Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z

Transkrypt

WARSZTATY z cyklu „Zagrożenia naturalne w górnictwie”
____________________________________________________________________________
Mat. Symp. str. 245 – 259
Joanna KURZEJA
Główny Instytut Górnictwa, Katowice
Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej
z eksploatowanego pokładu węgla
Streszczenie
Celem pracy jest przedstawienie i analiza podstawowych pojęć z zakresu sejsmoakustycznej prognozy zagrożenia sejsmicznego w oparciu o postulat jedności emisji sejsmologicznej i sejsmoakustycznej. Począwszy od definicji zagrożenia sejsmicznego kolejno przedstawiono podstawy teorii prognozy, stosowane w niej metody oraz modele ze szczególnym
uwzględnieniem teorii wienerowskiej prognozy.
1. Wstęp
1.1. Struktura i cel pracy
Praca ta zaprojektowana została jako część pierwsza dwuczęściowego cyklu opisującego
podstawy oraz wyniki stosowania najprostszych, klasycznych metod prognozy szeregów
czasowych – w zagadnieniu bieżącej (sekwencyjnej, realizowanej co t, na przykład co
godzinę) prognozy energii (AE + wstrząsów, dalej zwanej energią łączną) emitowanej
z obserwowanego obszaru (S) górotworu. Część drugą stanowi towarzyszący tej pracy artykuł
J. Kornowskiego (dalej określany jako „Cz. 2”) gdzie przedstawiono wyniki stosowania
opisanych tu metod.
Zadanie, które rozwiązujemy nie jest wprawdzie identyczne z klasyczną prognozą miejsca,
czasu i energii „nadchodzącego” wstrząsu, lecz jest od niej niezbyt odległe, użyteczne
(informacja o tym, że w nadchodzącej godzinie, w obserwowanej ścianie, ze znacznym
prawdopodobieństwem nastąpi emisja łącznej energii E  104 J jest niemal równie użyteczna
jak informacja o nadchodzącym wstrząsie 104 J) i znacznie łatwiejsze.
Nim przejdziemy do zagadnienia prognozy celowy jest jeszcze krótki komentarz o energii
i jej związku z zagrożeniem, przy czym energią łączną określoną w przedziale czasu
t nazywana jest sumaryczna energia emisji sejsmoakustycznej i wstrząsów w t.
1.2. Zagrożenie
Będące przedmiotem naszego zainteresowania zagrożenie w literaturze z zakresu geofizyki
górniczej pojawia się z dodatkowymi określeniami takimi jak tąpania, wstrząsy, a od
kilkunastu lat powszechnie używa się pojęcia „zagrożenie sejsmiczne” i jest ono jednym
z zagrożeń naturalnych związanych z eksploatacją podziemną. W sejsmologii górniczej
najogólniej definicję zagrożenia sejsmicznego Z [(t, t + t), (E1, E2 ), SIt ] w ramach teorii
____________________________________________________________________________
245
J. KURZEJA – Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego...
____________________________________________________________________________
procesów punktowych z energią przedstawia się jako prawdopodobieństwo wystąpienia
w przedziale czasu i przestrzeni [(t, t + t), S], zdarzenia o energii E1 < E < E2, określone
biorąc pod uwagę całą dostępną, a dotyczącą tego zagadnienia informację I t. Definicja ta
jednak nie umożliwia obliczeń (nie jest konstruktywna) dopóki nie określimy dokładniej zbioru
It. W praktyce sejsmologicznej ciąg wstrząsów traktowany jest jako proces punktowy bez
istotnej autokorelacji i wówczas posługujemy się:
 warunkową intensywnością zagrożenia („zagrożenie chwilowe”):
 [t, (E1, E2), S] = [1 - F(t)] -1 g(t)
(1.1)
gdzie:
F(t) jest dystrybuantą, a g(t) gęstością rozkładu prawdopodobieństwa odstępów czasu T dla
ciągów zdarzeń w przedziale energii E1 < E < E2.
Dla procesu Poissona, gdzie  jest intensywnością procesu punktowego:
 [t, (E1, E2), S] =  [t, (E1, E2), S]
(1.2)
 zagrożeniem przedziałowym Z [(t, t+Δt), (E 1, E2), S], określonym na podstawie dostępnej
w chwili t, informacji (że T ≥ t) zdefiniowanym jako warunkowe prawdopodobieństwo
wystąpienia w [(t, t+Δt), S] zdarzenia o energii E1 < E < E2:
Z[(t, t+Δt), (E1, E2), S] = [1 – F(t)] -1
t  Δt
 g(t)dt
(1.3)
t
przy czym dla procesu Poissona:
Z[(t, t+Δt), (E1, E2), S] = 1 – e-λ·Δt
(1.4)
Definicje powyższe są użyteczne w sytuacji gdy brak jest istotnej korelacji w badanych
ciągach zdarzeń co jest typowe dla wystarczająco silnych wstrząsów górniczych (Lasocki 1995
stwierdza, że „Rozkład częstości występowania wstrząsów... jest rozkładem Poissona”).
Równocześnie jednak obserwacje nasze (Kornowski i Kurzeja 2000) prowadzą do wniosku,
że w przypadku ścian niezbyt silnie zagrożonych godzinowe ciągi energii łącznej są
skorelowane (tzn. autokorelacja r() jest istotnie różna od zera dla  > 0) co umożliwia
odmienne podejście do zagadnienia.
Wychodząc z założenia jedności oraz addytywności energii zdarzeń AE i wstrząsów
sformułowano sejsmoakustyczną definicję zagrożenia sejsmicznego (Kornowski 2002) w następujący sposób: zagrożeniem sejsmicznym ZAE [(t, t + t), E1, S] określonym metodą
sejsmoakustyczną, czyli na podstawie dostępnej w chwili t informacji o historii procesu
emisji (łącznej) oraz, być może innych, skorelowanych z emisją procesów nazywamy
prawdopodobieństwo przewyższenia w [(t, t + t), S] poziomu E1 przez łączną energię AE
i lokalnych wstrząsów:
0  ZAE [(t, t + t), E1, S] = P [E(t, t+t, S)  E1 ]  1
(1.5)
gdzie:
t – jest jednostką czasu dyskretnego, a wartość E1 jest narzucana przez wymogi
bezpieczeństwa i ekonomiki produkcji.
____________________________________________________________________________
246
____________________________________________________________________________
Od sejsmologicznych definicji zagrożenia definicja ta różni się tylko inną postacią
