Zadania na środę, 16 grudnia Zadanie 1. Niech a = 111 oraz b
Transkrypt
Zadania na środę, 16 grudnia Zadanie 1. Niech a = 111 oraz b
Zadania na środę, 16 grudnia Zadanie 1. Niech a = 111 oraz b = 243. Za pomocą algorytmu Euklidesa wyznaczyć NWD(a, b). Korzystając z przeprowadzonych obliczeń wyznaczyć liczby całkowite x i y spełniające równość: ax + by = NWD(a, b). Zadanie 2. Liczby Fibonacciego zdefiniowane są za pomocą rekurencji: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 , dla n > 1. Wykazać, że: (i) NWD(Fn , Fn+1 ) = 1, dla n 0. (ii) NWD(Fm , Fn ) = NWD(Fn , Fm−n ), dla m > n 0. Wskazówka. (i) udowodnić za pomocą indukcji. W drugim kroku indukcyjnym wziąć d 1 takie, że d \ Fn oraz d \ Fn+1 . Pokazać, że wtedy d = 1. W dowodzie (ii) wykorzystać tożsamość1: Fm = Fm−n Fn+1 +Fm−n−1 Fn , dla m > n 0. Wziąć d > 1 takie, że d \ Fm oraz d \ Fn . Korzystając z (i) pokazać, że wtedy d \ Fm−n . Podobnie wykazać, że jeżeli d > 1 jest takie, że d \ Fn oraz d \ Fm−n to również d \ Fm . Ponadto zadania: 2, 3, 9, 14, 18 z rozdziału 4. 1Dowód nieobowiązkowy, mile widziany :)