A o, V - Institute of Oceanology, Polish Academy of Sciences (IO PAS)

c
Zofia CHILICKA________
Polska Akademia Nauk
Zakład Oceanologii w Sopocie
ANALIZA STABILNOŚCI WARIANTÓW UKŁADU RÓW­
NAŃ RÓŻNICOWYCH FAL DŁUGICH
T r e ś ć : 1. Wstęp, 2. Ocena dokładności rozwaąizań num erycznych układu, 3. A nali­
za stabilności num erycznej układów, 4, Zestawienie w yników , Summary, Literatura.
1. WSTĘP
G łównym celem pracy jest analiza stabilności i dokładności aproksym a­
cji metodą różnic skończonych następującego układu równań [10]:
f - f V , 3D f f - A a i U = - D ^ U >
H)
f f * f U* 9 » ! - A o, V > - Df f e tT; -T,b
(2)
z warunkami granicznymi:
(l0
U = V = £ = 0 ALa t = 0
u = V = 0
"O- z a m k n ię te j U n ii bvxe£jOwej c lla
t^ O ;
(5 )
gdzie:
U i V — składowe w ydatku objętościowego wzdłuż osi układu w spół­
rzędnych x, y\
t — czas;
/ — parametr Coriolisa;
p ^ — ciśnienie atm osferyczne
— współczynnik lepkości burzliwej
charakteryzujący w ym ianę
pędu w kierunku poziomym,
g — przyspieszenie siły ciężkości;
D — głębokość;
l — odchylenie swobodnej powierzchni morza od położenia row nowagi;
%! 1 ty*
Tx 1
— składowe naprężenia wiatru styczne do
swobodnej powierzchni;
— składowe naprężenia wody i styczne do dna
„ uw ym iarow y laplasjan.
Aa i —1~TT i ~ZT~? ~ dw
d i
d y 7-
Układ równań (1— 5) opisuje zjawisko fal długich w morzach płyt­
kich.
2. OCENA
UKŁADU
DOKŁADNOŚCI
ROZWIĄZAŃ
NUMERYCZNYCH
A by oszacować dokładność rozwiązań rozważanych niżej schem atów
num erycznych, w ykorzystajm y fakt, że dokładność rozwiązania jest tego
samego rzędu, co aproksymacja równania różnicowego, jeżeli tylko sche­
mat różnicow y jest stabilny [2].
W niniejszej pracy przy aproksym acji różnicowej równań (1— 3) oprzem y się na jawnym schemacie num erycznym z zastosowaniem siatek
przedstawionych na rys. 1 i 2 oraz jaw no-niejaw nym schemacie num e­
rycznym z jawną realizacją na siatce przedstawionej na rys. 1 [1, 4].
y*
Rye. 1. Siatka obliczeń num erycznych.
Fig. 1. The com putational grid.
x £;
i V
-
u
Rys. 2. Sia'tka obliczeń num erycznych
Fig. 2. The Platzmain corraputational grid.
Platzrnana.
Operator różniczkowy układu równań (1— 3) zapiszmy w postaci:
m
* r '
L
so ^-
Aäi
'
I - * r - A4L 91%
A
_a
3x
3y
odzie
r= R
D2
r
= o -o -3
Operator ten działa na wektor kolum nowy
U
U =
V
-JL
0t
.
«
Prawa strona układu równań (1— 3) jest również wektorem kolum ­
nowym:
Przy aproksym acji prawej strony zakładamy, że
wektor ten jest dokładnie znany w czasie i w przest­
rzeni; w rezultacie m ożem y zadać dokładnie wartość
1 n 3p0
—
x "
wektora F w węzłach siatki (x, y\ t) przy różnicowej aproksymacji układu.
’
Przyjm ijm y, że dyskretna współrzędna wzdłuż
osi x zmienia się w postaci x k = kh, gdzie k jest
liczbą całkowitą z przedziału O ^ k ^ K . Podobnie
wzdłuż osi y, y i —lh,
oraz wzdłuż osi t,
tn ~ m, 0
"5
0x
3pa
Ty " ^"ax"~
1
F=
®
Zapiszmy .równanie rónicowe LhUh = 0 w postaci
/ ■ iH+1 * ,n-1
^
b -
.
