n
b ∗T Vb ) d2n x,
Tr(R
b
Tr(R̆ ∗T Tb) d2n x.
e
Z takiego punktu widzenia w pewien sposób wyróżnione wydają się działania SbEH1A i SbEH1B ,
jako określone przez stosunkowo proste cechowanie GL(2n, R) określone w wiązce T M. W przypadku pozostałych działań, odwzorowanie Seiberga-Wittena brane jest ze względu na transformacje cechowania w dość nietypowych wiązkach, a mianowicie T M ⊗ T M oraz L ⊗ T M.
W literaturze odnajdujemy szereg prac poświęconych konstrukcji teorii grawitacji na nieprzemiennej czasoprzestrzeni przy wykorzystaniu iloczynu Moyala i odwzorowania SeibergaWittena. Mamy zatem artykuły [35, 36, 37] bazujące na połączeniu infinitezymalnych cechowań
so(3, 1) z infinitezymalnymi transformacjami współrzęnych zachowującymi (w pierwszej potędze deformacji) stałość parametru θij (dla [x̂i , x̂j ] = θij ). Inny przykład to prace [38, 39, 40, 41],
w których stosuje się symetrię SO(4, 1) (ewentualnie U (2, 2)), dla której w potencjale cechowania „zaszyte” są zarówno współczynniki zwykłej koneksji lorentzowskiej SO(3, 1) jak i pole
tetrady ortonormalnej. Po zastosowaniu odwzorowania Seiberga-Wittena nakłada się więzy
na torsję, co powoduje redukcję do grupy Poincarégo. Istnieją wreszcie podejścia oparte na
różnych wariantach cechowania SL(2, C) [42, 43]. Porównanie wymienionych teorii nie jest zadaniem łatwym m.in. ze względu na istotne różnice w wyjściowych założeniach, odmienny stopień zaawansowania poszczególnych teorii oraz skomplikowane wzory opisujące zdeformowane
równania pola. Wspólnym rysem wymienionych konstrukcji jest brak jawnej niezmienniczości na transformacje współrzędnych (co wynika bezpośrednio z zastosowania niegeometrycznej
struktury jaką jest iloczyn Moyala) oraz, podobnie jak w niniejszej pracy, znikanie poprawek do
równań pola odpowiadających potędze h1 . W [44] podjęto próbę zgeometryzowania teorii opartej o iloczyn Moyala i zwykłe odwzorowanie Seiberga-Wittena. W efekcie otrzymano strukturę
jawnie niezmienniczą ze względu na transformacje dyfeomorfizmów, czyniąc przy tym założenie
37
Rozdział 3
o kowariantnej stałości parametru deformacji ∇i θjk = 0 oraz tracąc łączność odpowiedniego
∗-iloczynu. Także i w tym przypadku poprawki do działania rzędu h1 znikają, natomiast dla
h2 pojawiają się wyrażenia, które zdradzają pewne (niepełne) podobieństwo do uzyskanych w
podrozdziale 3.1 poprawek do działania Einsteina-Hilberta.
Warto wspomnieć o innych podejściach do nieprzemiennej teorii grawitacji, które w jakiś sposób odwołują się do ∗-iloczynów i odwzorowania Seiberga-Wittena. Są to m.in. prace
[45, 46, 47], w których stosowano metodę „skręcania” (twisting) algebr Liego (w tym algebry pól wektorowych, co ma odpowiadać deformacji symetrii zadawanej przez dyfeomorfizmy)
przy użyciu teorii algebr Hopfa. Istnieją wreszcie sformułowania, które są silnie powiązane z
koncepcjami powstałymi w obrębie teorii strun, np. [48, 49]. Istnienie i charakter związku między powyższymi teoriami, a opisaną w bieżącym rozdziale konstrukcją pozostaje problemem
otwartym.
38
Dodatek A
Konstrukcja Fedosova
W niniejszym dodatku przedstawiona zostanie konstrukcja kwantowania przez deformację zaproponowana przez Borisa Fedosova w pracy [2], a następnie rozwinięta i uogólniona w monografii [3]. Będziemy podążać za rozważaniami zawartymi w piątym rozdziale tej książki,
koncentrując się na podstawowym przypadku kwantowania przez deformację wiązki endomorfizmów. Pominiemy zatem przypadek, w którym elementy algebry Weyla działają na wektory
z dowolnej przestrzeni symplektycznej L i ograniczymy się do L = T M. Przyjmujemy oznaczenia w większości zgodne z [3], a główne modyfikacje dotyczą wprowadzenia czysto technicznych
pojęć C-cięcia i C-operatora oraz drobnych zmian w części poświęconej izomorfizmom generowanym przez równanie Heisenberga. Dla twierdzeń pochodzących od Fedosova podajemy ich
numery z [3]. Zainteresowany Czytelnik może odnaleźć ciekawą geometryczną interpretację konstrukcji Fedosova w pracy [50], natomiast interpretację algebraiczną w [51]. Dalsze informacje
i przykłady zapewnią m.in. [52, 53, 54].
A.1
Kwantowanie przez deformację wiązki endomorfizmów
Punktem wyjścia dla konstrukcji Fedosova jest rozmaitość Fedosova (M, ω, ∂ S ), utworzona poprzez wyposażenie rozmaitości symplektycznej (M, ω) w pewną koneksję symplektyczną (beztorsyją i zachowującą ω) ∂ S . Wyczerpujący przegląd własności rozmiatości Fedosova odnaleźć
można w [55, 56]. Wspomnijmy tylko, że we współrzędnych Darboux współczynniki koneksji
S
S
∂ S zapisane w postaci Γijk = ωip Γpjk są całkowicie symetryczne1 . Nad M rozważamy zespoloną wiązkę wektorową E z koneksją ∂ E . Przedmiotem naszego zainteresowania będzie głównie
1
Forma symplektyczna ωij , będąc niezdegenerowaną, wyznacza tensor Poissona ω ij . W obrębie niniejszego
dodatku podnosimy i opuszczamy indeksy według reguły ωij X j = Xi oraz ω ij Xj = X i .