informacji It – należy jednak pamiętać, że prognoza dotyczy zagrożenia, które jest zmienną
ciągłą – a nie punktowego zdarzenia (wstrząsu).W ten sposób zdefiniowane zagrożenie jest
możliwe do optymalnej estymacji wraz z przedziałami ufności na podstawie przyjętego modelu
szeregu czasowego i dostępnej informacji (zawartej w autokorelacji obserwowanych wartości
energii łącznej). Zauważmy, że ZAE z definicji dotyczy (skończonego lub nieskończonego)
przedziału energii. Prognoza punktowa, choćby najbardziej wiarygodna, zrealizuje się z prawdopodobieństwem zerowym, jest więc użyteczna tylko w badaniach porównawczych.
1.3. Energia sejsmiczna
Energia sejsmiczna jest w geofizycznej (sejsmologicznej i sejsmoakustycznej) ocenie
zagrożenia istotnym parametrem fizycznym. Charakteryzuje ona procesy niszczenia struktury
górotworu oraz przemiany energetyczne zachodzące w ognisku wstrząsu. Jest ona jedyną
mierzalną formą energii związanej z procesem niszczenia struktury ośrodka skalnego i stanowi
od około 1% do około 0,1% całkowitej wydzielonej energii (Dubiński i Konopko 2000).
Mówiąc o energii AE mamy na myśli energię tak zwanego dalekiego pola falowego (Kaliski
1966; Aki i Richards 1980). Sposób estymacji energii zdarzeń sejsmoakustycznych został
przyjęty z sejsmologii (np. Dubiński i Wierzchowska 1973).
Energia, którą bezpośrednio mierzy się czujnikiem to używając poprawnego określenia
gęstość powierzchniowa energii (energia przepływająca przez jednostkę powierzchni) czyli
scałkowana po czasie powierzchniowa gęstość strumienia mocy. Całkując tę wielkość po
powierzchni otrzymujemy wzór na energię w jednostkach mianowanych czyli dżulach.
W ośrodku jednorodnym bez absorbcji możemy przyjąć, że
t2
E = 4 πr2ςv  u 2(t)dt (J)
(1.6)
t1
gdzie:
r, , v, u – to odpowiednio odległość od źródła, gęstość ośrodka, prędkość fali, chwilowa
prędkość drgającej cząstki), a w pokładzie o miąższości h, między warstwami odbijającymi.
t2
E = 2πrhςv  u (t)dt (J)
(1.7)
t1
Rejestrowana przez systemy geofizyki górniczej energia w określonej jednostce czasu
T (np. „energia godzinowa”) jest sumą energii zdarzeń zaobserwowanych w tej jednostce czasu
i stanowi aproksymację intensywności energii, którą definiujemy jako:
e(t) = lim T-1
 e(i)
(1.8)
iT
T0
tzn. granicę ilorazu długości przedziału T i sumarycznej energii zdarzeń zaobserwowanej
w tym przedziale czasu. W praktyce najmniejszą jednostką czasu T jest jedna godzina, ale
używa się też T = 8 godzin i wówczas mówimy o „energii zmianowej”.
____________________________________________________________________________
247
____________________________________________________________________________
2. Prognoza – podstawy
2.1. Najważniejsze pojęcia
Teoria prognozy (przewidywania) zakłada, że zjawiska (przyrodnicze, ekonomiczne)
zawsze mają swe przyczyny i niektóre objawy tych przyczyn mogą być zaobserwowane
i wykorzystane do prognozy. Stąd teoria prognozy chętnie zajmuje się ciągami zjawisk usiłując
na podstawie zjawisk minionych wnioskować o zjawiskach przyszłych.
Modele i związane z nimi metody prognozy można podzielić na (np. Kornowski 2002):
– matematyczno–statystyczne, usiłujące możliwie wiernie opisać przebieg procesu, bez wnikania w jego fizyczne znaczenie, posługując się metodami teorii procesów punktowych lub
szeregów czasowych (zwykle tak zwanymi modelami Boxa-Jenkinsa (Box i Jenkins 1970)),
– objaśniające (strukturalne, fizycznie motywowane), często postulujące, iż proces obserwowany składa się z trendu, składowych cyklicznych/sezonowych (nie muszą one być
okresowe w sensie matematycznym) i składowej nieregularnej lub wykorzystujące tak
zwane równanie stanu, które (w uproszczony sposób) opisują fizyczny mechanizm prognozowanego procesu.
Istnieją również metody powstałe z połączenia powyższych np. najpierw stosuje się
usunięcie trendu i składowych cyklicznych, a następnie do prognozy tak przygotowanego
szeregu stosuje się model Boxa-Jenkinsa.
Ze względu na częstość/równomierność występowania zdarzeń zbiór obserwacji możemy
traktować albo jako proces punktowy albo jako szereg czasowy. Rozróżnienie tych pojęć
stanowi wyjście do stosowania odpowiednich metod prognozy. Proces losowy punktowy
występuje wtedy gdy zdarzenia nie są częste w porównaniu z czasem prognozy oraz występuje
brak istotnej korelacji. Teorią procesów punktowych zajmuje się Cox i Lewis (Cox i Lewis
1966) oraz Vere-Jones (Vere-Jones 1970), który przedstawia jej zastosowanie do badania
trzęsień ziemi. Typowym przykładem procesu punktowego jest ciąg czasów wystąpienia
wstrząsów górniczych o którym wiadomo, że autokorelacja jest nieistotna tzn. prawie zerowa
(co wykazano między innymi w publikacjach Kornowski i Kurzeja 2000). Zatem – jak
wspomniano poprzednio – stacjonarny proces Poissona jest najprostszym modelem ciągu
wstrząsów sejsmicznych.
Przykładem szeregu czasowego jest ciąg utworzony z rejestracji sejsmoakustycznych bądź
aktywności bądź energii [w kopalniach prowadzi się obserwacje sejsmoakustyczne w oknie
jedno- i ośmiogodzinowym (zmianowym)]. Badając autokorelacje tak sformułowanych szeregów czasowych (aktywności oraz energii) otrzymano wyniki potwierdzające występowanie
istotnej autokorelacji.
Posługiwanie się procesem emisji łącznej wymaga uprzedniego wprowadzenia pojęcia
„ciągłego procesu emisji” (CPE) będącego sumą (logarytmicznych) energii emisji
sejsmoakustycznej (AE) i wstrząsów. Jest to równoznaczne z uznaniem „jedności emisji”
