(a) ((p ⇒ q ) ∨ r)

Logika, zbiory i relacje
1. Zbadaj, czy są tautologiami:
(a) ((p ⇒ q) ∨ r) ∧ (¬p ⇒ r);
(b) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ r) ∨ (r ⇒ p);
(c) ((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ((p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r));
(d) (p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ r) ⇒ (r ⇒ ¬q);
(e) ((¬p ⇒ q) ⇒ r) ⇒ ¬(p ⇒ q);
(f) p ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q);
(g) (p ∧ q ⇒ r) ⇒ ((p ∧ ¬r) ⇒ ¬q).
2. Niech A = {x ∈ R; (x − 1)3 (x + 2)(x − 3) ¬ 0}; B = {x ∈ R; (x − 4)(x − 1)2 (x + 5) ­ 0}. Wyznacz
zbiory (również graficznie) A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, A′ .
3. Wyznacz iloczyny kartezjańskie zbiorów A i B. Czy A × B = B × A?
(a) A = {a, b},
B = {a, b, c}
(b) A = {1}, B = {1, 2, 3, 4, 5}.
4. Naszkicuj na płaszczyźnie iloczyn kartezjański A × B, gdzie:
(a) A = {x ∈ R; 0 < x < 1} i B = {x ∈ R; 1 ¬ x < 2}
(b) A = {x ∈ R; 0 < x < 1 ∨ 2 < x ¬ 3} i B = {x ∈ R; 1 ¬ x < 2 ∨ 3 ¬ x ¬ 4}.
5. Pokaż, że ∼⊂ X × X jest relacją równoważności.
(a) X – zbiór ludzi, x, y ∈ X, x ∼ y ⇔ x i y są tego samego wzrostu;
(b) X = N, x, y ∈ X; x ∼ y ⇔ 2 | (x + y);
(c) X = Z, x, y ∈ X; x ∼ y ⇔ x2 = y 2 ;
(d) X = R, x, y ∈ X; x ∼ y ⇔ |x| = |y|.
6. Zbadaj własności relacji ρ ⊂ X × X (1. zwrotność 2. przeciwzwrotność 3. symetryczność 4. przeciwsymetryczność 5. antysymetryczność 6. przechodniość):
(a) X – zbiór prostych na płaszczyźnie, x, y ∈ X; xρy ⇔ x ⊥ y;
(b) X – zbiór prostych na płaszczyźnie, x, y ∈ X; xρy ⇔ x k y;
(c) X – zbiór słów, x, y ∈ X; xρy ⇔ słowo x ma tę samą ilość liter co słowo y;
(d) X = R, x, y ∈ X; xρy ⇔ x ¬ y;
(e) X = R, x, y ∈ X; xρy ⇔ 0 ¬ x · y;
(f) X = N, x, y ∈ X; xρy ⇔ x | y.
7. Pokaż, że zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany ze względu na relację ¬.