39
A.1 Kwantowanie przez deformację wiązki endomorfizmów
Dodatek A
wiązka End(E), której włóknem End(E)x jest przestrzeń wektorowa endomorfizmów odpowiedniego włókna Ex . Przypomnijmy, że ∂ E indukuje koneksję ∂ End(E) . Istotnie jeśli w lokalnym
reperze e wiązki E mamy ∂ E a = da + ΓE a, wówczas ∂ End(E) B = dB + [ΓE , B], gdzie ΓE jest
lokalną 1-formą o wartościach w wiązce endomorfizmów. Cięcia wiązki End(E) mogą być przez
siebie mnożone w naturalny sposób, przy użyciu operacji składania odwzorowań liniowych.
Konstrukcja Fedosova, używając całkowicie geometrycznych środków, prowadzi do deformacji tej struktury i definiuje nowy, formalny iloczyn endomorfizmów, który lokalnie może być
rozumiany jako deformacja iloczynu macierzowego.
Podstawowym obiektem formalizmu Fedosova jest wiązka algebr Weyla W. Jej rozmaitością
bazową jest M, natomiast włóknem w punkcie x jest algebra formalnych odwzorowań z Tx M
w End(E)x [[h]] postaci
X
a(y) =
hk ai1 ...ip y i1 . . . y ip ,
(A.1)
k,p0
gdzie y ∈ Tx M, zaś ai1 ...ip oznacza składowe pewnych kowariantnych, symetrycznych tensorów o wartościach w End(E)x , natomiast h jest parametrem formalnym. Łączny iloczyn w tej
algebrze zadany jest wzorem Moyala2
a◦b=
∞ X
ih m 1
−
m=0
2
∂mb
∂ma
im jm
i1 j1
.
.
.
ω
ω
.
m! ∂y i1 . . . ∂y im
∂y j1 . . . ∂y jm
Jest jasnym, że w powyższej definicji użyte jest, nieprzemienne od samego początku, mnożenie
endomorfizmów z End(E)x . Definicja ta jest geometrycznie poprawna, gdyż iloczyn Moyala jest
niezmienniczy na liniowe transformacje współrzędnych, a z takimi właśnie przekształceniami
składowych y i mamy do czynienia przy zmianach bazy w Tx M. Zauważmy ponadto, że kanoniczną postać iloczynu Moyala dostajemy poprzez zapisanie działania ◦ w bazie naturalnej
pewnych współrzędnych Darboux formy symplektycznej ω.
Niezerowym jednomianom tworzącym sumę formalną (A.1) przypisujemy stopień według
zależności
deg(hk ai1 ...ip y i1 . . . y ip ) = 2k + p.
Stopień dla niejednorodnego a określamy jako najmniejszy spośród stopni jednomianów wchodzących w jego skład. Łatwo zauważyć, że deg(a ◦ b) = deg(a) + deg(b). Zdefiniujemy operator
Pm , który „wyłuskuje” z zadanego a jednomiany stopnia m
Pm (a)(y) =
X
hk ai1 ...ip y i1 . . . y ip .
2k+p=m
2
Pozostajemy przy konwencji [3] odnośnie znaku minus przy jednostce urojonej. Przejście do najpopularniej-
szej postaci iloczynu Moyala może być łatwo otrzymane poprzez transformację h → −h.
40
Dodatek A
Jednym z podstawowych narzędzi formalizmu Fedosova jest metoda iteracyjna. Powiedzmy,
że dla ustalonego b ∈ C ∞ (W) rozważamy równanie ze względu na a
a = b + K(a),
(A.2)
które próbujemy rozwiązać iteracyjnie kładąc a(0) = b oraz a(n) = b + K(a(n−1) ). Jeśli K jest
operatorem liniowym, który podnosi stopień (tzn. dla dowolnego a zachodzi deg a < deg K(a)
lub K(a) = 0), wówczas nietrudno zaobserwować, że jedyne rozwiązanie (A.2) zadane jest
poprzez ciąg zależności Pm (a) = Pm (a(m) ).
Rozważamy także wiązkę W ⊗ Λ. Działanie ◦ określamy w niej poprzez regułę
(a ⊗ η) ◦ (b ⊗ ξ) = (a ◦ b) ⊗ (η ∧ ξ).
Komutator a ∈ W ⊗ Λr z b ∈ W ⊗ Λs definiujemy jako [a, b] = a ◦ b − (−1)rs b ◦ a. Zauważmy, że
jedynymi elementami, które komutują ze wszystkimi innymi są te, które nie zależą od y oraz są
proporcjonalne do endomorfizmu jednostkowego (lub równe zero). Innymi słowy, formami skalarnymi są cięcia należące do C ∞ (Λ)[[h]]. W szczególności, 0-formy skalarne można utożsamić
z szeregami formalnymi względem h o współczynnikach będących funkcjami na M.
Nieprzemienność iloczynu endomorfizmów powoduje, że nie każdy operator postaci
K(·) = hi [s, · ] jest poprawnie określony w algebrze Weyla, gdyż w ogólności może on przyjmować wartości z ujemną potęgą parametru h. Dopuszczalnymi s ∈ C ∞ (W ⊗ Λ) są te, których
współczynniki w jednomianach z h0 zawierają wyłącznie endomorfizmy centralne. Cięcia takie będziemy określać mianem C-cięć. Operatorom, które przekształcają C-cięcia w C-cięcia
nadamy nazwę C-operatorów.
