Izabela Bondecka-Krzykowska, "Historia obliczen. Od

Wiad. Mat. 50 (1) 2014, 175–210
© 2014 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Recenzje
Izabela Bondecka-Krzykowska, Historia obliczeń. Od rachunku na
palcach do maszyny analitycznej, Wydawnictwo Naukowe UAM,
Poznań 2012, 234 str.
O dawnej sztuce
Wodowania, Obejmowania, Dnożenia i Brzydzielenia1
Trudno sobie wyobrazić, żeby kiedykolwiek w historii człowiek nie próbował
oszczędzać wysiłku i czasu traconych na
różne operacje liczbowe. Czy to w przypadku reprezentacji liczb, czy wówczas,
gdy trzeba było wykonywać obliczenia –
wraz z nowymi zadaniami pojawiały się
pomysły rozwiązań. Poszukiwanie metod właściwych dla konkretnych problemów pobudzało do głębszych rozważań:
jakich sposobów używać do utrwalenia
potrzebnych liczb i jakie techniki powinny być stosowane przy wykonywaniu obliczeń. Kolejnym etapem stało się poszukiwanie możliwości konstruowania urządzeń, które mogłyby wyręczyć (choćby
częściowo) człowieka-komputora wykonującego obliczenia.
1
Jak to się działo? Jakimi drogami
doszliśmy do zbudowania współczesnych komputerów i wypracowania
nowoczesnych algorytmów obliczeniowych? O tym właśnie opowiada Historia obliczeń napisana przez Izabelę
Bondecką-Krzykowską.
Książkę można podzielić na dwie
części. W pierwszej z nich (rozdziały 1–3) autorka koncentruje się na początkowym stadium historii obliczeń.
Z lektury tej części można się dowiedzieć
o pierwotnych (czasem domniemanych)
sposobach wskazywania i zapamiętywania liczb. Co ciekawe, tekst wykazuje
znaczną różnorodność „zapisu” (należałoby raczej mówić o „reprezentacji”, bo
zdarzało się, że środkami tego „zapisu”
Tak Żółwiciel z Krainy Czarów sklasyfikował operacje arytmetyczne odpowiadając na pytanie Alicji o program jego szkoły: „Na początku była oczywiście nauka Chlapecadła i Portografia –
odpowiedział Żółwiciel – a później różne odgałęzienia Arytmetyki: Wodowanie, Obejmowanie,
Dnożenie i Brzydzielenie”, L. Carroll, Przygody Alicji w Krainie Czarów, tłum. M. Słomczyński.
© 2014 Polskie Towarzystwo Matematyczne
176
Recenzje
stawały się różne części ciała). Naturalnym ciągiem dalszym staje się opis rozmaitych operacji arytmetycznych bazujących na wspomnianych systemach reprezentacji liczb. Tekst jest podzielony na
jednostki poświęcone różnym wielkim
cywilizacjom, które miały swój wkład
w proces kształtowania notacji i algorytmiki liczbowej.
W drugiej partii książki (rozdziały
4–10) uwaga przenosi się już na mechanizmy. Najpierw mamy tylko pomoce
wspierające obliczenia: abaki i liczydła
(przy czym książka pokazuje, że wcale
nie są to banalne przyrządy). Potem pojawiają się już bardziej wyrafinowane urządzenia: suwak logarytmiczny, maszyny
sumujące XVII–XVIII wieku, wynalazki
XIX wieku i na koniec opis wielkich projektów C. Babbage’a. Interesującym interludium jest opis mechanizmów liczących tworzonych na ziemiach polskich.
Wiemy już czego spodziewać się
po treści książki. A jak wygląda jej redakcja?
Książkę czyta się bardzo dobrze –
została napisana klarownym i potoczystym językiem. Tekst ma układ dobrze
przemyślany i starannie uporządkowany.
Ważną i pozytywną cechą jest duża liczba rycin i zdjęć – dzięki nim można naprawdę zobaczyć jak kiedyś liczono oraz
jak wyglądały pomoce dawnych rachmistrzów.