sejsmoakustycznej i sejsmicznej (Kornowski 2002) nazywa to „postulatem jedności emisji”,
która w określonym obszarze czasu i przestrzeni wymuszana jest jednym wspólnym polem
naprężenia (tzn. to samo pole naprężenia wymusza proces niszczenia skały zatem zarówno AE
jak i wstrząsy, patrz rys. 2.1.). CPE może być widziany zarówno jako proces zdarzeń
dyskretnych jak i jako proces ciągły: dla naszych celów wygodna jest interpretacja CPE jako
procesu ciągłego, gdyż umożliwia to (w praktyce górniczej) traktowanie okresowo (np. co
godzinę) otrzymywanych wartości „aktywności” lub „energii” jako okresowo próbkowanych
____________________________________________________________________________
248
____________________________________________________________________________
wartości ciągłego CPE. Umożliwia to wygodne posługiwanie się metodami teorii szeregów
czasowych (np. prognozą liniową, modelem autoregresji itp.).
pole naprężenia 
modyfikowane procesem
wydobycia
lepkosprężysto
– kruchy górotwór
w którym wzrastają
pęknięcia gdy
l > kr
ciągły proces emisji
(AE + wstrząsy)
Rys. 2.1. Emisja łączna (AE + wstrząsów) jako odpowiedź górotworu na wymuszenie 
(l oznacza naprężenie lokalne)
Fig.2.1. AE and mining tremors activity as a rock mass response on  stress
Rysunek 2.1. przedstawia najprostszy ale i najważniejszy w sejsmoakustyce model –
którym jest górotwór generujący emisję (CPE) w odpowiedzi na wymuszenie naprężeniem
 – przy czym pole naprężenia jest modyfikowane przesuwającym się frontem eksploatacji –
zatem procesem skrawania.
Oczywistym warunkiem użyteczności pojęcia emisji łącznej i CPE jest addytywność
energii wstrząsów i zdarzeń AE. Energie te muszą być wyrażane w tych samych
jednostkach fizycznych (dżulach, J).
Obserwowane w praktyce szeregi czasowe (godzinowej aktywności i/lub energii łącznej)
mogą być traktowane jako realizacje procesu stochastycznego. W każdej dyskretnej chwili
ti = i · Δt (i = 1, 2, 3...) proces ten określony jest rozkładem gęstości prawdopodobieństwa –
a w praktyce parametrami tego rozkładu. Zakładając [co nie jest odległe od rzeczywistości –
patrz (Kornowski 2002)] rozkład normalny wokół wartości prognozowanej i dysponując
algorytmem prognozy liniowej, który w każdej chwili t i = i · Δt (i = 1, 2, 3...) określa zarówno
punktową wartość prognozowaną, ~
x(t  1) , jak i wariancję błędu prognozy, s2(i+1), mamy
pełny opis probabilistyczny prognozowanej zmiennej losowej x(i+1) – na przykład energii
emisji łącznej [ ~
x(t  1) jest wartością średnią rozkładu (wartości prognozowanej) i najbardziej
prawdopodobną punktową wartością zmiennej losowej x(i+1)].
Jest oczywiste, że w przypadku rozkładu normalnego, znając średnią i wariancję
możemy określić dowolne przedziały ufności dla prognozy [dla wartości x(i+1)] a także
prawdopodobieństwo przekroczenia przez energię x(i+1), dowolnego progu energetycznego E1 określającego ZAE zgodnie z definicją w p. 1.2.
W ten sposób model skorelowanego CPE umożliwia formalną prognozę dobrze zdefiniowanego zagrożenia sejsmicznego ZAE, a przykłady przedstawiono w Cz. 2.
Kolejnym warunkiem użyteczności CPE (i sejsmoakustyki) jest stopniowy charakter
procesu niszczenia skały taki, w którym „pęknięcie główne” (wstrząs) poprzedzone jest
licznymi (na ogół znacznie mniejszymi) pęknięciami poprzedzającymi, obserwowalnymi
właśnie jako AE. Jak przyjmuje się w literaturze (np. Mogi 1967; Kwaśniewski 1996 a, b;
Takuska-Węgrzyn 2001) emisja akustyczna poprzedza pęknięcie główne przede wszystkim
w skałach wysoce niejednorodnych – a taką właśnie jest węgiel. Fakt ten dobrze rokuje
metodom sejsmoakustycznym stosowanym w pokładzie węgla.
Zagadnienie autokorelacji r() w ciągach obserwacji (godzinowej) energii wstrząsów
sejsmicznych, a także w ciągach (godzinowej) energii łącznej ilustrują rysunek 2.2. i 2.3. Na
rysunku 2.2. pokazano dwa pięciotygodniowe ciągi godzinowych (logarytmicznych) energii
wstrząsów (wiersz 1 – z rejonu słabo zagrożonego i wiersz 3 – z rejonu silnie zagrożonego
____________________________________________________________________________
249
____________________________________________________________________________
tąpaniami), a pod każdym z nich (od lewej): funkcję autokorelacji r(), histogram energii
N(log E), oraz widmo S(T) = S(1/f) gęstości mocy ciągu godzinowych energii.
Należy zauważyć, że:
– zarówno dla obserwacji z rejonu słabo zagrożonego jak i silnie zagrożonego, autokorelacja
godzinowych log – energii wstrząsów jest nieistotna a widma są płaskie, skąd wynika, że
prognozowanie godzinowej energii sejsmicznej (tzn. wstrząsów) na podstawie jej minionych wartości jest niecelowe;
– w rejonie słabo zagrożonym energia wstrząsów nie przekracza wartości 104 J, a intensywność procesu wstrząsów – wartości 1/dobę; w rejonie silnie zagrożonym zarówno energia
pojedynczego wstrząsu jak i intensywność ciągu wstrząsów są (średnio) o rząd większe.
Na rysunku 2.3. pokazano – odpowiadające ciągom wstrząsów z rysunku 2.2. – pięciotygodniowe ciągi godzinowej logarytmicznej energii łącznej {log (E AE + EWS +1), przy czym
1 dodaje się by uniknąć - gdy EAE + EWS = 0} z rejonu słabo zagrożonego (wiersz 1) i silnie
zagrożonego (wiersz 3), pod każdym z tych ciągów pokazując jak w przypadku rysunku 2.2.,
autokorelację, histogram i widmo.
6
logE
4
2
0
48
t[h]
96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 768 816
r()
0.5
0
-0.5
10