Lemat A.1. Dla dowolnego C-cięcia s komutator
i
h [s, · ]
jest C-operatorem.
Wprowadzamy dwa następujące operatory działające na elementy algebry Weyla. Niech δ
obliczone na a ∈ W ⊗ Λ daje
δa = dxk ∧
∂a
i
= − [ωij y i dxj , a].
∂y k
h
Ponadto, niech δ −1 będzie operatorem liniowym, którego działanie na jednomian akm będący
m-formą z k-krotnym y jest określone jako
δ
−1
1
∂
=
ysι
akm
k+m
∂xs
akm
41
Dodatek A
dla k + m > 0, natomiast δ −1 a00 = 0. Zarówno δ jak i δ −1 są nilpotentne, zaś δ spełnia regułę
Leibniza δ(a ◦ b) = (δa) ◦ b + (−1)k a ◦ δb dla a ∈ W ⊗ Λk . Bezpośrednim rachunkiem można
sprawdzić, że dowolny element a ∈ W ⊗ Λ może zostać przedstawiony w postaci3
a = a00 + δδ −1 a + δ −1 δa.
(A.3)
gdzie a00 oznacza te jednomiany w a, które są 0-formami i nie zależą od y.
Koneksję w wiązce W wprowadzamy w sposób następujący. Koneksje ∂ End(E) i ∂ S indukują
koneksję ∂ = ∂ End(E) ⊗1+1⊗∂ S w wiązce End(E)⊗T M. Przy jej użyciu możemy różniczkować
współczynniki występujące w (A.1), zatem
∂a =
X
hk ∂j (ai1 ...ip )y i1 . . . y ip dxj .
k,p0
Rozszerzamy koneksję na wiązkę W ⊗ Λ poprzez warunek
∂(η ∧ a) = (dη) ∧ a + (−1)p η ∧ ∂a
dla każdej p-formy skalarnej η. Zauważmy, że we współrzędnych Darboux działanie ∂ na a może
zostać zapisane w postaci
∂a = da +
S
i
[1/2 Γijk y i y j dxk , a] + [ΓE , a],
h
oraz że tak zdefiniowana koneksja w W ⊗ Λ spełnia ogólniejszą regułę Leibniza
∂(a ◦ b) = (∂a) ◦ b + (−1)p a ◦ ∂b
(A.4)
dla dowolnej p-formy a.
Zajmijmy się teraz innymi koneksjami w wiązce Weyla spełniającymi zależność (A.4), a
mianowicie takimi, które można zapisać jako
D=∂+
i
[γ, · ],
h
gdzie γ jest C-cięciem W ⊗ Λ1 . Prostym rachunkiem możemy sprawdzić, że D2 = hi [Ω, · ] dla 2S
E
k
l
formy krzywizny Ω = R+∂γ+ hi γ◦γ gdzie R = 1/4 Rijkl y i y j dxk ∧dxl − ih
2 Rkl dx ∧dx . Wielkość
3
W książce [3] rozkład ten określony jest mianem „Hodge-de Rham decomposition”. Warto zauważyć, że
równie dobre (a być może nawet nieco lepsze) byłoby określenie „Poincaré decomposition”. δ −1 jest bowiem
dokładnym analogonem operatora „odwrotnego” do różniczki zewnętrznej, który pojawia się w dowodzie lematu Poincaré. W naszym przypadku jest on globalnie określony, gdyż cała przestrzeń styczna jest zbiorem
gwiaździstym.
42
Dodatek A
S
E = ∂ΓE /∂x − ∂ΓE /∂x +
Rijkl oznacza tensor krzywizny koneksji symplektycznej, zaś Rkl
k
l
l
k
[ΓEk , ΓEl ] jest krzywizną ∂ E . Koneksję D nazywamy abelową gdy jest ona płaska (D2 = 0) tzn.
gdy krzywizna Ω jest formą skalarną. Zachodzi następujące, fundamentalne dla teorii Fedosova,
twierdzenie.
Twierdzenie A.2 (Fedosov 5.3.3). Dla dowolnej koneksji ∂ oraz dowolnego C-cięcia
µ ∈ C ∞ (W) spełniającego deg µ 3 oraz µ|y=0 = 0 istnieje dokładnie jedno C-cięcie
r ∈ C ∞ (W ⊗ Λ1 ) wyznaczające koneksję abelową postaci
D = −δ + ∂ +
i
[r, · ],
h
spełniającą warunki:
• Ω = −1/2 ωij dxi ∧ dxj ,
• δ −1 r = µ,
• deg r 2.
1-forma r jest jednoznacznie wyznaczona jako iteracyjne rozwiązanie równania
r = r0 + δ
−1
i
∂r + r ◦ r .
h
(A.5)
dla r0 = δ −1 R + δµ.
Pomijając dowód zwróćmy uwagę, że rozwiązanie równania (A.5) jest zadane poprzez ite
racyjne stosowanie operatora id +δ −1 ∂ + hi (·)2◦ , który dla 1-form jest C-operatorem4 . Punktem początkowym dla tej rekurencji jest C-cięcie r0 . Z lematu A.1 wnioskujemy, że D jest
C-operatorem.
Cięcie a ∈ C ∞ (W) nazywamy płaskim, gdy Da = 0. Płaskie cięcia koneksji abelowej D
tworzą podalgebrę algebry wszystkich cięć, którą oznaczać będziemy jako WD . Dla dowolnego
a ∈ C ∞ (W ⊗ Λ) zdefiniujmy Q(a) jako rozwiązanie równania
b = a + δ −1 (D + δ)b
(A.6)
ze względu na b. Korzystając z metody iteracyjnej można udowodnić, że rozwiązanie to jest
wyznaczone jednoznacznie, oraz że Q jest liniową bijekcją, dla której
Q−1 a = a − δ −1 (D + δ)a.
