Średnia droga swobodna - Open AGH e

Średnia droga swobodna
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha
Model gazu doskonałego jest brdzo wygodnym, ale przybliżonym sposobem opisu rzeczywistych gazów. Teraz spróbujemy
omówić niektóre istotne właściwości gazu rzeczywistego. Zwróćmy na przykład uwagę na to, że gdyby cząsteczki były punktowe
to nie zderzałyby się w ogóle ze sobą. Tak więc w opisie zderzeń musimy uwzględnić skończone wymiary cząsteczek. Będziemy
teraz traktować cząsteczki jako kuleczki o średnicy d. Oznacza to, że zderzenie pomiędzy cząsteczkami będzie miało miejsce gdy
odległość między ich środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka zachowuje się jak tarcza o efektywnej
powierzchni
σ = πd 2
(1)
Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego.
W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v przemiata objętość walca równą vts. Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w
jednostce objętości to na swej drodze (w tym walcu) nasza cząstka napotka nz innych cząsteczek
nz = vtσn
(2)
Tym samym otrzymaliśmy liczbę zderzeń, których doznaje cząsteczka w czasie t. Widać, że zależy ona od rozmiarów cząsteczek i
od ich liczby w jednostce objętości. Wprowadzimy teraz pojęcie średniej drogi swobodnej λ̄.
DEFINICJA
Definicja 1: Średnia droga swobodna
Średnią drogę swobodną definiujemy jako średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę pomiędzy kolejnymi zderzeniami.
Rysunek 1: Przykładowa droga, po której porusza się cząsteczka gazu zderzająca się z innymi cząsteczkami; wszystkie pozostałe cząsteczki poruszają się w taki sposób
Średnia droga swobodna jest równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez liczbę zderzeń (zob. Rys.
1).
λ̄ =
vt
vtσn
=
1
σn
=
1
πd 2 n
(3)
Równanie ( 3 ) wyprowadziliśmy przy założeniu, że cząstka zderza się z innymi nieruchomymi cząsteczkami. W rzeczywistości
cząsteczki uderzają w inne też poruszające się cząsteczki. Rzeczywista częstość zderzeń jest więc większa, a średnia droga
swobodna mniejsza
λ̄ =
1
√ 2πd 2 n
(4)
Ta różnica we wzorach wynika z tego, że w poprzednim równaniu ( 3 ) występujące tam dwie prędkości są różne: prędkość w
liczniku to prędkość średnia cząsteczek v̄ względem naczynia, a prędkość w mianowniku to średnia prędkość względna w
stosunku do innych cząsteczek. Można się przekonać jakościowo, że te prędkości są różne. Na przykład, gdy cząstki biegną
naprzeciw siebie to mają względną prędkość równą 2v̄, gdy pod kątem prostym to równą v̄√2, a gdy w tę samą stronę to
względna prędkość jest równa zeru. Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości, otrzymujemy vwzgl. = v̄√2.
PRZYKŁAD
Przykład 1: Średnia droga swobodna i liczba zderzeń
Oszacujmy jaka jest typowa średnia droga swobodna i jak często cząstki zderzają się ze sobą. W tym celu rozpatrzmy cząstki
powietrza w temperaturze 300 K (27 °C) i pod ciśnieniem 1 atm. Przyjmijmy średnicę cząsteczek równą d = 2 ⋅ 10−8 cm. W
tych warunkach jeden mol powietrza zajmuje około 22.4 dm 3 , a ponieważ w molu znajduje się NAv = 6.023 ⋅ 1023
cząsteczek to ich koncentracja wynosi n = 2.7 ⋅ 1019 /cm 3 .
Korzystając z równania ( 4 ), otrzymujemy średnią drogę swobodną równą λ̄ = 2.1 ⋅ 10−5 cm, co stanowi około tysiąca
średnic cząsteczkowych ( 1000d). Częstość zderzeń obliczamy, dzieląc średnią prędkość cząsteczek przez średnią drogę
swobodną
f=
v̄
λ
(5)
Do naszych celów posłużymy się wartością prędkości średniej kwadratowej ( vśr. kw. = 483 m/s) obliczonej w ćwiczeniu
Ciśnienie gazu doskonałego-Prędkość średnia kwadratowa. Odpowiednia częstość zderzeń wynosi f = 2.3 ⋅ 109 1/s.
Średnio każda cząstka zderza się w ciągu sekundy ponad 2 miliardy razy! Właśnie dzięki tak dużej liczbie zderzeń ogólny
rozkład prędkości nie zmienia się.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-06-17 12:19:51
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=1a6c1b0ab386f38d0d96f7be79b4bd64
Autor: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha