Drugi zestaw zadań - Katedra Ekonomii Matematycznej

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ
Zestaw 5
1. Na rynku istnieją dwaj handlowcy i dwa towary, przy czym towaru pierwszego są 3 sztuki, a drugiego
2 sztuki.
a). Jak wygląda zbiór alokacji dopuszczalnych, jeśli towary są niepodzielne, tj. najmniejszą jednostą
towaru, którą można wymianiać, jest jedna sztuka?
b). Funkcja użyteczności pierwszego konsumenta to u1 (x1 , x2 ) = x1 +x2 , a funkcja użyteczności drugiego konsumenta ma postać u2 (x1 , x2 ) = x1 x2 . Pokaż, jak porządkuje alokacje konsument pierwszy,
a jak drugi. Wypisz ich relacje preferencji. Znajdź część wspólną tych relacji.
c). Wskaż alokacje Pareto-optymalne. Wskaż jądro wymiany dla alokacji początkowej (3, 0, 0, 2) (w
nawiasie podano najpierw koszyk pierwszego konsumenta, a potem drugiego).
d). Jak zmieni się odpowiedź, jeżeli funkcja użyteczności drugiego handlowca będzie postaci u2 (x1 , x2 ) =
x1 + 2x2 ?
2. Na rynku jest m konsumentów. Konsument i-ty ocenia alokacje zgodnie z funkcją użyteczności ui (x).
Pokaż, że każda alokacja maksymalizująca funkcję
u(x) = c1 u1 (x) + c2 u2 (x) + . . . + cm um (x),
gdzie c1 , . . . cm są stałymi dodatnimi, jest alokacją Pareto-optymalną.
3. Zbiór dostępnych alokacji ma postać
M = x1 , x2 , . . . , xm : x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn+ ∧ x1 + x2 + . . . + xm = a ,
a funkcje użyteczności wszystkich m handlowców są ciągłe, różniczkowalne i silnie wklęsłe. Pokaż, że
jeśli w pewnej alokacji dla dowolnej pary towarów k i l krańcowa stopa substytucji towaru k przez
towar l jest taka sama dla wszystkich handlowców, to alokacja ta jest Pareto-optymalna. Czy możliwa
jest alokacja Pareto-optymalna, w której krańcowe stopy substytucji nie są takie same dla wszystkich
handlowców?
4. Na rynek przychodzi dwóch handlowców z koszykami a1 = (a1 , a2 ) i a1 = (20 − a1, 20 − a2), a zatem na
rynku jest łącznie 20 jednostek towaru pierwszego i 20 jednostek towaru drugiego. Funkcje użyteczności
1
1
1
3
handlowców to u1 (x1 , x2 ) = x12 x22 i u2 (x1 , x2 ) = x14 x24 .
a). Wyznacz alokacje Pareto-optymalne.
b). Znajdź wszystkie alokacje, dla których krańcowa stopa substytucji towaru pierwszego przez drugi
jest taka sama dla obu handlowców.
c). Narysuj pudełko Edgewortha. Wskaż krzywą kontraktów i jądro wymiany.
5. Trzech studentów Akademii Ekonomicznej dorabia do stypendium grając na wiejskich weselach. Jeden z
nich śpiewa, a dwóch gra na różnych instrumentach: jeden na gitarze, a drugi na perkusji. W zależności
od składu zespołu dostają różne wynagrodzenia. I tak, Gitarzysta za występ solowy otrzymuje 100
zł. Wokalista występując sam otrzyma 50 zł, zaś za występ samego Perkusisty nikt nie da ani grosza.
Występując w duecie Wokalista i Gitarzysta zarobią razem 180 zł, zaś duet Perkusisty i Gitarzysty
otrzyma 230 zł. Wokalista i Perkusista grając razem mogą zarobić 190 zł. Występując wszyscy razem
muzycy mogą zarobić 300 zł. Studenci mieli już ekonomię matematyczną i wiedzą, jak podzielić miedzy
siebie pieniądze. Jak to zrobią?
1
1. Na rynkek przychodzi dwóch handlowców z koszykami towarów a1 = (10, 10) i a2 = (20, 5). Ich funkcje
użyteczności mają postać:
1
1
A). u1 (x11 , x12 ) = (x11 )2 x12
u2 (x21 , x22 ) = (x21 ) 3 (x22 ) 2 ,
1
1
1
1
B). u1 (x11 , x12 ) = (x11 ) 2 + (x12 ) 2 u2 (x21 , x22 ) = (x21 ) 3 (x22 ) 2 ,
1
1
C). u1 (x11 , x12 ) = (x11 ) 3 (x12 ) 2
max λ : λ(2, 1) 6 (x21 , x22 ) .
a). Wyznacz funkcje popytu obu handlowców oraz funkcję nadmiernego popytu z(p).
b). Sprawdź, czy z(p) jest dodatnio jednorodna stopnia 0 i spełnia prawo Walrasa. Jaką interpretację
ekonomiczną mają te własności?
c). Wyznacz wektor cen równowagi, koszyki handlowców po wymianie oraz wielkość przeprowadzonych
transakcji.
d). Porównaj użyteczność koszyków, z jakimi handlowcy opuszczą rynek z użytecznością koszyków
początkowych.
2. Udowodnij prawo Walrasa w modelu Arrowa-Hurwicza.
3. Na pewnym rynku jest trzech handlowców i trzy towary. Pierwszy handlowiec m aa jednostek towaru
1 i potrzebuje towaru 2. Drugi handlowiec ma b jednostek towaru 2 i potrzebuje towaru 3, a trzeci
handlowiec ma c jednostek towaru 3 i potrzebuje towaru 1. Wyznacz funkcję z(p) i stan równowagi w
modelu Arrowa-Hurwicza.
4. Na pewnym rynku jest trzech handlowców i trzy towary. Handlowiec pierwszy ma a jednostek towaru 1,
drugi – b jednostek
a trzeci– c jednostek
3. Ich preferencje opisują funkcje użyteczności
towaru
towaru 2, u1 = min x11 , x12 , u2 = min x22 , x23 , u3 = min x31 , x33 . Wyznacz funkcję z(p) i stan równowagi.
5. Na rynek przychodzi dwóch handlowców z funkcjami użyteczności u1 = a1 ln x11 + (1 − a1 ) ln x12 i u2 =
a2 ln x21 + (1 − a2 ) ln x22 , którzy przynoszą koszyki (y11 , y21 ) i (y12 , y22 ).
a). Pokaż, że funkcja popytu nadwyżkowego ma postać
p2
p1
z(p1 , p2 ) = A − B, B − A ,
p1
p2
gdzie A i B to pewne stałe dodatnie.
b). Zapisz dyskretną wersję równań dynamiki.
c). Przyjmując, że A = 1, B = 2 oraz p(0) = (p1 (0), p2 (0)) = (2, 1) wyznacz ceny w 10 pierwszych
momentach. dla σ = 1 oraz dla σ = 0,1.
d). Zapisz
p ciągłą wersję równań dynamiki cen. Udowodnij, że trajektoria cen leży na okręgu o promieniu
r = p1 (0)2 + p2 (0)2 .
e). Pokaż, że dp1 /dt = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dp2 /dt = 0.
f). Pokaż, że wszystkie trajektorie cen na spełniają warunki:
dp2 (t)
dp1 (t) dp1 (t) dp2 (t)
+
+B
=0
dt
dt
dt
dt
dp1 (t)
> −B
dt
dp2 (t)
> −A
dt
A
1. Sformułuj własności przestrzeni c-produkcyjnej odpowiadające następującym własnościom przestrzeni
p-produkcyjnej;
a). addytywność,
b). możliwość marnotrawstwa,
c). brak „rogu obfitości”.
