Zadania dotyczące podstawowych pojęć związanych z ruchem

Zadania dotyczące podstawowych pojęć związanych z ruchem falowym i akustyką
Wprowadzenie teoretyczne
Rozwiązywanie zadań z tego rozdziału pozwoli przypomnieć ( oprócz podstawowej wiedzy o
prędkości fali akustycznej ) również takie pojęcia jak : długość fali, powierzchnia fazowa czy czoło
fali. Powierzchnia fazowa to powierzchnia prostopadła do promienia falowego ( tj. do kierunku
propagacji fali ) stanowiąca miejsce geometryczne punktów o takiej samej fazie drgań. Długość
fali to odległość między dwiema identycznymi powierzchniami fazowymi, albo inaczej rzecz
ujmując - odległość między punktami ( usytuowanymi wzdłuż promienia falowego ), w których
mamy tę samą ( chwilowo ) wartość ciśnienia akustycznego lub prędkości akustycznej ( tj.
prędkości cząstki akustycznej w jej ruchu drgającym ).
Związek pomiędzy długością fali λ , prędkością jej propagacji c oraz jej częstotliwością f
jest następujący :
Jest to wzór uniwersalny. Jeżeli w przestrzeni propaguje się fala stanowiąca dudniący
dwuton i f będzie częstotliwością owych dudnień, to wówczas λ będzie oznaczać
odległość ( w przestrzeni, wzdłuż kierunku propagacji ) pomiędzy kolejnymi ekstremami
maksimami bądź minimami ) obwiedni amplitudowej dudniącego dwutonu.
Zadania dotyczące związków pomiędzy częstotliwością, długością fali a prędkością jej
propagacji
Zadania dotyczące przede wszystkim prędkości propagacji fali akustycznej
Zadanie dotyczące wykorzystania ogromnej różnicy pomiędzy prędkością propagacji fali akustycznej
a prędkością propagacji światła
W armii najeźdźczej, dowodzonej przez Jozue`go ( tej, która zdobyła Jerycho ) dość powszechnie stosowano
wydrążone rogi baranie w charakterze trąbek sygnałowych. Załóżmy, że Jozue jako naczelny dowódca stoi na
niewielkim wzgórzu i stamtąd wydaje rozkazy dowódcom swoich pododdziałów. Jego armia, pogrupowana w
odpowiednich pododdziałach, jest rozlokowana na niewielkiej dolince umieszczonej pomiędzy dwoma wzgórzami.
Dno tej dolinki jest płaskie, a oba wzgórza mają dość strome zbocza ( od strony dna tej dolinki ). Ze względu na takie
szczególne ukształtowanie tej dolinki możemy uznać, że odległość między tymi stromymi zboczami, a zarazem szerokość dna dolinki wynosi 680 [ m ]. Żołnierze armii Jozue`go rozlokowani są na całym obszarze tej dolinki.
Ponieważ dolinka ta porośnięta jest krzewami i niewysokimi drzewkami naczelny wódz nie stosuje sygnałów
świetlnych, tylko sygnały akustyczne emitowane przy użyciu wspomnianych rogów baranich. Załóżmy, że pewna
sekwencja zadęć w róg barani oznacza dla wojowników we wszystkich pododdziałach rozkaz następujący:
"przykucnąć i pochylić piki do przodu" ( dla powstrzymania szarżującej kawalerii nieprzyjacielskiej ). Jeżeli wydano
taki rozkaz przy pomocy dęcia w baranie rogi sygnałowe, to jak późno dotrze on do żołnierzy położonych najdalej od
stanowiska dowodzenia ( odległość około 680 m ) ? Prędkość propagacji fali akustycznej w powietrzu wynosi 340
m /s. Jeden z adiutantów naczelnego wodza wpadł na pomysł, aby skrócić maksymalne opóźnienie sygnału niosącego
rozkaz do pochylenia pik. Polecił mianowicie jednemu z żołnierzy - gońców, aby udał się z drugim rogiem baranim
na przeciwległe wzgórze. Jeżeli na wzgórzu stanowiącym stanowisko dowodzenia trębacz podniósł róg barani i zaczął
weń dąć, to towarzyszący mu żołnierz zaczął wymachiwać trzymaną w ręku pochodnią. Trębacz znajdujący się na
drugim, przeciwległym wzgórzu w momencie ujrzenia sygnałów świetlnych nadawanych pochodnią sam zaczynał
dąć w swój własny róg barani. Czy pomysł owego adiutanta rzeczywiście pozwalał skrócić maksymalne opóźnienie
nadawanego sygnału akustycznego ? Ile wynosiło to maksymalne opóźnienie w przypadku realizacji owego
pomysłu ?
Zadanie dotyczące zróżnicowania prędkości propagacji fal akustycznych w różnych ośrodkach
Pewien archaiczny sterowiec, pochodzący z czasów I wojny światowej, poddano modyfikacji. Modyfikacja ta
polegała przede wszystkim na zmianie rodzaju gazu nośnego ; w czasach swego powstania sterowiec ów napełniany
był wodorem, obecnie napełniany jest helem. Na dziobie sterowca znajduje się gondola zawierająca kabinę dowódcy,
natomiast w pobliżu ogona znajdują się gondole silnikowe zawierające również stanowiska maszynistów
obsługujących te silniki. Ze względu na niebezpieczeństwo wybuchu wyjątkowo łatwopalnego wodoru nie
poprowadzono żadnych instalacji elektrycznych ( sygnalizacyjnych, zdalnego sterowania ) łączących obie gondole.
Sygnały sterujące były przekazywane z kabiny dowódcy do stanowisk maszynistów drogą akustyczną ( np. przy
pomocy jakichś buczków, dzwonków, itp. ). Podczas modyfikacji sterowca postanowiono zmodyfikować również i
ten system sterowania. Ponieważ ten odnowiony sterowiec miał służyć badaniom z zakresu "rekonstrukcji
historycznej" ( zamierzano odtworzyć warunki manewrowania tym sterowcem podczas bombardowania Londynu ),
dlatego nie zamierzano instalować nowoczesnego systemu zdalnego sterowania silnikami napędowymi. Wzięto
natomiast pod uwagę możliwość zastąpienia dawnego systemu sygnalizacji akustycznej nowszym systemem
akustycznym ( również akustycznym), ale działającym wewnątrz powłoki helowej ; hel jest gazem niepalnym, zatem
można bezpiecznie umieścić głośnik oraz mikrofon wewnątrz powłoki napełnionej helem. Oszacować, czy ta
modyfikacja przyspieszyłaby przekazywanie sygnału sterującego z gondoli dowódczej do gondoli silnikowej ?