0
6
logE
4
2
0
48
200
400
0 S(T)[dB]
N(logE)
5
0
2
4
6
logE
12
T[h]
6
t[h]
100

0
4824
96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 768 816
r()
r()
0.5
0
-0.5
-50
200
400
0 S(T)[dB]
N(logE)
50
0
logE
2
4
6
-50
4824
12
T[h]
6
Rys. 2.2. Dwa pięciotygodniowe ciągi godzinowych (logarytmicznych) energii wstrząsów wiersz
1 – z rejonu słabo zagrożonego ZG „Piekary” ść. 331/510,
wiersz 3 – z rejonu silnie zagrożonego tąpaniami KWK „Wesoła” ść. 37/501.
Pod każdym z nich (od lewej): funkcję autokorelacji r(), histogram energii N(log E), oraz widmo
S(T) = S(1/f) gęstości mocy ciągu godzinowych energii
Fig. 2.2. Two five-weeks of hourly observations of tremors energy
Zauważyć należy, że:
– ciąg obserwacji (CPE) z rejonu słabo zagrożonego wykazuje zdecydowaną autokorelację,
w której odnaleźć można okres tygodniowy (168 godz.) jak i 12 – godzinny; te same okresy
odnaleźć można w widmie – zapewnia to możliwość liniowej prognozy (godzinowych
____________________________________________________________________________
250
____________________________________________________________________________
wartości) energii CPE na podstawie ich minionych wartości, a przykłady pokazano w Cz. 2.
Ciąg energii (CPE) z rejonu silnie zagrożonego wykazuje znikomą autokorelację tylko
o okresie tygodniowym, co źle rokuje próbom liniowej prognozy;
– w rejonie słabo zagrożonym godzinowa logarytmowana energia AE oscyluje wokół
wartości 2 (tzn. średnia godzinowa energia AE wynosi około 1102 J), a w rejonie silnie
zagrożonym mieści się miedzy wartościami 2 a 3 (tzn. średnia godzinowa energia AE
wynosi około 5102 J) jest więc co najmniej o pół rzędu większa.
6
logE
4
2
0
48
t[h]
96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 768 816
r()
0.5
0
-0.5
100 N(logE)

0
6
logE
4
2
0
48
200
400
0
logE
2
4
-50
6
4824
12
T[h]
6
t[h]
100 N(logE)