»
= |(?Vnł1 * W n-1)- gDg- - Ill(,Unł1 + 1>Un-1)♦
*%2i iH -1
~ 2 1 ifl-1
I«
^V ^ V 2 1 . . 1
. gD| " .
Ęnł2- ę n _ _ au nł1
2t
" “
0x
,,
aun*1
ay
(8)
gdzie:
LhUh — operator różnicowy,
r] i — stałe, przy czym:
r] = 0 i 0 = 2 dla schematu jawnego,
r] = ■&= 1 dla schem atu niejawnego.
Zbadajmy rząd aproksym acji niejaw nego schematu num erycznego.
Rozważm y różnice równania
przyjm uje następującą postać:
*-*k i ~
i
■■•L -
Li,Uh = 0,
które
f i wn*1 \ / n- 1i *. 2 2 . ( E n
2 l v k.i * K.11 * 2 h ' V i / 2 . t . t / 2
c « ,.«
>♦
?
<
w
siatce
-
< > - £ < .♦
z
rys.
♦
•
l9 ’
1
2h
Zi
9
♦§
n-1
- Fn
k - 1 /2 ,1 * 1/?
)*^
k • 1 /2 ,1 -1 /2
2
f \/n*1 \/n_^\
k ,[
k ,t ' '
— ÍV"'1 ♦
h? 1 k*1,l
( 10)
♦V"-’ , . v ; - ’
* k-1,l
u.'-+1
>= °
*
.n»2
^k.1/2,1.1/? ~ lk .1/2.1* V2
2i
-U
nv1
k.l
♦ v " * 1,
V (u D<1
2h
- V 0+1
* .1 ,1 * 1
,n+1
nł-1
k+1,l
k,l*1
- v n+1} = 0
♦ v " ł1
K4>1,l
U
k* 1,1*1
l<,U-1
( 11 )
W t.
Analiza układu (9— 11) prowadzi do wniosku, że układ jest aproksym ow any z dokładnością rzędu 0(t + h2).
Biorąc pod uwagę, że w szystkie człony w yjściow ego układu równań
różniczkowych, z w yjątkiem sił tarcia poziomego i przy dnie, są aproksym owane z drugim rzędem dokładności w czasie i w przestrzeni, a także
ten fakt, że laplasjan ma niew ielki w p ływ na w yniki obliczeń — można
przypuszczać, że dokładność rozwiązania jest bliska drugiemu rzędowi
w czasie i w przestrzeni [1, 10].
Układ równań (9— 11) jest jaw no-niejaw ny względem nieznanych
funkcji U i V. Można go zapisać w postaci:
W ir-’
1+
if
g d z ie :
~n»1
-if
n-1
I
H
■
_
[Kl,
[ vm J
n-1
(12)
TgD
Uk., =UM
Ę
U -
^k-1/2,1*1/2 *
’ k . 1/2,1 *1 /2
-
k . 1/2, l - 1 /2
- E
x r n ~1 U n ' 1 +
k/l
k -1/2,1 - 1 /2
. n- 1
,n -1
.n-1
n-1
-4um
~ n * 1 _ \ / n -1 _ Tf U n _ 1 - I S 2 . ( E n
k ,l
k .l
k .l
h
k * 1 /2 .U 1 /2
^ k -1 /2 ,U 1 /2
' ^ k - 1/2,1-1/2 ) " T r
k-1,1
k ,l* 1
k.1-1
.
-Ę n
+
k + 1/2,1-1/2
^ k .l +
( V n' 1 + V n- 1 + V n' 1 + V n- 1 - 4 V n' 1 )
k+1,1
2tA
k .l
Układ (12) jest równow ażny równaniu m acierzowemu
AV
= V
Układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zatem
i |Ht 1
1
f/<i
n-1 a
u k.i = ^ 7 7 7 ^ rr)F 7 ^ 2 7 2 [ (1 + Tr
n+1
} u k(i
+ T f V k. i l
(13)
- t f u - 1]
C i/2 .U V 2 = C l,2 .U V 2
~^
_ X ( w n*1
h
k*1,U1
Wn*1
k.1,l
+ Uk"u ‘ Uk,V 1 ■
w n*1
+ Vk,N1
n*1 .
