Wykazać, że dla każdego n ∈ N liczba 3 · 52n+1 + 23n

WSTȨP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
EGZAMIN PISEMNY 01.02.2010
Zadanie 1: Wykazać, że dla każdego n ∈ N liczba 3 · 52n+1 + 23n+1 jest podzielna przez 17.
Punktów: 6
Zadanie 2: Znaleźć kres górny i kres dolny zbioru
n
(−1)n
A :=
1+
| n ∈ N+ .
n
Odpowiedź uzasadnić.
Punktów: 6
Zadanie 3: Dla liczb a1 , ..., an ∈ R+ wypisać nierówności miȩdzy średnimi. Korzystaja̧c z nierówności miȩdzy
średnimi: arytmetyczna̧ i geometryczna̧ wykazać, że
(n + 1)n
­ 2n .
n!
Punktów: 2+4
Zadanie 4: Dane sa̧ cia̧gi ograniczone liczb rzeczywistych (an )n∈N i (bn )n∈N . Definiujemy ciąg (cn )n∈N
formuła̧:
nan + n2 bn
.
cn =
n3
Wykazać, że cia̧g (cn )n∈N jest zbieżny.
Punktów: 6
Zadanie√5: Policzyć granice cia̧gów:
n
a) an = √
3 · 2n + 2 · 3n √
b) bn = n2 + 3n + 2 − n2 + 2n + 1
Punktów: 4+4
Zadanie 6: Zbadać injektywność funkcji
f (x) :=
2x − 2−x
.
2x + 2−x
Punktów: 4
Zadanie 7: Policzyć granicȩ:
2
lim (1 + x) x .
x→0
Punktów: 4
√
√
Zadanie 8: Cia̧g (an )n∈N zadany jest rekurencyjnie: a1 = 6, an+1 = an + 6. Zakładając, że ten cia̧g jest
zbieżny znaleźć jego granicȩ. Następnie wykazać, że ten ciąg jest zbieżny.
Punktów: 2+6.
Zadanie 9: Zbadać, w jakich punktach cia̧gła jest funkcja
f (x) := [x]x2 ,
dla x ∈ (−2, 2).
Punktów: 6
Zadanie 10: Wykazać, że jeśli g : R → R jest cia̧gła i g(0) = g(100) = 2010, to istnieje taki x ∈ R, że
g(x) = x2 .
Wskazówka: Wykorzystać własność Darboux.
Punktów: 6