0
50
96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 768 816
r()
0.5
0
-0.5
0 S(T)[dB]
200
400
0 S(T)[dB]
50
0
logE
2
4
6
-50
4824
12
T[h]
6
Rys. 3.2. Dwa pięciotygodniowe ciągi godzinowych (logarytmicznych) energii wstrząsów + AE
wiersz 1 – z rejonu słabo zagrożonego ZG „Piekary” ść. 331/510,
wiersz 3 – z rejonu silnie zagrożonego tąpaniami KWK „Wesoła” ść. 37/501.
Pod każdym z nich (od lewej): funkcję autokorelacji r(), histogram energii N(log E), oraz widmo
S(T) = S(1/f) gęstości mocy ciągu godzinowych energii
Fig. 3.2. Two five – weeks of hourly observations of AE and tremors energy
2.2. Rozdzielczość w czasie oraz błąd statystyczny
W literaturze spotykamy się z podziałem prognozy zagrożenia sejsmicznego metodą
sejsmologiczną w zależności od przyjętego horyzontu czasowego (Lasocki 1994; Dubiński
i Konopko 2000) na:
– długookresową – dotyczy określania sejsmiczności na etapie prac projektowych,
– średniookresową – prowadzona w trakcie prac eksploatacyjnych i związania jest często
z jednym wyrobiskiem,
– krótkookresową – podobnie jak średniookresowa z tym, że dotyczy jeszcze krótszego
odcinka czasu,
– alarm – ostrzega przed wystąpieniem zjawiska niszczącego, może doprowadzić do
ewakuacji załogi.
____________________________________________________________________________
251
____________________________________________________________________________
Przedmiotem zainteresowania sejsmoakustyki są tylko te dwa ostatnie przypadki. Choć
w teorii może być dłuższy, w praktyce horyzont użytecznej prognozy Z AE ograniczony jest
zwykle do jednej jednostki czasu dyskretnego i taka też jest granica rozdzielczości czasowej tej
metody. Oznacza to, że obserwując, analizując i prognozując CPE okresowo co t (np. co
godzinę) mamy znikome szanse zauważenia lub wyprognozowania zjawisk, których
obserwowalny czas rozwoju (np. czas narastania AE przed wstrząsem) jest znacznie krótszy
od t. Mimo, że skrócenie t (np. do 15 minut) zwiększa pracochłonność obsługi systemów
sejsmoakustycznych zatem wzbudza zrozumiałą niechęć zainteresowanych, w miarę rozwoju
metod i programów automatycznej analizy i prognozy zagadnienie to w nieuchronny sposób
nabierać będzie coraz większej wagi.
Kolejnym ważnym zagadnieniem, które musi być tu wspomniane jest różnica pomiędzy
optymalnością, a użytecznością prognozy. Jest zrozumiałe, że użytkownicy naszych prognoz
(np. górnicy) chcieliby otrzymywać prognozy dokładne, czyli po prostu takie, które się
dokładnie sprawdzają. Niestety sama natura procesów stochastycznych (do których należy
proces emisji, CPE) powoduje, że możliwa jest tylko prognoza probabilistyczna (prognozą
probabilistyczną nazywamy prognozę, której wynik x(i+1) jest zmienną losową określoną
rozkładem prawdopodobieństwa): na najbliższą jednostkę czasu t prognozować można tylko
parametry rozkładu gęstości prawdopodobieństwa (i przedziały ufności, które stąd wynikają)
dla energii, która wyemitowana zostanie w tym okresie. Prognoza punktowa – jak wspomniano
– ma zerową szansę realizacji. Zagadnienie to łatwo zilustrować można na przykładzie szumu
białego N(0, s2) mimo, że użytkownik chciałby otrzymać prognozę, „która się sprawdzi”,
najlepsze co może zrobić to podać prognozę optymalną (którą jest zero) i użyteczne  – procentowe przedziały ufności. Niestety, niezadowolenie użytkownika lub zmiana metody nic tu
dać nie może.
2.3. Fundamentalny charakter postulatu jedności emisji
Postulat jedności emisji (Kornowski 2002) wiąże emisję sejsmoakustyczną (AE) z sejsmiczną (tzn. ze wstrząsami), uzasadniając to wspólnym wymuszeniem () działającym na ten
sam, pękający (albo w formie rozwoju małych pęknięć – co generuje AE – albo w formie
dużych, czasem wielkich szczelin co obserwowane jest jako wstrząsy) górotwór.
Należy więc bardzo wyraźnie podkreślić, że postulat ten – niezbędny dla logicznego
uzasadnienia związku AE z sejsmologią – wymaga by obserwowana emisja AE
i obserwowane wstrząsy pochodziły z tego samego, jak najmniejszego obszaru. Im
mniejszy jest ten obszar tym bardziej prawdopodobny jest związek między AE i wstrząsami.
Im odleglejsze są źródła AE od źródeł wstrząsów tym bardziej wątpliwy staje się związek
między nimi, a zatem i możliwość prognozy zagrożenia sejsmicznego na podstawie obserwowanej AE. W praktyce oznacza to, że prędzej czy później niezbędna okaże się jakaś forma
lokalizacji lub rejonizacji (Pilecki 1990) źródeł sejsmoakustycznych.
Jak się wydaje w przypadku sejsmoakustycznej obserwacji za pomocą czujników umieszczonych w pokładzie, zdecydowana większość obserwowanych impulsów (zdarzeń AE)
pochodzi z tego pokładu (z obserwowanej ściany, ograniczonej frontem eksploatacji i chodnikami przyścianowymi). Nie potrafimy obecnie powiedzieć jak daleko – w pionie od pokładu
mogą być źródła wstrząsów by można było mówić o ich związku z obserwowaną w pokładzie
emisją AE. Być może nieco inna jest sytuacja gdy emisję AE wykorzystać chcemy do oceny
zagrożenia sejsmicznego (bez prognozy lub utożsamiając prognozę z oceną) od sytuacji gdy