~ Vk,i 1
Z układu (12) otrzym ujem y jaw ny w realizacji schem at num eryczny.
Równania (6— 8) dla t] = 0 i
stępującą postać:
U^ ' Uk^- - f V £ *
= 2 w siatce z rys. 1 przyjm ują na­
<ę un.1/2,U1/2 “Cl/2,W1/2 +C l/2 .l-V 2 _
-‘< > =0
,UI
Vk>12"T^ lŁtL- + fU M + f ^ ( Cl/2.U1/2 ' C l/2.l-V 2 + V l/2.U l/2 '
C v 2 . i . v 2 ) + " K . 1- i & l v ^ 1.' + v "'-!.‘ + V^ 1 + v;:'11-1
-
k,l
) = 0
115)
^k.V2.U1/2 ' ^k*1/2.W1/2
----------------2 ^ ”
w n+1
. v n ‘1
k»1,U1
kł1<l
J _ ( ||nł1
2h
_ ||nł1 + (|n*t -U " \1 +
kł1'l+1
+ v n *1 - v n ł 1 ) = o
k ,U 1
k-u1
k ,t
k*V
k<1
(16)
O trzym any w ten sposób schem at ma drugi rząd dokładności w prze­
strzeni i pierw szy w czasie.
Trzeci schem at num eryczny zastosowany w niniejszej pracy, z pierw ­
szym rzędem dokładności w czasie i drugim w przestrzeni na siatce P latzmana przyjm uje następującą postać:
Uk, u
- u k .i,t
2t
_ J L ( y n- 1 + v n ' 1 + v n ' 1 + Vn "1 ) + S 2 . ( Ę n
-Ę n
4
k*2,l-1 k*2,U1 k,l-1
k ,u r
h
k*2,l
k,l
n-1, ,n-1
A ii
k*1,l ” \\2
+ r
ii^-l
k.3,l +
, ,n-1
k-1,1 +
. ,n-1
kt1,U2+ kf1,l-2~
,
}
1
~
k»1,l =
(17)
1,61
tH *2
2r
en
„ JL (UM .^ 1
h
k * i ,i
u m ,i
Vn+1 . VIH1,.0
vr , w
* u
‘ i Sj
3. ANALIZA STABILNOŚCI NUMERYCZNEJ UKŁADÓW
Przejdźm y do badania stabilności num erycznej układu równań (9— 11)
z prawą stroną F = [ X* i X y , O]Równania te tworzą układ równań nieliniow ych niejednorodnych
o zm iennych współczynnikach. Na konturze rozpatrywanego obszaru
układ ten
spełnia
warunki graniczne (4— 5). Obecnie nie ma
ogólnej teorii badania stabilności takich układów, dlatego w celu
otrzymania przybliżonych ocen num erycznej stabilności należy przyjąć
pew ne uproszczone założenia. Zgodnie z przyjętą w praktyce procedu­
rą, załóżmy, że r = const, D — const i prawa strona układu równań jest
równa zeru. Otrzymam y wów czas układ równań liniow ych jednorod­
nych o stałych współczynnikach. Rozpatrzmy obszar nieograniczony.
Rozwiązanie układu (9— 11) można przedstawić w postaci funkcji har­
m onicznej [9],
f n, _ p gikaMip
(20)
gdzie:
/ — dowolna z funkcji U, V,
/ — jej amplituda;
a i (3 — liczby falow e wzdłuż osi x i y pomnożone przez krok siatki;
n — numer kroku czasowego.
