x ≤ ˆ dla ka dego Punkt xˆ nazywamy minimum globalnym funkcji f

Niezawodność i Optymalizacja
Wykład 1: Zasady formułowania problemów optymalizacyjnych i ich klasyfikacja
ZASADY FORMUŁOWANIA PROBLEMÓW OPTYMALIZACYJNYCH I ICH KLASYFIKACJA
Dowolny problem optymalizacyjny można przedstawić w następujący sposób:
Należy zrealizować określone zadanie w sposób najlepszy w sensie określonej miary
jakości realizacji tego zadania.
Zwykle żąda się również, by realizacja zadania uwzględniała określone ograniczenia, które
mogą wynikać zarówno z właściwości systemu realizującego zadanie, jak też z wymagań
stawianych systemowi przez środowisko zewnętrzne.
Formułując problem optymalizacyjny zawsze należy uwzględnić:
1. zadania stawiane systemowi,
2. miarę jakości realizacji zadań (kryterium),
3. zespół ograniczeń krępujących wybór sposobu realizacji zadania, wynikających
zarówno z właściwości systemu, jak i z wymagań stawianych systemowi przez
środowisko zewnętrzne.
Można to zapisać w następujący sposób:
Opt f ( x)
x∈A
,
(1.1)
gdzie:
f - miara jakości realizacji zadań nazywana , w zależności od postaci
sformułowania matematycznego, funkcją lub funkcjonałem celu
( f : X → ℜ1 ),
x - wektor decyzyjny, przyjmujący wartości w przestrzeni X, za pomocą
którego można kształtować realizację zadania
A - zbiór rozwiązań dopuszczalnych ( A ⊂ X ), dla wektora decyzyjnego x,
określony przez:
•
zadania stawiane systemowi,
• zespół ograniczeń na wektor x wynikający zarówno z właściwości systemu
realizującego zadania, jak i z wymagań stawianych systemowi przez otoczenie.
Optymalizacja problemu może polegać na maksymalizacji lub minimalizacji funkcji celu (f).
Zależy to od sensu, jaki przyjmuje f w rozpatrywanym problemie. Aby uzyskać
jednoznaczność sformułowań matematycznych, w dalszej części wykładów będą rozważane
wyłącznie problemy minimalizacji wartości f. W tym miejscu należy podkreślić fakt, iż
maksymalizacja wartości f jest równoważna minimalizacji wartości –f.
min f ( x) = − max (− f ( x))
(1.2)
Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu xˆ ∈ A takiego, że f(xˆ ) ≤ f(x) dla każdego x ∈ A .
Punkt x̂ nazywamy minimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Jeśli X = ℜ N , tzn. wartości
zmiennej decyzyjnej są wektorami n - wymiarowymi to zadanie optymalizacji nosi nazwę
zadania programowania matematycznego.
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych A określa się zwykle jako zbiór punktów spełniających
zadany układ nierówności i równań:
g1 ( x) = 0, g 2 ( x) = 0, ..., g I ( x) = 0, h1 ( x) ≤ 0, h2 ( x) ≤ 0, ..., hJ ( x) ≤ 0.
Niezawodność i Optymalizacja
Wykład 1: Zasady formułowania problemów optymalizacyjnych i ich klasyfikacja
Warunki te noszą nazwę ograniczeń równościowych i nierównościowych, zaś funkcje
g i :ℜ N → ℜ1 , i = 1,..., I oraz h j :ℜ N → ℜ1 , j = 1,..., J nazywamy odpowiednio funkcjami
ograniczeń równościowych i nierównościowych.
Jeśli warunki ograniczające nie występują, to zadanie nosi nazwę zadania bez ograniczeń, w
przeciwnym przypadku jest ono zadaniem z ograniczeniami.
W określeniu zbioru A mogą wystąpić inne warunki ograniczające dopuszczalny zakres
zmienności x, trudne do sformułowania w postaci nierówności i równań. Jednym z często
występujących warunków tego typu jest wymaganie, aby współrzędne wektora x przybierały
wartości całkowite. W takim wypadku mamy do czynienia z zadaniem programowania
całkowitoliczbowego (dyskretnego).
Jeśli wszystkie funkcje definiujące zadanie są afiniczne (mają postać sumy funkcji liniowej i
stałej), to zadanie nosi nazwę zadania programowania liniowego (ZPL), w przeciwnym
przypadku jest ono zadaniem programowania nieliniowego (ZPN). Jeśli wszystkie funkcje
ograniczeń są afiniczne a funkcja celu - kwadratowa, to mamy do czynienia z zadaniem
programowania kwadratowego.
Jeśli przynajmniej jedna z funkcji definiujących zadanie ma postać wartości oczekiwanej
względem pewnej miary probabilistycznej opisującej rozkład prawdopodobieństwa, z jakim
przyjmują swe wartości nieznane dokładnie parametry zadania, to mamy do czynienia z
zadaniem programowania stochastycznego.