Odległość pomiędzy obydwiema gondolami wynosi 66 m , prędkość propagacji fali akustycznej w powietrzu
przyjmujemy za równą 330 m / s ; prędkość propagacji fali akustycznej w helu wynosi 1100 m /s.
Zadanie dotyczące dwóch rodzajów prędkości w przypadku fal akustycznych
Grupa spadochroniarzy siedzi na składanych krzesłach ustawionych wzdłuż burty wnętrza samolotu transportowego.
Jeden ze spadochroniarzy siedzi niedaleko statecznika ogonowego. Na zewnątrz w tym miejscu do kadłuba
przytwierdzona jest wyrzutnia ładunków pirotechnicznych - flar mylących pociski przeciwlotnicze. Kilka siedzeń
dalej siedzi kolega tego spadochroniarza siedzi jego kolega, który trzyma w ręku ( zamiast broni ) jakiś ładunek, który
trzeba szczególnie troskliwie chronić przed wstrząsami ( np. jakiś pojemnik z nitrogliceryną ). Wszystkie siedzenia
dla spadochroniarzy amortyzowane są w bardzo spartański sposób, tj. przy pomocy sprężyny przymocowanej do
siedziska. Wszyscy pozostali spadochroniarze trzymają w ręku broń o długiej lufie. Aby łatwiej było sobie wyobrazić
rząd spadochroniarzy siedzących wzdłuż burty samolotu transportowego poniższy link obrazuje wnętrze samolotu
transportowego AN-124 ( takim samolotem nasi żołnierze polecieli do Iraku ).
http://r-scale-53.dcs.redcdn.pl/scale/o2/tvn/web-content/m/p1/v/76cf99d3614e23eabab16fb27e944bf9/df1063c4b184-11e2-ba4d-0025b511226e/S/000.jpg?
type=1&srcmode=3&srcx=1/2&srcy=0/1&srcw=640&srch=360&dstw=640&dsth=360
Załóżmy, że spadochroniarz siedzący najbliżej wyrzutnika flar reaguje podskokiem na odpalenie flary
przeciwlotniczej w tego wyrzutnika ( np. ten spadochroniarz jest zbyt nerwowy, albo impuls powstały w wyniku
odpalenia tej flary przenosi się w jakiś sposób na siedzisko owego spadochroniarza ). Podskakujący na swym
siedzeniu spadochroniarz trąca lufą trzymanej przez siebie broni kolegę siedzącego obok. Ten potrącony kolega
również podskakuje i z kolei lufą trzymanej przez siebie broni trąca następnego z kolei spadochroniarza siedzącego
w tym samym szeregu. W ten sposób wzdłuż całego szeregu siedzących spadochroniarzy rozchodzi się "fala"
kolejno wymuszanych podskoków. Prędkość propagacji tej 'fali' wynosi 2 osoby ( 2 potrącone osoby ) na sekundę.
Kolejni spadochroniarze siedzą w odległości 70 cm od siebie ( jest to np. odległość pomiędzy pępkami kolejnych
spadochroniarzy ). Odległość pomiędzy spadochroniarzem reagującym podskokiem na wybuch flary a
spadochroniarzem trzymającym w ręku niebezpieczny ładunek wynosi 7 m. Średnia prędkość podskoku wynosi 2.5
m / s. Załóżmy, że podczas przygotowywania pewnej specjalnej operacji postanowiono zabezpieczyć rząd siedzeń
dla spadochroniarzy w ten sposób, że podskok na siedzeniu usytuowanym najbliżej wyrzutnika flar uruchamia
specjalny mechanizm blokujący podskoki na siedzeniu spadochroniarza trzymającego w ręku niebezpieczny
ładunek. Jaki będzie czas opóźnienia pomiędzy pierwszym podskokiem ( zainicjowanym wybuchem flary ) a
podskokiem na siedzeniu "szczególnie chronionym" ? ( znajomość tego czasu opóźnienia może być przydatna przy
projektowaniu owego mechanizmu blokującego )
Zadanie dotyczące wykorzystania zróżnicowania prędkości propagacji fali akustycznej do wydłużenia
czasu trwania sygnału akustycznego
Mieszkańców pewnej wioski leżącej blisko dżungli, gdzieś w Ameryce Środkowej, nęka nieznane zwierzę,
zwane chupacabra. Zwierzę to jest nieznane nauce, ponieważ nikt dotychczas nie schwytał żywego zwierzęcia ani nie
znalazł martwego osobnika. Stworzenie to poluje na zwierzęta domowe, a zwłaszcza - wysysa krew z kóz.