Podstawiając (20) do (9— 11) otrzym ujem y:
UM - - o U n- \ b v " - ’ - i i T g D c i "
r,n»1
V
—n+2
ą
, nn-l
nn-1
=-bU
+ aV
,
-lArgDdą
- i i r.n-1 */
= - i 4xkU
,M
i;n-1
- i 4xpV
( 22 )
+ e§
(23)
7
gdzie:
_ h2 - x2r?h2 - T2f 2h2 - 8 t A 9 - 8 t 2A t9
h2 [(1 +x r )2+ t 2f 2]
b =
c=
2 r f h 2 - 8T2Af 0
h2[(1 + Tr) 2 + t 2f 2 ]
xfć + (1 + xr)d h[(1+xr)2 +x2f2]
^ _ (1 +xr)c - xf d
h[(1+xr)2+x2f2]
16x2gDd2(1+xr) + 16x2gDc2(1+xr)
h2[(1+xr)2 +x2f 2]
aB
bc
_
T ' h
e
-
'
bd
oc
h
h
sin3— . sin2|
-3
a
c = S in y C O S y
d = sin — c o s —
2
2
Układ (21— 23) w iąże wartości amplitud poziomu i składowych w y ­
datku na czterech poziomach czasowych: n - j—2, n + 1, n, n — 1. W celu
sprowadzenia tego układu do dw uw arstw ow ego schem atu wprowadzim y
nowe zmienne:
—n*1
Ul
—n
= u
— n»1
,
V,
—n
=V
_n
,
ą,
_n»1
= i
W ówczas układ (21— 23) przyjm uje postać:
—n*1
U
—n
= aU,
♦ bVt
(24)
- i4 ig D c ^
(25)
Vnł1 = - b i l " + a V " - ¡ A T g D d Ę
(26)
f ^ 1= - f t x t k U " * p V p ♦ e ą "
Zapiszmy układy (24— 26) w postaci macierzowej:
Wnł1= G W n
gdzie:
W — wektor o składowych [ U, U ,, V, V t f £ ,
G — macierz przejścia
O
a
O
b
-i^TgDc O
0
0
O
0 0
O
-b
O
a
-¡4xgDd O
O
0
1
O
0 0
O
0
0
O
0 1.
O
- i At k
O
'1
g
-iA tp
e
;
O
Zastosujm y kryterium stabilności von Neumanna, w edług którego
układ jest stabilny wówczas, gdy wartość bezwzględna wartości w ła­
snych m acierzy G przy dow olnych wartościach a i ß jest m niejsza lub
równa jedności [9], Wartości w łasne m acierzy G zależą na ogół od na­
stępujących wielkości: A, r, f, h, t, D, a i ß. W związku z tym kryterium
von Neum anna prowadzi do uzyskania pew nych relacji m iędzy tym i
wielkościam i. W naszym przypadku będziem y uzyskiw ali pew ne ograni­
czenia na t, przy których schem at jest stabilny.
Wartości w łasne G są pierwiastkam i równania
Xb - ^
(2 a + e) + X2 [16T2gD (dp + c k ) + 2 ae + b2 + a 2 ] -
[16x2gD (dpa + cpb - dkb + aok) +e(a2 + b2) 1 = 0-
(27)
W tabl. 1 zestawiono ograniczenia na t w zależności od wartości
parametrów A i h, przy których schemat jest stabilny. Badania przepro­
wadzono dla najkrótszych fal (Lmin = 2h).
Kryteria stabilności dla schematu (9—11)
Warunki stabilności
Słobiiitij contiitions
Z a ł o ż e n i a o parametrach
B a s ic
assum ptions
r = f=A =0;
Tablica 1
h
d.{3 dowolne
'
...
