PDF version - Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny

ELEKTRYKA
Zeszyt 1 (233)
2015
Rok LXI
Michał LEWANDOWSKI
Politechnika Śląska w Gliwicach
UOGÓLNIONE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI
ZNIEKSZTAŁCEŃ FILTRACJI DLA UKŁADÓW KLASY FILTR LTIDECYMATOR/INTERPOLATOR
Streszczenie. W artykule zaproponowano uogólnienie częstotliwościowych
wskaźników zniekształceń filtracji (amplitudowego, nieliniowości fazy oraz aliasingu
międzypasmowego) na układy klasy filtr LTI-decymator/interpolator, które stanowią
pewną podklasę układów LTV. Dzięki wykorzystaniu specyficznych właściwości
układów klasy filtr LTI-decymator/interpolator, jakimi są: okresowość impulsowej
funkcji przejścia oraz możliwość sprowadzenia układu do tzw. postaci zredukowanej,
możliwe było zdefiniowane wskaźników zniekształceń filtracji w sposób analogiczny, jak
jest to możliwe dla układów LTI. Pozwala to stosować podobny aparat matematyczny do
oceny jakości filtracji układów tej klasy oraz w podobny sposób interpretować uzyskane
wyniki, co zostało pokazane na przykładzie oceny zniekształceń filtracji układu
pasmowej filtracji falkowej sygnału EEG.
Słowa kluczowe: analiza zniekształceń filtracji, analiza częstotliwościowa, systemy LTV, filtracja
pasmowa
GENERALISED FREQUENCY DOMAIN DISTORTION MEASURES FOR
SYSTEMS OF LTI FILTER – DECIMATOR/INTERPOLATOR CLASS
Summary. The paper proposes a generalization of the frequency domain distortion
measures (amplitude, phase nonlinearity and interband aliasing) for systems belong to an
LTI-decymator/interpolator class which is a subclass of LTV systems. By using the
specific properties of LTI-decymator/interpolator class system, which are: the periodicity
of the impulse response and the ability to obtain a so-called “reduced form”, it was
possible to define the distortion measures in the same way as it is possible for the LTI
systems. This allows to use a similar mathematical methods to evaluate the quality of the
filters and also allows to interpret the results in a similar way, what was shown in
exemplary evaluation of a wavelet multiband filtering system of EEG signal.
Keywords: distortion evaluation, frequency domain analysis, LTV systems, multiband filtering
94
M. Lewandowski
1. WPROWADZENIE
W przypadku rzeczywistych układów filtrujących często zachodzi potrzeba oceny
zniekształceń, jakie dany układ wnosi do filtrowanego sygnału [14], [1]. Zniekształcenia
filtracji można opisywać względem parametrów (charakterystyk) układów [5] bądź też
względem sygnałów filtrowanych przez te układy [11]. Dodatkowo zniekształcenia można
zdefiniować w jednej z wybranych dziedzin (np. czasu, częstotliwości, transformaty Z).
Skutkiem tak szerokich możliwości wyboru sposobu opisu zniekształceń jest duża swoboda
w konstruowaniu funkcjonałów określających wskaźniki jakości filtracji. Wygodnym
sposobem opisu zniekształceń od strony parametrów układów jest przyjęcie, że oceniamy
badany układ względem pewnego referencyjnego układu odniesienia [5]. W układzie
przedstawionym na rys.1 wejściowy dyskretny sygnał x[i] jest podawany równocześnie na
badany filtr LTI (ang. linear time-invariant – liniowy czasowo niezmienniczy) o impulsowej
funkcji przejścia h[i] oraz filtr odniesienia opisany funkcją h0[i].
x[i]
filtr odniesienia
h0[i]
y0[i]
filtr badany
h[i]
y[i]
Rys. 1. Metoda oceny zniekształceń filtracji wykorzystująca referencyjny filtr odniesienia
Fig. 1. Evaluation of filtering distortion using reference filter
Metoda wykorzystująca filtr odniesienia pozwala w elastyczny sposób zdefiniować
funkcjonały opisujące rozpatrywane typy zniekształceń filtracji (amplitudowe, fazowe,
opóźnienia itd.) w zależności od wyboru tego filtru.
W pracy [5] przedstawiono definicje funkcjonałów opisujących trzy częstotliwościowe
wskaźniki zniekształceń filtracji: amplitudowy, nieliniowości fazy oraz aliasingu
międzypasmowego, które zostały zdefiniowane dla układów LTI. Interpretację wskaźników
przedstawionych w [5] przedstawiono na rys.2. Charakterystykę częstotliwościową badanego
filtru LTI oznaczono H(f), a charakterystykę filtru odniesienia jako H0(f). Kolorem szarym
oznaczono obszary, których pole powierzchni jest proporcjonalne do zniekształceń danego
typu. Wskaźniki zostały opisane następującymi zależnościami:
EA 
1
f g  fd
  H( f )  H
fg
fd
0
( f )  df ,
2
(1)
Uogólnione częstotliwościowe wskaźniki ...
E 
EP 
1
f g  fd
1
fd

