Matematyka dyskretna – zadanie szóste

Matematyka dyskretna – zadanie szóste
Sebastian Lisiewski
14 kwietnia 2011
Definicja 1. Podgraf grafu nazwiemy doskonałym, jeżeli stopień każdego jego wierzchołka jest parzysty oraz zawiera wszystkie wierzchołki początkowego grafu.
Zasadniczo dowód będzie składał się z dwóch części - wykazania tezy dla wszystkich drzew oraz kroku indukcyjnego po liczbie krawędzi przy ustalonej ilości wierzchołków.
1. Wykazanie tezy dla drzew
Dla n = 1 teza jest oczywista – załóżmy teraz zatem, że n > 1. Każde drzewo
ma jakiś liść – jakby się uprzeć, to wynika to chociażby z lematu o uściskach
dłoni (gdyby każdy wierzchołek miał stopień ­ 2, to z owego lematu krawędzi
byłoby ­ n wbrew temu, że każde drzewo ma krawędzi n − 1). Zatem w każdym
podgrafie doskonałym naszego grafu ten liść musi mieć stopień zero (liczba parzysta nie większa od stopnia wierzchołka). Po usunięciu krawędzi wychodzącej
z liścia mamy jeden wierzchołek izolowany oraz drzewo o n − 1 wierzchołkach,
zatem rekurencyjnie otrzymujemy, że jedynym podgrafem doskonałym drzewa
n-wierzchołkowego jest n-wierzchołkowy graf pusty – po podstawieniu m = n−1
do wzoru z treści zadania dostajemy prawdziwość tezy.
2. Indukcja po liczbie krawędzi.
Ustalmy dowolne n naturalne i załóżmy, że mamy tezę wykazaną dla każdego
grafu o m < k wierzchołkach, gdzie k ­ n. Wykażemy ją teraz dla każdego grafu
G o m = k wierzchołkach.
Ponieważ k > n − 1, G nie jest drzewem i istnieje w nim jakiś cykl U . Weźmy
zatem dowolną krawędź u z tego cyklu. Nie korzystając z niej jesteśmy w stanie
utworzyć 2k−1−n+1 podgrafów doskonałych (usunięcie krawędzi z cyklu nie rozspójnia grafu). Teraz pozostaje wskazać bijekcję między wyżej wymienionymi
podgrafami doskonałymi, a podgrafami doskonałymi zawierającymi krawędź u.
Robimy to bardzo prosto – dla każdego podgrafu doskonałego bierzemy podgraf
będący różnicą symetryczną jego oraz cyklu U . Jest to bijekcja, ponieważ różnica
symetryczna jest łączna, oraz X ÷ X = ∅ i X ÷ ∅ = X, czyli odwzorowanie to jest
odwrotne samo do siebie. Obrazem podgrafu doskonałego jest obraz doskonały
z uwagi na następujące rozpisanie rodem z gimnazjum:
• odwzorowanie to nie zmienia krawędzi incydentnych z wierzchołkami nie
leżącymi na U (brak zmiany stopnia)
• wierzchołek incydentny z dwiema krawędziami z cyklu nie będzie incydentny z żadną z krawędzi cyklu (zmniejszenie stopnia o 2)
• wierzchołek który nie jest incydentny z żadną z krawędzi cyklu i leży na tym
cyklu będzie incydentny z dwiema krawędziami cyklu (zwiększenie stopnia
o 2)
1
• wierzchołek który jest indcydentny z jedną z krawędzi cyklu będzie incydentny z drugą z tych krawędzi cyklu, z którymi był incydentny w G (brak
zmiany stopnia)
Odwzorowanie zmienia stopnie wierzchołków jedynie o liczby parzyste zatem
obrazem grafu doskonałego jest graf doskonały. To z kolei oznacza, że podgrafów doskonałych grafu G zawierających u jest tyle samo, co niezawierających u.
Łącznie mamy zatem 2 · 2k−1+n+1 = 2k−n+1 = 2m−n+1 podgrafów doskonałych,
czyli tezę.
2