4
Zapis a2◦ oznacza a ◦ a. Ponieważ operator ten jest nieliniowy, więc zbieżność procedury iteracyjnej nie jest
sprawą oczywistą. Dowód, że tak jest w istocie odnaleźć można w [3].
43
Dodatek A
Z faktu, że δ −1 (D +δ) jest C-operatorem wynika, że jest nim również Q. Wykorzystując rozkład
(A.3) łatwo zauważamy, że dla a ∈ WD zachodzi Q−1 (a) = a0 , gdzie a0 = a|y=0 . Co więcej,
zachodzi następujące twierdzenie, pozwalające skonstruować deformację iloczynu endomorfizmów.
Twierdzenie A.3 (Fedosov 5.2.4). Odwzorowanie Q jest bijekcją między zbiorem formalnych
cięć wiązki endomorfizmów C ∞ (End(E))[[h]] oraz algebrą WD .
Dla A, B ∈ C ∞ (End(E))[[h]] definiujemy ∗-iloczyn Fedosova jako
A ∗ B = Q−1 (Q(A) ◦ Q(B)).
Otrzymane w ten sposób mnożenie jest łączną, globalnie określoną deformacją zwykłego mnożenia w C ∞ (End(E)). Nietrudno obliczyć, że do potęgi h2 zadane jest ono wzorem
A ∗ B = AB −
−
ih ab
ω ∂a A∂b B+
2
h2 ab cd E
E
ω ω {∂b A, Rac
}∂d B + ∂b A{Rac
, ∂d B} + ∂(a ∂c) A∂(b ∂d) B + O(h3 ). (A.7)
8
Przy analizie izomorfizmów algebr płaskich cięć pojawia się konieczność rozwiązywania
równań postaci Da = b ze względu na a. Korzysta się przy tym z następującego twierdzenia.
Twierdzenie A.4 (Fedosov 5.2.6). Dla ustalonego b ∈ C ∞ (W ⊗ Λp ), p > 0 równanie Da = b
posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy Db = 0. Rozwiązanie, o ile istnieje, można wybrać
w postaci a = −Qδ −1 b.
Uwaga A.5. Najczęściej spotykaną w literaturze odmianą formalizmu Fedosova jest deformacja iloczynu funkcji na rozmaitości symplektycznej. Jest ona oczywiście szczególnym przypadkiem opisanej powyżej konstrukcji. Istotnie, ustalając E = M × C z globalnym reperem
zadanym przez jedność e1 = 1, globalną jednoformą koneksji ΓE1 ≡ 0, kładąc µ = 0 oraz
utożsamiając funkcje na M z współrzędnymi cięć End(E) w reperze e odtwarzamy „zwykłą”
konstrukcję Fedosova dla funkcji. Wiązkę algebr Weyla dla kwantowania algebry funkcji oznaczymy przez WS , koneksję abelową (wynikającą teraz tylko z wyboru koneksji symplektycznej)
przez DS = −δ + ∂ + hi [rS , · ], algebrę płaskich cięć przez WDS , zaś odwzorowanie określone
równaniem (A.6) przez QS .
Uwaga A.6. Niech obie koneksje ∂ S oraz ∂ E będą płaskie oraz µ ≡ 0. Ustalmy pewne współS
rzędne Darboux oraz reper w E takie, że Γijk ≡ 0 oraz ΓEi ≡ 0. Koneksja abelowa przyjmuje
wówczas postać DT = d − δ. Odpowiadającą jej algebrę płaskich cięć nazywamy algebrą trywialną i oznaczamy jako WDT . Powstałe w ten sposób mnożenie ∗T jest iloczynem Moyala.
44
A.2 Równoważności ∗-iloczynów
Dodatek A
Uwaga A.7. Wiązka W może zostać uogólniona w sposób następujący. Niech W + oznacza
wiązkę, której włókno Wx+ jest zbiorem formalnych odwzorowań postaci
a(y) =
X
p
hk ai1 ...ip y i1 . . . y i ,
2k+p0
gdzie liczba jednomianów o stopnia 2k + p jest skończona. Innymi słowy, dopuszczamy ujemne
potęgi h o ile są one skompensowane przez odpowiednią liczbę y i oraz Pm (a) zawiera skończoną
ilość jednomianów dla dowolnego m 0. Działanie ◦, koneksje (w tym koneksja abelowa D)
oraz operator Q mogą zostać rozszerzone w naturalny sposób do W + oraz W + ⊗ Λ.
A.2
Równoważności ∗-iloczynów
Niech ∗1 i ∗2 będą dwoma ∗-iloczynami. Równoważnością między ∗1 a ∗2 nazwiemy takie bijektywne przekształcenie M zbioru formalnych cięć C ∞ (End(E))[[h]], dla którego M (A ∗1 B) =
M (A) ∗2 M (B). Jest to zatem izomorfizm odpowiednich algebr. Zajmiemy się równoważnościami ∗-iloczynów generowanymi przez homotopie koneksji abelowych i równanie analogiczne
do równania Heisenberga. Zasadniczne twierdzenie pochodzące od Fedosova przedstawione zostanie w uproszczonej postaci, która jest wystarczająca dla rozważań zawartych w niniejszej
pracy.
Twierdzenie A.8 (Fedosov 5.4.3). Niech
Dt = −δ + ∂ (t) +
= d+
S
i
i
lokalnie
[r(t), · ] = −δ + d + [1/2Γijk (t)y i y j dxk − ihΓE (t) + r(t), · ]
h
h
i
[γ(t), · ]
h
będzie rodziną koneksji abelowych parametryzowanych przez t ∈ [0, 1] oraz niech H(t) będzie
C-cięciem W zależnym od t (zwanym hamiltonianem) spełniającym następujące warunki:
1. Dt H(t) − γ̇(t) jest formą skalarną,
2. deg(H(t)) 3.