fd
0
95
  arg( H ( f ))  arg( H
( f ))  df ,
(2)
H ( f ) df ,
(3)
fg
fd
1
H ( f ) df 
fN  fg
2

fN
fg
0
2
2
gdzie:
E A – wskaźnik zniekształceń amplitudowych w przedziale częstotliwości  f d , f g  ,
E – wskaźnik zniekształceń fazowych w przedziale częstotliwości  f d , f g  ,
EP – wskaźnik aliasingu międzypasmowego dla pasma przepustowego  f d , f g  ,
H ( f ) – zespolona charakterystyka częstotliwościowa filtru odniesienia,
H 0 ( f ) – zespolona charakterystyka częstotliwościowa filtru badanego,
f N – częstotliwość Nyquista.
Rys. 2. Interpretacja wskaźników jakości filtracji: a) zniekształceń amplitudy, b) alisingu
międzypasmowego, c) zniekształceń (nieliniowości) fazy
Fig. 2. Intepretation of filtering distortion measures: a) amplitude distortion, b) interband aliasing,
c) phase nonlinearity
Tak określone wskaźniki zniekształceń zostały następnie z dobrym skutkiem
wykorzystane w pracy [6] do analizy szerokiej klasy układów LTI służących do filtracji
sygnałów EEG. W niniejszej pracy przedstawiono rozszerzenie definicji wskaźników
opisanych równaniami (1), (2) i (3) na pewną podklasę układów liniowych zmiennych
w czasie LTV (ang. linear time-varying) nazwaną: filtr LTI-decymator/interpolator.
96
M. Lewandowski
2. TRANSMISYJNY OPIS UKŁADÓW KLASY FILTR LTI –
DECYMATOR/INTERPOLATOR
W dziedzinie czasu dyskretnego opis transmisyjny dowolnego układu LTV można
wyrazić przez parametryczną impulsową funkcję przejścia h i, k  (rys.3).
LTV
x[i]
z[i]
h[i,k]
Rys. 3. Dyskretny układ LTV opisany parametryczną impulsową funkcją przejścia
Fig. 3. Discrete LTV system described by parametric impulse-response function
Przedstawiona na rys. 3 parametryczna impulsowa funkcja przejścia jest opisana
zależnością [3]:
z i  
 x  k   h[i, k ] ,

