{x1,x2,x3,x4,x5} oraz (a) I

IiE
Matematyka Dyskretna 2
Lista 4
1. Sprawdzić, czy (E, I) jest matroidem, jeżeli E = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } oraz
(a) I = {∅, {x1 }, {x2 }, {x3 }, {x1 , x2 }, {x2 , x3 }, {x1 , x3 }, {x1 , x4 }},
(b) I = {∅, {x1 }, {x2 }, {x3 }, {x4 }, {x1 , x2 }, {x1 , x3 }, {x2 , x3 }},
(c) I = {∅, {x1 }, {x2 }, {x3 }, {x1 , x2 }, {x1 , x3 }},
(d) I = {∅, {x1 }, {x2 }, {x3 }, {x4 }, {x5 }, {x1 , x2 }, {x1 , x4 }, {x1 , x5 }}.
2. We wszystkich przykładach z poprzedniego zadania, które są matroidami, opisać bazy, zbiory zależne,
cykle, rangę zbioru A = {x1 , x2 , x5 }.
3. Sprawdzić, czy jeżeli φ = {D1 , . . . , Ds } jest dowolnym podziałem skończonego zbioru E oraz I = {A ⊆
E : |A ∩ Di | ¬ 1 dla wszystkich i = 1, . . . , s}, to (E, I) jest matroidem.
4. Udowodnić, że jeżeli element należy do każdej bazy matroidu, to nie należy do żadnego cyklu tego
matroidu.
5. Niech M = (E, I) będzie matroidem. Pokazać, że dla X ⊆ E i x, y ∈ E zachodzi
r(X ∪ {x}) = r(X ∪ {y}) = r(X) ⇒ r(X ∪ {x, y}) = r(X).
6. Dane są multigrafy G = (V, E) oraz zbiory Ai ⊆ E, i = 1, 2, 3:
(a) V = {1, 2, 3, 4}, E = {e1 = {1, 2}, e2 = {1, 4}, e3 = {2, 3}, e4 = {2, 4}, e5 = {2, 4}, e6 = {3}, e7 =
{3, 4}}, A1 = {e1 , e4 , e6 }, A2 = {e4 }, A3 = {e3 , e4 , e5 , e6 , e7 },
(b) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E = {e1 = {1}, e2 = {2, 3}, e3 = {2, 4}, e4 = {2, 5}, e5 = {6, 7}}, A1 =
{e1 , e5 }, A2 = {e3 , e4 }, A3 = {e1 , e2 , e5 },
(c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {e1 = {1}, e2 = {1, 2}, e3 = {1, 6}, e4 = {1, 6}, e5 = {2, 3}, e6 =
{2, 4}, e7 = {2, 5}, e8 = {2, 6}, e9 = {5, 6}}, A1 = {e1 , e2 , e3 }, A2 = {e1 , e2 , e9 }, A3 = {e2 , e5 , e6 }.
Wyznaczyć:
• B(M (G)), C(M (G)), r(Ai ),
• B(M ∗ (G)), C(M ∗ (G)), r∗ (Ai ).
7. Sprawdzić, czy prawdziwe są stwierdzenia:
• Grafy G1 i G2 są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy M (G1 ) = M (G2 ).
• Jeżeli G∗ jest grafem abstrakcyjnie dualnym do G, to M ∗ (G) = M (G∗ ).
• Matroid Fano jest matroidem grafowym.
8. Sprawdzić, czy matroid Uk,n = (E, I), gdzie |E| = n, I = {X ⊆ E : |X| ¬ k} jest matroidem
grafowym dla
(a) k = 2, n = 4,
(b) k = 3, n = 5.
9. Zastosować algorytm zachłanny do wyznaczenia zbioru niezależnego matroidu M (G) o największej
wadze, jeżeli G = (V, E), gdzie V = {1, . . . , 8},
E = {{1, 2}, {1, 7}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 8}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 7}, {5, 7}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 8}}
oraz w({1, 2}) = 5, w({1, 7}) = 5, w({1, 8}) = 3, w({3, 2}) = 6, w({4, 2}) = 1, w({8, 2}) = 1,
w({3, 4}) = 2, w({4, 5}) = 4, w({4, 7}) = 4, w({5, 7}) = 7, w({6, 7}) = 3, w({6, 8}) = 3, w({7, 8}) = 5.
1
10. Niech V będzie zbiorem wierzchołków grafu G. Dla X ⊆ V , X ∈ I wtedy i tylko wtedy, gdy X jest
zbiorem niezależnym w grafie G. Sprawdzić, czy (V, I) jest matroidem.
11. Miasta A, B, C, D, E, F, G pewnego województwa połączone są siecią dróg (w nawiasach podane są odległości w kilometrach): AB(11), AD(13), BC(10), AC(10), CE(8), GE(24), CD(12), BG(4), GF (10),
AF (22), DF (5), EF (9). Postanowiono wyremontować możliwie najmniej kilometrów dróg tak, aby
można było dojechać z dowolnego miasta do dowolnego innego wyremontowaną drogą. Jak zaplanować optymalnie, z punktu widzenia celu, remont dróg i ile jest możliwych optymalnych rozwiązań?
12. Dany jest graf G = (V, E) i funkcja wagi ω : E → R+ . Wyznaczyć (dla grafów z podpunktów (a) i
(b)), zbiór rodziny J o największej wadze (używając algorytmu zachłannego). Czy wyznaczony zbiór
jest najlepszym możliwym rozwiązaniem dla określonego celu? Uogólnić odpowiedź na wszystkie grafy
z tak określonymi rodzinami J , gdzie
(1) J jest rodziną zbiorów krawędzi grafu G indukujących lasy plus zbiór pusty;
(2) J jest rodziną zbiorów krawędzi niezależnych w grafie G plus zbiór pusty.
(a) V = {1, 2, . . . , 7}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}} oraz
ω({1, 2}) = 1, ω({1, 3}) = 2, ω({1, 4}) = 1, ω({2, 3}) = 1, ω({3, 4}) = 2, ω({3, 6}) = 3, ω({4, 5}) =
3, ω({5, 6}) = 3, ω({5, 7}) = 4, ω({6, 7}) = 5.
(b) V = {1, 2, . . . , 7}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 7}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 5}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}},
ω({1, 2}) = 3, ω({1, 3}) = 10, ω({1, 7}) = 5, ω({2, 3}) = 5, ω({2, 4}) = 3, ω({3, 4}) = 4,
ω({3, 6}) = 7, ω({3, 7}) = 6, ω({4, 5}) = 1, ω({5, 6}) = 4, ω({5, 7}) = 6, ω({6, 7}) = 5.
2