Równanie
da
i
+ [H(t), a] = 0
(A.8)
dt
h
posiada wówczas jednoznaczne rozwiązanie a(t) dla dowolnego a(0) ∈ W ⊗Λ oraz odwzorowanie
a(0) 7→ a(t) jest bijekcją dla każdego t ∈ [0, 1]. Dla dowolnego t ∈ [0, 1] mamy, iż a(0) ∈ WD0
wtedy i tylko wtedy gdy a(t) ∈ WDt .
45
A.2 Równoważności ∗-iloczynów
Dodatek A
Całkując równanie (A.8) otrzymujemy
a(t) = a(0) −
i
h
Z t
[H(τ ), a(τ )]dτ.
(A.9)
0
Z metody iteracyjnej otrzymujemy istnienie, jednoznaczność i bijektywność rozwiązania dla
każdego t. Zasadniczej treści twierdzenia dowodzimy pokazując, że dla dowolnego rozwiązania
a(t) rozwiązaniem jest także Dt a(t). Faktycznie
d
i
Dt a = Dt ȧ + [γ̇, a],
dt
h
zaś po podstawieniu ȧ wyznaczonego z (A.8)
i
i
i
d
Dt a = − [Dt H − γ̇, a] − [H, Dt a] = − [H, Dt a],
dt
h
h
h
gdyż Dt H − γ̇ jest formą skalarną. Stąd, oraz z jednoznaczności i bijektywności rozwiązań (A.8)
dostajemy, że D0 a(0) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy Dt a(t) = 0.
Zauważmy, że rozwiązania (A.8) mogą zostać zapisane w postaci a(t) = U −1 (t) ◦ a(0) ◦ U (t),
gdzie U (t) jest dane jako iteracyjne rozwiązanie równania
U (t) = 1 +
i
h
Z t
U (τ ) ◦ H(τ )dτ.
(A.10)
0
W ogólności U (t) jest cięciem rozszerzonej wiązki Weyla W + .
Uwaga A.9. Lokalnie możliwe jest skonstruowanie izomorfizmu między dowolnymi dwiema
algebrami WD0 i WD1 pochodzącymi z twierdzenia A.2. Istotnie, ustalając homotopie współS
S
S
czynników koneksji Γijk (t), ΓE (t) oraz czynnika normalizacyjnego µ(t) tak, aby Γijk (0) = Γ0 ijk ,
S
S
ΓE (0) = ΓE0 , µ(0) = µ0 oraz Γijk (1) = Γ1 ijk , ΓE (1) = ΓE1 , µ(1) = µ1 , możemy przy użyciu twierdzenia A.2 zbudować homotopię γ(t), taką że γ(0) = γ0 and γ(1) = γ1 . Ustalając zamkniętą
1-formę skalarną λ znajdziemy hamiltonian H(t) jako rozwiązanie Dt H(t) = λ + γ̇(t). Mamy
d
i
i
[γ(t), γ̇(t)] =
dγ(t) + γ 2 (t) = Ω̇(t) = 0,
h
dt
h
Dt (λ + γ̇(t)) = dλ + dγ̇(t) +
gdzie skorzystaliśmy z Ω(t) = −1/2ωij dxi ∧dxj , a zatem H(t) może zostać na mocy twierdzenia
A.4 ustalony jako −Qt δ −1 (λ(t) + γ̇(t)).
Dość bezpośrednią konsekwencją powyższych rozważań jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie A.10 (Fedosov 5.5.1). Dowolna algebra WD pochodząca z twierdzenia A.2 jest
lokalnie izomorficzna z algebrą trywialną WDT .
46
A.3 Funkcjonał śladu
Dodatek A
Wypływa zeń następujący użyteczny wniosek.
Wniosek A.11 (Fedosov 5.5.2). Forma a ∈ C ∞ (W ⊗Λ) komutująca z każdym cięciem b ∈ WD
jest formą skalarną.
Dowód nietrudno uzyskać dla przypadku algebry trywialnej. Można go następnie przetransportować do dowolnego WD przy użyciu twierdzenia A.10.
Niech Tt oznacza izomorfizm zdefiniowany w twierdzeniu A.8, czyli T0 = id oraz Tt (WD0 ) =
et =
WDt . Używając reprezentacji (A.10) otrzymujemy Tt (a) = U −1 (t) ◦ a ◦ U (t). Zdefiniujmy D
Tt D0 Tt−1 . Prostym rachunkiem dostajemy
e t = D0 + [U −1 (t) ◦ D0 U (t), · ],
D
a zatem naturalne jest oznaczenie γe (t) = γ(0) − ih U −1 (t) ◦ D0 U (t). Zbadajmy jaki jest związek
e t, γ
e (t) oraz Dt , γ(t).
między D
et
Lemat A.12. Przy powyższych oznaczeniach i przy założeniach twierdzenia A.8 koneksja D
e t = Dt . Jeśli zachodzi Dt H(t) − γ̇(t) = 0 wówczas γ
e (t) = γ(t).
jest abelowa oraz D
e t jest oczywistą konsekwencją D
e tD
e t = Tt D0 D0 T −1 . Używając twierdzenia
Dowód. Abelowość D
t
−1
e
A.8 łatwo obliczyć, że WD
e = WDt . Istotnie dla a ∈ WDt mamy Dt a = Tt (D0 Tt (a)) = Tt (0) =
t
−1
0. Podobnie, dla b ∈ WD
e , z 0 = Tt (D0 Tt (b)) wnioskujemy, że b ∈ WDt . Zatem dla dowolnego
t
e
e (t) − γ(t), c] = 0. Używając wniosku A.11
c ∈ WDt = WD
et zachodzi Dt c = Dt c = 0. Stąd [γ
e t a = Dt a dla dowolnego
dostajemy, że γe (t) − γ(t) jest 1-formą skalarną. To zaś oznacza, że D
a ∈ C ∞ (W ⊗ Λ).
