Moment pędu fali elektromagnetycznej

napisał Michał Wierzbicki
Moment pędu fali elektromagnetycznej
Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego
Gęstość momentu pędu pola J~ w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru:
~ = 0 ~r × E~ × B~
J~ = ~r × P
(1)
~ jest gęstością pędu pola, a wektor wodzący ~r wskazuje na ustaloną objętość dV ,
gdzie P
~ Całkowity moment pędu pola zgromadzony w
w której określone są wektory pól E~ i B.
pewnej objętości V obliczamy całkując gęstość momentu pędu:
Z
J~ =
J~ dV
(2)
V
Można zauważyć, że definicja (1) zależy od położenia początku układu współrzędnych.
Przy przesunięciu początku układu współrzędnych o wektor a~, wartość momentu pędu
pola zmieni się o
Z
~ dV = a~ × p~
∆J~ = a~ ×
P
(3)
V
Jak widać definicja momentu pola jest jednoznaczna, jeśli całkowity pęd pola p~ zgromadzony w objętości V jest równy zeru.
Wyrażenie momentu pędu przez potencjał wektorowy
We wzorze na gęstość pędu zamieniamy wektor indukcji pola magnetycznego przez potencjał wektorowy
~ = 0 E~ × B~ = 0 E~ × (∇ × A)
~ = 0 ∇(E~ · A)
~ − 0 A(
~ E~ · ∇) = 0 ∇ A
~ · E~ − 0 E~ · ∇ A
~ (4)
P
gdzie jak zwykle w rachunku wektorowym podreślenie oznacza wektor podlegający różniczkowaniu. Wyrażenie (2) dla momentu pędu pola przyjmuje postać:
Z
Z
Z
~
~
~ dV
~
~
J=
J dV =
0 ~r × ∇ A · E dV −
0 ~r × E~ · ∇ A
(5)
V
V
V
1
Spróbujemy przekształcić drugą całkę w powyższym wzorze. W tym celu obliczmy następujące wyrażenie:
~ r × A)
~ = ∇ · E~
~r × A
~ + ∇ · E~
~r × A
~ + ∇ · E~
~r × A
~ = E~ · ∇~r × A
~ + ~r × E~ · ∇ A
~
∇ · (E~
(6)
Pierwszy składnik w powyższym równaniu zniknął, ponieważ w próżni obowiązuje prawo Gaussa ∇ · E~ = 0. Korzystając ze wzoru ∇~r = 1̂ otrzymujemy:
~ r × A)
~ − E~ × A
~
~ = ∇ · (E~
~r × E~ · ∇ A
(7)
Dzięki temu drugą całkę wystepującą we wzorze (5) możemy zapisać jako:
Z
V
~ dV −
E~ × A
Z
~ r × A)
~ dV =
∇ · (E~
V
Z
~ dV −
E~ × A
V
I
~ r × A)
~ · d S~
(E~
(8)
S
Przy zamianie całki objętościowej na powierzchniową stosujemy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa. Załóżmy, że powierzchnia całkowania jest powierzchnią sfery o promieniu R dążącym do nieskończoności. Potencjał wektorowy dipola punktowego maleje jak
R2 , podobnie jak pole elektryczne ładunku punktowego. Całka powierzchniowa maleje
wówczas do zera. Całkę powierzchniową można więc pominąć, jeśli objętość całkowania
jest dostatecznie duża aby zamknąć w niej cały obszar w którym występuje pole elektromagnetyczne. Pozostawiając pierwszą całkę we wzorze (5) nie zmienioną otrzymujemy
rozkład momentu pędu pola na dwa składniki:
J~ = ~L + S~
(9)
gdzie
~L =
Z
~ · E~ dV
0 ~r × ∇ A
(10)
V
oraz
S~ =
Z
~ dV
0 E~ × A
(11)
V
W zastosowaniu do fali elektromagnetycznej wielkość ~L interpretujemy jako orbitalny moment pędu, zależny od kształtu powierzchni stałej fazy fali (frontu falowego).
Wielkość S~ interpretujemy jako spinowy moment pędu1 związany z polaryzacją fali.
1
Nie mylić z powierzchnią S we wzorze (8) oraz z wektorem Poyntinga oznaczanym tą samą literą.
