R - wmiRepo

Pierścieo przemienny
(R, ⊕ ,⊙)To zbiór, w którym określone są działania
+, ∙, jeśli
 R ⊕ jest grupą abelową
 ⊙ jest łączne
 ⊙ jest rozdzielne względem ⊕
 ⊙ jest przemienne
Pierścieo (R, ⊕,∙)
To zbiór, w którym określone są działania⊕ , ∙, jeśli
 R, ⊕ jest grupą abelową
 ⊙jest łączne
 ⊙ jest rozdzielne względem ⊕
Dzielnik zera
a) R nietrywialny pierścieo przemienny, a ∈R, a jest
dzielnikiem zera, gdy a≠ 0 i istnieje b ∈R t.że a∙
b=0
b) R-pierścieo przemienny, Niezerowy element a
pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera tego
pierścienia, jeśli ab=ca=OR dla pewnych
elementów b,c ∈R
Element odwracalny
a) Niech R: nietrywialny pierścieo przemienny, a∈R,
a jest odwracalny, gdy istnieje b∈R,t. że a∙b=1
b) Niech R będzie pierścieniem z jednością. Element
a ∈R nazywamy elementem odwracalnym
pierścienia R, jeśli ab=ba=1 dla pewnego b∈R
Dziedzina (pierścieo całkowity)
a) R nietrywialny pierścieo przemienny, a ∈R;
R:dziedzina, gdy R nie ma dzielników zera
b) Pierścieo przemienny z jednością, w którym
jednośd i zero są różne, nie mający dzielników
zera nazywamy pierścieniem całkowitym,
dziedziną całkowitości
Ciało
a) Ciało to pierścieo przemienny z jednością
(R, ⊕,⊙)w którym R*=R\{0} (dlatego R
nietrywialny)
tzn 0R ≠1
b) Pierścieo przemienny z jednością
(R, ⊕,⊙)nazyywamy ciałem, jeśli
0R ≠1 i każdy jego element różny
od 0R jest odwracalny
Każda skooczona dziedzina
(ℤn,+n, ∙n) jest ciałem, gdy n- l. Pier.
Homomorfizm pierścieni
Zał. Że (R, +,∙) i (S,⊕,⊙) pierścienie
f: R→S jest homomorfizmem
pierścieni, gdy dla wszystkich a, b∈R
1)
f(a+b)=f(a) ⊕f(b)
2)
f(a∙b)=f(a) ⊙f(b)
3)
f(1R)= 1S
Izomorfizm pierścieni
f: jest homomorfizmem i bijekcją
Produkt pierścieni
Niech (R, +,∙), (S, +,∙) pierścienie
(R×S,+, ∙) produkt pierścieni
(r1,s1)+(r2,s2)= (r1+R r2, s1 +S s2)
(r1,s1) ∙ (r2,s2)= (r1∙R r2, s1 ∙S s2)
OR×S=(OR, OS)
1R×S=(1R, 1S)
Izomorfizm pierścieni
ℤmx ℤn ≅ ℤmn(m,n wzg. Pierwsze)
Funkcja Eulera
φ(n)=φ(k) φ(l), gdzie (k,l)=1s
l
l-1
φ(p )= p (p-1)
Twierdzenie Eulera
(n,k)=1 to k| nφ(k)-1 , nφ(k) ≡1(mod k)
Gdy k- l.pierwsza to φ(k)=p-1 to
p|n p-1-1
Pierścieo wielomianów
R: pierścieo przemienny
W(X)=a0 +a1x1 +….anxn,
a0…..an ∈ℝ i n∈ℕ
Stopieo wielomianu
deg(W(x))- stopieo=norma
deg(W(x)*V(x))= degW(v)+degV(x)
Pierścieo formalnych szeregów potęgowych
i
R[[x]]={ ∞
𝑖=0 𝑎 i X ai∈R}
Homomorfizm ewaluacji w punkcie
W: RR (wiel. jako funkcja)
φc: R[x]R, c ∈R, φc(W)=𝑊 (c)
Ciało ułamków pierś.całkowitego
R ×(R\{0})={<a,b>: a∈R, b∈R\{0}}
<a,b>~<c,d>  ad=bc
zbiór klas abstrakcji to ciało
Ro=(R×R\0)/~={a/b a∈R, b∈R\{0}}
Pierścieo C(R)
pierścieo funkcji ciągłych
Norma euklidesowa