Informacje na temat tego stworzenia można znaleźć na następujących stronach internetowych :
http://pl.wikipedia.org/wiki/Chupacabra
http://ufoinfo.pl/index.php?id=412
http://niewyjasnione.blog.onet.pl/2,ID23184569,index.html
Mieszkańcy owej wioski postanowili zorganizować coś w rodzaju samoobrony, aby ustrzec swój
inwentarz domowy od ataków owego stworzenia. Na skraju wioski, na pograniczu dżungli postawili
coś w rodzaju wartowni zbudowanej niczym bunkier - ziemianka. Zespoły wybierane spośród
dorosłych mieszkańców wioski pełniły straż w owej wartowni. Podczas pełnienia dyżuru członkowie
takiego zespołu strażniczego mieli ze sobą broń myśliwską. W razie usłyszenia podejrzanych odgłosów
( wydawanych np. przez ranne zwierzęta domowe ) część młodszych członków zespołu wartowniczego
miała wybiec z bronią na zewnątrz wartowni i poszukać napastnika. Starsi członkowie zespołu mieli
pozostać w wartowni i nasłuchiwać odgłosów wystrzałów. W razie usłyszenia wystrzału mieli włączyć
specjalną sygnalizację alarmującą resztę mieszkańców wioski ( wartownia znajdowała się w pewnej
odległości od wioski ). Jednak starsi ludzie mają zazwyczaj kłopoty ze słuchem i mogliby nie usłyszeć
pojedynczego wystrzału. Ponieważ odgłos pojedynczego strzału trwa zazwyczaj kilkadziesiąt
milisekund ( nie uwzględniając ewentualnego echa ), postanowiono sztucznie wydłużyć czas trwanie
wystrzału tak, aby łatwiej było go usłyszeć człowiekowi posuniętemu w latach. Zamierzano
wykorzystać tu znany z psychoakustyki fakt, że dla krótkotrwałych sygnałów akustycznych próg
usłyszenia takiego sygnału zależy również od czasu trwania takiego sygnału. Im dłuższy czas trwania
takiego bodźca akustycznego, tym niższa jest progowa wartość natężenia, przy którym można ten
sygnał usłyszeć. Po prostu dla krótkich dźwięków ucho ludzkie ( a także - ucho innych ssaków ) jest po
prostu detektorem energii akustycznej. Wiąże się z tym pojęcie tzw. "stałej czasu ucha", o którym
można poczytać
( oprócz czasopism fachowych ) również na stronach WWW :
http://sound.eti.pg.gda.pl/student/pp/wlasciwosci_slyszenia.pdf
http://audiology.pagesperso-orange.fr/en/theory.html
Ze względu na kłopot pozyskania odpowiednich fachowców postanowiono to wydłużenie czasu trwania
odgłosu pojedynczego wystrzału zrealizować z całkowitym pominięciem jakiejkolwiek elektroniki. Do
wydłużenia sygnału postanowiono wykorzystać fakt, że fale akustyczne rozchodzą się w różnych
ośrodkach z różnymi prędkościami. Do wnętrza wartowniczego bunkra - ziemianki miała prowadzić
zzewnątrz para dźwiękowodów o kilkumetrowej długości. Każdy z pary dźwiękowodów zaopatrzony był
na swoich końcach elastycznymi przeponami - membranami. Wnętrze jednego z tych dźwiękowodów
wypełnione było powietrzem, wnętrze drugiego dźwiękowodu miało być wypełnione innym gazem.
Ponieważ w zwalczanie owego nieznanego drapieżnika zaangażował się również gubernator regionu, w
pobliżu owej wioski zorganizowano improwizowane lotnisko dla sterowca patrolowego. Zatem od obsługi
owego lotniska można było bez trudu pozyskać trochę helu do wypełnienia drugiego z dźwiękowodów.
Załóżmy, że oba dźwiękowody mają być jednakowej długości, bo akurat dało się pozyskać dwa gotowe
węże od jakiejś instalacji. Jaka powinna być długość tych węży, jeżeli czas trwania huku wystrzału wynosi
20 [ ms ] ?
Prędkość propagacji fali akustycznej w helu wynosi 980 [ m / s ] , natomiast w powietrzu wynosi 340 [ m /
s ].
Zadanie dotyczące zależności prędkości propagacji fali akustycznej od temperatury
Założmy, że pracujemy na projektem przyrządu do demonstracji zależności prędkości propagacji fal
akustycznych od temperatury. Przyrząd ten ma postać długiego dźwiękowodu, na którego jednym końcu
umieszczono głośnik, na drugim natomiast tarczę z materiału pochłaniającego falę akustyczną ( w celu
uniknięcia odbić i powstawania fal stojących ). Jednocześnie w okolicach obu krańców umieszczono w
obudowie dźwiękowodu dwa miniaturowe mikrofony ( np. takie, jakie są stosowane w aparatach
słuchowych ). Oba te mikrofony przyłączono do wejść dwukanałowego miksera ; sumaryczny sygnał z
miksera poprzez wzmacniacz i drugi głośnik ( głośnik "zewnętrzny" ) prezentowany jest słuchaczom
siedzącym na auli. Głośnik umieszczony wewnątrz dźwiękowodu, na jednym z jego krańców ( głośnik
"wewnętrzny" ) emituje krótkotrwały impuls akustyczny. Słuchacze siedzący na auli słyszą dwa impulsy :
wcześniejszy - pochodzący od mikrofonu usytuowanego bliżej głośnika "wewnętrznego" oraz późniejszy pochodzący od mikrofonu usytuowanego dalej od głośnika wewnętrznego. Długość interwału ciszy
pomiędzy obydwoma impulsami zależy od wielkości opoźnienia fali akustycznej na odcinku pomiędzy
obydwoma mikrofonami. Zmieniając prędkość tej propagacji, np. przez podgrzanie gazu zawartego
wewnątrz dźwiękowodu, możemy zmieniać długość tego interwału ciszy. Założmy, że wnętrze
dźwiękowodu może być podgrzewane przez umieszczenie w nim drutu, przez który płynie prąd o dużym
natężeniu. Założmy, że w ten sposób możemy spowodować wzrost temperatury wewnątrz dźwiękowodu o
80 o C. Próg różnicowy interwału ciszy pomiędzy dwoma bodźcami dźwiękowymi jest rzędu 20 [ ms ] ;
informację na ten temat można znaleźć na łamach czasopisma JASA , np. w artykule :
http://asadl.org/jasa/resource/1/jasman/v109/i6/p2955_s1
Czy przyrząd skonstruowany wg powyższych zasad zmieściłby się wewnątrz auli ? Długość auli,
mierzona od najwyżej położonych drzwi, wzdłuż schodów aż do tablicy, wynosi 14.5 [ m ].
Czy można byłoby zwiększyć różnicę interwałów ciszy pomiędzy impulsami akustycznymi,
dobierając odpowiednio gaz wewnątrz dźwiękowodu ?