____________________________________________________________________________
252
____________________________________________________________________________
celem naszym jest autentyczna prognoza (której realność wymaga by AE była co najmniej
objawem przyczyn wstrząsu). Zagadnienia te stanowią trudny lecz ważny temat badawczy.
2.4. Model procesu a prognoza optymalna
Teoria procesów stochastycznych rozróżnia wiele modeli szeregów czasowych przyjmując
jako kryterium losowość oraz autokorelację procesu. Dla szczególnych przypadków teoria
umożliwia wprowadzenie optymalnych sposobów prognozy w postaci filtru predykcyjnego,
i tak:
– szum biały (nieskorelowany, stacjonarny proces losowy):
optymalny filtr predykcyjny ma postać:
~
x (t  1)  x
(2.1)
czyli predyktor stanowi wartość średnią procesu (średnia z dotychczasowych obserwacji);
– nie skorelowany, niestacjonarny proces losowy (np. ruchy Browna),
optymalny predyktor ma postać:
~
x (t  1)  x(t)
(2.2)
czyli prognoza na następną jednostkę czasu jest tożsama z oceną w mijającej jednostce czasu
(taki sposób znalazł zastosowanie w biernej metodzie sejsmoakustycznej);
– proces skorelowany i stacjonarny [np. ciągły proces emisji łącznej (CPE), co najmniej
w przypadku ścian niezbyt silnie zagrożonych] – najlepszym predyktorem wykorzystującym autokorelację zdarzeń jest filtr Wienera (opisany w p.3);
– proces będący sumą składowej okresowej o znanym okresie i szumu białego:
wielkość prognozowaną przedstawić można jako sumę składowej deterministycznej/sezonowej ed oraz składowej stochastycznej/losowej es:
e(t) = ed(t) + es(t)
(2.3)
gdzie:
es(t) – jest słabo skorelowana tzn. jej funkcja autokorelacji r(τ) przyjmuje – dla τ > 0 – wielkości które nie są w istotny sposób różne od zera. Można wówczas uważać, że prognozowana
przyszła wartość e~ (t+1) jest sumą:
ed (t+1) + e~s (t+1)
e~ (t+1) = ~
(2.4)
gdzie:
~
ed (t+1) – to deterministyczna wartość, wyznaczalna z jakiegoś (być może nieznanego
es (t+1) to zmienna losowa określona swym
i poszukiwanego) równania/prawa natomiast ~
rozkładem [np. N( es , s2) lub jeszcze krócej parametrami tego rozkładu ( es , s2)]. Jeśli es(t) jest
zmienną nie skorelowaną (np. szumem białym) i es  0 to „najbardziej prawdopodobna”
prognoza ma postać:
(2.5)
e~ (t+1) = e~ d(t+1)
____________________________________________________________________________
253
____________________________________________________________________________
Przykłady te ilustrują zależność prognozy od modelu procesu i wynika z nich, że
przed przystąpieniem do prognozy niezbędna jest analiza procesu, umożliwiająca
wyrobienie sobie co najmniej przybliżonej opinii o typie/formie modelu, który powinien
być użyty do prognozy.
Rzecz jasna, jeśli – będący przedmiotem zainteresowania – proces jest typowym przedstawicielem „rodziny” procesów (np. emisja AE ze ściany X jest przedstawicielem emisji AE
ze ścian o zbliżonym zagrożeniu) o znanej już formie modelu to analiza taka jest zbędna.
3. Prognoza – metody i modele
3.1. Jednokanałowa prognoza i model autoregresji
W najprostszym przypadku, gdy obserwacje przedstawiane są w formie szeregu czasowego
[x( ti ), gdzie i = 1, 2,...], którego przyszłe wartości prognozowane mają być na podstawie
(tylko i wyłącznie) informacji zawartej w jego minionych wartościach, zmienną prognozowaną
xt+1 można przedstawić jako funkcję jej własnych, minionych wartości, określając w ten sposób
model:
xt+1 = a0 xt + a1 xt-1 +...+ ak xt-k + t+1
gdzie:
t+1 – jest szumem białym lub równoważnie, jako tak zwany filtr predykcyjny:
xt 1 = aoxt + a1xt-1 + ... + akxt-k
(3.1)
(3.2)
Równania powyższe nazywamy równaniami autoregresji (lub modelami autoregresji).
Tak sformułowany model autoregresji umożliwia liniową estymację parametrów i (zwykle)
stosunkowo dobrą prognozę. Osiągalna jakość prognozy liniowej zależy od funkcji autokorelacji rxx() gdzie -1 rxx()  1 dla 0 <   k, obserwowanych wartości xt, t = 1,2,...,
szeregu czasowego (np. log - energii emisji łącznej) a wskaźnikiem dopasowania jest wielkość
R2 nazwana współczynnikiem determinacji wielokrotnej, który określa się jako:
2
2
/stot
1
0 ≤ R2 = sreg
(3.3)
gdzie, dla t = 1, ..., N:
2
sstot
  (xt  x )2
(3.4)
2
ssreg
  (axt  x )2
(3.5)
2
2
2
sstot
 ssreg
 ssres
(3.6)
Optymalny rząd modelu k określić można stosując jedną z metod oznaczonych skrótami
FPE(k) – Final Prediction Error oraz AIC(k) – Akaike Information Criterion:
2
FPE(k) = sres
(N  k  1)/(N  k  1)
AIC(k) = ln s
2
res
+ 2k/N
(3.7)
(3.8)
____________________________________________________________________________
254
____________________________________________________________________________
gdzie:
s 2res – to estymowana wariancja błędu dopasowania modelu do zbioru xt.
Estymacja parametrów A = (a1,...,ak) modelu wymaga rozwiązania układu N równań z k niewiadomymi czyli tzw. układu równań normalnych. Rozwiązanie to ma postać:
A = [XTX] -1 XTX
(3.9)
gdzie: A = [a1,..., ak] T.
X = [xk+1,..., xk+N] T
 xk , xk 1 ,...,x1 
 x , x ,...,x 
k 1 k
2