R-dziedzina, δ: R\{0}ℕ jest normą
↔(∀a∈R)(∀b∈R\{0}), a=qb+r, dla pewnych q,r∈R
t.że r=0 lub g(r)<g(b)
Pierścieo euklidesowy↔Istnieje
norma euklidesowa: δ: R\{0}ℕ
Tw. Bezouta
X-a dzieli W(X) w F[X]  W(a)=0
Pierścieo Gaussa
ℤ[i]={a+bi, a,b∈ℤ} ⊆ℂ,δ(a+bi)=a2+b2
NWD (a,b)
g=NWD(a,b) g|a i g|b oraz ∀ c∈R
jeśli c|a i c|b to c|g
NWW (a,b)
l=NWW(a,b) a|l i b|l oraz ∀ c∈R
jeśli a|c i b|c to l|c
Algorytm euklidesa
a = bq0 + r0
b = r0q1 + r1
r0 = r1q2 + r2
……
rk-2 = rk-1qk + rk
rk-1 = rkqk+1 + 0;
NWD(a; b) = rk
Chioskie tw. o resztach
m>1, m∈ ℕ.Niech m=m1∙m2……mr, gdzie (mi,mj)=1
dla i≠j i a1....ar ∈ℤ.Wtedy układ kongruencji
𝑥 ≡ 𝑎1 𝑚𝑜𝑑 𝑚1
(*)
ma rozwiązanie w ℤ.
𝑥 ≡ 𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑟
Ponadto, jeśli b jest takim rozwiązaniem, to x∈
ℤ spełnia (*)↔x≡b mod m
Ideał w pierścieniu I≠0, I⊆ R ideał w pierścieniu R(I
⊳R), gdy dla wszystkich x,y∈I, r ∈R 1)x- y ∈I
2)r∙x,x∙r∈I
Ideał główny a∈R, R przemienny,
(a) := aR= {ra: r∈ 𝑅}ideał główny generowany przez
a∈ 𝑅
Ideał gen. przez skooczenie wiele el.
R przemienny, (a1,…..ar) ∈ 𝑅
(a1,…..ar) ={ 𝑘𝑖=1 𝑟iai: ri∈ 𝑅}
Pierścieo R (przemienny) jest dziedziną ideałów
głównych, gdy R jest dziedziną,tzn. nie ma
dzielników O i każdy ideał R jest główny
Zasadnicze twierdzenie o homomorfizmie
pierścieni Zał. Że f:R →S epimorfizm
pierścieni;Wtedy istnieje jedyny izomorfizm 𝑓 𝑖
R/Ker f →S t. że f=𝑓 °j,
tzn diagram komutuje
Pierścieo ilorazowy Niech I będzie ideałem
pierścienia R. Pierścieo warstw względem ideału, w
którym działaniami są dodawanie warstw i
mnożenie warstw, nazywamy pierścieniem
ilorazowym pierścienia R względem ideału I.
Charakterystyka ideałow I w p. euklid.
Niech R: p. euklidesowy i a∈R. Wtedy R/(a) jest
ciałem a jest nierozkładalny w R
ciało 4-elementowe: ℤ2[X]/(X2+X+1)
ciało 9-elementowe: ℤ3[X]/(X2 +1)
ciało 27-elementowe ℤ27[X]/(X3+2X+1)
Ciało- alternatywna def
 (F,+) gr abelowa (addytywna)
 )(F\{0},∙) gr abelowa (multiplikatywna)
 ∙ jest rozdzielne względem +
 0- el neu (F,+), 1- el, neu (F,∙)
Charakterystyka ciała
F: ciało. Jeśli istnieje n>0 takie, że w F: 1+…+1=0 to
najmniejsze takie n to charakterystyka ciała F. Gdy
takiego n
nie ma to char F=0;char ℚ=0, char ℤ2=2 char ℤp=p;
char ℤ3[X]/(X3 +2X+1)= 3
Podciało
F1⊆F: podciało ciała F, gdy F1 ciało względem +, ∙
zF. Wtedy OF1=0F i 1F1=1F
Równania algebraiczne w ciele F
Równanie postaci W(x)=0, W(x)=F[x]
Rozwiązanie: pierwiastek W w F
Ciało algebraicznie domknięte
Ciało F jest algebraicznie domknięte, gdy Każdy
wielomian W(X) ∈F[x] stopnia >0 ma pierwiastek w
F
ciało proste F ciało proste, gdy F:ciało i F nie
zawiera podciała właściwego
podciało proste F