Bardzo (ale to naprawdę bardzo) pożytecznym aspektem książki są czytelnie
opisane algorytmy różnych technik obliczeniowych. Co więcej, algorytmy te zo2
stały zilustrowane dokładnie opisanymi
(i często ozdobionymi rysunkami) przykładami. Dzięki nim możemy w pełni
zrozumieć zasady funkcjonowania mechanizmów i wykonania procedur obliczeniowych: lektura tej publikacji pozwala na dojście do umiejętności samodzielnego obliczania opisanymi tu technikami – a to wcale nie jest zadanie trywialne.2
Opis historii obliczeń nie jest monotonny. Warto podkreślić, że w książce znajdujemy interesujące tło kulturowe rozwoju technik obliczeniowych.
Możemy dowiedzieć się – między innymi – jakich kalendarzy używali Majowie i jaki to miało wpływ na ich
system liczbowy. Można także poznać
pierwotne znaczenia hieroglifów oznaczających liczby w starożytnym Egipcie – na przykład 1 000 000 wyrażony
był przez symbol modlącego się człowieka (ponoć przerażenie ogromem
tej liczby skłaniało Egipcjan do modlitewnej kontemplacji – swoją drogą,
ciekawe, do czego milionowe wielkości skłaniają współczesnego człowieka i jaki byłby nasz stosowny hieroglif). Interesująca, a w kontekście dzisiejszego kryzysu finansowego wręcz
zabawna, jest informacja o istnieniu
w Chinach różnych notacji liczbowych –
jednej dla „zwykłych” obliczeń, innej
dla finansów. System do rozliczeń pieniężnych był bardziej skomplikowany,
co niewątpliwie utrudniało zwykłym
śmiertelnikom wgląd w sprawy świata
finansjery.
Nietrywialność dawnych metod obliczeń arytmetycznych widać wręcz dosłownie po
ich umiejscowieniu w średniowiecznym systemie edukacji – dopiero po ukończeniu trivium
(gramatyka, logika, retoryka) można było uczyć się arytmetyki w quadrivium (wraz z geometrią,
muzyką i astronomią).
Recenzje
Pisząc tekst przekraczający długość
standardowego sms-a nie sposób ustrzec
się jakichś przeoczeń. W moim przekonaniu autorka zredagowała tekst bardzo starannie, ale – na szczęście dla recenzenta – kilka drobiazgów nadaje się
do korekty: zburzona przez Rzymian
Kartagina nie była miastem greckim
(jak sugeruje wyjaśnienie umieszczone we fragmencie poświęconym rzymskiemu systemowi liczbowemu), Wilhelm Schickard – luterański duchowny
w protestanckiej Wirtembergii przełomu XVI/XVII wieku – nie musiał się
obawiać katolickiej inkwizycji, a sześć
klinów poziomych Babilończycy zapewne zamieniliby na jeden pionowy
w kolejnym rzędzie (co zresztą poprawnie pokazano na rysunku ze strony 107).
Książka przedstawia opis technik
i urządzeń służących do obliczeń dyskretnych. Trochę szkoda, że pominięto tak ciekawe tematy jak mechanizm
z Antykithiry czy artyleryjskie urządzenia liczące Dumaresqa, ale autorka jasno stwierdza, że jej celem było przedstawienie wybranych wątków historii obliczeń, a nie pełny przegląd wszystkich
znanych faktów z tej dziedziny. Zresztą
trzeba uczciwie przyznać, że urządzenia
analogowe można zaszeregować raczej
jako mechanizmy symulujące, nie bardzo mieszczące się w gronie przodków
współczesnych komputerów.
Pozostaje zatem odpowiedzieć na
pytanie, dla kogo i do czego ta książka? Moim zdaniem, jest to pozycja przeznaczona przede wszystkim dla ciekawych. Tak, po prostu dla osób ciekawych tego świata, a w szczególności tej
3
177
jego części, która łączy się matematyką
i obliczeniami. Wspaniałą cechą tej publikacji jest możliwość wejścia w skórę dawnego rachmistrza i poszukania
wraz z nim poprawnego wyniku – jakby powiedział jeden z bohaterów tej
opowieści, G. W. Leibniz: „a więc policzmy, aby bez zbędnego kłopotu zobaczyć, kto ma rację”3. Książka powinna być także wykorzystywana w edukacji studentów kierunków ścisłych (szczególnie matematyki i informatyki) – często nieświadomość historyczna nie pozwala im właściwie zinterpretować i zrozumieć współczesnych wyników. Zresztą posiadanie tytułu magistra do czegoś w końcu zobowiązuje – choćby do
posiadania pewnego poziomu kultury,
w którego zdobywaniu ta pozycja będzie niewątpliwie przydatna. Treści zawarte w Historii obliczeń można wykorzystać podczas zajęć kół matematycznych, ale także jako zadania do implementacji programistycznej w kształceniu informatyków.