Zadanie dotyczące szacowania wypadkowej prędkości fali akustycznej w przypadku
propagacji tej fali w dwóch zróżnicowanych ośrodkach jednocześnie
Oceanarium w pewnym mieście wymaga okresowego przeprowadzania prac konserwacyjnych, do
realizacji których wynajmuje się płetwonurka. Głębokość zbiornika wodnego tego oceanarium wynosi
8.5 [ m ]. Ponieważ nad lustrem wody zamierzano umieścić coś w rodzaju suwnicy, po której
jeździłaby kamera obejmująca z "lotu ptaka" całość powierzchni tego zbiornika wodnego, zatem
wysokość sufitu nad zbiornikiem wodnym jest dość znaczna i wynosi również 8.5 [ m ]. Na czas
wykonywania prac konserwacyjnych przez płetwonurka wszystkie większe drapieżniki morskie zostają
usunięte z tego zbiornika. Drzwi do zbiorników zapasowych, w których przebywają ( podczas
wykonywania prac konserwacyjnych ) owe morskie drapieżniki, są automatycznie blokowane. Na
wypadek, gdyby owa blokada zawiodła, postanowiono owo oceanarium wyposażyć w świetlnoakustyczny system ostrzegania nurka o awarii owej blokady. Silna syrena akustyczna zamocowana pod
samym sufitem miała emitować dość silną falę akustyczną, która po przejściu warstwy granicznej
"powietrze - woda", miałaby na tyle silne natężenie, aby zwrócić na siebie uwagę płetwonurka.
Płetwonurek powinien wówczas przerwać wszelkie wykonywane prace, jak najszybciej wynurzyć się i
opuścić zbiornik. Aby jakieś przypadkowe silne źródło dźwięku nie wywoływało "fałszywego alarmu"
i nie powodowało niepotrzebnego przerywania pracy przez owego płetwonurka postanowiono ów
akustyczny sygnał ostrzegawczy wesprzeć sygnałem świetlnym. Polegać to miało, że obok akustycznej
syreny ostrzegawczej umieszczonoby silne źródło światła ; światło to powinien dostrzec płetwonurek
znajdujący się pod wodą. Ponieważ promień świetlny przebywa znacznie szybciej zarówno odcinek
drogi w powietrzu, jak i odcinek drogi we wodzie niż promień akustyczny, postanowiono ową lampę
ostrzegawczą włączać z pewnym zadanym opóźnieniem po włączeniu syreny ostrzegawczej tak, aby
promień światła dotarł w w tej samej chwili do płetwonurka, co fala akustyczna.
Ile powinno wynosić to opóźnienie ?
Przyjmujemy , że prędkość propagacji fali akustycznej w powietrzu wynosi 340 [ m / s ] , natomiast we
wodzie ( w temperaturze pokojowej ) - 1411 [ m / s ].
Załóżmy, że to rozwiązanie spodobało się dyrekcjom innym oceanariów chciałyby one zainstalować
coś podobnego u siebie. To wymagane opóźnienie można byłoby szybko szacować, gdyby istniał jakiś
ogólny wzór - algorytm na średnią prędkość propagacji fali akustycznej w dwóch środowiskach
( zakładamy, że w każdym z tych dwóch środowisk fala akustyczna przebywa tę samą drogę ).
Czy potrafimy taki wzór - algorytm zaproponować ?
Zadanie dotyczące dwóch prędkości w ruchu falowym w przypadku fal akustycznych
W pewnym mieście portowym odbywa się zorganizowana ewakuacja uchodźców z kraju
sąsiedniego ( ogarniętego pożogą wojenną ). Tłum owych uchodźców porusza się z niewielką
prędkością 1.5 [ m / s ] wzdłuż specjalnie wytyczonego korytarza. Organizatorzy tej ewakuacji
zamierzali wspomóc materialnie owych uchodźców, ale nie starczyło im środków, aby zaopatrzyć
wszystkich. Aby nie być posądzonym o niesprawiedliwe traktowanie tych
uchodźców postanowili wesprzeć losowo niektórych spośród nich. Dlatego w pewnym miejscu
owego "korytarza" przeznaczonego dla uchodźców postawiono kiosk ( przypominający kioski
do poboru opłat przy wjeździe na autostradę ), z którego wyczytywano i wyświetlano
( na odpowiedniej tablicy ) numer paszportu 'wylosowanego' uchodźcy ( władze kraju
organizującego ewakuacje znały numery wszystkich paszportów osób decydujących się na
emigrację ). Jeżeli osoba z paszportem o odpowiednim numerze znajdowała się blisko owego
kiosku, to po podejściu do kiosku otrzymywała zapomogę pieniężną. Numery paszportów
były wyczytywane i wyświetlane w stałych, niezbyt długich interwałach czasowych. Jednak
numery wyczytywane były słabo słyszalne, a numery wyświetlane były słabo widzialne.
Dlatego uchodźcy dalej usytuowani od owego "kiosku" słysząc głos megafonu i widząc
zaświecenie się jakiś cyfr na tablicy informacyjnej przyspieszali kroku. To przyspieszanie
kroku powodowało okresowe "zagęszczanie" idącego tłumu uchodźców ( kiedy nie
wyczytywano numerów paszportów ani ich nie wyświetlano na tablicy informacyjnej
wówczas uchodźcy szli wyrównaną kolumną i w jednakowym tempie ). To zagęszczenie
tłumu pojawiało się nie tylko przed samym kioskiem, ale również w pewnej odległości za nim,
a także w pewnej odległości przed nim ( nie tylko przy samym kiosku ). Przyczyną tego był
pewien mechanizm psychologiczny, który powodował, że nie wszystkie osoby spośród tego
tłumu uchodźców chciały maszerować w tym lokalnym 'zagęszczeniu' tłumu. Niektóre osoby
przyspieszały kroku, aby oderwać się "do przodu" ; osoby takie doganiały inne osoby
maszerujące przed nimi i powodowały przesuwanie się lokalnego zagęszczenia 'do przodu'
wzdłuż maszerującej kolumny. Inne osoby spowalniały wyraźnie swój chód, dzięki czemu
były doganiane przez inne osoby idące za nimi ; dzięki takiemu spowalnianiu "zagęszczenie"
przesuwało się do tyłu ( wzdłuż maszerującej kolumny ). Załóżmy, że osoby przyspieszające
swój bieg przechodziły do truchtu i kłusowały z prędkością 3 [ m / s ] ; z kolei osoby
spowalniające swój bieg przystawały na chwilę w miejscu. Część osób ani nie przyspieszała,
ani nie spowalniała swojego chodu, tylko przemieszczała się do przodu wraz z otaczającym
je "zagęszczeniem" ze średnią prędkością właściwą dla całego tłumu i wynoszącą 1.5 [ m / s ]
( to maszerujące 'zagęszczenie' stopniowo i bardzo powoli "rozrzedzało się" ). Załóżmy,
że komunikaty o numerach paszportów podawano co 15 [ s ] ; jaki byłby wówczas odstęp pomiędzy
kolejnymi "zgęszczeniami" tłumu ?