X= 
 . . . . . 


 xk  N  2 ,...,xN 
przy czym XTX tworzy macierz autokorelacji – stąd związek prognozy liniowej z autokorelacją.
W praktyce układ równań normalnych może być rozwiązywany jedną z wielu metod
numerycznych wykorzystujących specyficzną budowę macierzy autokorelacji (jest to tzw.
macierz Teoplitza). Otrzymany filtr predykcyjny często zwany jest filtrem Wienera choć
faktycznie jest tylko jego przybliżeniem. Splatając szereg prognozujący (czyli wartości
obserwowane) x(ti) z wyznaczonym filtrem otrzymujemy wartość wyprognozowaną dla
przyszłej jednostki czasu.
3.2. Szczególny przypadek modelu autoregresji
Obliczenie liniowego filtru predykcyjnego wymaga rozwiązania k równań normalnych
(3.9). W niektórych przypadkach, na podstawie wizualnej inspekcji procesu lub jego autokorelacji, a priori zakładać można bardzo szczególna budowę modelu. Na przykład czasami
oczekiwać można bardzo znacznego udziału (w obserwowanych wartościach x i i = 1, 2, 3...)
składowej okresowej: jeżeli zakładamy, że proces eksploatacji w istotny sposób wpływa na
emisję łączną to oczekiwać można występowania okresowości tygodniowej (T = 168 godzin)
w danych. Wówczas najprostszy model predykcyjny ma postać:
~
x (t  1 )  x(t  1-168 )
(3.10)
Można jednak założyć coś zupełnie innego, dopuszczając że emisja łączna jest procesem
nieskorelowanym i niestacjonarnym, na przykład jednowymiarowym procesem Browna.
Wówczas optymalny predyktor ma postać określoną równaniem (2.2). Można wreszcie –
z tych dwóch przypadków – zbudować mieszany model parametryczny:
~
x (t  1 )  αx(t)  ( 1  α)x(t  1-168 )
(3.11)
zdolny do użytecznej prognozy gdy obserwacje xt są sumą składowej cyklicznej i składowej
losowej.
____________________________________________________________________________
255
____________________________________________________________________________
Estymacja wartości , która minimalizuje błąd prognozy dostarcza nam również informację
o budowie badanego procesu (o budowie ciągu obserwacji x(t)): małe wartości  wskazują na
proces niemal okresowy, wartości  bliskie 1 sugerują proces nieskorelowany.
Model E(t+1) = E(t) + (1-) Ek umożliwia więc prostą prognozę ciągu wartości log –
energii łącznej, dostarczając nam dodatkowo – gdy wartość α estymujemy (na podstawie
minionych obserwacji) minimalizując średniokwadratowy błąd prognozy - informację zawartą
w parametrze . Za sezonowość informacji jest odpowiedzialny składnik Ek = E(t-T) gdzie
w przypadku emisji sejsmicznej T = 168 godzin, natomiast  to „stopień losowości” zbioru
danych i jego zakres to 0 <  < 1.
Ze względu na wielkość  możemy rozróżnić następujące przypadki szczególne:
–  = 0 to E(t+1) = Ek otrzymujemy predyktor okresowy,
–  = 1 to E(t+1) = E(t) – predyktor dla procesów niestacjonarnych, nieskorelowanych.
O jakości prognozy dowiemy się z wartości znormalizowanej wariancji błędów prognozy.
2
VARNOR  Sb2 / Sobs
(3.12)
gdzie:
Sb2 – to wartość błędu predykcji,
2
– to wartość ciągu obserwacji.
Sobs
Im mniejsza wartość tego parametru VARNOR tym lepszą uzyskaliśmy prognozę.
Normalizacja błędu prognozy (czyli podzielenie Sb2 przez wariancję obserwacji) umożliwia
porównywanie wyników prognozy dla dowolnych zbiorów danych.
Zauważmy, że równanie (3.11) określa bardzo szczególny model autoregresji rzędu 168,
w którym a1 = α, α168 = 1-α oraz a2 = a3 = ... = a167 = 0.
3.3. Metoda Holta-Wintersa
Prognoza metodą Holta-Wintersa (Winters 1960; Chatfield 1978) należy do metod objaśniających gdzie w szeregu prognozowanym rozróżnia się trzy składowe (trend, sezonowość,
składową nieregularną tzw. poziom) przedstawione poniższymi równaniami:
predyktor:
gdzie:
poziom:
trend:
sezonowość:
yt ( k ) = Lt + kTt + I t-s + k
Lt =  ( yt - I t - s ) + ( 1 -  ) ( L t-1 + T t-1)
(3.13)
(3.14)
Tt =  ( L t - L t-1 ) + ( 1 -  ) T t-1
(3.15)
I t =  ( y t - L t ) + ( 1 -  ) I t-s
(3.16)
Ponieważ w poprawnie (czyli zgodnie z obowiązującą Instrukcją) prowadzonych
obserwacjach energii sejsmoakustycznej (i energii łącznej) nie obserwuje się występowanie
trendu, równania (3.13, 3.14, 3.15, 3.16) uprościć można do postaci:
~
E(t  1)  L(t)  I (t  1  168)
(3.17)
L(t) = α{E(t) – I(t – 168)} + (1-α) L(t-1)
(3.18)
____________________________________________________________________________
256
____________________________________________________________________________
I(t) = γ{E(t) – L(t)} + (1-γ) I(t-168)
(3.20)
gdzie:
E(t) – to obserwowane wartości energii łącznej.
Przy czym wartości α oraz γ należy okresowo (np. raz w tygodniu) optymalizować tzn.
znajdywać – stosując odpowiedni algorytm, np. Neldera-Meada – ich wartości minimalizujące
błąd prognozy w odpowiednim oknie obejmującym pewien przedział (np. tydzień) minionych
obserwacji. Należy także przyjąć odpowiednie wartości początkowe.
Procedura Holta-Wintersa zyskała sobie dużą popularność – szczególnie w badaniach
ekonometrycznych i związanych z zarządzaniem – głównie ze względu na prostotę interpretacji i obliczeń.
Zauważyć należy, że obowiązująca Instrukcja metody sejsmoakustycznej wymaga korygowania obserwacji ze względu na odległość – tylko w przypadku estymacji energii. Oznacza to,
że w poprawnie prowadzonych obserwacjach energii trendy (wzrostowe – gdy ściana zbliża się
do czujnika) nie powinny występować, lecz mogą i powinny występować w obserwowanej
aktywności sejsmoakustycznej.
3.4. Zlinearyzowane sejsmoakustyczne równania stanu ściany skrawanej kombajnem i ich
zastosowanie do prognozy emisji
W publikacji (Kornowski 1994) Kornowski wprowadził model reologiczny ze sprężystokruchym polem (MRSK), który ulegać może procesowi stopniowego niszczenia (pod
wpływem obciążenia, σ) generując przy tym emisję (sejsmo-)akustyczną. Uproszczona
(zlineryzowana) wersja tego modelu oznaczona została skrótem MSSE i umożliwia ona
wyprowadzenie (przybliżonych) sejsmoakustycznych równań stanu – czyli równań opisujących
emisję sejsmoakustyczną – dla ściany skrawanej kombajnem (Kornowski 2002). W przypadku
wymuszenia stałym naprężeniem σo+, MSSE określony jest równaniem zapisanym w postaci:
n(t-to) = C1σo+ exp[-α(t-to)]
 imp 
m s