cA,/S a rb itra ry
T "
r * 0 , 4 * 0 , A i O , d =/3 =7T
L ~~
’
8A
bezwzględna stabilność
a b s o lu ie s+ability
r * 0 . f * 0 , A = 0 , ck=(3 = JT
r = Q,
r * 0 , f=0, A ^ c U / S - j T
• r - 0 , f* 0 , A*0,
2 V 2 qO
L
8A
r ^
c ^
hX
8A
h1
ir
8A
b ezw zględna stabilność
d bsoli/te S+abilitą
r * 0 , f=0, A=0, (X»/3 =3T
r= 0 , i #0, A=0( cK=/3 =TT
—
—
Przeanalizujm y stabilność układu równań różnicowych (17- 19). Równanie charakterystyczne ma postać wzoru (27),
gdzie:
a = 1 - 2 rr -
8 t A ( sin2a + sin2(3)
h*
b = 2 i f cosacosfł
t- - a sina
h
e =1-
h
cfx i
„ _ bsina . asinP
/ p-
h
h
IS t ^ D ls in 2» + sin2[3 1
h2
_ sina
h
/
« •» I *
bsinR
d _ sinB
h
B = |d -y
cTy “ tiucby j a ł o w e u r d lu ż osi x i y
W celu uproszczenia wyznaczenia pierwiastków tego równania przyj­
m ijm y następujące założenia:
( 2 f t )2 « 1
U zyskane rozwiązania równania charakterystycznego pozwalają zna­
leźć ograniczenia na t przedstawione w tabl. 2.
Przeanalizujm y stabilność schematu (14— 16). Równanie charakte­
rystyczne ma postać (27),
gdzie:
8 t A ( sin2-^- + sin2-|-)
a = 1 - 2xr -
b = 2-tf
c c -
sin-If cos-ß-
2
h
2
s¡n-|- c o s - y
'
,j -------- L--------Ł—
h
16T2gD (sin2-^-cos2-^- + sin2
cos2- y)
e = 1 ----------------------------^
k = ac - bd
p = bc + ad
a = hcfx
P= hcTy
Wartości t , dla których schemat (14— 1'6) jest stabilny, znajdują się
w tabl. 3. Równanie charakterystyczne było rozwiązane przy założeniu
8A ( s¡n2-§j-+ sin2— )
[ 2 r ♦ ---------------£ ---------- ] a
(2fr)2 « 1
« 1
Tablica 2
Krytenia stabilności dla schem atu (17—19)
ZoflbżevMo. o pe.raineh-ai.fi
Babic a w u m p tio n s
W a r uviK i MaVń\v\OŚci
5+aii»ili+y concUtions
7*^.
^
. ~ /
r h 2 + 8A
rh ł + 8 A '
^ "
?-f2-W2- (rh2+SA^ + N/irh^-ł- 8 A )S 3 Z o D h Ł
469D
r = 0,f = 0,A * 0 ,
^
1
_bŁ .
8A '
r * 0,1 = 0,A * 0 , — u _
T '
hZ
-(rhŁ+8AKVTrhL+8A)V32qDhŁ
^ rh Ł+8A ’ L"" ......
ĄbgD
dowolne
r * 0 ,t * 0 ,A * 0 ; i( /3
Cirkiiiran^
h1 . r
y 2A (sin2^ + sin2# )
8A 1
" ł Łhz c o s ^ c o s ^
-2 A +■ \/HA 1+23Dhs4qD
r = 0 ,f ^ 0 , A ^ 0 , — u —
r = 0 ,{ = 0 ,A = 0 , - < ■ -
r
r - / o , f = 0/ A = 0/
r = o,* * 0^ =
-2A+V4AŁ +2gD hŁ
l*gD
.
1
2V^TT
r '
T - - "
^ 6f l O
n ie s ta b iln o ś ć
instabiliti)
0,
r * 0 ,f* 0 ,A = 0 , - H -
w
r i 0/f * O /A ^O / o ( - ^ = f
r -
r * 0,f * 0 , A = 0,
~ ^ ± r '
C= 0,f * 0 , A * 0 , <S=I3 = y
r c # 8A '
r * Oif=C>A^O/
r ,
hŁ
. w H h V 2 g D - ( r h Ł+ 8 A )
T^ rM *8 A 'r "
u g0
r = 0 , 1 = 0 M 0 , < k ^ =X
^
r i 0 , f = 0,A=0,
r « a /* Q A = 0 ,
A = /3 * f
4 .
r .
____ , -r h ŁV r Łhv+-329DhŁ
....