(4)
k 
gdzie h i, k  oznacza parametryczną impulsową funkcję przejścia układu LTV, x[k] oznacza
dyskretny sygnał wejściowy, a z[i] dyskretny sygnał na wyjściu układu LTV. Idea
parametrycznej impulsowej funkcji przejścia jest bezpośrednim rozwinięciem idei
impulsowej funkcji przejścia dla układów liniowych czasowo-niezmienniczych (ang. LTI),
która stanowi fundament analizy układów tej klasy [1], [14]. Funkcja h(·,·) dwóch zmiennych
i,k może być również interpretowana jako rodzina funkcji h i,k  k const . dla ustalonych
wartości parametru (wskaźnika) k. Przytoczona zależność (4) może być stosowana dla
dowolnej klasy liniowych układów dyskretnych zmiennych w czasie. Do tej klasy układów
zaliczają się również układy klasy filtr LTI-decymator/interpolator szeroko omawiane m.in.
w pracy [6]. Można zauważyć, że w takim układzie zmienność odpowiedzi impulsowej w
czasie jest spowodowana przez decymatory i interpolatory, które służą do zmiany
częstotliwości próbkowania sygnału. Zgodnie z definicją podaną w [6], przez pojęcie klasy
układów filtr LTI - decymator/interpolator należy rozumieć tylko takie układy LTV, które
zawierają jedynie filtry LTI, decymatory i interpolatory, i które dają się sprowadzić do postaci
przedstawionej na rys.4.
x[i]
ha[i]
m
m
h s[i]
Rys. 4. Zredukowana postać układu klasy filtr LTI-decymator/interpolator
Fig. 4. Reduced form of LTI-decimator/interpolator system
y[i]
Uogólnione częstotliwościowe wskaźniki ...
97
Przedstawiona na rys.4 postać układu zawiera dwa zastępcze filtry LTI (filtr ha i  oraz
filtr hs i  ) oraz decymator i interpolator częstotliwości próbkowania rzędu m. Okazuje się,
że klasa takich układów jest dosyć szeroka i są one często stosowane w praktyce [6]. Można
do nich zaliczyć m.in. układy falkowej filtracji sygnałów [7]. Cechą charakterystyczną
układów klasy filtr LTI-decymator/interpolator jest fakt, że parametr k występujący
w zależności (4) jest zależny jedynie od rzędu decymatora i interpolatora. Z właściwości
kaskadowego połączenia decymatora i interpolatora tych samych rzędów wynika [10], że ich
parametryczna impulsowa funkcja przejścia będzie okresowa względem zmiennej k
z okresem równym m zgodnie z następującą zależnością:
hre i, k   h  i, k  m 
(5)
gdzie hre i, k  jest parametryczną impulsową funkcją przejścia układu łańcuchowego
połączenia decymatora i interpolatora rzędu m. Jak więc wynika z okresowości funkcji
przejścia względem zmiennej k, dla układu klasy filtr LTI-decymator/interpolator istnieje
jedynie m niezależnych od siebie impulsowych funkcji przejścia. Zależność (5) jest
charakterystyczna dla układów tej klasy i nie jest prawdziwa dla całej klasy układów LTV.
Problematyka charakterystyk czasowo-częstotliwościowych układów LTV w sensie bardziej
ogólnym była analizowana m. in. w pracach [2, 12]. Okresowość charakterystyki względem
parametru k została wykorzystana przy konstruowaniu układowych wskaźników
zniekształceń dla układu filtracji klasy filtr LTI-decymator/interpolator.
3. UOGÓLNIONE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI ZNIEKSZTAŁCEŃ
FILTRACJI
Mając daną parametryczną okresową impulsową funkcję przejścia układów klasy filtr
LTI-decymator/interpolator, można zdefiniować jego parametryczną charakterystykę
częstotliwościową jako transformatę Fouriera tej funkcji:
H ( f , k )  h[i, k ],
f  R , i, k  N
(6)
Posiadając sparametryzowaną względem zmiennej k charakterystykę częstotliwościową
układu, można skonstruować częstotliwościowe wskaźniki zniekształceń filtracji w sposób
analogiczny, jak to zrobiono w pracy [5] dla układów LTI. Dla wskaźnika zniekształceń
amplitudowych można napisać:
98
M. Lewandowski
E A [k ] 
  H ( f , k)  H
1
fg  fd
fg
fd
0
( f , k )  df ,
2
kN,
(7)
gdzie:
E A  k  – funkcja zniekształceń amplitudowych w przedziale częstotliwości  f d ; f g  ,
H 0 ( f , k ) – parametryczna charakterystyka częstotliwościowa filtru odniesienia,
H ( f , k ) – parametryczna charakterystyka częstotliwościowa filtru badanego.
Wykorzystując fakt okresowości parametrycznej odpowiedzi impulsowej układu
względem zmiennej k (por. wzór (5)), można zdefiniować uogólniony wskaźnik zniekształceń
amplitudowych jako:
EA 
1
m   f g  fd
 H ( f , k)  H