Zadania dotyczące długości fali oraz powierzchni fazowych
Zadanie dotyczące definicyjnej cechy długości fali, jaką jest identyczność faz drgań powierzchni
fazowych rozmieszczonych w odstępie długości fali
W pewnej miejscowości podgórskiej stacjonuje baza górskiego, lotniczego
pogotowia ratunkowego. Baza ta wyposażona jest w śmigłowiec używany w górskich
akcjach ratowniczych. Jednocześnie w tej samej miejscowości znajduje się
siedziba lokalnego oddziału Narodowego Funduszu Zdrowia, któremu podlega owa baza.
Szef tegoż oddziału NFZ podejrzewa, że piloci z tej bazy trudnią się przemytem i
przerzucają przy pomocy swojego śmigłowca jakiś "chodliwy" towar przez granicę.
Kontrola dokumentacji tej bazy niczego wprawdzie nie wykazała, ale szef NFZ podejrzewa,
że piloci mogą fałszować księgę wylotów śmigłowca. Dlatego postanowił zainstalować
system zdalnego monitoringu wylotów śmigłowca z bazy. Przy projektowaniu tego
systemu postanowiono wykorzystać fakt, że obracający się wirnik główny śmigłowca
jest źródłem dość silnej fali infradźwiękowej o częstotliwości kilku lub
kilkunastu Hz ( w zależności od liczby łopat wirnika głównego ). Zatem przy
siedzibie lokalnego oddziału funduszu postanowiono zainstalować czujnik
fali infradźwiękowej 1. Jednak pojedynczy czujnik mógłby generować "fałszywe alarmy" , mógłby np.
reagować na chwilowy, silniejszy podmuch wiatru albo na jakiś wybuch ( a w okolicy trwają prace
pirotechniczne przy budowie zapory wodnej na górskiej rzece ). Aby uczynić projektowany system
niewrażliwym na tego rodzaju 'fałszywe alarmy' postanowiono wykorzystać fakt, że bezpośrednio po
włączeniu silników i rozkręceniu wirnika głównego śmigłowiec przez chwilę stoi nieruchomo na ziemi
; w tym czasie załoga łączy się przez radio z kontrolą obszaru powietrznego i usiłuje uzyskać zgodę na
start. Zatem przez chwilę śmigłowiec działa jak nieruchomy nadajnik ciągłej fali akustycznej.
Wystarczy zatem w pewnej odległości od siedziby NFZ ustawić drugi czujnik
1
Załóżmy, że jest to taki sam czujnik ciśnienia akustycznego, jak w przypadku zadania
z głuchymi rodzicami. Jest to membrana aluminiowa, która pod wpływem dostatecznie
dużego ciśnienia ugina się i dotyka metalowego bolca zamykając w ten sposób obwód
elektryczny.
ciśnienia akustycznego, aby jednoczesny sygnał z obu czujników uruchomił alarm w siedzibie NFZ.
System ten będzie niewrażliwy na krótkotrwałe impulsy fali infradźwiękowej ( wywołane np.
wybuchem ), ponieważ impuls taki wpierw dotrze do dalszego z czujników, a dopiero z pewnym
opóźnieniem - do czujnika położonego bliżej siedziby NFZ. W jakiej odległości powinny być te
czujniki oddalone od siebie, jeżeli każdy z nich ma reagować na maksymalną, chwilową
wartość ciśnienia akustycznego fali infradźwiękowej generowanej przez stojący śmigłowiec ?
Zakładamy, że częstotliwość tej fali wynosi 10 Hz. Czy przy zastosowaniu czujników ciśnienia
akustycznego o nieco odmiennej konstrukcji można byłoby wziąć pod uwagę nieco inną odległość ?
Zadanie ułatwiające zrozumienie pojęć : powierzchni fazowej oraz czoła fali
Pewne przedsiębiorstwo budowlane stawia nowy obiekt w odbudowywanym Iraku. Stosuje w tym
celu nowatorską technologię polegającą na tym, że wpierw stawia się szkielet budynku ; następnie
szkielet ten wypełnia się w pierwszej kolejności płytami podłogowo - sufitowymi. Następnie w tych
płytach montuje się przewody odpowiednich instalacji, a dopiero na samym końcu montuje się płyty
działowe stanowiące ściany boczne. Dzięki takiej technologii ułatwiony został transport niezbędnych
materiałów do poszczególnych "klatek" szkieletu stawianego budynku. Po ułożeniu płyt podłogowo sufitowych załoga została podzielona na małe zespoły montujące rozmaite instalacje wewnątrz
poszczególnych "klatek". Postanowiono premiować każdy z tych małych zespołów montażowych za
szybkość dokonywania prac montażowych. Z tego względu postanowiono w każdej z tych klatek
montażowych zainstalować identyczny zegar. Zegary te powinny chodzić jednakowo szybko ( tzn.