ė Z (A.10) wynika, że U̇ = hi U ◦ H oraz U̇ −1 = − hi H ◦ U −1 , a zatem
Obliczmy γ.
γė = −ih U̇ −1 ◦ D0 U − ih U −1 ◦ D0 U̇ = −H ◦ U −1 ◦ D0 U + (U −1 ◦ D0 U ) ◦ H + D0 H
e t H = Dt H.
= D0 H + [U −1 D0 ◦ U, H] = D
Jeżeli Dt H − γ̇ = 0 wówczas γė = γ̇. Wiemy jednak, że γe (0) = γ(0), stąd γe (t) = γ(t).
A.3
Funkcjonał śladu
Niech CC∞ (End(E))[[h]] oznacza podzbiór C ∞ (End(E))[[h]] składający się z cięć o zwartym
nośniku. Na algebrze Fedosova generowanej przez koneksję abelową D wprowadzamy C-liniowy
funkcjonał śladu trD : CC∞ (End(E))[[h]] → C[[h]]. Żądamy aby spełniał on warunek
trD (A ∗ B) = trD (B ∗ A)
47
Dodatek A
oraz aby był niezmienniczy ze względu ∗-równoważności, tzn. aby zachodziła zależność
trD1 (A) = trD2 (M (A)),
(A.11)
dla M spełniającego M (A ∗1 B) = M (A) ∗2 M (B), gdzie ∗1 i ∗2 pochodzą odpowiednio od
koneksji abelowych D1 i D2 .
Okazuje się, że powyższe dwa żądania określają ślad w sposób jednoznaczny, z dokładnością
do stałej normalizacyjnej. Dzieje się tak, ponieważ dla algebry trywialnej jedynym śladem jest
całka
Z
trDT (A) = α
Tr(A)
R2n
ωn
n!
gdzie Tr oznacza ślad macierzy, α ∈ C jest dowolną stałą, zaś forma objętości, zapisana jako
ωn
n! ,
sprowadza się do postaci euklidesowej d2n x = dx1 ∧ · · · ∧ dx2n . W niniejszej pracy, od-
miennie niż w [3], przyjmujemy α = 1. Dla dowolnego ∗-iloczynu Fedosova ślad wprowadzamy
w sposób następujący. Dla cięcia A ∈ CC∞ (End(E))[[h]] ustalamy dowolne skończone pokrycie
{Oi } nośnika A takie, że dla każdego Oi można ustanowić izomorfizm trywializacyjny (w sensie
twierdzenia A.10) Mi . Wprowadzamy także rozkład jedności {ρi } zgodny z {Oi } i definiujemy
trD (A) :=
X
trDT (Mi (ρi ∗ A)).
(A.12)
i
Można pokazać5 , że tak zdefiniowany ślad nie zależy od wyboru pokrycia, rozkładu jedności i
zestawu trywializacji. Bezpośrednim rachunkiem obliczamy6
!
3
ωn
ih
E
E
E
A + h2 − ω [ab ω cd] Rab
Rcd
+ s2 A + O(h3 )
,
Tr A + ω ab Rab
trD (A) =
2
8
n!
M
Z
5
6
(A.13)
Por. [3] podrozdział 5.6.
Rachunek prowadzący do (A.13) jest żmudny i w zasadzie trudno sobie wyobrazić przeprowadzenie go w
sposób całkowicie „ręczny”. Obliczenia przebiegają w sposób następujący. 1) Wyznaczamy Mi (X) dla dowolnego
cięcia X o nośniku zawartym w Oi . 2) Wynik umieszczamy pod całką w celu obliczenia trDT (Mi (X)). 3) Całkując
S
przez części usuwamy wszystkie pochodne X. 4) Grupujemy wyrazy zawierające Γijk i ΓEi w celu utworzenia z
nich wyrażeń zbudowanych z tensorów krzywizny i ich pochodnych kowariantnych. 5) Uzyskujemy wzór (A.13),
na razie dla pewnego Oi . Wyraża się on przez w pełni kowariantne obiekty geometryczne, skąd wnioskujemy,
że możemy rozszerzyć całkowanie na M. Wykonujemy sumowanie w (A.12) i z własności
P
ρi ≡ 1 dostajemy
ostateczną postać (A.13). W większości powyższych kroków w znacznym stopniu wykorzystywany był pakiet
xAct [57] rozszerzający możliwości programu Mathematica o przekształcenia tensorowe.
Już po wykonaniu powyższych rachunków autor dotarł do preprintu pracy [33], w której Fedosov otrzymał
rezultat całkowicie zgodny z (A.13). Wynik ten został uzyskany w inny, pomysłowy sposób, zaś obliczenia z
definicji (A.12) określone zostały mianem „rather hopeless”.
48
Dodatek A
gdzie skalar s2 jest określony wyłącznie przez formę i koneksję symplektyczną i wyraża się
wzorem
s2 =
S
1
1 [ab cd] S k S l
ω ω R lab R kcd + ω ab ω cd ∂eS ∂aS Rebcd .
64
48
(A.14)
Zapiszmy jeszcze jawną postać trD (A ∗ B). Wstawiamy (A.7) do (A.13) i po przekształceniach
otrzymujemy7
"
1
ih
E
E
{A, B} + h2 s2 AB + ω ab ω cd Rab
[∂c A, ∂d B]+
trD (A ∗ B) =
Tr AB + ω ab Rab
4
8
M
Z
3 E E
− ∂(a ∂c) A∂(b ∂d) B − R[ab
Rcd] {A, B}
2
7
#
!