m
fg
k 1 f
d
0
( f , k )  df ,
2
(8)
gdzie m jest rzędem reduktora/ekspandera dla danego układu klasy filtr LTI-decymator/
interpolator. Można zauważyć, że przy braku w układzie dycymatora i interpolatora (rząd
decymatora i interpolatora m=1), wskaźnik EA przyjmie nieparametryczną postać słuszną dla
układów LTI (por. z zależnością (1)).
W analogiczny sposób można zdefiniować uogólniony wskaźnik zniekształceń fazowych
oraz uogólniony wskaźnik aliasingu międzypasmowego:
1
E 
m   f g  fd
EP 
1 m  1

m k 1  f d

 arg  H ( f , k )   arg  H
 
m
fg
k 1 f
d

f  fd
f 0
 H  f , k  
2
1
fN  fg
0
( f , k )   df ,
2

2
H
f
,
k
     ,

f  fg

f  fN
(9)
(10)
gdzie:
E – uogólniony wskaźnik zniekształceń fazowych w paśmie  f d ; f g  ,
EP – uogólniony wskaźnik aliasingu międzypasmowego dla pasma przepustowego  f d ; f g  .
Tak zdefiniowane wskaźniki nie są co prawda bezpośrednio porównywalne ze
wskaźnikami zdefiniowanymi zależnościami (1), (2) i (3) (poza wskazanym już przypadkiem,
gdy m=1), pozwalają jednak porównywać między sobą różne układy klasy filtr LTIdecymator/interpolator pod warunkiem przyjęcia tego samego filtru odniesienia H0(f,k).
Uogólnione częstotliwościowe wskaźniki ...
99
Podobna jest również interpretacja wyznaczonych wskaźników, co stanowi ich największą
zaletę, gdyż odwołują się one do pojęć dobrze znanych z szeroko stosowanego w literaturze
modelu częstotliwościowego opisu układów LTI.
4. PRZYKŁAD ANALIZY ZNIEKSZTAŁCEŃ W UKŁADZIE FALKOWEJ
FILTRACJI PASMOWEJ SYGNAŁU EEG
Sygnał EEG (elektroencefalograficzny) jest sygnałem odzwierciedlającym bioelektryczną
aktywność mózgu [13]. W wielu przypadkach przed przystąpieniem do właściwej analizy
sygnału EEG od strony lekarskiej, celowy jest jego podział na pewne charakterystyczne
podpasma: delta (0.3-3Hz), theta (4-7Hz), alpha (8-13Hz), beta (14-30Hz) [9], które
odzwierciedlają fizjologiczne stany aktywności mózgu. W pracy [6] przedstawiono metodę
filtracji pasmowej sygnałów EEG, wykorzystującą selektywną transformatę falkową. Filtracja
pasmowa sygnałów EEG ma na celu wyodrębnienie charakterystycznych podpasm tego
sygnału [13] i ma duże znaczenie praktyczne [9], [4]. Na rys. 5 przedstawiono układ falkowej
filtracji pasmowej sygnału EEG, przeznaczony do ekstrakcji jego pasm charakterystycznych
z użyciem filtrów falkowych. Na rys. 5 można zauważyć, że przedstawiony układ falkowej
filtracji pasmowej dokonuje dekompozycji sygnału wejściowego x[i] na pięć sygnałów
pasmowych, z których cztery sygnały reprezentują pasma charakterystyczne: yd[i] (delta), yt[i]
(theta), ya[i] (alfa), yb[i] (beta), a sygnał y1[i] zawiera pozostałą część pasma sygnału
(częstotliwości powyżej pasma beta). Jest również możliwa powtórna rekonstrukcja sygnału
x[i] na podstawie uzyskanych sygnałów pasmowych, i to bez względu na wybraną falkę
macierzystą, co wynika bezpośrednio z właściwości transformaty falkowej (zdolność do tzw.
perfekcyjnej rekonstrukcji sygnału [14]). Z właściwości transformaty falkowej wynika
również budowa zastosowanych filtrów analizy h[i], g[i] i syntezy h’[i], g’[i] falkowej, które
zależą bezpośrednio od zastosowanej falki [14]. Różnice między poszczególnymi falkami
macierzystymi, a co za tym idzie i odpowiednimi filtrami, mogą być znaczne [8] i mogą one