2
Moment pędu fali elektromagnetycznej można zaobserwować doświadczalnie, umieszczając na jej drodze naładowaną cząstkę. W przypadku orbitalnego momentu pędu cząstka ta zacznie się poruszać po kołowym torze otrzymując mechaniczny orbitalny moment
pędu. Spinowy moment pędu fali spowoduje obrót cząstki wokół jej własnej osi.
Fala elektromagnetyczna spolaryzowana kołowo
Falę spolaryzowaną kołowo można przedstawić jako superpozycję dwóch fal spolaryzowanych liniowo o jednakowych amplitudach, o drganiach przesuniętych w fazie o 90◦ .
Załóżmy, że fale biegną wzdłuż osi z i mają czynnik fazowy ϕ = kz − ωt. Pole elektromagnetyczne fali o polaryzacji x ma postać:
E0
B~1 =
e~y eiϕ
c
E~1 = E0 ~ex eiϕ ,
(12)
Podobnie dla polaryzacji y mamy2 :
E0
B~2 =
(−~ex ) eiϕ
(13)
c
Falę o polaryzacji kołowej otrzymujemy poprzez superpozycję wzorów (12) i (13) z
czynikiem i:
E~2 = E0 ~ey eiϕ ,
E~ = E~1 + i E~2 = E~0 (~ex + i~ey ) eiϕ = E~0 ~α eiϕ
~
~
~1 + i B~2 = E0 (~ey − i~ex ) eiϕ = E0 (−i~α) eiϕ
B~ = B
c
c
Sens fizyczny ma część rzeczywista pola elektrycznego, która jest równa:
Re E~ = E0 (~ex cos ϕ − ~ey sin ϕ)
(14)
(15)
W ustalonym punkcie przestrzeni o współrzędnej z = 0 zachodzi:
Re E~ = E0 (~ex cos ωt + ~ey sin ωt)
(16)
Mamy więc do czynienia z polaryzacją prawoskrętną, w której kierunek obrotu wektora
E~ wyznacza reguła prawej dłoni.
~ E,
~ B
~ stanowi ortogonalny układ prawoZnak minus dla B~2 jest z powodu tego, że trójka wektorów k,
skrętny.
2
3
_
E
ωt
x
z
y
Do obliczenia momentu pędu fali elektromagnetycznej, zgodnie ze wzorami (9)-(11) będzie nam potrzebny potencjał wektorowy. Falę elektromagnetyczną można opisać czystym potencjałem wektorowym, bez potencjału skalarnego. Dla pola elektrycznego zależnego od czasu obowiązuje wzór:
~
∂A
E~ = −
∂t
Stąd patrząc na wzór (14) łatwo zgadnąć, że
(17)
~ = 1 E0 ~α eiϕ
A
(18)
iω
Łatwo też sprawdzić, że powyższy potencjał daje poprawne pole magnetyczne fali spolaryzowanej kołowo:
~ = E ∇ × a~ eiϕ = E ∇ eiϕ × ~α = E ik~ez × ~α = E0 ~ez × (~ex + i~ey ) = E0 (~ey − i~ex )
B~ = ∇ × A
iω
iω
iω
c
c
(19)
Spinowy moment pędu fali spolaryzowanej kołowo
Spinowy moment pędu pola S~ obliczamy zgodnie ze wzorem (11). Ponieważ w optyce
mamy do czynienia z polami bardzo szybko zmiennymi w czasie3 mierzalna jest wielkość uśredniona po czasie:
Z
0
~
~ ? ) dV
hS i =
Re (E~ × A
(20)
2
V
Obliczmy iloczyn wektorowy występujący w powyższej całce:
E2
2E02
~ ? = E0 ~α eiϕ × −1 E0 ~α ? e−iϕ = − 0 ~α × ~α ? =
~ez
E~ × A
(21)
iω
iω
ω
gdzie ~α × ~α ? = (~ex + i~ey ) × (~ex − i~ey ) = −2i~ez . Średni po czasie spinowy moment pędu
fali spolaryzowanej kołowo wynosi więc
3
Dla światła widzialnego o długości fali λ = 500 nm częstotliwość drgań wynosi ν = c/λ = 600 THz.