3
+ O(h )
ωn
. (A.15)
n!
Wzór (A.15) został przekształcony do postaci, w której łatwo dostrzec symetrię trD (F ∗ G) = trD (G ∗ F ).
Dla wyrazu stojącego przy h można to nietrudno osiągnąć poprzez całkowanie przez części i użycie definicji RE .
Dla wyrazów pojawiających się przy h2 można postąpić w sposób następujący. 1) Wstawiamy (A.7) do (A.13)
i zauważamy, że przy h2 stoi pewna grupa wyrażeń, którą nazywamy w(F, G). 2) Przepisujemy ją w postaci
1
(w(F, G)
2
+ w(G, F )) + 12 (w(F, G) − w(G, F )) i odrzucamy część antysymetryczną. 3) Sprawdzamy, że pomi-
nięte wyrazy faktycznie dają zero. Całkując je przez części otrzymujemy pewną ilość wyrażeń, które zawierają
pojedynczą pochodną kowariantną RE i które znikają dzięki tożsamościom Bianchiego. W wyrażeniach z dwukrotnymi różniczkowaniami ∂ mogą być one zastąpione przez RE i w efekcie, po wysumowaniu z pozostałymi
wyrazami, również otrzymujemy zero. Powyższy rachunek można traktować jako pewne dodatkowe sprawdzenie
poprawności wzoru (A.13).
49
Bibliografia
[1] N. Seiberg, E. Witten String theory and noncommutative geometry, JHEP 09 (1999) 032,
hep-th/9908142
[2] B. V. Fedosov A simple geometrical construction of deformation quantization, J. Diff.
Geom. 40, 213 (1994)
[3] B. V. Fedosov, Deformation quantization and index theory, Akademie Verlag, Berlin 1996
[4] M. Dobrski Explicit example of local differential calculus over Fedosov algebra, Acta Phys.
Pol. B 40, 1591 (2009), arXiv:0807.1199
[5] M. Dobrski Seiberg-Witten equations from Fedosov deformation quantization of endomorphism bundle, arXiv:0904.4409
[6] A. Connes Non-commutative differential geometry, Publ. Math. IHES 62, 257-360 (1985)
[7] J. Madore An Introduction to Noncommutative Differential Geometry and Its Physical
Applications, (London Mathematical Society lecture note series vol 257), Cambridge University Press, Cambridge 1999
[8] A. Dimakis, J. Madore Differential calculi and linear connections, J. Math. Phys. 37, 4647
(1996), q-alg/9601023
[9] M. Dubois-Violette Lectures on Graded Differential Algebras and Noncommutative Geometry, (Noncommutative Differential Geometry and Its Applications to Physics: proceedings
of the workshop at Shonan, Japan, June 1999, Mathematical Physics Studies vol 23),
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001, math/9912017.
[10] M. Spivak Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced
calculus, Addison-Wesley, Reading MA 1965
50
Bibliografia
[11] T. Asakawa, I. Kishimoto Noncommutative gauge theories from deformation quantization,
Nucl. Phys. B 591, 611 (2000), hep-th/0002138
[12] V. A. Dolgushev, S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov Wick type deformation quantization
of Fedosov manifolds, Nucl. Phys. B 606, 647 (2001), hep-th/0101032
[13] S. Waldmann Morita equivalence of Fedosov star products and deformed Hermitian vector
bundles, Lett. Math. Phys. 60, 157 (2002), math/0201181
[14] S. McCurdy, B. Zumino Covariant star product for exterior differential forms on symplectic
manifolds, AIP Conf. Proc. 1200, 204-214 (2010), arXiv:0910.0459
[15] T. Asakawa, I. Kishimoto Comments on gauge equivalence in noncommutative geometry,
JHEP 11 (1999) 024, hep-th/9909139
[16] S. Goto H. Hata Noncommutative monopole at the second order in θ, Phys. Rev. D 62,
085022 (2000), hep-th/0005101
[17] B. Jurčo, L. Möller S. Schraml, P. Schupp, J. Wess Construction of non-abelian gauge
theories on noncommutative spaces, Eur. Phys. J. C 21, 383 (2001), hep-th/0104153
[18] D. M. Brace, B. L. Cerchiai, A. F. Pasqua, U. Varadarajan, B. Zumino A cohomological
approach to the non-abelian Seiberg-Witten map, JHEP 06 (2001) 047, hep-th/0105192
[19] P. Kraus, M. Shigemori Non-commutative instantons and the Seiberg-Witten map, JHEP
06 (2002) 034, hep-th/0110035
[20] L. Möller Second order expansion of action functionals of noncommutative gauge theories,
JHEP 10 (2004) 063, hep-th/0409085
[21] A. Alboteanu, T. Ohl and R. Rückl Noncommutative standard model at O(θ2 ), Phys. Rev.
D 76, 105018 (2007), arXiv:0707.3595
[22] J. Trampetić, M. Wohlgenannt Remarks on the second-order Seiberg-Witten maps, Phys.
Rev. D 76, 127703 (2007), arXiv:0710.2182
[23] K. Ülker, B. Yapışkan Seiberg-Witten maps to all orders, Phys. Rev. D 77, 065006 (2008),
arXiv:0712.0506
[24] B. Jurčo, P. Schupp Noncommutative Yang-Mills from equivalence of star products, Eur.