dotyczyć zarówno charakterystyk częstotliwościowych filtrów (amplitudowej i fazowej), jak
i ich właściwości dynamicznych.
W układzie przedstawionym na rys. 5 można również zauważyć decymatory
i interpolatory rzędu 2, które są elementem typowym w układach filtracji pasmowej.
Ponieważ układy falkowej filtracji pasmowej zaliczają się do układów klasy filtr LTIdecymator/interpolator, więc ścieżkę sygnału dla każdego z pasm przedstawionych na rys. 5
można sprowadzić do postaci zredukowanej przedstawionej na rys. 4, co zostało szerzej
omówione w pracy [6]. Umożliwia to wyznaczenie uogólnionych wskaźników jakości filtracji
zdefiniowanych zależnościami (8), (9) i (10) dla każdego z pasm przedstawionych na rys. 5.
Badaniom poddano układ o strukturze przedstawionej na rys. 5, wykorzystujący falki
z rodziny Daubechies o rzędach od 1 do 10. Uzyskane wyniki dla uogólnionego wskaźnika
zniekształceń amplitudowych (8) przedstawiono na rys. 6.
100
x[i]
M. Lewandowski
g[i]
2
h[i]
2
g[i]
2
h[i]
2
g[i]
2
h[i]
2
g[i]
2
2
2
2
h[i]
analiza
2
g '[i]
y1[i]
2
g'[i]
2
h '[i]
yb[i]
2
g '[i]
2
h'[i]
2
h '[i]
ya[i]
g'[i]
2
h '[i]
2
h'[i]
2
h '[i]
yt[i]
h '[i]
2
h '[i]
2
h'[i]
2
h '[i]
yd[i]
selektywna synteza
wskaźnik zniekształceń
Rys. 5. Układ falkowej filtracji pasmowej sygnału EEG
Fig. 5. Wavelet multiband filtering system of an EEG signal
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
Zniekształcenia amplitudowe - falki Daubechies
1
2
3
delta
4
5
6
rząd falki
theta
alpha
7
8
9
10
beta
Rys. 6. Wyznaczone wartości wskaźnika EA dla falek Daubechies rzędu 1-10
Fig. 6. Calculated values of EA for Daubechies wavelets of order 1-10
Analizując wskaźnik zniekształceń amplitudowych przedstawiony na rys. 6, można zauważyć, że jest on multimodalną funkcją rzędu falki dla wszystkich podpasm sygnału.
Charakterystyczne jest, że stosunkowo najgorsze wyniki (największe zniekształcenia)
występują dla falek o rzędach 2 i 3 dla wszystkich pasm charakterystycznych. Tych
rozwiązań należy więc unikać przy wybieraniu rzędu zastosowanej falki.
Na rys. 7 przedstawiono wyznaczone wartości uogólnionego wskaźnika zniekształceń
fazowych E .
wskaźnik zniekształceń
[rad]
Uogólnione częstotliwościowe wskaźniki ...
101
Nieliniowość fazy - falki Daubechies
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
1
2
3
delta
4
5
6
rząd falki
theta
alpha
7
8
9
10
beta
Rys. 7. Wyznaczone wartości wskaźnika E dla falek Daubechies rzędu 1-10
Fig. 7. Calculated values of E for Daubechies wavelets of order 1-10
wskaźnik zniekształceń
Obserwując wskaźnik nieliniowości fazy przedstawiony na rys. 5, można zauważyć
łagodny trend wzrostowy wraz ze zwiększaniem się rzędu falki, przy czym widoczne są
wyraźnie lokalne wahania wartości wskaźnika. Zerowa wartość wskaźnika dla falki rzędu 1
daje się łatwo wytłumaczyć liniowością fazy filtrów dla falki Daubechies rzędu 1 [8].
Na rys. 8 przedstawiono wyznaczone wartości wskaźnika aliasingu międzypasmowego.
Aliasing międzypasmowy - falki Daubechies
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
1
2
3
delta
4
5
6
rząd falki
theta
alpha
7
8
9
10
beta
Rys. 8. Wyznaczone wartości wskaźnika EP dla falek Daubechies rzędu 1-10
Fig. 8. Calculated values of EP for Daubechies wavelets of order 1-10
W przypadku wskaźnika aliasingu międzypasmowego wartość wskaźnika jest