żaden z nich nie powinien spieszyć się lub spóźniać się względem pozostałych ), aby zachować
obiektywizm pomiaru czasu wykonywania poszczególnych prac montażowych. Z drugiej jednak
strony zegary te mogą pokazywać różny czas ( tzn. mogą wykazywać stałe opóźnienie względem
siebie ), ponieważ ważny jest upływ czasu pomiędzy chwilą rozpoczęcia danej czynności a chwilą jej
zakończenia ( robotnicy wpisują czas rozpoczęcia konkretnego zadania, jak i czas jego zakończenia
do odpowiednich kart pracy, a majster oblicza następnie różnicę tych czasów ). Dlatego kierownictwo
budowy postanowiło zainstalować w poszczególnych klatkach zegary "synchronizowane", tj.
synchronizowane jakimś wspólnym procesem fizycznym. Na wstępie zrezygnowano ze
synchronizowania tych zegarów przy pomocy jakiegoś przebiegu elektrycznego przesyłanego przy
użyciu jakiegoś pomocniczego okablowania, ponieważ przed postawieniem bocznych ścianek
działowych to okablowanie należałoby zdemontować. Postanowiono zatem użyć jakiegoś
promieniowania, jakichś fal. Po dalszej analizie zagadnienie zrezygnowano z użycia ( w celu
synchronizacji zegarów ) mikrofal oraz fal świetlnych, ponieważ robotnicy chodzący po owych
'klatkach' i noszący jakieś duże płyty mogliby owe fale pozasłaniać. Postanowiono użyć zatem fal
akustycznych. Aby nie zamawiać zegarów o specjalnej konstrukcji, postanowiono wykorzystać to, co
znaleziono na miejscu. A na miejscu były magazyny dawnej fabryki zbrojeniowej reżimu Saddama
Husajna. W magazynach tych znaleziono całe zapasy tzw. silników krokowych, które postanowiono
wykorzystać do budowy owych zegarów synchronizowanych. Znalezione silniki krokowe posłużyły
do wykonania owych zegarów synchronizowanych. Każdy z tych silników napędzał poprzez
odpowiednią przekładnię wskazówki sunące po cyferblacie. W rogu klatki montażowej zamontowano
specjalny "mikrometryczny czujnik ciśnieniowy" ( znany z poprzednich zadań: o parze
głuchoniemych rodziców i o załodze śmigłowca latającej z kontrabandą ). W przypadku, kiedy przy
danym czujniku występowała chwilowo faza maksymalnego ciśnienia akustycznego czujnik ów
generował impuls poruszający wskazówkę owego zegara synchronizowanego. W odległości 20 m od
budynku umieszczono źródło fali akustycznej synchronizującej owe zegary. Źródło to stanowiła
pionowa ściana ( o wysokości równej wysokości stawianego budynku ), na której gęsto
porozmieszczano identyczne głośniki zasilane ze wspólnego źródła. Robotnicy pracujący w klatkach
noszą kaski z nausznikami, zatem nie przeszkadza im ten ciągły gwizd. Długość poziomego boku
'klatki' montażowej wynosiła 5 m. Poszczególne klatki montażowe numerowano kolejnymi cyframi
arabskimi począwszy od ściany szkieletu stojącej naprzeciw płyty emitującej dźwięk. Wszystkie
zamontowane zegary zostały tak wyregulowane przez bezmyślnego majstra, aby pokazywały
początkowo ten sam czas.
Pytania :
. Jaka powinna być częstotliwość fali akustycznej, aby we wszystkich synchronizowanych w ten
sposób zegarach wskazówki ruszały jednocześnie ?
. Gdzie wówczas będą znajdowały się powierzchnie fazowe odpowiadające chwilowym maksimom
ciśnienia fali akustycznej ( w momencie dokonywania ruchu przez wskazówki zegarów ) ?
. A gdzie się będą wówczas znajdowały powierzchnie fazowe odpowiadające chwilowym minimom fali
akustycznej ( chodzi o ich usytuowanie względem elementów klatki ) ?
Załóżmy, że w narożnikach klatek zainstalowano czujniki ciśnienia wrażliwe zarówno na chwilowe
maksima ciśnienia akustycznego, jak i na chwilowe jego minima.
. Czy wtedy możemy użyć synchronizującej fali akustycznej o innej częstotliwości ? O jakiej ?
. Gdzie się będą wówczas znajdowały powierzchnie fazowe odpowiadające maksimom oraz minimom
fali akustycznej ?
Załóżmy, że robotnik pracujący w którejś z klatek uszkodził przenoszonym prętem zegar stojący w
obsługiwanej przez niego 'klatce'. Ponieważ skończył akurat montaż jakiegoś elementu, więc chciałby
ten moment odnotować w swojej "karcie pracy". Postanowił zatem zadzwonić do któregoś z kolegów
pracujących w sąsiednich klatkach, aby dowiedzieć się o aktualny czas. Załóżmy, że nie chce tego
czasu przeliczać na czas "aktualny" , obowiązujący w jego własnej "klatce".
. Do którego z kolegów powinien zadzwoniæ : do kolegi znajdującego się przed nim lub za nim
( patrząc w kierunku propagacji fali akustycznej ) czy raczej do kolegi pracującego nad nim lub pod
nim ?
Załóżmy, że wspomniane czujniki ciśnienia montowane są w tylnych ( względem płyty emitującej
dźwięk ) narożnikach poszczególnych klatek.
. Do której z klatek dotrze czoło fali akustycznej po upływie 120 ms od momentu włączenia dźwięku
synchronizującego ?