Phys. J. C 14, 367 (2000), hep-th/0001032
51
Bibliografia
[25] M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds I, Lett.Math.Phys. 66, 157
(2003), q-alg/9709040
[26] A. S. Cattaneo, G. Felder, L. Tomassini From local to global deformation quantization of
Poisson manifolds, Duke Math. J. 115, 329 (2002), math/0012228
[27] B. Jurčo, P. Schupp and J. Wess Nonabelian noncommutative gauge theory via noncommutative extra dimensions, Nucl. Phys. B 604, 148 (2001), hep-th/0102129
[28] P. Schupp Noncommutative field theory, Fortschr. Phys. 54, No. 2 - 3, 165 - 174 (2006)
[29] B. Jurčo, S. Schraml, P. Schupp, J. Wess Enveloping algebra-valued gauge transformations
for non-abelian gauge groups on non-commutative spaces, Eur. Phys. J. C 17, 521-526
(2000), hep-th/0006246
[30] A. Palatini, Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton, Rend. Circ. Mat. Palermo 43, 203-212 (1919)
[31] C. Misner, K. Thorne, J. A. Wheeler Gravitation, W.H. Freeman and Company, San
Francisco 1973
[32] K. A. Meissner Klasyczna teoria pola, PWN, Warszawa 2002
[33] B.V. Fedosov On the trace density in deformation quantization w Deformation quantization: proceedings of the meeting of theoretical physicists and mathematicians, Strasbourg,
May 31-June 2, 2001, de Gruyter, Berlin 2002, MPIM2001-75
[34] B. V. Fedosov The Atiyah-Bott-Patodi Method in Deformation Quantization, Comm.
Math. Phys. 209, 691 (2000)
[35] X. Calmet, A. Kobakhidze Noncommuative general relativity, Phys. Rev. D 72 045010
(2005), hep-th/0506157
[36] X. Calmet, A. Kobakhidze Second order noncommutative corrections to gravity, Phys.
Rev. D 74 047702 (2006), hep-th/0605275
[37] P. Mukherjee, A. Saha Note on the noncommutative correction to gravity, Phys. Rev. D
74 027702 (2006), hep-th/0605287
[38] A.H. Chamseddine Deforming Einstein’s Gravity, Phys. Lett. B 504, 33 (2001),
hep-th/0009153
52
Bibliografia
[39] A.H. Chamseddine An invariant action for noncommutative gravity in four-dimensions,
J.Math.Phys. 44, 2534 (2003), hep-th/0202137
[40] M. A. Cardella, D. Zanon Noncommutative deformation of four dimensional Einstein gravity, Class. Quant. Grav. 20, L95-L104 (2003), hep-th/0212071
[41] M. Chaichian, A. Tureanua, G. Zet Corrections to Schwarzschild solution in noncommutative gauge theory of gravity Phys. Lett. B 660, 573 (2008), arXiv:0710.2075
[42] A.H. Chamseddine SL(2,C) gravity with a complex vierbein and its noncommutative extension, Phys. Rev. D 69, 024015 (2004), hep-th/0309166
[43] H. Garcia-Compean, O. Obregon, C. Ramirez, M. Sabido Noncommutative self-dual gravity, Phys. Rev. D 68, 044015 (2003), hep-th/0302180
[44] S. Marculescu, F. Ruiz Ruiz Seiberg-Witten maps for SO(1,3) gauge invariance and deformations of gravity, Phys. Rev. D 79, 025004 (2009), arXiv:0808.2066
[45] P. Aschieri, C. Blohmann, M. Dimitrijević, F. Meyer, P. Schupp, J. Wess A gravity theory
on noncommutative spaces Class. Quant. Grav. 22 (2005) 3511, hep-th/0504183
[46] P. Aschieri, M. Dimitrijević, F. Meyer, J. Wess Noncommutative geometry and gravity,
Class. Quant. Grav. 23 (2006) 1883-1912, hep-th/0510059
[47] F. Meyer, Noncommutative spaces and gravity, hep-th/0510188
[48] H. Steinacker Emergent gravity from noncommutative gauge theory, JHEP 12 (2007) 049,
arXiv:0708.2426
[49] H. Steinacker Emergent gravity and noncommutative branes from Yang-Mills matrix models, Nucl. Phys. B 810, 1 (2009), arXiv:0806.2032
[50] C. Emmrich, A. Weinstein The differential geometry of Fedosov’s quantization w Lie Theory and Geometry. In Honor of Bertram Kostant, Birkhäuser 1994, hep-th/9311094
[51] D. R. Farkas A ring-theorist’s description of Fedosov quantization, Lett. Math. Phys. 51,
161 (2000), math/0004071
[52] M. Gadella, M. A. del Olmo, J. Tosiek Geometrical origin of the *-product in the Fedosov
formalism, J. Geom. Phys. 55, 316 (2005), hep-th/0405157
53
Bibliografia
[53] M. Gadella, M. A. del Olmo, J. Tosiek Quantization on a 2-dimensional phase space with
a constant curvature tensor, Annals Phys. 307 (2003) 272-307, hep-ph/0306117
[54] J. Tosiek The Fedosov deformation quantization for some induced symplectic connection,
arXiv:0907.4911
[55] I. Gelfand, V. Retakh, M. Shubin Fedosov Manifolds, Adv. Math. 136, 104 (1998),
dg-ga/9707024
[56] P. Bieliavsky, M. Cahen, S. Gutt, J. Rawnsley, L. Schwachhöfer Symplectic connections,
Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3, 375 (2006), math/0511194
[57] http://www.xact.es/
54

Here

Transkrypt

Podobne dokumenty

Załącznik nr 3 do Opisu Przedmiotu Zamówienia

FoF_prezentacja-1-zajecia

Bezpłatne badania krwi

1 3 4 5 6 2b 8 1 1d 1 2 1c 2 3 2e 3 4 4 5 1c 5 6 1a 6 7 7 8 8

zobacz list

Nie daj się chorobie - Dobrzyńska zaprasza na badania

polityka sieci - Gildia Aniołów Biznesu

Wniosek - IPPT PAN

Zalecenia po piaskowaniu