C1 = (Co/τσ) [(EH)-1 – (EH + EM)-1]
(3.21)
(3.22)
gdzie:
to – jest to moment przyłożenia wymuszenia σo+, natomiast α jest odwrotnością stałej czasowej
τσ i ma wymiar [s-1].
Równania powyższe stanowią sejsmoakustyczną odpowiedź skokową i wraz z założeniami
dotyczącymi rozszerzenia MSSE na przypadek ściany skrawanej kombajnem umożliwiają
wyprowadzenie równań zwanych sejsmoakustycznymi (energetycznymi) równaniami stanu
ściany skrawanej kombajnem.
Ei  ei1B1/α  ceσi3ViG1/α  ψ4i
ei  ei1Bo  ceσi3Vi B1/α  Ψ 5i
ce σi3  ceσ 3  Ψ6i
i1
[J]
(3.23)
[J/s]
(3.24)
[J/m·s]
(3.25)
____________________________________________________________________________
257
____________________________________________________________________________
Równania stanu rozwiązują „proste” zadanie sejsmoakustyki umożliwiające symulację AE,
gdy znane jest wymuszenie. Można je wykorzystać stosując filtr Kalmana do rozwiązania
zadania odwrotnego tzn. wyznaczenia wymuszenia (zatem i zagrożenia) na podstawie obserwowanej emisji AE.
Na tej podstawie powstał algorytm (bayesowski) estymacji i prognozy wartości stanu
i obserwacji korzystający z równań stanu i dotychczasowych obserwacji. Proces prognozy
przedstawia się jako propagację rozkładów gęstości prawdopodobieństwa zmiennych stanu
i obserwacji z aktualizacją (parametrów tych rozkładów) po nadejściu każdej nowej porcji
informacji np. co godzinę. Szczegółowo zagadnienie wraz z algorytmem prognozy i estymacji
przedstawia Kornowski (Kornowski 2002).
Literatura
[1] Aki K,. Richards P. G. 1980: Quantitative Seismology. Theory and Methods., Freeman, San Francisco.
[2] Box G. E. P., Jenkins G. M. 1970: Time Series Analysis, Forecasting and Control. Holden-Day, San
Francisco.
[3] Chatfield C. 1978: The Holt-Winters Forecasting Procedure. Appl. Statist. Vol. 27, No. 3, 264 – 279.
[4] Cox D. R., Lewis P. A. W. 1966: The Statistical Analysis of Series of Events. Methuen and Co.,
London.
[5] Dubiński J., Konopko W. 2000: Tąpania: ocena, prognoza, zwalczanie. GIG, Katowice.
[6] Dubiński J., Wierzchowska Z. 1973: Metody obliczania energii wstrząsów górotworu na Górnym
Śląsku. Prace GIG, Komunikat Nr 591, Katowice.
[7] Kaliski S. (red.) 1966: Drgania i fale w ciałach stałych. PWN, Warszawa.
[8] Kornowski J. 1994: Podstawy aktywnych sejsmoakustycznych metod oceny zagrożenia lokalnym
zniszczeniem górotworu. Prace Naukowe GIG, No. 793, Katowice.
[9] Kornowski J., Kurzeja J. 2000: Korelacja energii wstrząsów górniczych z emisją sejsmoakustyczną
i ocena możliwości jej wykorzystania w matematycznych modelach prognozy, W: Mat. XXIII
Zimowej Szkoły Mechaniki Górotworu, Wyd.: Katedra Geomech. Górn. i Geotech., AGH, Kraków.
[10] Kornowski J. 2002: Podstawy sejsmoakustycznej oceny i prognozy zagrożenia sejsmicznego
w górnictwie. GIG, Katowice.
[11] Kwaśniewski M. 1986a: Dylatancja jako zwiastun zniszczenia skały. Cz. I: Fizykalna istota zjawiska
dylatancji, Przegląd Górniczy, T. 42, Nr 2.
[12] Kwaśniewski M. 1986b: Dylatancja jako zwiastun zniszczenia skały. Cz. II: Mechanizm zjawisk
poprzedzających zniszczenie, Przegląd Górniczy, T. 42, Nr 6.
[13] Lasocki S. 1994: Średnio- i krótkookresowa predykcja zagrożenia sejsmicznego na podstawie
danych sejsmologicznych, W: Tąpania ’94: Rozwiązania inżynierskie w problematyce tąpań, Wyd.
GIG, Katowice.
[14] Lasocki S. 1995: Predykcja zagrożenia sejsmicznego. Rozdz. 7.2 W: Poradnik geofizyka górniczego. Tom 2, Bibl. Szkoły Ekspl. Podz., Wyd.: CPPGSMiE PAN, Kraków.
[15] Mogi K. 1967: Earthquakes and fractures, Tectonophysics, Vol. 5, No. 1.
[16] Pilecki Z. 1990: Metoda rejonowej obserwacji sejsmoakustycznej do kontroli stanu zagrożenia
tąpaniami w kopalniach węgla kamiennego. GIG, Katowice (Praca doktorska).
[17] Takuska - Węgrzyn E. X. 2001: Zjawiska prekursorowe niszczenia skał w badaniach sejsmoakustycznych w warunkach quasinaturalnych, laboratoryjnych i in situ. Praca zbiorowa Badania geofizyczne w kopalniach, Wyd. IGSMiE PAN, Kraków, 209 – 218.
[18] Vere-Jones D. 1970: Stochastic Models for Earthquake Occurence. J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, Vol.
32, No. 1, 1 – 62.
[19] Winters P. R. 1960: Forecasting sales by exponentially weighted moving averages. Management
Science, Vol. 6, 324 – 342.
____________________________________________________________________________
258
____________________________________________________________________________
Basis of seismoacoustic prediction of energy emission emitted from mining
coal bed
The purpose of this paper was to present and analyze the basic notions of seismoacoustic
prediction of seismic hazard based on the postulate of seismic and seismoacoustic coupled
emission. At first the seismic hazard definition was presented then the fundamentals of
prediction theory and the related methods and models with special regard to the Wiener’s
prediction theory.
Przekazano: 25 marca 2002
____________________________________________________________________________
259

Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rynek IT w Polsce 2016

Raport bieżący nr 75/2007 Data: 2007-09

Zmiana prognozy spółki z

Weryfikacja prognozy wynikow Grupy Plast

Analizy, badania i prognozy na rzecz Strategii Rozwoju woj

LOGISTYKA – SPEC. ZARZĄDZANIE TRANSPORTEM

wróżby tarot karty horoskopy CENA: 150,00 PLN