Zadanie dotyczące uwzględnienia odpowiedniego opóźnienia przy wykorzystywaniu definicji
długości fali akustycznej
Załóżmy, że na dnie długiej, wąskiej zatoki spoczywa zatopiony galeon hiszpański z ogromnymi
zasobami złota na pokładzie. Załóżmy ponadto, że mamy tytuł własności zarówno do samej zatoki,
jak i do wąskiego pasa jej wybrzeża ( aż do jej ujścia ). Nie stać nas na razie na eksplorację galeonu,
ale chcemy zabezpieczyć spoczywający na dnie zatoki wrak przed rabusiami, którzy mogliby
wpłynąć "zzewnątrz" do wnętrza zatoki. Zamierzamy zatem zainstalować system ostrzegawczy,
który wykrywałby hałas motorówki ( np. odgłos jej śruby ). System ten powinien być zarazem
niewrażliwy na hałas motorówki płynącej "z boku", tj. od strony wybrzeża, ponieważ mogłaby
to być jedynie "nasza" motorówka.: Załóżmy, że spodziewana motorówka szabrowników emituje
dźwięk o częstotliwości 300 [ Hz ]. W związku z tym zamierzamy wzdłuż osi kanału
wejściowego do zatoki umieścić w pewnych odległości od siebie dwa mikrofony mogące pracować
pod wodą ( tzw. hydrofony ). Mikrofony te powinny być umieszczone w odległości równej
długości fali lub całkowitej wielokrotności długości fali. Wówczas sygnał od monitorowanej
motorówki będzie dochodził do obu mikrofonów w jednakowej fazie. Jeżeli jakiś układ
elektroniczny będzie dodawał do siebie sygnały z obydwu mikrofonów, to w takim
przypadku uzyskamy maksymalną wartość owego sygnału sumacyjnego. Jednak układ
wykrywający zbliżające się motorówki, działający na tej zasadzie dawałby wskazania
niejednoznaczne. Układ taki mógłby również reagować na motorówkę zbliżającą się "z boku"
pod warunkiem, że owa motorówka byłaby równo odległa od obu hydrofonów. Należy zatem
uczynić coś, aby zaproponowany układ wykrywający uczynić wrażliwym jedynie na motorówki
płynące od strony ujścia, czyli płynące na przedłużeniu osi wzdłuż której zainstalowano
obydwa hydrofony. Można tu wykorzystać naturalne opóźnienie, jakiemu będzie poddana fala
akustyczna biegnąca wzdłuż osi łączącej obydwa hydrofony. Jeżeli motorówka będzie płynęła
kursem prostopadłym do owej osi, to sygnał akustyczny emitowany przez tę motorówkę
( jej hałas ) będzie docierał do obydwu hydrofonów jednocześnie. Jeżeli motorówka popłynie
wzdłuż osi ( łączącej obydwa hydrofony ), to fala akustyczna dotrze później do hydrofonu
położonego dalej od motorówki. Należy zatem proponowany układ uczynić wrażliwym na
sygnały, które docierają niejednocześnie ( choć w tej samej fazie ! ) do obydwu mikrofonów,
a tym samym - uczynić niewrażliwym na sygnały dochodzące równocześnie. Ta
niewrażliwość na sygnały jednoczesne powinna być ograniczona w czasie ; powinna dotyczyć
krótkiego interwału czasowego, w którym fala akustyczna nie byłaby w stanie dotrzeć
( po "naturalnej" drodze ) do mikrofonu położonego dalej ( od motorówki ). Zatem układ
tych dwóch mikrofonów należałoby dodatkowo wyposażyć w linię opóźniającą generującą
sztuczne opóźnienie sygnału równe opóźnieniu "wzorcowemu" wzdłuż odcinka drogi łączącej
obydwa hydrofony. Ponieważ planuje się zawieszenia obydwu hydrofonów na bojkach
zakotwiczonych na dnie i pływających tuż pod powierzchnią lustra wody, zatem można
pomyśleć o akustycznej linii opóźniającej. Taką akustyczną linię opóźniającą mógłby stanowić
odcinek pionowej rurki ( wypełnionej odpowiednim gazem ) podwieszonej do bojki unoszącej
się tuż pod powierzchnią lustra wody. Na jednym końcu owej rurki umieszczony byłby
pomocniczy głośniczek, na drugim - pomocniczy mikrofon. Rurka byłaby wypełniona gazem,w
którym prędkość propagacji fal akustycznych jest względnie niska ( np. dwutlenkiem węgla ).
Pytania :
1. Jaka powinna być odległość pomiędzy mikrofonami ( hydrofonami ) głównymi ?
2. Jaka powinna być odległość pomiędzy pomocniczym głośniczkiem a pomocniczym
mikrofonem w rurce - linii opóźniającej ?
Prędkość propagacji fali akustycznej w wodzie niech wynosi 1400 [ m / s ] , natomiast w dwutlenku
węgla CO2 wynosi 260 [ m / s ].
Zadanie dotyczące „namiastki“ długości fali akustycznej
W pewnej rozlewni win jej właściciel podejrzewa swoich pracowników o "podbieranie" zawartości
przechowywanych w piwnicach tej rozlewni beczek. W beczkach tych przechowywane jest wino
specyficznego gatunku, który wymaga ( zdaniem technologów winiarstwa ) okresowego potrząsania
zawartości beczek. Właściciel winnicy postanowił rozwiązać "za jednym zamachem" oba problemy. W
związku z tym zainstalował specjalny system, który po kolei wymusza kołysanie się kolejnych beczek, a
zarazem śledzi częstotliwość tych drgań. Jeżeli ta częstotliwość kołysań beczki będzie odbiegać od
"znamionowej", świadczyć to będzie o tym, że z owej beczki musiało ubyć trochę wina ( ponieważ masa tej
konkretnej beczki jest mniejsza od masy "znamionowej" ). System ten działa w sposób następujący : beczki
zostały zawieszone na czymś w rodzaju sprężynowego "resoru" ; do dna beczek zostały przyklejone krążki z
miękkiej stali. Pod rzędem podwieszonych w ten sposób beczek przesuwa się powoli taśma przenośnika
taśmowego. W pewnym miejscu tej taśmy został podwieszony silny magnes ( np. samarowy lub
neodymowy ). Magnes ten powoduje chwilowe przyciągnięcie dna beczki znajdującej się bezpośrednio nad
nim. Magnes ten przesunie się powoli pod inną beczkę, natomiast przyciągnięta beczka będzie się kołysać
przez jakiś czas. Do boku beczki przyklejony jest kawałek folii aluminiowej pełniący funkcję lusterka. Od
tego lusterka odbija się promień laserowy i wpada do fotokomórek specjalnego układu elektronicznego
śledzącego częstotliwość drgań własnych poszczególnych beczek. W ten sposób można wykryć beczkę, z
której ubyło trochę wina. Ponieważ z czasem z niektórych beczek odkleiły się owe lusterka z folii
aluminiowej, właściciel postanowił wprowadzić jeszcze inny, awaryjny system monitorowania częstotliwości
drgań własnych beczek. Na górne dno beczki, z której odkleiło się owo aluminiowe lusterko kładziono jest
koniec dostatecznie długiego pręta ; drugi koniec tego pręta kładziony jest na górne dno beczki "wzorcowej",
do której przyklejone jest lusterko z metalizowanej folii. Jeżeli obie beczki drgają z tą samą częstotliwością i
w tej samej fazie , to pręt ów pozostaje przez cały czas w pozycji poziomej i żaden z jego końców nie
przechyla się ani w dół ani w górę ( pośrodku pręta zamocowano coś w rodzaju elektronicznej poziomnicy ).