AibgD
h"
- r ^ Hh\ /2sD- {rhi * Q A )
r h '+8A '
'
Ąf>gD
t
c Hh\/2df>- r h Ł
HgO
^
h^/25 D - 2 A
H9 D
JLS
34
^
hVZŚD-2A
Ha t>
1 .
r z
^
W 2 < > D -rh Ł
464D
, is : I V 2 3 &
Tablica 3
Kryteria stabilności dla schem atu (14—16)
W arunki stabilności
S ta b ility conditions
Za.Toz.enia o parcwetrooh
Babic assumptions
dowolne
*0 ,A *0 ;¿ ,P
arbHror^
r
-r ^
h2
r ^ + SA i
-(rh H g A H v W + B A M s D h 1
ib g D
f ~ 0 J = 0,A * 0 ,
— a—
. W1 .
^ T A '
rtO.i =0,A *0¡
—„—
~ ,
h2
C" ' r h Ł+ 8 A '
t
r
F
— u—
1
“1
IJ
O
~+»
II
.O
>
u
0
r = 0,i ¿QA *0 ;
r = 0 , f *0 , A=0; -
r <
-2 A + V/HA1 + 2gD h1
4 q0
, -(rh'+8AW(rh^8A5M21ttí
46gD
h
Z V ÍiD 'I .
r '
^
* rh 1+ \Zrl hM+ 3 2 q Dh1
469D
n ie s ta b iln o ś ć
in s tab ility
«—
r 4-0, i * 0 , A = 0¡ — a _
„ .
<. h1
2 ACsin1^ /2) +&inL(^/2)J
' fiA '
f 2 hJ
- 2 A + V H A 2 + 2aD hL
Hg&
_ ^
—P,A-=0;
rhl + 8 A
1 ~~
. , 1 . ^
r , ^ - r h M W * 32o&h*
r i r ^ T F 'r ^
y|¿s D "" "
.
r * 0 , f * Q A +0, o^=/3=7T
( r hł + 8 A ) h ł
ír h l *8AJl 4 f i hH
r * 0 , f+ 0 , A=0,
ri + p
6Ah3
r =0, ł * 0 , A * 0 , <*-/£* Jr
f*h M■*• k t A1
h1
r h1 + 8A
r * Q *=0, A * 0 ,A - /3 = Jr
r —0, f-0 , A * 0 , <K=/s=JT
r"
8A
r * 0 , f=0, A=0, c*=/3=Jr
b e z w z g lę d n o stabilność
a b s o lu te s t a b il i t y
r = 0, t*0,'A=0; cfc*/5=3r
ni evtabilno&c'
¡M&t a b ility
2 — Oceanologia Nr 14
3. ZESTAWIENIE WYNIKÓW
Spróbujm y podsumować uzyskane w yniki dotyczące stabilności rozpa­
tryw anych schem atów.
Rozpatrzmy przypadek schematu różnicowego zapisanego na siatkach
przedstawionych na rys. 1 i 2, z pierw szym rzędem dokładności w czasie
i drugim w przestrzeni. Uzyskane .rezultaty przedstaw m y w punktach.
1. Jeżeli r = f = A — 0 oraz a i P dowolne, w ów czas otrzym ujem y
kryterium Couranta, Friedrichsa i L evy’ego.
2. Jeżeli nié uw zględnia się w układach sił tarcia poziomego oraz przy
dnie (r = A = 0), a /4=0, wówczas dla dowolnego a i (3 ukadły nie
są stabilne. Schem at różnicow y zapisany na siatce Platzmana dla najjt
h
krótszych fal (ot=(3= — ) jest stabilny przy warunku t < ------------2
2V2gD
3. Jeżeli A 4=0, r=j=0, f=j=0; A=|=0, r = 0 , f = 0 ; A 4=0,
r+O. / ==0;
A = 0, r4=0, f = 0 ; A = 0 , r + 0 , /=J=0; A4=0, r = 0, /4=0, to sche­
m aty różnicowe są stabilne warunkowo. K ryteria stabilności uzależ­
niają krok czasowy od wartości w spółczynników tarcia przydennego
i poziomej w ym iany burzliwej pędu, parametru Coriolisa, kroku prze­
strzennego i głębokości akwenu.