2. Pokaż, że jeśli funkcja produkcji f : Rn+ → R jest wklęsła i dodatnio jednorodna stopnia 1, to jest
superddytywna, tzn.dla dowolnych kombinacji nakładów x1 , x2 ∈ Rn+ zachodzi
f (x1 + x2 ) > f (x1 ) + f (x2 ).
3. Dana jest funkcja produkcji:
A). f (k, z) = ak + bz a, b > 0,
B). f (k, z) = ak α z β , a, α, β > 0,
θ
C). f (k, z) = (ak γ + bz γ ) γ , a, b, θ > 0, γ < 1, γ 6= 0.
a). Oblicz produktywności krańcowe i elastyczności produkcji czynników.
b). Oblicz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji kapitału przez pracę.
c). Sprawdź stopień jednorodności funkcji i efekty skali. Kiedy funkcja ma stałe efekty skali? Co to
oznacza?
d). Oblicz wydajność pracy i produktywność kapitału jako funkcje technicznego uzbrojenia pracy.
Przedstaw je na wykresach.
e). Dla jakich wartości parametrów funkcja będzie spełniała założenia neoklasycznej funkcji produkcji?
4. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia θ, to jej elastyczność względem skali nakładów
też wynosi θ.
5. Jeżeli krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał da się przedstawić jako funkcja technicznego
uzbrojenia pracy, σzk = σzk (u), to można obliczyć elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy
przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy. Oblicz tę wielkość dla funkcji Cobba-Douglasa,
funkcji liniowej i funkcji CES.
6. Dla funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa: f (k, z) = min ak , zb , gdzie a, b > 0
a). Narysuj izokwanty produkcji.
b). Sprawdź, czy funkcja jest (silnie) wklęsła i jednorodna.
c). Wykreśl wydajność pracy i produktywność kapitału w zależności od technicznego uzbrojenia pracy.
d). Co można powiedzieć o substytucji czynników produkcji dla tej funkcji?
7. Wykaż, że dla funkcji dodatnio jednorodnych stopnia pierwszego prawdziwe są następujące równania:
∂f
∂f
+z
(tw. Eulera)
f (k, z) = k
∂k
∂z
efk + efz = 1
1
8. Funkcja CES przy stałych efektach skali ma postać f (k, z) = A(ak γ + bz γ ) γ . Pokaż, że
a). dla γ = 1 jest to funkcja liniowa,
b). przy γ → 0 oraz a + b = 1 funkcja CES zmiania się w funkcję Cobba-Douglasa f (k, z) = Ak a z b ,
c). przy γ → −∞ funkcja przyjmuje postać funkcji Koopmansa-Leontiewa, f (k, z) = min{k, z}.
Sprawdź, jak zmienia się elastyczność krańcowej stopy substytucji względem technicznego uzbrojenia
pracy przy podanych zmianach parametru γ. Zinterpretuj to ekonomicznie.
1. „Jeżeli proporcjonalny wzrost zatrudnienia ziemi i pracy zawsze powoduje proporcjonalny wzrost produkcji pszenicy, a krańcowa produktywność pracy rośnie wraz ze wzrostem jej zatrudnienia, to cała
światowa produkcja pszenicy zmieściłaby się w jednej doniczce, o ile doniczka byłaby wystarczająco
mała” [G.J. Stigler The Theory of Price]. Czy zgadzasz się z tym twierdzeniem? Spróbuj je uzasadnić
lub pokazać, że jest fałszywe.
2. Dana jest liniowa funkcja produkcji z wyrazem wolnym:
f (x) = ha, xi + b,
Sprawdź, jakie efekty skali ma ta funkcja.
a ∈ Rn , a > 0, b ∈ R.