W przypadku niezgodności częstotliwości lub fazy porównywanych drgań obu beczek ów pręt wskaźnikowy
zacznie się kołysać niczym huśtawka dziecięca. Jak należy dobrać długość tego pręta wskaźnikowego
względem prędkości przesuwu taśmy z przytwierdzonym magnesem "pobudzającym" ? Niech okres drgań
podwieszonej, pełnej beczki wynosi 2 [ s ] ; natomiast prędkość przesuwu taśmy z magnesem niech wynosi
1.5 [ m / s ]. Jaka wówczas byłaby długość owego pręta ? Załóżmy ponadto, że owa elektroniczna
poziomnica została wykonana jako urządzenie wykorzystujące właściwości fali akustycznej. Nad górnymi
denkami rzędu beczek umieszczone zostało źródło ( zestaw głośników ) emitujące płaską falę akustyczną. Na
końcach pręta zostały umocowane dwa jednakowe mikrofony. Sygnały z tych mikrofonów dochodzą do
wzmacniacza różnicowego. Częstotliwość emitowanej fali akustycznej została tak dobrana, aby długość pręta
wskaźnikowego odpowiadała długości tej fali. Jeżeli pręt usytuowany poziomo, wówczas oba mikrofony na
jego krańcach będą odbierać falę akustyczną o tej samej fazie. Na wyjściu wzmacniacza różnicowego pojawi
się wówczas zero. Jeżeli ów pręt zacznie kołysać się ( niczym dziecięca huśtawka ), to wówczas oba jego
krańcowe mikrofony będą odbierały falę o innej fazie i na wyjściu wzmacniacza różnicowego pojawi się
sygnał o amplitudzie różnej od zera. Jaka powinna być przykładowa częstotliwość owej fali akustycznej
( przy uwzględnieniu powyższych parametrów ) ? W jaki sposób częstotliwość ta będzie zależeć od
prędkości przesuwu taśmy z magnesem ? Czy do braku kołysań ( "skrętnych" ) pręta wskaźnikowego
wystarczy tylko tożsamość częstotliwości i fazy drgań na obu krańcach tego pręta, czy też należałoby
uwzględnić jeszcze jeden parametr ruchu drgającego ( jaki ? ) ? Beczki są przystosowane do szybkiego
wyprowadzenia z piwnicy. Każde "sprężynowo - resorowe" zawieszenie beczki przytwierdzone jest do
niedużego wózka, który może przetoczyć się po poziomej "szynie". Aby móc wyprowadzić z piwnicy cały
rząd beczek, właściciel postanowił połączyć je odcinkami liny. Od znajomego szefa pobliskiego lotniska
aeroklubowego otrzymał odcinki zużytej liny gumowej używanej w 'procach' do wyrzucania szybowców.
Ponieważ ta guma była już stara i zwiotczała, prędkość propagacji fali sprężystej w odcinku takiej liny
gumowej wynosiła zaledwie 1.5 [ m / s ]. Przy potrąceniu jednej z beczek wzdłuż całego rzędu beczek
połączonych ze sobą linami gumowymi rozejdzie się pobudzenie na kształt fali ( tj. kolejne beczki będą
"uruchamiane" z narastającym opóźnieniem ). Jaka będzie długość tej fali ?
Zadanie dotyczące związków między długością fali akustycznej a prędkością jej propagacji
Spośród mniej poznanych fal sejsmicznych istnieją fale o bardzo dużej długości i o bardzo niskiej
częstotliwości ( rzędu około 7 [ mHz ] ) :
http://www.agu.org/pubs/crossref/1998/98GL01223.shtml
Istnieje domniemanie, że fale o tak samo niskiej częstotliwości propagują się również w
atmosferze i oddziałując na powierzchnię Ziemi wzbudzają fale sejsmiczne o tej samej
częstotliwości :
http://www.wprost.pl/ar/117498/Trzesienie-swiata/?pg=2
Zastanówmy się nad możliwościami empirycznego zbadania mechanizmu propagacji tego
rodzaju fal. Załóżmy, że prędkość propagacji fal infradźwiękowych w atmosferze wynosi
( podobnie jak prędkość propagacji "słyszalnych" fal dźwiękowych ) 343 [ m ⁄ s ] ; założmy
ponadto, że prędkość propagacji fal sejsmicznych jest dziesięciokrotnie większa od tej
wartości ; można przyjąć takie założenie na podstawie :
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Seismic_wave
4.
http://www.seismo.unr.edu/ftp/pub/louie/class/100/seismic-waves.html
Załóżmy, że w celu zwiększenia czułości aparatury rejestrującej tego typu fale chcemy
zastosować dwa czujniki ( mikrofony infradźwiękowe ) rozstawione wzdłuż kierunku
propagacji takiej fali o superniskiej częstotliwości w takiej odległości, w której fazy fali
odbieranej przez każdy z dwóch mikrofonów będą identyczne.
W jakiej odległości "jeden od drugiego" należy rozstawić te mikrofony w przypadku odbioru fal
"powietrznych" ( atmosferycznych ), a w jakiej w przypadku odbioru fal "ziemnych"
( sejsmicznych ) ?
Czy tego rodzaju fale dałoby się łatwo badać metodami interferometrii optycznej ?
Długości "widzialnych" fal świetlnych mieszczą się w przedziale wartości rzędu kilkuset
nanometrów ; dokładniejsze dane można znaleźć na następującej stronie WWW :
http://fizyka.biz/optyka_007.html
Jeśli chodzi o szacowane amplitudy wychylenia to można podać następujące dane :
Możemy przyjąć ( dla ułatwienia dalszych obliczeń ), że amplituda przyspieszenia dla
omawianych fal o superniskiej częstotliwości wynosi 0.7 * 10 -9 gal ; założenie takie mamy
prawo przyjąć na podstawie danych zamieszczonych w artykule :
http://www.agu.org/pubs/crossref/1998/98GL01223.shtml
Zastosowana jednostką przyspieszenia jest gal , czyli jednostka stosowana w sejsmologii :
http://www.thefreedictionary.com/gal
Dla ułatwienia dalszych obliczeń warto podać przelicznik : 1 gal = 1 cm ⁄ s 2