Wektor decyzyjny może zależeć od czasu x = x(t). Zachowanie x(t) definiują wtedy, np.
odpowiednie równania różniczkowe, np.:
dx
= ζ ( x (t )) ,
dt
(1.3)
uzupełnione często warunkami początkowymi
x (t 0 ) = x 0 ,
(1.4)
x (t 0 + T ) = xT ,
(1.5)
lub warunkami końcowymi
lub warunkami (1.4) i (1.5).
W takim przypadku mamy do czynienia z tzw. zadaniem optymalizacji dynamicznej. Można
go zapisać w następujący sposób:
min f ( x (t ) )
x (t ) ∈ A
,
(1.6)
t ∈ [t 0 , t 0 + T ]
gdzie:
f(x(t))
t0
T
[t0, t0 + T]
-
funkcjonał celu,
chwila początkowa,
horyzont czasowy optymalizacji,
przedział czasowy optymalizacji, dla tego przedziału czasowego określone są
zadania dla systemu oraz obliczana jest wartość funkcjonału celu.
Niezawodność i Optymalizacja
Wykład 1: Zasady formułowania problemów optymalizacyjnych i ich klasyfikacja
Jeśli wektor x nie zależy od czasu mamy do czynienia z zadaniem optymalizacji statycznej.
Przykład 1
Niech dany będzie system elektroenergetyczny składający się z 2 cieplnych bloków
energetycznych zasilających w energie elektryczna odbiór skupiony poprzez linie bez strat
(rys. 1.1). System powinien pokrywać aktualne zapotrzebowanie mocy przez odbiór P0, przy
czym koszt wytwarzania energii powinien być minimalny.
P1
B1
Blok 1
B2
P0
P2
Blok 2
Rys. 1.1. Schemat systemu
Rozwiązanie
Zadanie dla systemu elektroenergetycznego: Moc wytworzona w systemie P powinna być
równa mocy odbiorów P0, czyli
P = P0 ,
(1.7)
Miara jakości realizacji zadania: Koszt wytwarzania energii elektrycznej w systemie.
Załóżmy, że właściwości systemu opisują się następującymi zależnościami:
a) bilans mocy elektrycznej wytwarzanej w systemie:
P = P1 + P2 ,
(1.8)
gdzie: P1, P2 – moc wytwarzana przez blok nr 1, nr 2.
b) Charakterystyka: natężenia dopływu paliwa Bi do i-tego bloku w funkcji jego mocy Pi:
Bi = Bi ( Pi ) , i = 1,2 ,
(1.9)
c) Ograniczenia na moc Pi wytwarzaną w i-tym bloku:
Pi min ≤ Pi ≤ Pi max , i = 1,2 ,
(1.10)
Mamy więc do czynienia z problemem optymalizacyjnym, który można przedstawić w
następujący sposób:
min f ( x)
x∈ A
,
(1.11)
gdzie funkcja celu f jest natężeniem strumienia kosztów wytwarzania mocy w systemie.
Wektor decyzyjny x będzie się składał w tym przypadku z P1, P2, gdyż na realizację
postawionego systemowi zadania mamy w pływ jedynie poprzez wybór mocy elektrycznej
wytwarzanej w poszczególnych blokach. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla x będzie
określony przez zadanie stawiane systemowi (1.7) oraz przez ograniczenia (1.10).
Niezawodność i Optymalizacja
Wykład 1: Zasady formułowania problemów optymalizacyjnych i ich klasyfikacja
Przyjmując, że brane są pod uwagę jedynie koszty paliwa o cenie jednostkowej Ci, 1=1,2,
model matematyczny problemu optymalizacyjnego będzie miał następującą postać:
• funkcja celu:
2
f = ∑ Ci Bi ( Pi ) ,
(1.12)
i =1
• ograniczenia:
2
∑P = P
i
0
,
(1.13)
i =1
Pi min ≤ Pi ≤ Pi max , i = 1,2 .
(1.14)
W rezultacie, przy przyjętych założeniach, otrzymaliśmy zdeterminowany problem
optymalizacji statycznej, który można rozwiązać na modelu (1.12) do (1.14) systemu.
Załóżmy, że dla i=1, 2, mamy:
Bi ( Pi ) = 0.5 + Pi + 0.1Pi 2
P0 = 1.5
Pi min = 0.4
,
Pi max = 1.0
Ci = 1
wtedy
f = 1 + P1 + P2 + 0.1P12 + 0.1P22 ,
(1.15)
P1 + P2 = 1.5 ,
(1.16)
0.4 ≤ Pi ≤ 1 , i = 1,2 .
(1.17)