Lektura tej książki daje nam szanse
„poczucia” rozwoju technik obliczeniowych. A to wczucie się w świat dawnych
obliczeń skłania także do dodatkowej
refleksji. Dlaczego zapis liczb i ich interpretacja poszły taką drogą, która doprowadziła nas do świata współczesnych
komputerów? Czy sznurki reprezentujące liczby zamiast dyskretnych węzełków
mogły służyć jako miara ciągłych wielkości? W jakim stopniu względna łatwość
„dyskretnych” metod obliczeniowych popchnęła abstrakcyjną myśl matematyczną do szukania fundamentu w zbiorze
liczb naturalnych, a w jakim stopniu
dziedzictwo antycznej tradycji filozoficz-
G. W. Leibniz, Selections, ed. P. P. Wiener, Scribner 1951; tłum. własne.
178
Recenzje
nej wpłynęło na praktyczne konstrukcje
implementujące arytmetykę liczb naturalnych?
W każdym razie oprócz wymienionych powyżej pożytków przeczytanie tej
książki przynosi także dużo przyjemno-
ści. I gdyby Żółwiciel z Krainy Czarów
miał okazję trochę policzyć z Historią
obliczeń w ręku, to z pewnością nie kojarzyłby arytmetyki ani z dnożeniem ani
z brzydzieleniem, ale prędzej z doradowaniem.
Jerzy Mycka (Lublin)
Bartosz Brożek, Mateusz Hohol, Umysł matematyczny, Copernicus
Center Press, Kraków 2014, 280 str.
Jednym z pytań, które stawia filozofia
matematyki, jest pytanie o źródła matematyki jako nauki i o źródła poznania matematycznego. Z tym wiążą się
oczywiście i inne kwestie, na przykład
pytanie o naturę i istnienie obiektów matematycznych czy o to, dlaczego matematyka nadaje się do opisu świata fizycznego. Autorzy recenzowanej książki próbują spojrzeć na te kwestie, biorąc pod uwagę osiągnięcia i tezy neurobiologii i neurokognitywistyki. Pytają m.in. „jak to możliwe, że nasza matematyka, która pozwoliła na sformułowanie (lub, jak wolą inni, odkrycie) funkcji zeta, pojawiła się w procesie ewolucji
biologicznej? Co więcej, dlaczego matematykę uprawiać potrafi tylko jeden gatunek – Homo sapiens?” (str. 8). I dalej:
„jak ewolucja wykształciła umysł matematyczny, zdolny do udowadniania złożonych twierdzeń i stosowania wyrafino© 2014 Polskie Towarzystwo Matematyczne
wanych struktur matematycznych w naukach przyrodniczych, a zarazem blisko
spokrewniony z umysłami małp, psów
i ptaków?” (str. 10). Jest to więc książka
traktująca o biologicznych podstawach
poznania matematycznego.
Kim są autorzy? Otóż profesor Bartosz Brożek jest filozofem, kognitywistą
i prawnikiem. Pracuje w Katedrze Filozofii Prawa i Etyki Prawniczej Uniwersytetu Jagiellońskiego. Doktor Mateusz
Hohol jest kognitywistą i filozofem, pracuje zaś w Katedrze Filozofii Przyrody
Uniwersytetu Papieskiego Jana Pawła II.
Obaj są członkami Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych w Krakowie.
Rozważania swe autorzy zawarli
w pięciu rozdziałach. Rozdział pierwszy,
zatytułowany Zmysł liczby, poświęcony
jest rozważaniom nad tym, czy uzasadniona jest teza, iż zdolności matematycz-