3. W procesie produkcji zużywany jest tylko jeden czynnik, X. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku
przedsiębiorstwa w długim okresie. Jak wygląda rozwiązanie w okresie krótkim, kiedy ilość czynnika
jest ograniczona (x ∈ [0, xmax ])? Funkcja produkcji jest dana wzorem:
a). f (x) = ax, gdzie a > 0 (stałe efekty skali),
b). f (x) = axα , gdzie a > 0, α > 1 (rosnące efekty skali),
c). f (x) = axα , gdzie a > 0, 0 < α < 1 (malejące efekty skali).
4. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku dla funkcji produkcji typu Cobba-Doulglasa, f (k, z) = ak α z β .
Dla jakich wartości parametrów α i β zadanie będzie miało rozwiązanie? Wyznacz funkcję popytu produkcyjnego i funkcję podaży. Wyznacz funkcje reakcji przedsiębiorstwa (reakcja popytu produkcyjnego
i podaży) na zmianę ceny produktu i zmiany cen czynników produkcji.
5. Pokaż, że następujące funkcje:
a). funkcja popytu produkcyjnego,
b). funkcja podaży produktu,
są jednorodne stopnia 0. Przedstaw ekonomiczną interpretację tego faktu.
1. Proces produkcji przedsiębiorstwa opisuje dwuczynnikowa funkcja produkcji Cobba-Douglasa, f (k, z) =
ak α z β , (a, α, β > 0).
a). Wyznacz funkcję kosztów produkcji. Sprawdź, czy jest ona rosnąca, wypukła (wklęsła), jednorodna.
Narysuj jej wykres. Jak wykres się zmienia wraz ze zmianą parametrów α i β?
b). Posługując się wyznaczoną funkcją kosztów sformułuj zadanie maksymalizacji zysku firmy w długim
okresie. Kiedy to zadanie ma rozwiązanie, a kiedy go nie ma?
c). Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku i wyznacz funkcję podaży. Narysuj jej wykres (krzywą
podaży).
2. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest rosnąca i jednorodna stopnia k, to funkcja kosztów jest jednorodna
stopnia k1 .
3. Dla funkcji produkcji typu Koopmansa-Leontiewa, f (k, z) = min{ ak , zb }, gdzie a, b > 0 :
a). Wyznacz funkcję kosztów produkcji.
b). Korzystając z funkcji kosztów rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku w długim okresie. Czy rozwiązanie istnieje?
c). Powtórz poprzednie punkty zakładając, że zasób kapitału, który firma może zatrudnić, jest ograniczony przez kmax .
√
4. Technologię stosowaną przez przedsiębiorstwo opisuje funkcja produkcji f (k, z) = 3 kz. W krótkim
okresie zasób kapitału, jakim firma dysponuje, jest stały, k = const.
a). Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku firmy w krótkim okresie.
b). Wyznacz funkcję kosztów produkcji. Podziel koszty na zmienne i stałe.
c). Narysuj krzywą podaży firmy. Od czego zależy podaż?
5. Firma działa w warunkach monopolu na rynkach czynników produkcji. Ceny kapitału i pracy zależą od
ich zatrudnienia przez firmę i zależność tę opisują √
funkcje liniowe: vk (k) = ak, vz (z) = bz, a, b > 0.
3
Funkcja produkcji firmy jest dana wzorem f (k, z) = kz. Rynek produktu jest doskonale konkurencyjny.
Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku w długim okresie. Od czego zależy podaż? Od czego zależą ceny
czynników produkcji? Narysuj krzywą podaży.
6. Firma działa w warunkach monopolu na rynku produktu. Cena produktu zależy od jego podaży przez
firmę i zależność tę opisuje funkcja p(y) = √ay , a > 0. Funkcja produkcji firmy jest dana wzorem f (k, z) =
√
3
kz. Rynki czynników produkcji są doskonale konkurencyjne. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku
w długim okresie. Od czego zależy podaż? Od czego zależą cena produktu? Narysuj krzywą podaży.