ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA - LISTA 3
Przestrzenie liniowe
1. Dzialania + i określone sa, w R2 nastepuj
aco:
,
,
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ), α (x1 , x2 ) = (αx1 , x2 ).
Sprawdzić, czy R2 z tak określonymi dzialaniami jest przestrzenia, liniowa, nad
cialem R.
2. Dodawanie ⊕ w zbiorze R+ i mnożenie liczb ze zbioru R+ przez liczby
rzeczywiste określone sa, wzorami x⊕y = xy, αx = xα . Sprawdzić, że czwórka
(R+ , R, ⊕, ) jest przestrzenia, liniowa, nad cialem R.
~ ∈V
3. Pokazać, że dla dowolnych skalarów α, β ∈ K i dowolnych wektorów ~v, w
~ = β~v + α~
równość α~v + β w
w zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy α = β lub
~v = w
~.
4. Zbadać, czy podane zbiory W sa, podprzestrzeniami wskazanych przestrzeni
liniowych V:
a) V = R2 , W = {~v = (x1 , x2 ) : x1 > 0, x2 > 0},
b) V = R4 , W = {~v = (x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 + x3 + x4 = 0},
c) V = R∞ , W = {~v = (x1 , x2 , . . .) : granica lim xn jest skończona},
n→∞
d) V = R[x], W - zbiór wszystkich wielomianów stopnia parzystego.
5. Sprawdzić, czy w przestrzeni liniowej R4 prawdziwa jest dana przynależność:
a) (4, 6, 4, 5) ∈ Lin((1, 4, 6, 5), (5, 6, 2, 4)),
b) (1, 6, 3, 7) ∈ Lin((1, 3, 4, 0), (1, 4, 3, 1), (1, 7, 1, 6)),
c) (4, 9, 9, 1) ∈ Lin((1, 2, 3, 5), (3, 7, 9, 8), (1, 3, 4, 7)).
6. Znaleźć Lin(A) dla A ⊂ V, jeśli:
a) V = R2 , A = {(1, 2)} lub A = {(1, 2), (2, 1)};
b) V = R3 , A = {(0, 0, 1)} lub A = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, −1, 1)};
c) V = R3 , A = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1};
d) V = R[x], A = {p1 , p2 , p3 , p4 }, gdzie p1 (x) = 1, p2 (x) = x + 1,
p3 (x) = x2 + x + 1, p4 (x) = 3x2 + 2x + 1.
7. Niech ∅ =
6 A ⊂ V. Pokazać, że Lin(A) jest najmniejsza, podprzestrzenia,
liniowa, przestrzeni V zawierajac
, a, A.
8. Sprawdzić, czy w przestrzeni R3 zachodzi równość W1 = W2 , jeśli:
a) W1 = Lin((1, 1, 2), (3, 1, 7)), W2 = Lin((2, 0, 5), (4, 6, 7)),
b) W1 = Lin((1, 6, 5), (4, 1, 2)), W2 = Lin((1, 2, 2), (5, 2, 4)).
9. Zbadać liniowa, niezależność podanych wektorów we wskazanych przestrzeniach:
a) ~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (1, 0, 1), ~v3 = (1, 1, 0), R3 ;
b) ~v1 = (4, −5, 3), ~v2 = (5, −7, 3), ~v3 = (7, −9, 5), R3 ;
c) f1 = 1, f2 = sin x, f3 = cos x, C((−∞, ∞));
d) f1 = sin2 x, f2 = cos2 x, f3 = sin 2x, f4 = cos 2x, C((−∞, ∞)).
~ musza, być liniowo niezależne, jeśli każde dwa spośród
10. Czy wektory ~u , ~v , w
nich sa, liniowo niezależne?
11. Sprawdzić, czy dane wektory tworza, baze, przestrzeni R3 :
a) ~v1 = (1, 0, −1), ~v2 = (1, 1, 3), ~v3 = (4, 1, 1),
b) ~v1 = (1, 5, 0), ~v2 = (1, 2, 3), ~v3 = (1, 4, 1).
12. Dla wskazanych przestrzeni liniowych V podać przyklady baz:
a) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0},
b) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = 2y = 3z = 4t},
c) V = {q ∈ R5 [x] : wielomian q jest funkcja, nieparzysta},
,
d) V = {q ∈ R[x] : q(1) = 0}.
13. Podane uklady wektorów uzupelnić do baz wskazanych przestrzeni liniowych:
a) ~v1 = (1, 2), R2 ; b) ~v1 = (1, 0, 2, 1), ~v2 = (2, 2, 0, 1), R4 ;
c) p1 = x + 2, p2 = x2 − 3x, R4 [x].
14. Znaleźć wymiary podanych przestrzeni liniowych:
a) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y, y = z}, b) V = {f ∈ C([0, 1]) : f (1) = 0},
c) V = {p ∈ R6 [x] : wielomian p jest funkcja, parzysta}.
,
2