4
hS~ i =
Z
V
0 E02
~ez dV
ω
(22)
Średnia po czasie gęstość energii dla fali spolaryzowanej kołowo (mającej dwie składowe
liniowe) wynosi:
hwi = 0 E02
(23)
Stąd ostatecznie otrzymujemy bardzo prostą zależność między całkowitą energią fali i
jej spinowym momentem pędu:
hW i
(24)
ω
Zakładając, że pojedynczy foton czyli kwant fali spolaryzowanej kołowo ma energię h̄ω
wnioskujemy, że foton spolaryzowany prawoskrętnie ma spin +h̄.
hSz i =
Orbitalny moment pędu fali spolaryzowanej kołowo
Orbitalny moment pędu ~L fali elektromagnetycznej obliczamy ze wzoru (10). Podobnie
jak dla momentu spinowego wskazane jest wykonanie uśredniania po czasie:
Z
0
~ ? · E)
~ dV
~r × Re (∇ A
h~L i =
(25)
2
V
Najpierw obliczmy gradient potencjału wektorowego (18)
E0
E0
E0 iϕ
E0 iϕ
∇~α eiϕ =
∇e ~α =
ikeiϕ ~ez ~α =
e ~ez (~ex + i~ey )
(26)
iω
iω
iω
c
Gradient wielkości sprzężonej zespolonej równy sprzężeniu zespolonemu gradientu wynosi:
~=
∇A
E0 −iϕ
e ~ez ~α ?
(27)
c
Wykonując iloczyn skalarny z wektorem pola elektrycznego (14) fali spolaryzowanej
kołowo otrzymujemy:
~ ? = (∇ A)
~ ?=
∇A
2E02
E0 −iϕ
~ez
e ~ez ~α ? · E0 ~α eiϕ =
(28)
c
c
gdzie ~α ·~α ? = (~ex +i e~y )·(~ex −i e~y ) = 2. Stąd otrzymujemy następujący wzór na uśredniony
po czasie orbitalny moment pędu:
~ ? · E~ =
∇A
5
h~L i =
Z
0 E02
~r × ~ez dV
c
(29)
V
Ponieważ ~r × ~ez = (x~ex + y~ey ) × e~z = −x~ey + y~ex , korzystając z wyrażenia (23) na średnią
po czasie gęstość energii fali, możemy zapisać średnie po czasie składowe orbitalnego
momentu pędu w postaci:
Z
Z
hwi
hwi
hL x i = −
x dV , hLy i =
y dV , hLz i = 0
(30)
c
c
V
V
Fala elektromagnetyczna spolaryzowana kołowo, propagująca się w nieskończonej przestrzeni V = ∞, nie niesie więc orbitalnego momentu pędu. Jak widać orbitalny moment
pędu może się pojawić, jeśli będziemy mieli do czynienia z wiązką optyczną ograniczoną
przestrzennie w kierunkach poprzecznych do kierunku propagacji fali.
Moment pędu fali spolaryzowanej liniowo
Fala spolaryzowana liniowo rozchodząca się w nieograniczonej przestrzeni nie posiada
zarówno spinowego jak i orbitalnego momentu pędu. Sprawdzenie tego rachunkiem pozostawiam Czytelnikowi mało sprytnemu, ale za to biegłemu w rachunkach. Dostatecznie sprytny Czytelnik zauważy, że foton spolaryzowany kołowo lewoskrętnie ma spin −h̄,
a polaryzację liniową da się przedstawić jako superpozycję dwóch polaryzacji kołowych
o przeciwnych skrętnościach. Dla polaryzacji lewoskrętnej we wzorze (14) i wszędzie
dalej należy zamienić wektor ~α na ~α ? , co skutkuje zmianą znaku we wzorze (22) na
spinowy moment pędu.
Fale elektromagnetyczne o niezerowym orbitalnym momencie pędu
Powstaje pytanie, w jaki sposób zmodyfikować kształt fali elektromagnetycznej aby dostać wiązkę optyczną niosącą orbitalny moment pędu. Są to tak zwane wiązki GaussaLaguerra będące aktualnym tematem badań optyki falowej. Dla zachęty zamieszczam
wzór opisujący taką wiązkę
uLG
pl (ρ, φ, z)
w0
= C pl
zR w(z)
 √ |l|
"
#
 2ρ  |l| 2ρ2
2
2 2
2 2

 L p 2
e−ilφ e−i(2p+|l|+1) arctg (zR /z) e−ikρ /(1+zr /z )/(2z) e−ρ /w (z)
w(z)
w (z)
(31)
6