4. Jeżeli r4=0 i A = / = 0 , wów czas schem at różnicowy zapisany na siat­
ce przedstawionej na rys. 1 dla a= |3 — ji jest stabilny dla dowolnego
kroku czasowego. Przyjęcie a = |3 = jt odpowiada analizowaniu naj­
krótszych fal [1, 5].
Schem at różnicowy zapisany na siatce Platzm ana dla a = P = J i/2
jest stabilny warunkowo.
Nieco inny charakter mają w yniki uzyskane dla schem atu z drugim
rzędem dokładności w czasie i w przestrzeni. Analizę przeprowadzono
jedynie dla najkrótszych fal.
Zestaw m y uzyskane w yniki.
1. Jeżeli A4=0 i r4=0 lub /.4=0; A4=0 i j = r ~ 0; A4=0, r4=0 i /=}= 0, to
schem at różnicow y jest stabilny przy tym samym warunku określa­
jącym stosunek m iędzy parametrami t, h i A
< h2
T
5
8Â
2. Jeżeli A = 0 i r=}=0 lub /4=0 to schem at różnicow y jest stabilny dla do­
wolnego kroku w czasie (bezwzględna stabilność).
3. Jeżeli
r = = f = A —0; a i 6 dowolne,
wówczas
---- ---- . Jest
2]/2gD
to znany warunek Couranta, Friedrichsa, L evy’ego.
Analiza przypadku najkrótszych fal prowadzi do wniosku, że sche­
mat jaw no-niejaw ny z jawną realizacją pozwala na zastosowanie w iększe­
go kroku czasowego w porównaniu ze schem atem jawnym zapisanym na
siatkach przedstawionych na rys. 1 i 2, z pierw szym rzędem dokładności
w czasie. Zwiększenie rzędu dokładności schematu jawno-niejawnego
z jawną realizacją powoduje w ydłużenie czasu obliczeń przy przejściu
od kroku czasowego n— 1 do n- 1-1. W ydłużenie to może być kom penso­
wane zastosowaniem w iększego kroku czasowego.
4. WNIOSKI KOŃCOWE
Przy rozwiązywaniu zadań nieliniow ych może pojawić się tzw. n ie­
liniowa niestabilność [7, 8], Zw ykle tę postać niestabilności tłum i się przy
pomocy wprowadzenia do układu poziomej lepkości [3].
Jeżeli występują w równaniach wyrażenia z tarciem poziomym, to
aby uzyskać jednoznaczne rozwiązanie, należy na brzegu zadać dwie
składowe wydatku. Struktura siatki Platzm ana pozwala zachować w ka­
żdym w ęźle tylko jedną charakterystykę. Dlatego w węzłach twardego
konturu można zadać albo U = 0 albo V = 0, ale nie można zadać oby­
dwu składowych wydatku jednocześnie.
Słabą stroną schematu różnicowego zapisanego na siatce Platzm ana
jest pojawienie się tzw. tarcia num erycznego, które opisuje się wyrażeih 2
f /i2
Z
U
niami — — AU, - _— AV\ Tarcie to powstaje przy aproksymacji członów,
charakteryzujących w p ływ siły Coriolisa. Efekt tarcia num erycznego mo­
że być bardzo odczuwalny jeżeli stosuje się siatkę o dużym krcku. Du­
ża lepkość numeryczna prowadzi do silnego wygładzania obliczanych
charakterystyk. W schematach zapisanych na siatce z rys. 1 tarcie nu­
m eryczne się nie pojawia.
Reasumując dokładność aproksymacji jest największa w metodzie,
jawno-niejawnej z jawną realizacją na siatce z rys. 1 z drugim rzędem
dokładności w czasie i w przestrzeni.