praktycznie niezależna od rzędu falki dla pasma delta i dla wszystkich przebadanych
102
M. Lewandowski
przypadków równa 1. Dla pozostałych podpasm wartość wskaźnika zniekształceń monotonicznie maleje wraz ze wzrostem rzędu falki.
5. WNIOSKI
Dzięki wykorzystaniu specyficznych właściwości układów klasy filtr LTI-decymator/interpolator, jakimi są: okresowość impulsowej funkcji przejścia oraz możliwość
sprowadzenia układu do tzw. postaci zredukowanej, możliwe było zdefiniowanie wskaźników
zniekształceń filtracji w sposób analogiczny, jak jest to możliwe dla układów LTI. Pozwala to
stosować podobny aparat matematyczny do oceny jakości filtracji układów tej klasy oraz
w podobny sposób interpretować uzyskane wyniki. Przedstawiony przykład analizy
zniekształceń filtracji dla układu falkowej filtracji pasmowej sygnałów EEG pokazuje, że
uzyskane wyniki mają podobną interpretację do tych, jakie pozwalają uzyskać wskaźniki
przedstawione w pracy [5] dla układów LTI.
BIBLIOGRAFIA
1. Antoniou A.: Digital Signal Processing – Signals, Systems and Filters. McGraw-Hill,
Canada, 2006.
2. Belmont M. R., Matthews J. J.: Generalized Frequency Responses Applied to Circuits
with Time Varying Elements. “IEE Proc. Circuits Devices and Systems.” 1995 Vol. 142,
p. 217-222.
3. D’Angelo H.: Linear Time Varying Systems. Analysis and Synthesis. Allyn and Bacon,
Boston 1970.
4. Huang R.S., Tsai L.L., Chung J.: Selection of Valid and Reliable EEG Features
for Predicting Auditory and Visual Alertness Levels. “Proc. Natl. Sci. Counc. ROC(B)”
2001, Vol. 25, No. 1, p. 17-25.
5. Lewandowski M., Walczak J.: Frequency domain distortion analysis of single level
multiband filtration system based on selected IIR filters, XXX IC-SPETO, Ustroń, Maj
2007 (Angielski), vol. II, s. 105-106.
6. Lewandowski M.: Wybrane metody filtracji pasmowej sygnałów. Praca doktorska.
Wydział Elektryczny Politechniki Śląskiej, Gliwice 2009.
7. Lewandowski M., Walczak J.: Application of wavelet transform to multiband EEG signal
decomposition. XXIX IC-SPETO, Ustroń, Maj 2006, vol. II, s. 357-360.
8. Misiti M., Misiti Y., Oppenheim, G. J., Poggi M.: Wavelet Toolbox. The MathWorks Inc.,
2001.
Uogólnione częstotliwościowe wskaźniki ...
103
9. Principe J.C., Smith J.R., Balakrishnan S.K., Paige A.: Microcomputer-Based Digital
Filters for EEG Processing. “IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal
Processing” 1979, Vol. ASSP-27, No. 6, p. 697-705.
10. Vaidyanathan P. P.: Multirate Systems and Filter Banks. Prentice Hall Signal Processing
Series, 1993.
11. Walczak J., Lewandowski M.: Porównawcza metoda oceny zniekształceń procesu filtracji
cyfrowej sygnałów niestacjonarnych. XXVIII IC SPETO, Ustroń, Maj 2005, vol. II,
s. 375-378.
12. Walczak J., Romanowska A.: Frequency Responses of the First Order LTV Section with
Exponentially Varying Parameter. Proceedings of XII Conference ZKwE 2007, Poznań,
kwiecień 2007.
13. Walczak J., Lewandowski M.: Multiband decomposition of EEG signals. X Konferencja
ZKwE, Poznań, Kwiecień 2005 (Angielski), s. 137-138.
14. Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów od teorii do zastosowań. WKŁ,
Warszawa 2005.
Dr inż. Michał LEWANDOWSKI
Politechnika Śląska
Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
Tel. (32) 237-10-18; e-mail [email protected]