Ciekawym zjaw iskiem jest fakt, że badanie stabilności dla schematów
zapisanych na siatkach przedstawianych na rys. 1 i 2, z pierw szym rzę­
dem dokładności w czasie prowadzi do uzyskania tych samych ograniczeń
na t , z w yjątkiem wypadku najkrótszych fal. W tym wypadku na s ia t c e
Platzm ana siła Coriolisa nie oddziałuje na najkrótsze fale.
Z punktu widzenia badania stabilności najlepszy w ydaje się być
schemat jaw no-niejaw ny z jawną realizacją.
Gdy r = f = A = 0, w tedy uzyskany warunek, znany jako kryte­
rium Couramta, Friedrichsa, L evey’ego, został uzyskany dla wszystkich
trzech schem atów.
ZOFIA CHILICKA
Polish A cadem y of Sciences
Institute of Oceanology — Sopot
STABILITY ANALYSIS FOR WARIANTS OF THE SYSTEM OF
FINITE DIFFERENCE EQUATIONS FOR LONG WAVES
Sum mary
The paper presents an analysis o f th e stability and accuracy o f approxim ation by
the m ethod of finite differences of the differential equation system (1 — 5) describ­
ing the phenom enon of long wiaves in shallow seas.
T he assessm ent of the accuracy of the num erical solution w as based on the
Godunov and R iyabenki theorem , stating thait for a stabile schem e the accuracy
o f th e solution is of the sam e order as th e approxim ation of the equation. The
order o f the approxim ation of the system considered w as investigated for three
schemes: explicit on the Platzm an grid (17—>19), exp licit on the grid in fig. 1 (14—16),
and explicit-im pliicit w ith exp licit com putation on the grid in fig. 1 (9—ill). The
two first schem es m entioned are o f the sam e order of accuracy in tim e and of the
second order in space, w hile the exp licit-im p licit schem e w ith exp licit computation
is of the second order in space, the order o f the approxim ation in tim e being close
to two.
In the second section th e stability w as studied: by th e von N eum an method.
T he resu lts obtained depending on th e w ay o f the assigijm ent o f certain para­
m eters are summarized in third section.
As the conclusion of these considerations, the exp licit-im p licit schem e w ith
explicit com putation has been accepted as the m ost appropriate from the point of view
of the stability studies. This conclusion w ould appear to be important w hen taking
into account that m any cases w ere considered, including those w hich have not
yet been studied.
LITERATURA
1. F i s h e r G.: A su rve y of finite-difference approxim ations to the p rim itiv e
equations. M onthly W eather Rev., 93, No 1, 1965.
2. G o d u n o v S. K., W. S. R i a b e n k i j: T heory of difference schemes. A m ster­
dam 1964.
3. H a n s e n W.: The reproduction of the motion in the sea b y means of H ydrodynam ical-N um erical methods. M itteilungen des Inst. f. M eereskunde, No 5, 1966.
4. K a g a n B. A.: On the features of some finite difference schemes used at nu­
merical integration of tidal dyn am ics equations. Atm ospheric and Oceanic P h y ­
sics, No 7, 1970.
5. K a S a h a r a A.: On certain finite-difference m ethods for fluid dynamics.
M onthly W eather Rev.^ 93, No 1, 1965.
6. M a r c h u k G., B. A. K a g a n , R. E. T a m s a 1 u : C hislennye m etody raschota
prilivnych dvizhenii iw okirainnykh mioryskh. Fizlika Miorya :i A tm osfery, 5,
nr 7, 1969.
7. M i y a k o d a K.: Contribution to the numerical w eath er prediction-com putation
w ith fonite-difference. Japan J. Geophys., 3, No 1, 1962.
8. P h i l l i p s N. A.: An e x am ple of non-linear computational instability. The
A tm osph ere and the Sea in Motion. R ockefeller Inst. Press and the Oxford U ni­
versity Press 1968.
9- R i c h t m y e r R. D., K. W. M o r t o n : Difference m ethods for initial-value pro­
blems. Interscience Publ. 1967.
10. V o l c i n g e r N. E., R. V. P y a s k o v s k i j : O snovnye okeanologicheskie zadachi teorii m elkoi vody, Gidrom eteorologicheskie Izd. 1968.